第03讲 5.2.2同角三角函数的基本关系讲义（知识清单+6类热点题型讲练+分层强化训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦“同角三角函数的基本关系”核心知识点，系统梳理平方关系、商数关系及其等价变形，通过即学即练衔接知识与应用，再以6类题型（含典例与变式）构建从概念到解题的学习支架，最后分层精练巩固。 资料以思维导图直观呈现知识结构，助力学生用数学眼光把握逻辑脉络，通过典例变式训练培养数学思维的推理能力，分层精练（A夯实基础、B能力提升、C综合素养）强化应用意识，课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺。

第03讲 5.2.2同角三角函数的基本关系 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：同角三角函数的基本关系 1、平方关系： 2、商数关系:（，） 【即学即练1】（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知，且α为第四象限的角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出 ，再根据 为第四象限角确定 的符号。 【详解】因为且所以 又因为 为第四象限角，所以 ，从而 知识点02：关系式的常用等价变形 1、 2、 【即学即练2】（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角的三角函数关系求解即可. 【详解】因为，所以. 所以. 第三部分 题型精讲 题型01 同角三角函数的基本关系 【典例1】（25-26高一下·广东河源·阶段检测）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，故. 【典例2】（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知，在第二象限，则的值为__________ 【答案】 【详解】由，在第二象限， 则. 【变式1】（25-26高一下·北京朝阳·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则，故. 【变式2】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知角为第三象限角，且，则__________. 【答案】/ 【详解】由条件可知，. 【变式3】（25-26高一下·上海·期中），，则__________． 【答案】 / 【详解】因，， 则 . 题型02 已知正弦，余弦，正切中其一求另外两个量 【典例1】（25-26高一下·北京·阶段检测）已知，且是第三象限角，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，且是第三象限角，则也为负， 由，得， 因此. 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知，且在第三象限，求，的值． 【答案】， 【详解】因为，且在第三象限， 所以 ， ． 【变式1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知，，则______________，______________． 【答案】 【分析】由 得 ，再利用 及 确定 ， 的值． 【详解】因为 ，所以 ． 代入 ，得 ，所以 ． 又 ，所以 ，． 因此 ，． 【变式2】（25-26高一上·上海·期末）若，，则______． 【答案】 【分析】由三角函数同角关系结合即可求解. 【详解】因为，所以， 则. 【变式3】（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知，求，的值. 【答案】 若角是第三象限角，则，； 若角是第四象限角，则，. 【分析】由同角三角函数基本关系计算即可求解. 【详解】因为，所以角是第三或第四象限角， 若角是第三象限角，则，； 若角是第四象限角，则，. 题型03 利用平方关系求参数 【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则________． 【答案】或 【分析】利用平方关系列方程求参数，再由参数值求对应正弦值. 【详解】由，可得或， 当时，，，故； 当时，，，故. 故答案为：或 【典例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，其中，求的值. 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式列方程，求得的可能取值，根据为第二象限角求得的值. 【详解】解：由， 易得， 解得或1. 由，所以 ①当时，，，不合题意，舍去； ②当时，，，符合题意. 综上，. 【变式1】（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）已知，，且为第二象限角，则______. 【答案】/ 【分析】根据三角函数值在各象限内的符号可求得范围，由同角三角函数平方关系可构造方程求得的值，由此可得，根据同角三角函数商数关系可求得结果. 【详解】为第二象限角，，解得：或； ，即， ，解得：（舍）或， ，，. 故答案为：. 【变式2】已知，，且．则实数的值_____． 【答案】 【分析】利用同角三角函数基本关系式，即可求解，注意这个条件，需进行验证. 【详解】， ，解得：或， 当时，，不满足，故舍去； 当时，，，满足. 所以. 故答案为： 【变式3】已知，，且，求实数的值． 【答案】8 【分析】同角三角函数的基本关系得到方程，求出，再根据三角函数的符号验证即可． 【详解】解：因为，，且， 则， 又，所以，解得或， 当时，，不满足题意， 当时，，，满足题意． 所以 题型04 已知,求关于和的齐次式的值 【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 【典例2】（26-27高一上·全国·课后作业）已知，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)3 (2) (3) 【详解】 （1）原式． （2）原式． （3）原式． 【变式1】（25-26高一下·江西新余·阶段检测）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助同角三角函数基本关系将弦化为切后计算即可得. 【详解】. 【变式2】（25-26高一下·浙江绍兴·期末）已知，计算下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：分式上下同时除以，代入计算即可； 解法二：根据题意得，代入所求即可； 解法三：由分类讨论和同角的三角函数计算出和，代入计算即可； （2）解法一：将原式变形为分母为的分式，再将分子分母同时除以，代入计算即可； 解法二：根据题意得，代入所求即可； 解法三：由分类讨论和同角的三角函数计算出和，代入计算即可； 【详解】（1）解法一：； 解法二：因为，所以，即， 所以； 解法三：已知，若在第二象限，则，， 此时； 若在第四象限，则， 此时 综上； （2）解法一：； 解法二：因为，所以，即， ； 解法三：已知，若在第二象限，则，， 此时， 若在第四象限，则，， 此时， 综上； 【变式3】（25-26高一下·陕西渭南·期中）已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分子、分母同除以，并代入的值可得； （2）（3）利用，构造关于的齐次分式，分子、分母同除以，再代入的值可得. 【详解】（1）； （2）； （3）. 题型05 利用,与之间的关系求值 【典例1】（25-26高二下·广西梧州·期末）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数平方关系，结合完全平方公式以及角的范围分析求解即可. 【详解】因为，所以， 即，解得， 由， 因为，所以，又，所以， 所以，所以. 【典例2】（25-26高一下·江西南昌·期中）已知，求下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角的三角函数关系式可得； （2）根据关系可得. 【详解】（1）由，两边平方可得：， 解得：； （2）由， 因，且，故，则， 故. 【变式1】（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的平方关系对所求式平方，结合已知条件计算平方结果，再根据的范围判断所求式的符号，开方后得到最终值. 【详解】， 已知，因此，结合，可得， 故，开方得. 【变式2】（25-26高一上·上海·期末）已知角满足． (1)求； (2)若是第四象限角，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知等式两边平方，结合同角的正余弦的平方和为1，可求解. （2）结合（1）求得的值，结合是第四象限角，进而可求解. 【详解】（1）由，得， 所以，所以， 所以. （2）因为是第四象限角，所以，所以， 又， 所以. 【变式3】（25-26高一上·宁夏银川·期末）若角满足 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用平方关系计算得解. （2）由（1）确定的正负，再利用平方关系列式计算得解. 【详解】（1）由角满足， 得， 所以. （2）由（1）知，而，则且，， 所以. 题型06利用同角三角函数的基本关系式化简 【典例1】（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 . 【典例2】（24-25高一下·山东潍坊·阶段检测）化简下列各式 (1)若，化简； (2)若，化简. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的平方关系，分子分母同乘和即可； （2）根据三角函数的平方关系，分子分母同乘和即可. 【详解】（1）若，则，， 所以 . （2）若，则，， 所以 . 【变式1】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知 ，且 ，则 _____. 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为 ，所以， 所以 ， 所以 ， 故答案为： 【变式2】（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）若角的终边在第二象限，则__________. 【答案】1 【分析】由题设，结合平方关系化简目标式求值即可. 【详解】由题设，则. 故答案为：1 【变式3】（25-26高一上·宁夏固原·阶段检测）（1）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，求的值； （2）化简. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据三角函数的定义求出，，进而求解即可； （2）根据平方关系化简求解即可. 【详解】（1）由题意得，，， 则； （2）由， 由于，则， 则原式. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知式可知 ，分子、分母同除以 ，将条件化为关于 的方程求解． 【详解】由 可知 ． 分子、分母同除以 ，得 ． 所以 ，从而 ． 2．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知为锐角，，则， 故． 3．（25-26高二下·海南·期末）若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】由， 所以. 4．（25-26高一下·浙江湖州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 代入，化简得， 又，，所以， 则有，. 5．（25-26高一下·全国·期末）已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，由，可得. 则. 6．（吉林长春市柏辰艺术中学等校2026届高三普通高校招生模拟5月联考数学试题）已知为第二象限角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用同角三角函数基本关系化简所求表达式，再结合的象限求出的值，代入计算即可得到结果. 【详解】， 已知为第二象限角，故， 因为，所以 ， 将，代入得： . 7．（多选）（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A，将条件式平方化简得解；对B，利用与的关系，结合求解判断；对C，由选项B，结合条件求出得解；对D，由平方差公式结合选项B求解. 【详解】对于A，由，则，化简得，故A正确； 对于B，由，，则，即， ，，故B正确； 对于C，由，解得，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 8．（多选）（24-25高一上·广西柳州·期末）已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，，结合同角三角函数的平方关系可解得的值，再根据商数关系可得的值，依次代入四个选项，逐项判断即可. 【详解】因为，所以， 则，即， 又，所以，则； 联立，解得，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：ACD. 9．（2026高一·全国·专题练习）若，，则_____. 【答案】 【分析】根据同角三角函数关系和各象限三角函数值的正负，求得，，进而求得答案. 【详解】因为，，所以， 所以， 因为，所以， 又因为， 所以，所以， 所以， 所以. 10．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，，则_______ 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系建立方程组，求出，进而求出即可. 【详解】因为，所以， 联立， 解得（负根舍去），则. 故答案为： B能力提升 1．（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方关系化简，再结合终边所在象限判断符号即可. 【详解】， 利用平方关系可知， 即， 由于，故， 又，， 所以等式可化为 即，故. 2．（2026·河南·二模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以，即， 所以，故，即， 可知，得， 所以，解得，， 故． 3．（多选）（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于A：根据三角函数值的符号分析判断即可；对于B：根据同角三角关系结合齐次式问题运算求解即可；对于CD：根据、与之间的关系运算求解，注意三角函数值的符号. 【详解】对于选项A：因为，，则，， 所以，故A正确； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：因为， 所以，故C正确； 对于选项D：因为， 所以，故D错误． 4．（多选）（25-26高一上·河南郑州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据同角三角函数基本关系以及平方关系计算可得A正确，结合角所在象限可得，联立解方程组可求得正弦、余弦值可判断BCD. 【详解】易知， 可得，A正确； 由，得，所以， 所以，C正确； 联立，解得，则，B正确； ，D错误. 故选：ABC. 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则的值为______；______. 【答案】 【详解】因为，则，所以的值为. . C综合素养 1．（2026高三·全国·专题练习）已知是三角形的内角，且．求： (1)； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据给定条件，利用正余弦齐次式法计算得解. 【详解】（1）由题可知：， ． （2）由题可知：， ． 2．（25-26高一上·上海·期末）（1）若角的终边经过点，求的值； （2）已知，且为第二象限角，分别求和的值． 【答案】（1）；（2），. 【详解】（1）由角的终边经过点，得． 所以． 所以． （2）因为，所以． 又，所以，所以． 由，解得或， 因为是第二象限角，所以，所以， 所以． 3．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知，其中. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）平方结合同角三角函数关系计算，再应用角的范围得出三角函数值正负求解； （2）应用（1）列式计算得出正切值. 【详解】（1）因为，平方得， 所以， 又因为，，所以， 又因为， 所以 （2）由 得， 所以. 4．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数. (1)若，且，求和的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题设结合平方关系求得，再得到，进而求解； （2）先根据题设结合齐次式求得，进而求解即可. 【详解】（1）由，则， 即，又，则， 所以，则， 所以. （2）由，即， 则. 5．（25-26高一上·上海普陀·期末）设，已知，且关于的一元二次方程的两实根分别为和． (1)求的值； (2)分别求和的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理，结合同角公式的商数关系化简计算即可求解； （2）根据与的关系求出，结合完全平方公式计算即可求解. 【详解】（1）因为为一元二次方程的两个实根， 所以. . （2）由（1）知，， 则， 即，解得； 所以，由，知， 所以， 由，所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 5.2.2同角三角函数的基本关系 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：同角三角函数的基本关系 1、平方关系： 2、商数关系:（，） 【即学即练1】（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知，且α为第四象限的角，则（   ） A． B． C． D． 知识点02：关系式的常用等价变形 1、 2、 【即学即练2】（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 第三部分 题型精讲 题型01 同角三角函数的基本关系 【典例1】（25-26高一下·广东河源·阶段检测）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知，在第二象限，则的值为__________ 【变式1】（25-26高一下·北京朝阳·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知角为第三象限角，且，则__________. 【变式3】（25-26高一下·上海·期中），，则__________． 题型02 已知正弦，余弦，正切中其一求另外两个量 【典例1】（25-26高一下·北京·阶段检测）已知，且是第三象限角，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）已知，且在第三象限，求，的值． 【变式1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知，，则______________，______________． 【变式2】（25-26高一上·上海·期末）若，，则______． 【变式3】（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知，求，的值. 题型03 利用平方关系求参数 【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则________． 【典例2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，其中，求的值. 【变式1】（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）已知，，且为第二象限角，则______. 【变式2】已知，，且．则实数的值_____． 【变式3】已知，，且，求实数的值． 题型04 已知,求关于和的齐次式的值 【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（26-27高一上·全国·课后作业）已知，求： (1)； (2)； (3)． 【变式1】（25-26高一下·江西新余·阶段检测）若，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·浙江绍兴·期末）已知，计算下列各式的值． (1)； (2)． 【变式3】（25-26高一下·陕西渭南·期中）已知，为第三象限角，求： (1)； (2)； (3). 题型05 利用,与之间的关系求值 【典例1】（25-26高二下·广西梧州·期末）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一下·江西南昌·期中）已知，求下列各式的值. (1)； (2). 【变式1】（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·上海·期末）已知角满足． (1)求； (2)若是第四象限角，求． 【变式3】（25-26高一上·宁夏银川·期末）若角满足 (1)求的值； (2)求的值. 题型06利用同角三角函数的基本关系式化简 【典例1】（　　）． A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一下·山东潍坊·阶段检测）化简下列各式 (1)若，化简； (2)若，化简. 【变式1】（25-26高一上·河南·阶段检测）已知 ，且 ，则 _____. 【变式2】（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）若角的终边在第二象限，则__________. 【变式3】（25-26高一上·宁夏固原·阶段检测）（1）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，求的值； （2）化简. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·海南·期末）若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 4．（25-26高一下·浙江湖州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·全国·期末）已知，，则（　　） A． B． C． D． 6．（吉林长春市柏辰艺术中学等校2026届高三普通高校招生模拟5月联考数学试题）已知为第二象限角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高一上·广西柳州·期末）已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 9．（2026高一·全国·专题练习）若，，则_____. 10．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，，则_______ B能力提升 1．（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知，，那么（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南·二模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一下·辽宁铁岭·阶段检测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一上·河南郑州·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，则的值为______；______. C综合素养 1．（2026高三·全国·专题练习）已知是三角形的内角，且．求： (1)； (2)的值． 2．（25-26高一上·上海·期末）（1）若角的终边经过点，求的值； （2）已知，且为第二象限角，分别求和的值． 3．（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知，其中. (1)求的值； (2)求的值. 4．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数. (1)若，且，求和的值； (2)若，求的值. 5．（25-26高一上·上海普陀·期末）设，已知，且关于的一元二次方程的两实根分别为和． (1)求的值； (2)分别求和的值． 学科网（北京）股份有限公司 $