第09讲 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以二倍角公式及降幂公式为核心，通过“知识梳理-题型精讲-分层精练”体系，系统构建公式应用方法，培养数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|2知识点+3即学即练|公式推导与直接应用|从二倍角公式到降幂公式的转化| |题型精讲|5题型（含典例+变式）|给角求值、条件求值、拼凑角等技巧|题型与公式应用场景对应| |题型精练|3层次（A10/B5/C5）|基础巩固到综合应用|难度递进，覆盖高频考法|

第09讲 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第2课时：二倍角的正弦、余弦、正切公式 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②；； ③ 【即学即练1】（24-25高一下·江西宜春·期末）计算______． 【答案】/ 【分析】利用二倍角的正弦公式化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 【即学即练2】（2026高三·全国·专题练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：利用降幂公式运算求解即可；解法二：利用诱导公式可得，结合倍角公式运算求解. 【详解】解法一：． 解法二：， 所以． 故选：B. 知识点02：降幂公式 ① ② 【即学即练3】（25-26高三上·广西·阶段检测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：由二倍角余弦公式有，即可得；法二：由及二倍角余弦公式，即可得. 【详解】法一：由，则， 法二：由，则， . 故选：A． 第三部分 题型精讲 题型01利用二倍角公式解决给角求值问题 【典例1】（2024·安徽·模拟预测）（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用诱导公式以及倍角公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 【典例2】（23-24高一下·江苏南通·阶段检测）（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】采用构造二倍角的正弦公式的方法将原式变形为，再利用二倍角公式的正弦公式化简求值. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查利用二倍角的正弦公式进行化简求值，对学生转化与计算能力要求较高，难度一般. 【变式1】的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可. 【详解】原式. 故选：A 【变式2】（26-27高三上·辽宁·开学考试）（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 【变式3】（2026高一·全国·专题练习）求值：_________． 【答案】 【分析】方法一：根据正弦的二倍角公式可得原式，结合诱导公式求解； 方法二：令原式乘以，再结合正弦二倍角公式求解即可． 【详解】方法一：原式 ； 方法二：令原式乘以得， ， 则原式． 故答案为：. 题型02 利用二倍角公式求角 【典例1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和的正切公式可求出的值，可得出的取值范围，并求出的取值范围，即可得出的取值范围，利用二倍角的正切公式以及两角差的正切公式求出的值，即可得出的值. 【详解】因为，， 所以， 又因为、，所以，， 则，，所以， 因为， 所以，故. 故选：B. 【典例2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）（1）已知．求的值． （2）已知，且，，求的值． （3）已知，，且．求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）由两角和的正切公式先得，利用诱导公式结合齐次式可得； （2）由同角三角函数关系得，，再由可得； （3）利用同角三角函数关系和倍角公式可得，利用可得，进而可得. 【详解】（1）由题意得， ； （2）因且，故， 因，故，故， . （3）因，故，又，故，故， ， 故，故， 故， 又，故. 【变式1】若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的正切值及的取值范围，即可得出的值. 【详解】因为，，则， 又因为，则， 由二倍角正切公式可得， 所以，， 因为，，则，即， 因此，. 故选：B. 【变式2】（23-24高三上·福建三明·阶段检测）已知，均为锐角，，，则______，______. 【答案】 【分析】根据二倍角的余弦公式即可求出，先确定的范围，再求出的正弦值即可. 【详解】因为， 所以， 又因，均为锐角，所以，则， 所以，所以，， 又因，所以， 则， 所以. 故答案为：；. 【变式3】已知，，，． (1)求的值； (2)求的值，并确定的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过条件求出，，再利用两角差的余弦公式计算即可； （2）通过（1）求出，，再利用两角差的正切公式计算即可. 【详解】（1），，，， ，， ； （2）由（1）得，，， ， 由，得， . 题型03 利用二倍角公式解决条件求值问题 【典例1】（25-26高一下·湖南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角公式及诱导公式求解即可. 【详解】由题意得 . 【典例2】（26-27高三上·河北衡水·开学考试）已知，则___________． 【答案】 【分析】由三角函数的诱导公式求解． 【详解】 【变式1】（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知，，则_________． 【答案】 【详解】可知， 因为，可知，因为，所以， 所以，所以， 可知. 【变式2】（25-26高二下·陕西西安·期中）已知，则______． 【答案】 【详解】 . 【变式3】（26-27高三上·云南·开学考试）已知，则_____． 【答案】 【详解】因为，所以． 因为，所以， 所以． 题型04 二倍角中的拼凑角问题 【典例1】（25-26高一下·江西·期末）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角恒等变换，利用换元法将目标角转化为已知角的二倍角，再用二倍角公式计算. 【详解】设 ，则 . 又因为 ， 所以 因此 由倍角公式， 【典例2】（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过凑角的方法，将未知角转化为已知角，利用三角函数关系计算即可． 【详解】因为， 且， 所以． 【变式1】（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ． 【变式2】（2026·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知，则的值是______． 【答案】 【分析】根据二倍角公式求解即可. 【详解】设 ，则，且. 则. 【变式3】（25-26高一下·甘肃临夏·期中）已知，则______． 【答案】 / 【详解】注意到，令，已知， 由二倍角公式，代入得. 题型05 二倍角公式与数学文化的结合 【典例1】古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示.若实数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据二倍角公式化简，再代入运算，即可求解. 【详解】， ， 因为，，， 所以， 所以的值为. 故选：D 【典例2】（24-25高一上·湖南张家界·期末）公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如，等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科. (1)记，试写出此三倍角公式的具体内容，并证明； (2)若角满足，求的值； (3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值. 【答案】(1)，证明如下： . (2) (3) 【分析】（1）根据关系结合两角和余弦公式展开，再利用二倍角公式及平方关系化简可得结论； （2）由条件结合（1）可求，再通过三角恒等变换化简，并结合同角关系求结论； （3）根据，结合（1）及二倍角正弦公式和同角关系化简等式，解方程求，由此可得结论. 【详解】（1）略 （2）由（1）及已知得：解得：， 又 . 由得：， . （3）即 两边除去得：即 化简得：，解得：（负舍） 由题意知黄金分割值为. 【变式1】古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，记，则（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先将代入化简，最后利用诱导公式、倍角公式求解即可 【详解】因为， 所以， ， 所以 ， 故选：D 【变式2】（25-26高一下·上海·期中）17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由5个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金三角形中，．根据这些信息，可得______. 【答案】 【详解】由题意可知，在中，可得， 于是， 则. 【变式3】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然，更舒适．“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点．若照片长、宽比例为4：3，设，则______．    【答案】 【分析】根据题意可得，然后结合二倍角公式及同角三角函数关系可求得结果. 【详解】由题意得， 所以， 所以 ， 故答案为：. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知，，则的值（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】将两边平方，得，所以. 因为且，所以，即，所以. ，且，所以. 于是，，. 所以. 2．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的诱导公式以及二倍角公式计算即可. 【详解】. 3．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，则， 则，解得. 4．（26-27高一上·全国·课后作业）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 5．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：直接利用已知式及平方关系列方程组求的值． 方法二：利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】方法一：由已知及平方关系，得方程组， 注意，因此， 解这个方程组，得． 方法二：由，得． 又，有，所以， 又，得，即， 又，，， ． 6．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又因为，即，即，所以. 7．（多选）（23-24高一下·山东威海·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】化简条件得，对于A，利用诱导公式化简判断；对于B，利用诱导公式化成同角，再逆用二倍角公式即得；对于C,先逆用二倍角公式，再用诱导公式即得；对于D，将化成后，必须通过同角的三角基本关系式化成正弦和余弦,代值即得. 【详解】由，得， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 8．（多选）下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，由正余弦的二倍角公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：ACD 9．（26-27高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知，则_________ 【答案】 【分析】将已知等式两边平方，结合同角三角函数的平方关系与二倍角的正弦公式求解. 【详解】已知，将等式两边同时平方，可得 因为， 因此有， 则 . 10．（25-26高一下·江苏连云港·期中）若，则_____. 【答案】/ 【详解】. B能力提升 1．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，利用诱导公式及二倍角公式求值. 【详解】因为，所以 . 2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，因为，所以， 所以 3．（24-25高一上·山西阳泉·期末）若，则的值为_______ 【答案】 【分析】利用二倍角的余弦公式求解. 【详解】因为， 所以， . 4．（25-26高一下·山东日照·阶段检测）已知，则______. 【答案】/ 【分析】根据诱导公式及二倍角余弦公式求解即可. 【详解】因为，所以. 所以. 5．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知，为锐角，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦的二倍角公式求解； （2）将角拆成，利用两角和的正弦公式求解. 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为为锐角，， 所以， 因为，所以， 又，所以， 所以 ． C综合素养 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）按要求计算： (1)求值：． (2)已知，且，求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）先把切化弦，利用辅助角求出，用降幂计算分母后约分，进而求解； （2）根据角的范围判断三角函数符号，利用同角平方关系求其余三角函数值，配凑目标角用余弦差角公式及二倍角计算求解． 【详解】（1）原式＝ ＝ ＝＝2． （2）因为， 所以， 所以cos＝＝， sin＝＝， 所以cos＝cos ＝coscos＋sinsin ， 所以． 2．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，且； (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的平方关系和倍角公式进行求解. （2）由及的范围求出的值，将凑成，即可根据两角差的余弦公式展开求解. 【详解】（1）因为，且， 所以. 所以. （2）因为，所以. 又因为，所以. 所以. 所以 . 3．（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）已知，均为锐角，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由及，均为锐角，可得； （2）法1：求解； 法2：设，由求解. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 所以，     因为，所以， 所以． （2）法1：由（1），所以， 所以，即． 因为，且， 所以，     ， 所以．     法2：设，因为，所以． 因为，所以． 因为， 所以 ， 所以. 4．（25-26高一下·江西赣州·期末）已知为锐角，为钝角且，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合条件求出，利用同角的平方关系和商数关系即可求解； （2）利用同角的平方关系和商数关系求出，结合二倍角的正切公式求出，最后利用两角差的正切公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，即， 又且为锐角，解得； 所以； （2）由（1）可求得， 因为为钝角，又，所以， 所以，. 5．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，，且，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过角的配凑，结合同角三角函数基本关系、二倍角公式、两角差的余弦公式计算即可得； （2）通过角的配凑，结合同角三角函数基本关系、两角差的余弦公式计算即可得. 【详解】（1） 由得，故， 则 ； （2），则， 即有， 故，又，则，， 则， 故，即有、， 由，，则， 则， 则 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第2课时：二倍角的正弦、余弦、正切公式 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②；； ③ 【即学即练1】（24-25高一下·江西宜春·期末）计算______． 【即学即练2】（2026高三·全国·专题练习）（    ） A． B． C． D． 知识点02：降幂公式 ① ② 【即学即练3】（25-26高三上·广西·阶段检测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 第三部分 题型精讲 题型01利用二倍角公式解决给角求值问题 【典例1】（2024·安徽·模拟预测）（    ）． A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一下·江苏南通·阶段检测）（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式1】的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27高三上·辽宁·开学考试）（    ）． A． B． C． D． 【变式3】（2026高一·全国·专题练习）求值：_________． 题型02 利用二倍角公式求角 【典例1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）（1）已知．求的值． （2）已知，且，，求的值． （3）已知，，且．求的值． 【变式1】若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高三上·福建三明·阶段检测）已知，均为锐角，，，则______，______. 【变式3】已知，，，． (1)求的值； (2)求的值，并确定的大小． 题型03 利用二倍角公式解决条件求值问题 【典例1】（25-26高一下·湖南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（26-27高三上·河北衡水·开学考试）已知，则___________． 【变式1】（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知，，则_________． 【变式2】（25-26高二下·陕西西安·期中）已知，则______． 【变式3】（26-27高三上·云南·开学考试）已知，则_____． 题型04 二倍角中的拼凑角问题 【典例1】（25-26高一下·江西·期末）若，则（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知，则的值是______． 【变式3】（25-26高一下·甘肃临夏·期中）已知，则______． 题型05 二倍角公式与数学文化的结合 【典例1】古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示.若实数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·湖南张家界·期末）公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如，等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科. (1)记，试写出此三倍角公式的具体内容，并证明； (2)若角满足，求的值； (3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值. 【变式1】古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，记，则（   ）. A．2 B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·上海·期中）17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）．例如，五角星由5个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金三角形中，．根据这些信息，可得______. 【变式3】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然，更舒适．“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点．若照片长、宽比例为4：3，设，则______．    第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）已知，，则的值（     ） A． B． C． D．或 2．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，则（ ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·全国·课后作业）若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（23-24高一下·山东威海·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选）下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 9．（26-27高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知，则_________ 10．（25-26高一下·江苏连云港·期中）若，则_____. B能力提升 1．（26-27高三上·云南昭通·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山西阳泉·期末）若，则的值为_______ 4．（25-26高一下·山东日照·阶段检测）已知，则______. 5．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知，为锐角，，． (1)求的值； (2)求的值． C综合素养 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）按要求计算： (1)求值：． (2)已知，且，求的值． 2．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，且； (1)求的值； (2)若，求的值． 3．（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）已知，均为锐角，． (1)求的值； (2)若，求的值． 4．（25-26高一下·江西赣州·期末）已知为锐角，为钝角且，. (1)求的值； (2)求的值. 5．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，，且，． (1)求的值； (2)求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $