安徽省阜阳第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

**基本信息** 阜阳一中2025级10月月考数学卷以集合、函数、不等式为核心，通过错误情境分析（如第5题甲、乙同学解题偏差）、企业节水实际应用（第17题）及数表创新题（第19题），考查数学抽象、逻辑推理与应用意识，实现基础巩固与思维提升的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、充分必要条件、不等式性质|第8题定义新运算“|A-B|”，融合集合与方程根的分类讨论，考查数学抽象| |多选|3/18|集合容斥原理、函数性质、命题否定|第9题结合趣味运动会数据，用Venn图解决实际计数问题，体现数学应用| |填空|3/15|集合关系、命题真假、恒成立问题|第14题以函数不等式恒成立为载体，考查转化与化归思想| |解答|5/77|命题与集合、函数奇偶性、实际优化、数表创新|第19题定义数表“积”运算，探究行与列的关系，培养创新思维与逻辑推理|

安徽省阜阳第一中学2025级10月月考 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合或，，若，则实数的范围是 A． B． C． D． 2. 设集合A={0,-a},B={1,a−2,2a−2},若A⊆B,则a= A．2 B．1 C． D．−1 3. “”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 已知集合，，则中的元素个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 5. 已知集合, , 在求时, 甲同学将看成x+3y=-2，求得，乙同学因将看成，求得.若甲、乙同学求解过程正确，则 A． B． C． D． 6. 已知，，且，那么的最大值等于 A． B． C． D． 7. 若，则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． 8. 用表示非空集合A中的元素个数，定义．已知集合，，若，则实数a的取值不可能是 A． B．0 C．3 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，一共有28人参加比赛，其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有3人，同时参加球类和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则 A．同时参加跳远和跑步比赛的有4人 B．仅参加跳远比赛的有8人 C．仅参加跑步比赛的有7人 D．同时参加两项比赛的有10人 10. 下列命题中，假命题为（   ） A．命题“，”的否定是“，” B．与是同一个函数 C．函数的增区间为 D．函数的最小值是2 11. 已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合T，则下列选项正确的是 A． B． C． D．T中元素之和为0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，，若，，则 . 13. 若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是 . 14. 已知函数，.若对于任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. [13分]已知命题“”为真命题，记实数m的取值为集合A． (1)求集合A； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 16. [15分]已知集合，． (1)是否存在实数a，使命题“，”是真命题，是真命题？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由. (2)若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17. [15分]某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数为，预计安装后该企业每年需缴纳的水费(单位：万元)与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为(单位：万元). (1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； (2)设备占地面积为多少时，的值最小？ 18. [17分]已知，，且为偶函数. (1)求实数的值； (2)若方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 19. [17分]若m行n列的数表满足：，且，记这样的数表为．对于数表，定义为数表中第i行和第j行的积，其中，． (1)数表，直接写出的所有取值； (2)是否存在数表满足？若存在，写出一个这样的，若不存在，请说明理由； (3)若数表满足当时，，求m的最大值． 第 页，共 页 第 页，共 页 第 页，共 4 页 第 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 安徽省阜阳第一中学2025级10月月考 数 学 参考答案 1．【答案】A 【详解】①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：. 故选A 2．【答案】B 【详解】由题意知0∈B.当a−2=0时,即a=2,此时A={0,−2},B={1,0,2},A⊈B,不符合题意.当2a−2=0时,即a=1,此时A={0,−1},B={1,−1,0},满足A⊆B,所以a=1,故选B. 3．【答案】A 【详解】的解是，是集合的真子集，因此应是充分不必要条件． 故选：A． 4．【答案】C 【解析】由解得或因此中的元素个数为2,故选C. 5．【答案】A 【分析】确定且，得到，根据交集的概念联立方程解得答案. 【详解】根据题意：且，解得， 即， 由，解得， 故. 故选：A. 6．【答案】B 【解析】利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】由基本不等式可得，解得， 当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为. 故选：B. 7．【答案】C 【详解】对于A，因为，故，即，故A错误； 对于B，，无法判断，故B错误； 对于C，因为，，故C正确； 对于D，因为，故，即，故D错误． 故选C． 8．【答案】D 【详解】根据题意，已知，则， 又由，可知或3，即方程有1个根或3个根； 由，可得或， 若，可得或， 当时，，，符合题意； 当时，对应的根为0和，此时有两类情况： ①有两等根且根不为0和，由，解得， 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，符合题意． ②当是的根时，解得； 若，则，，符合题意； 若，则， ，符合题意． 综上，可得a可取的值为0，，． 故选D． 9．【答案】ACD 【解析】设同时参加跳远和跑步比赛的有人,由题意画出图,如图,则,解得,故A正确； 仅参加跳远比赛的人数为,故B错误； 仅参加跑步比赛的人数为,故C正确； 同时参加两项比赛的人数为,故D正确.故选. 10．【答案】ACD 【详解】对于A选项，命题“，”的否定是“，”，故A错误； 对于B选项，由，解得，故的定义域为， 由，解得，故的定义域为， 又，故B正确； 对于C选项，由，解得或， 其中在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 由复合函数单调性可知，的增区间为，故C错误； 对于D选项，因为，所以， 当且仅当时等号成立，无实数解，所以，故D错误. 故选ACD. 11．【答案】BCD 【详解】方程的判别式，故， 由，得或，由，可得或， 当时，两个一元二次方程的根都相同，由可知，此时必有两重根，所以，所以无实根，满足； 当时，由前述分析可知，此时，也即必有两个不同的解、， 所以有1个根或2个根但其中一个根为（不可能为方程的根）， 若有1个根，则，解得， 当时，的根为，与、不重复，共3根， 当时，的根为，与、不重复，共3根， 若有2个根，但其中一个根为时，将代入，解得，此时，，满足题意． 综上，， 对于AB，{−1,0,1}⊆，故A错误，B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，T中元素之和为，故D正确． 故选BCD． 12．【答案】 【详解】由题意得集合， 因为，，所以， 则，，解得，，所以. 故答案为： 13．【答案】 【分析】由题可知“，”是真命题，即恒成立，再分类讨论即得. 【详解】命题“，”是假命题， 命题的否定：“，”是真命题， 即恒成立， 当时，显然成立； 当时，则， 解得：， 综上，实数a的取值范围是. 故答案为：. 14．【答案】 【详解】对于任意恒成立， 故对于任意恒成立， 令，故只需， 令， 则， 其中在上单调递减，在上单调递增， 又， 故，所以， 所以. 故答案为： 15．【答案】(1) (2)实数a的取值范围为. 【详解】（1）依题意，关于x的不等式恒成立， 于是得，解得， 所以实数的取值的集合. （2）∵是的必要不充分条件，∴. ∴或， 得，所以实数a的取值范围为. 16．【答案】（1）不存在实数a，理由见详解； （2）或. 【详解】（1）不存在实数a使命题“，”是真命题，理由如下： 由于命题“，”是真命题，是真命题，所以， 则，无解 所以不存在实数a，使此命题是真命题. （2）由题知是成立的充分不必要条件，故A是B的真子集， ①当时，，解得，符合； ②当时，要使A是B的真子集，则或， 解得：或，即. 综上：或. 17．【答案】 （1） 【解】由题意得,（2分） 令,即,整理得,即, 所以解得,所以设备占地面积的取值范围为.（5分） （2） ,（9分） 当且仅当,即时等号成立,所以设备占地面积为15平方米时,的值最小.（12分） 18．【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）由，可知， 又为偶函数，所以有，即， 化简得，即， 所以，得. 经检验，当时，对任意成立，即满足为偶函数. 故所求的值为2. （2）由（1）可知，即方程有且只有一个实数解， 显然，所以上述方程可化为， 即方程有且只有一个实数解， 令且， 则关于的方程有且只有一个不为1和的正根， ， ①当时，. （i）若，则方程化为， 此时方程的解为，符合题意. （ii）若，则方程化为， 此时方程的解为，不符题意，故舍去. ②当时，需满足即解得. 当时，即1为方程的解时，. 当时. 所以当方程有两根，有且只有一个不为1和的正根时，. 综上可知，当或时，方程有且只有一个实数解. 19．【答案】（1） （2）不存在，理由见详解 （3） 【详解】（1）由给定数表， 则，且， 则； 当时， ； ； ； 且； ； ； 故的所有取值共有两个. （2）由题意知， ， 由，可知任意两行互异. 当时，， 由，则即第行的个数； 当时，即第两行所有列两项之积的和. 故由可知，即每行恰有两个； 且，即任意两行都没有同时为的列； 由数表共行列，每行中列中任选不同的列，这两项为，其余两项为； 而任意两行都没有同时为的列， 则行应有共个不同的列，其项都为，但数表仅列， 故不存在这样的数表. （3）由题意数表共行列，且任意两行互异. 当时，表示任意两行在至多列上同时为， 设第行中所有所在列数构成集合，， 则，，且. 下面首先考虑集合的元素个数小于等于的子集： ①空集：个，即对应列每列均为的一行； ②单元素集：个， 即对应2025列中恰列为的行，共行； ③双元素集：个， 即对应2025列中恰列为的行，共行； 故共有个这样的子集. 从上述所有集合构成的子集族中任取两集合， 若两集合中至少有一空集，则交集个数为； 若两集合中至少且一单元素集，则交集个数至多为； 若两个集合均为双元素集，则交集个数至多为. （假设交集个数为，则两集合相等，这与两行互异矛盾.） 故该子集族中任意两个子集互异，且交集元素的个数至多为， 即满足任意两行在至多列上同时为，该子集族满足题意. 假设还可添加其他子集至子集族中，则集合的元素个数至少为. 则中至少存在个双元素集合，使得， 即两集合的交集个数为，即必存在两行至少两列同时为，不满足题意； 故子集族中不能再添加其他元素，即其个数最大为. 下面证明：子集族是个数最多的子集族. 假设子集族不是个数最多的子集族， 设子集族为子集个数最多的子集族，其子集个数大于， 则也至少存在一个元集合，且，， 由于该元集合，则也将导致至少个所对应的双元素集不能存在， 删除该元集合，则可用对应的至少个这样的双元素集代替， 由与子集族中任意子集的交集元素个数都小于，则替换后依然满足条件. 因此，这样操作后的子集族中子集个数必超过原子集族的子集的个数， 而这与假设最多性矛盾，故得证. 综上所述，数表若满足当时，，则m的最大值为. 第 页，共 8 页 第 页，共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $