安徽省阜阳第一中学2025-2026学年高一上学期9月教学质量检测数学试题

**基本信息** 安徽阜阳一中2025级9月数学月考卷，聚焦集合、不等式核心知识，融入《几何原本》几何代数法等文化素材，通过基础运算、逻辑推理及创新探究题，分层考查数学抽象、逻辑推理素养，适配高一新生阶段性检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合运算、充分必要条件、不等式性质|第5题以《几何原本》无字证明考查基本不等式，体现数学文化| |填空题|3/15|集合补集、充分条件参数范围、数列不等式|第13题结合充分不必要条件考参数范围，强化逻辑推理| |解答题|5/77|集合关系、不等式恒成立、创新集合性质|第19题探究集合"性质P"，考查创新思维与数学表达|

安徽省阜阳第一中学2025级9月教学质量检测 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2. 设集合，则（    ） A． B． C． D． 3. 设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 5. 《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理,很多代数的定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示图形,点在半圆上,点在直径上,且,设,,可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（ ） A． B． C． D． 6. 若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 7. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 8. 不等式的解为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中的假命题为（    ） A．， B．集合与集合是同一个集合 C．“为空集”是“A与B至少一个为空集”的充要条件 D．命题p：．命题q：．则p是q的充分不必要条件 10. 已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式与的解集相同 11. 若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集S.n数集S中含有m（）个元素的子集，称为S的m子集.若在n数集S的任何一个t（）子集中，存在4个不同的数a，b，c，d，使得，则称该S的t子集为S的等和子集.下列结论正确的是（    ） A．3数集A有6个非空真子集 B．4数集B有6个2子集 C．若集合，则C的等和子集有2个 D．若集合，则D的等和子集有24个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设全集，集合，则实数 . 13. 已知命题，，如果命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 . 14. 在数列中，，为的前项和，关于的方程有唯一解，若不等式，对任意的恒成立，则实数的取值范围为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. [13分]已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的取值范围． 16. [15分]在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的实数存在，求的取值范围；若问题中的实数不存在，请说明理由． 已知集合，，是否存在实数，使得 ？ 17. [15分]已知不等式． (1)若，使不等式恒成立，求的取值范围； (2)若，使不等式能成立，求的取值范围； (3)是否存在实数，使不等式对恒成立．若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由． 18. [17分]已知a，b为正实数． (1)证明：； (2)若，求的最小值． 19. [17分]已知集合，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质． (1)当时，试判断集合和是否具有性质，并说明理由； (2)当时，若集合具有性质， ①判断集合是否一定具有性质，并说明理由； ②求集合中元素个数的最大值． 安徽省阜阳第一中学2025级9月教学质量检测 数 学 参考答案 1．【答案】B 【解析】解：，由，即，解得， 所以， 所以， 所以图中阴影部分为； 故选：B 2．【答案】B 【解析】∵集合， ， ∴. 故选B. 3．【答案】A 【解析】将不等式可化为，解得； 等价，解得； 所以可得“”可以推出“”，即充分性成立； 而“”时也可能“”，推不出“”，因此必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．【答案】C 【解析】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 5．【答案】C 【解析】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得.，.故选. 6．【答案】C 【解析】因为，， 根据不等式的性质 则，，A、B错误； ，所以，C正确； ，所以，D错误. 故选C 7．【答案】D 【解析】若，，则， 令，， 因为， 所以在上单调递增，所以的最大值是， 故，则的一个必要不充分条件是，故D正确； 、、均为命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，故A、B、C错误. 故选D． 8．【答案】B 【解析】解：等价于 ∴，即：，解得：. 所以不等式的解为 故选：B. 9．【答案】BCD 【解析】A选项，当时，，故，，A为真命题； B选项，集合与集合不是同一个集合，B为假命题； C选项，不妨设，此时“为空集”，但不满足“A与B至少一个为空集”，故充分性不成立，C为假命题； D选项，，解得或，不妨设，满足，但不能推出．则p不是q的充分条件，D为假命题. 故选BCD. 10．【答案】AB 【解析】因为关于的不等式的解集为或， 所以和为方程的两根，所以，解得， 故A正确，B正确； 不等式即，所以，即， 解得或，所以不等式的解集为，故C错误； 不等式等价于，解得或，故不等式的解集为或，故D错误. 故选AB. 11．【答案】ABD 【解析】3数集A有个非空真子集，A正确. 假设， 则B的2子集有，，，，，，共6个，B正确. C的等和子集有，，，共3个，C错误. 因为，，，所以在D中， 只有，两组符合条件的等式.在D的4子集中， D的等和子集有，，共2个； 在D的5子集中，D的等和子集有，，，，，，，共7个； 在D的6子集中，D的等和子集有，，，，，，，，，共9个； 在D的7子集中，D的等和子集有，，，，，共5个； 在D的8子集中，D的等和子集有，共1个. 综上，D的等和子集有个，D正确. 故选：ABD. 12．【答案】 【解析】由且，则， 当，则，不满足集合元素的互异性； 当，此时，满足题设； 综上，. 故答案为： 13．【答案】 【解析】解，即可得，或. 设，或， 则由命题p是命题q的充分不必要条件， 可知，所以有. 故答案为：. 14．【答案】 【解析】设函数，该函数的定义域为， 因为， 则函数为偶函数，因为方程有唯一解，则， 所以，且，故数列是以为公差和首项的等差数列， 故，，由题意可得. 若为奇数，则，因为，当且仅当时，等号成立， 所以，，可得； 若为偶数，则，令，则，， 当时，,， 且数列中的偶数项从开始单调递增，因为，此时. 综上所述，. 故答案为：. 15．【答案】(1)；(2) 【解析】（1） 解：∵，∴， 当时，即时， 解得，此时满足题意， 当时，即时， 解得， 则，解得，即； 综上所述m的取值范围为； （2）解：因为， ①时，，解得； ②时，，此时满足条件的m不存在； ③时，，解得， 综上得，m的取值范围为． 16．【答案】答案见解析 【解析】 方案一   选择条件①． 易知． 由，得 当时，，解得； 当时，或，解得． 综上，存在实数，使得，且的取值范围为 方案二   选择条件②． 易知 由，得，无解， 所以不存在实数，使得． 方案三   选择条件③． 由，可知． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，存在实数，使得，且的取值范围为． 17．【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【解析】（1）当时，不等式为，可得，不符合题意； 将不等式化为：，由于，不等式恒成立， 所以解得：， 所以的取值范围是. （2）因为，使不等式能成立， 也即，使得成立， 令，则， 则， 当时取等号，所以 （3）可化为， 若不等式对恒成立，因为， 所以也即，无解. 故不存在. 18．【答案】(1)证明见解析； (2). 【解析】（1） ， 因为，所以，当且仅当时取等号，又， 所以， 即； （2）法一：因为，，， 即， 所以， 所以 ． 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为； 法二：因为，，， 即，所以， 令，则， ， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为． 19．【答案】（1）不具有性质，具有性质，理由见解析； （2）①具有性质，理由见解析 ；② 【解析】（1）当时，集合，，. 因为对任意不大于的正整数，都可以在中找到两个元素与，使得成立，所以不具有性质. 令，则中任意两个元素都有，所以具有性质. （2）当时，. ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质. 对中任意两个元素，存在，使得，， 则. 因为具有性质，所以存在不大于的正整数，使得， 所以集合具有性质. ②设集合有个元素，由①得，集合具有性质. 任取，则，与中必有一个不超过， 所以集合与集合中必有一个至少存在一半元素不超过， 不妨设中有个元素不超过，分别记为. 由集合具有性质，得存在正整数，使得对中任意两个元素 ，都有， 所以都不是中的元素， 又， 所以都是中的元素，即集合中至少有个元素不在子集中， 所以，所以，解得. 令，， 则集合中的任意两个元素，都有， 所以集合具有性质， 因为集合中有个元素， 所以集合中元素个数的最大值为． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $