安徽省2026-2027学年高一上学期第一次月考数学模拟试卷

**基本信息** 覆盖集合、常用逻辑用语、不等式核心知识，基础题（如集合并集、子集个数）与综合题（如含参数集合关系、不等式取值范围）梯度分明，适配高一月考学情，检测数学抽象与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合交并补、命题否定、充分条件|第3题考查全称命题否定，强化逻辑推理| |多项选择|3/18|集合运算、充分条件判断|第9题综合交集补集运算，提升辨析能力| |填空|3/15|集合补集、特称命题否定、基本不等式|第14题结合等式条件求最值，体现数学运算| |解答题|5/77|含参集合关系、不等式证明与取值范围|第19题综合条件等式求最值，考查数学思维与创新应用|

2026—2027学年高一第一次月考模拟卷 数 学 试 卷 （人教A版2019·必修第一册　命题范围：集合与常用逻辑用语、等式性质与不等式性质、基本不等式） 满分：150分　　考试时间：120分钟 姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项：1．答题前，请将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上；2．选择题请用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔作答；3．本卷共19小题。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{0，1}，则A∪B＝（　　） A．{x|0＜x＜1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|0＜x≤2} D．{x|0≤x≤2} 2．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，则A的含有2个元素的子集的个数是（　　） A．3 B．5 C．10 D．20 3．命题p：∀x∈（0，+∞），3x+1＜0，则命题p的否定为（　　） A．∀x∈（0，+∞），3x+1＞0 B．∃x∈（0，+∞），3x+1＞0 C．∀x∉（0，+∞）3x+1≥0 D．∃x∈（0，+∞），3x+1≥0 4．“m≥﹣1”是“m≥﹣2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．下列说法正确的是（　　） A．某人月收入x元不高于2000元可表示为“x＜2000” B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x＞y” C．变量x不小于a可表示为“x≥a” D．变量y不超过a可表示为“y＞a” 6．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x∈N*且x﹣1∈A}，则B＝（ ） A．{0，1} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4} 7．下列函数中，最小值为2的是（　　） A． B．y＝x2﹣2x+4 C． D． 8．已知p：|x|≤1，q：x＜a，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞） 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则（　　） A．A∩B＝{0，1} B．∁UB＝{4} C．A∪B＝{0，1，3，4} D．集合A的真子集个数为8 10．下列选项中，满足p是q的充分不必要条件的是（　　） A．p：x＞1，q：x＞0 B．p：|x|≠2，q：x2≠4 C．p：x＝0，q：xy＝0 D．p：x＞y，q：x2＞y2 11．下列函数最小值为2的是（　　） A．y＝x B．y C．y＝x2 D．y 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，4}，N＝{2，3，4}，则集合∁U（M∩N）＝　 　． 13．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是　 　． 14．已知正实数a，b满足ab+a+b＝3，则2a+b的最小值为 　 　． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|a+2≤x≤3a}． （1）当a＝2时，求A∩B； （2）若B⊆A，求实数a的取值范围． 16．已知集合A＝{x|x2+2x+m＝0}，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由． 17．（1）试比较（x+1）（x+5）与（x+3）2的大小； （2）已知﹣1＜2a+b＜2，3＜a﹣b＜4，求5a+b的取值范围． 18．已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|a﹣4≤x≤a﹣1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 19．已知实数a＞0，b＞0，a+2b＝2． （1）求的最小值； （2）求a2+4b2+5ab的最大值． 参考答案与解析 1．已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{0，1}，则A∪B＝（　　） A．{x|0＜x＜1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|0＜x≤2} D．{x|0≤x≤2} 【解题思路】根据并集概念即可求解． 【解答过程】解：∵集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{0，1}， ∴A∪B＝{x|0≤x≤2}． 故选：D． 2．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，则A的含有2个元素的子集的个数是（　　） A．3 B．5 C．10 D．20 【解题思路】根据集合的子集的定义判断即可． 【解答过程】解：∵A＝{1，2，3，4，5}， 从5个数中取2个数， 有10种方法， 则A的含有2个元素的子集的个数是10个， 故选：C． 3．命题p：∀x∈（0，+∞），3x+1＜0，则命题p的否定为（　　） A．∀x∈（0，+∞），3x+1＞0 B．∃x∈（0，+∞），3x+1＞0 C．∀x∉（0，+∞）3x+1≥0 D．∃x∈（0，+∞），3x+1≥0 【解题思路】命题p：∀x∈（0，+∞），3x+1＜0，是一个全称命题，其否定命题一定是一个特称命题，由全称命题的否定方法，我们易得到答案． 【解答过程】∀x∈（0，+∞），的否定形式是∃x0∈∈（0，+∞），3x+1＜0的否定形式是3x+1≥0 ∴命题￢p：∃x∈（0，+∞），3x+1≥0 故选：D． 4．“m≥﹣1”是“m≥﹣2”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】利用充要条件的定义，可求得答案． 【解答过程】解：由m≥﹣1，可推出m≥﹣2成立，故m≥﹣1是m≥﹣2的充分条件， 由m≥﹣2不能够推出m≥﹣1，故m≥﹣1是m≥﹣2的不必要条件， 综上m≥﹣1是m≥﹣2的充分不必要条件， 故选：A． 5．下列说法正确的是（　　） A．某人月收入x元不高于2000元可表示为“x＜2000” B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x＞y” C．变量x不小于a可表示为“x≥a” D．变量y不超过a可表示为“y＞a” 【解题思路】某人月收入x元不高于2000元可表示为“x≤2000”，小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x＜y”，变量x不小于a可表示为“x≥a”，变量y不超过a可表示为“y≤a”． 【解答过程】解：由题意知， 某人月收入x元不高于2000元可表示为“x≤2000”，故选项A错误； 小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x＜y”，故选项B错误； 变量x不小于a可表示为“x≥a”，故选项C正确； 变量y不超过a可表示为“y≤a”，故选项D错误； 故选：C． 6．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x∈N*且x﹣1∈A}，则B＝（ ） A．{0，1} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4} 【解题思路】先化简集合A，再根据集合B的条件化简B即可得解． 【解答过程】解：∵A＝[﹣2，2]，又B＝{x|x∈N*且x﹣1∈A}， ∴x﹣1∈[﹣2，2]，∴x∈[﹣1，3]，又x∈N*， ∴x＝1，2，3，∴B＝{1，2，3}， 故选：C． 7．下列函数中，最小值为2的是（　　） A． B．y＝x2﹣2x+4 C． D． 【解题思路】选项A，利用排除法，当x＜0时，y＜0； 选项B，由配方法，可得y≥3； 选项C，利用基本不等式，可得解； 选项D，采用换元法，令t，则y＝t，再结合对勾函数的图象与性质，得解． 【解答过程】解：选项A，当x＜0时，y＜0，即A不符合题意； 选项B，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3≥3，即B不符合题意； 选项C，y＝x222，当且仅当x2，即x＝±1时，等号成立，即C符合题意； 选项D，令t，则y＝t在[，+∞）上单调递增， 所以y，当且仅当t时，等号成立，即D不符合题意． 故选：C． 8．已知p：|x|≤1，q：x＜a，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞） 【解题思路】由p：|x|≤1解得x∈[﹣1，1]，￢q是￢p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件，可知[﹣1，1]⫋（﹣∞，a），以此可解决此题． 【解答过程】解：由p：|x|≤1解得x∈[﹣1，1]， ￢q是￢p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件， 可知[﹣1，1]⫋（﹣∞，a），∴a＞1． 故选：C． 9．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则（　　） A．A∩B＝{0，1} B．∁UB＝{4} C．A∪B＝{0，1，3，4} D．集合A的真子集个数为8 【解题思路】根据集合的交集，补集，并集的定义分别进行判断即可． 【解答过程】解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}， ∴A∩B＝{0，1}，故A正确， ∁UB＝{2，4}，故B错误， A∪B＝{0，1，3，4}，故C正确， 集合A的真子集个数为23﹣1＝7，故D错误 故选：AC． 10．下列选项中，满足p是q的充分不必要条件的是（　　） A．p：x＞1，q：x＞0 B．p：|x|≠2，q：x2≠4 C．p：x＝0，q：xy＝0 D．p：x＞y，q：x2＞y2 【解题思路】根据充分必要条件的定义分别判断即可． 【解答过程】解：p：x＞1，q：x＞0，p是q的充分不必要条件，故A正确， p：|x|≠2，x≠±2，q：x2≠4，x≠±2，故p是q的充分必要条件，故B错误， p：x＝0，q：xy＝0，p是q的充分不必要条件，故C正确， p：x＞y，q：x2＞y2，p推不出q，q推不出p，p是q的即不充分也不必要条件，故D错误， 故选：AC． 11．下列函数最小值为2的是（　　） A．y＝x B．y C．y＝x2 D．y 【解题思路】对于AD可以利用特殊值法判断；对于BC利用基本不等式判断即可． 【解答过程】解：对于A，当x＝﹣1时，y＝﹣2，A错误． 对于B，y22，当且仅当，即x＝0时取得等号，B正确． 对于C，y＝x22，当且仅当x2，即x＝±1时取得等号，C正确． 对于D，当x＝0时，很显然最小值不是2，D错误． 故选：BC． 12．若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，4}，N＝{2，3，4}，则集合∁U（M∩N）＝　{1，2，5，6}　． 【解题思路】利用补集与交集的定义求解即可． 【解答过程】解：因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，4}，N＝{2，3，4}， 所以M∩N＝{3，4}， 则集合∁U（M∩N）＝{1，2，5，6}． 故答案为：{1，2，5，6}． 13．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是　对于任意的实数x，使得x≤1　． 【解题思路】根据特称命题的否定是全称命题即可求解 【解答过程】解：根据特称命题的否定是全称命题：“存在实数x，使x＞1”的否定：对于任意的实数x，使得x≤1； 故答案为：对于任意的实数x，使得x≤1； 14．已知正实数a，b满足ab+a+b＝3，则2a+b的最小值为 　43　． 【解题思路】利用已知关系式求出a，则2a+b＝2bbb﹣2，然后利用基本不等式即可求解． 【解答过程】解：因为ab+a+b＝3，所以a， 则2a+b＝2bb b﹣23＝4， 当且仅当，即b＝21时取等号，此时最小值为43， 故答案为：4． 15．已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|a+2≤x≤3a}． （1）当a＝2时，求A∩B； （2）若B⊆A，求实数a的取值范围． 【解题思路】（1）利用交集及其运算求解即可． （2）利用集合间的关系列出不等式组，求解即可． 【解答过程】解：（1）当a＝2时，B＝{x|a+2≤x≤3a}＝{x|4≤x≤6}， ∵A＝{x|2≤x＜4}， ∴A∩B＝∅． （2）若B⊆A， ①当B＝∅时，则a+2＞3a，∴a＜1， ②当B≠∅时，则，∴1≤a， 综上，实数a的取值范围为（﹣∞，）． 16．已知集合A＝{x|x2+2x+m＝0}，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由． 【解题思路】由题意知集合A有且仅有一个元素，再转化为方程x2+2x+m＝0有两个相同的根，利用判别式Δ＝22﹣4m＝0求解． 【解答过程】解：存在实数m满足条件，理由如下： 若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素， 即方程x2+2x+m＝0有两个相同的根， ∴Δ＝22﹣4m＝0，解得m＝1． ∴所有的m的值组成的集合M＝{1}． 17．（1）试比较（x+1）（x+5）与（x+3）2的大小； （2）已知﹣1＜2a+b＜2，3＜a﹣b＜4，求5a+b的取值范围． 【解题思路】（1）用作差法可解决此题； （2）根据不等式性质可解决此问题． 【解答过程】解：（1）因为（x+1）（x+5）﹣（x+3）2＝x2+6x+5﹣x2﹣6x﹣9＝﹣4＜0， ∴（x+1）（x+5）＜（x+3）2； （2）令5a+b＝λ（2a+b）+μ（a﹣b）＝（2λ+μ）a+（λ﹣μ）b． ∴解得∴5a+b＝2（2a+b）+（a﹣b）． ∵﹣1＜2a+b＜2，∴﹣2＜2（2a+b）＜4． 又3＜a﹣b＜4，∴1＜2（2a+b）+（a﹣b）＜8． 故5a+b的取值范围为（1，8）． 18．已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|a﹣4≤x≤a﹣1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【解题思路】由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件得集合A是B的真子集，即可求得答案． 【解答过程】解：由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件得集合A是B的真子集， ∴， ∴4≤a≤5， ∴实数a的取值范围为[4，5]． 19．已知实数a＞0，b＞0，a+2b＝2． （1）求的最小值； （2）求a2+4b2+5ab的最大值． 【解题思路】（1）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出； （2）利用a＝2﹣2b将a2+4b2+5ab＝﹣2（b）2，再利用二次函数求最大值即可得出． 【解答过程】解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+2b＝2， ∴， 当且仅当，即a＝b时等式成立， ∴的最小值为． （2）∵a＞0，b＞0，a+2b＝2， ∴a＝2﹣2b＞0，可得0＜b＜1， a2+4b2+5ab＝（2﹣2b）2+4b2+5（2﹣2b）b＝﹣2b2+2b+4＝﹣2（b）2， 当b时，a2+4b2+5ab有最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $