第08讲 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第1课时）讲义（知识清单+14类热点题型讲练+分层强化训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”核心知识点，通过思维导图构建知识框架，系统梳理公式表达式、简记符号及适用条件，设置即学即练搭建从公式理解到初步应用的学习支架。 资料以14类题型精讲为亮点，涵盖公式正逆用、化简求值及求角等场景，典例与变式结合，分层设计夯实基础与能力提升练习。通过具体问题培养学生数学思维中的推理能力和运算能力，课中辅助教师高效教学，课后助力学生自主复习查漏补缺。

第08讲 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 【即学即练1】（25-26高一下·内蒙古呼和浩特·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设结合同角三角函数关系，两角和的余弦公式可得答案. 【详解】因，则，结合，可得. 因，则. 则 知识点02：两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 【即学即练2】（26-27高三上·陕西宝鸡·开学考试）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用同角三角函数关系及两角和正弦公式计算求解. 【详解】， . 知识点03：两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 【即学即练3】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逆用正切的和差公式与特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】依题意. 第三部分 题型精讲 题型01 已知两角的正弦，余弦求和差角的余弦 【典例1】（25-26高二下·福建福州·期末）已知，，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为， 所以，， ，，则，， 因此. 【典例2】已知角的终边过点，且． (1)求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的定义即可得解； （2）利用三角函数的平方关系与余弦函数的和差公式即可得解. 【详解】（1）因为角的终边过点，， 所以，解得， 则，． （2）因为，， 所以， 则 【变式1】（25-26高一下·甘肃定西·期中）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用同角三角函数关系求出，再应用两角差余弦公式计算求解. 【详解】已知， 则， 则 【变式2】（24-25高一下·四川德阳·阶段检测）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数基本关系可求得，，再结合两角差的余弦公式即可求解. 【详解】由，，得，同理，，可得， 所以. 故选：A. 题型02 （）的余弦值 【典例1】（25-26高一上·广东广州·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，再根据两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为. 故选：C 【典例2】______，_______. 【答案】 【分析】把105°拆成60°+45°，用诱导公式转化为，再把15°拆成60°- 45°，用和差角的余弦公式展开计算即可. 【详解】 故答案为：； 【点睛】非特殊角如果可以拆成特殊角的和差，就可以利用和差角公式求其对应的三角函数值. 【变式1】cos 255°的值是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式化简可得，然后根据两角和的余弦公式，即可得出答案. 【详解】因为. 故选：C. 【变式2】的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为两角和的余弦公式求解. 【详解】 . 故选：C 【变式3】（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用诱导公式得，结合两角差的余弦公式可计算出结果. 【详解】. 故选：A. 【点睛】本题考查利用诱导公式和两角差的余弦公式求值，考查计算能力，属于基础题. 题型03 用和差角的余弦公式化简、求值 【典例1】（26-27高三上·黑龙江·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 又，所以，得， 由【典例2】（26-27高一上·全国·课堂例题）按要求计算： (1)求值：． 【答案】(1)2 【详解】（1）原式＝ ＝ ＝＝2． 【变式1】（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）求值： ． 【答案】 【详解】原式. 【变式2】（24-25高一下·江西南昌·期中）求值： ． 【答案】 【详解】 ， , ． 【变式3】（23-24高一下·江西宜春·期末）化简求值： ； 【答案】1 【详解】 . 题型04逆用和差角的余弦公式化简、求值 【典例1】的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逆用两角和的余弦公式计算求解. 【详解】. 【典例2】（25-26高一下·江苏徐州·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 【变式1】（25-26高一下·甘肃兰州·期中）的值为______． 【答案】/ 【分析】利用诱导公式统一角度，再根据余弦的两角和公式进行计算． 【详解】 【变式2】（24-25高一上·湖南湘潭·期末）的值为__________． 【答案】 【分析】逆用两角差的余弦公式化简求值. 【详解】． 故答案为：. 【变式3】（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式 ； （2）原式． 题型05利用和差角的余弦公式求角 【典例1】已知，若，，则_____． 【答案】 【分析】根据已知有、，再由平方关系及差角余弦公式求，即可得角的大小. 【详解】，， ，， ，， ，又， . 【典例2】（25-26高一下·北京·期中）若，并且均为锐角，且，则________． 【答案】/ 【分析】由题意知，，，进而得，，再根据，结合余弦差角公式求得，最后根据余弦函数性质即可求得答案. 【详解】因为均为锐角，且，即， 所以，，， 所以 因为， 所以， ， 所以， 因为， 所以 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）若，，α，β均为锐角，且，则的值为____． 【答案】 【详解】，，，且， ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)换元转化已知角，通过二倍角运算得到倍角的三角函数值，再利用差角公式配凑求出； (2)建立目标角与已知角的关系，利用和角公式求出中间角，结合角度范围确定具体值后得到. 【详解】（1）令，由得，，， ，， ，. （2）令，由得，，， ，， 又， 所以，. 【变式3】（25-26高一下·四川达州·期中）设，且，求角的值. 【答案】 【详解】因为，且， 可得， 因为，可得， 所以， 又因为，所以. 题型06已知两角的正弦，余弦求和差角的正弦 【典例1】（25-26高一下·四川成都·期中）已知，，，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数值的关系求，，再结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，，， 则，， 所以. 【典例2】（25-26高一上·广东惠州·期末）已知，知都是锐角，且，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用同角三角函数关系计算得出，，再应用两角和正弦公式计算求解. 【详解】因为，都是锐角，则，， 则. 故选:D. 【变式1】（25-26高一下·北京海淀·期中）已知为锐角，，是第四象限角，，则__________. 【答案】 【详解】因为为锐角，， 所以， 又因为是第四象限角，， 所以， 所以. 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且，则__________. 【答案】 【分析】根据题干条件，结合同角三角函数的关系可得，的值，根据两角和的正弦公式，化简整理即可得答案. 【详解】∵，，∴. 又∵，∴， ∴， ∴ . 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，，且为第一象限角，为第二象限角，求的值． 【答案】 【分析】根据同角关系可得，，即可根据正弦的和角公式求解. 【详解】因为为第一象限角，为第二象限角，，，所以，， 所以． 题型07（）的正弦值 【典例1】（23-24高一下·辽宁·期末） （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据利用两角和的正弦公式计算可得. 【详解】 . 故选：D 【典例2】计算下列三角比的值. __________；        __________. 【答案】 【分析】根据利用两角和与差的正弦公式转化为特殊角的三角函数计算. 【详解】 =； =； 故答案为：；. 【变式1】计算（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】将看成，根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简计算，即可得出答案. 【详解】. 故选：D． 【变式2】________． 【答案】 【分析】先利用诱导公式得，再利用两角和的正弦公式求解. 【详解】 ． 故答案为： 【变式3】____. 【答案】/ 【分析】拆成特殊角，利用两角和差公式求解 【详解】由题 故答案为： 题型08用和差角的正弦公式化简、求值 【典例1】（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）求值：（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先利用诱导公式处理，，再分别对分子、分母应用两角差的正弦公式、二倍角正弦公式进行处理，代入原式后即可求解． 【详解】由诱导公式，可知，． 对于分子， ； 对于分母，． 由于，故． 【典例2】（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）化简求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用切化弦，结合诱导公式得到，再利用辅助角公式得到，然后进行约分即可；（2）利用进行等量代换，再利用两角和的正弦公式将展开为，最后化简约分后即可求得原式. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简求值； （2）根据两角和的正弦公式及诱导公式化简即可求值. 【详解】（1） . （2） . 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）化简： (1)； (2). 【答案】(1)； (2)1. 【分析】（1）先用两角和的正余弦公式展开化简得到答案； （2）先把角变换结合两角差的正余弦公式展开化简得出答案； 【详解】（1） （2） 题型09利用和差角的正弦公式求角 【典例1】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知锐角，满足，，求的值． 【答案】 【分析】首先利用同角三角函数基本关系式以及两角差的正弦公式求，再根据角的范围，即可求解. 【详解】由，，且，可知，，． ． 又，，，． 【典例2】（23-24高三上·福建泉州·阶段检测）已知，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且.求 (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用三角函数定义即可求得，再由诱导公式代入计算即可得出结果； （2）利用（1）中的三角函数值以及角的范围可求出，即可得. 【详解】（1）由，可得， 根据三角函数定义可知， 所以， 即； （2）由且可知， 又，可得； 所以， 可得. 【变式1】（23-24高三上·河南南阳·阶段检测）已知，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求角的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据同角平方关系即可求解； （2）根据和角余弦公式求解，再根据倍角余弦公式即可求解； （3）先根据差角正弦公式求解，再结合角的范围即可求解. 【详解】（1）因为，所以.又，所以， 所以. 而，所以， 所以. （2）由且，得， 所以 . 又，所以. （3）由（2）知，所以， 所以. 又，所以， 所以. 【变式2】已知角终边过点，，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据三角函数的定义，结合余弦二倍角公式进行求解即可； （2）根据（1）的结论，结合两角和的正弦公式进行求解即可. 【详解】（1）根据三角函数的定义，因为角终边上有一点， 所以，，即，所以； （2）由且，得，所以. 由（1）知，所以. 又因为，，所以， 所以，且， 因为. 所以. 题型10已知两角的正弦，余弦求和差角的正切 【典例1】（25-26高一上·山东济南·阶段检测）已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据两角差的正切公式得出． 【详解】因为，， 所以，所以， 又， 所以， 故选：B． 【典例2】（25-26高一下·江苏南京·期中）若，则__________. 【答案】-3 【详解】由， 则. 【变式1】（25-26高一下·上海闵行·期中）已知为第二象限角，，则__________. 【答案】 【详解】因为为第二象限角，由可得， 所以，则. 【变式2】若，，则___________. 【答案】 【分析】利用正切两角和的公式进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故答案为： 【变式3】已知为第二象限角，，为第一象限角，. (1)求的值. (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出，，再根据两角和的正弦公式计算可得； （2）首先求出，，即可求出，最后根据两角差的正切公式计算可得. 【详解】（1）因为为第二象限角，，为第一象限角，， ∴，， ∴. （2）由（1）得，，， ∴， ∴ 题型11（）的正切值 【典例1】（23-24高一下·四川内江·阶段检测）（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，利用两角差的正切公式计算可得. 【详解】 . 故选：D 【典例2】（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角和的正切公式计算可得； 【详解】解： 故选：B 【变式1】（23-24高三上·江苏淮安·开学考试）的值为___________． 【答案】/ 【分析】利用诱导公式结合两角差的正切公式可求得的值. 【详解】 . 故答案为：. 【变式2】（2026高一·全国·专题练习）求的值． 【答案】 【详解】． 题型12用和差角的正切公式化简、求值 【典例1】（25-26高一下·湖北·期中）（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解析：. 【典例2】（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据两角和的正切公式化简求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故. 故选：A. 【变式1】（24-25高一下·四川雅安·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，结合两角差的正切公式即可求得答案. 【详解】由于， 故， 则， 故选：A 【变式2】（2026·广东汕头·二模）的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据结合两角和差的正切公式运算求解. 【详解】因为， 整理可得. 【变式3】（2025高一上·全国·专题练习）____________． 【答案】1 【分析】该题考查三角恒等变换公式，运用相应的公式即可求解. 【详解】， ， 即． 故答案为：1. 题型13逆用和差角的正切公式 【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】逆用两角差的正切公式进行求解即可. 【详解】. 故选：A 【典例2】求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用正切的和角公式逆用可解． （2），然后利用正切的和角公式逆用可解． 【详解】（1）． （2）因为，所以． 【变式1】（25-26高一下·全国·课堂例题）（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由两角差的正切公式计算. 【详解】． 故选：A. 【变式2】（25-26高一下·河北·阶段检测）__________． 【答案】 【详解】 ． 【变式3】（25-26高一下·全国·课堂例题）____________． 【答案】/ 【分析】根据两角差的正切公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 题型14利用和差角的正切公式求角 【典例1】（23-24高三上·山西太原·期末）已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，然后结合角范围可得． 【详解】由已知， ，∴． 故选：C． 【典例2】若、为锐角，，，则角______． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系式求得，然后利用两角差的正切公式结合条件即得. 【详解】由于为锐角，所以， 所以，， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式1】若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的正切公式求值. 【详解】.且，， 所以，， 又，. 故选：A 【变式2】已知，则________ 【答案】 【分析】根据已知条件及两角和的正切公式，再结合角的范围即可求解. 【详解】， ， ， 所以. 故答案为： 【变式3】已知，，，则__________. 【答案】 【分析】根据角的范围以及同角三角函数的基本关系可得，由，利用两角和差的正切公式可得，运算求得结果，然后根据角的范围求得结果． 【详解】解： ， ， ． 由，则， ，则 则，则， 故答案为：. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 2．（26-27高三上·河北衡水·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以 ． 3．（2026高一·全国·专题练习）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由两角和的正切公式得， ，，故B正确. 4．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 5．（2026高三·全国·专题练习）已知，则的值应是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且， 即，解得. 6．（25-26高一下·北京昌平·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以原式. 7．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 8．（多选）（25-26高三上·福建·阶段检测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用诱导公式判断A，利用两角差的正切公式判断B，利用二倍角公式判断C，利用两角和的正切公式判断D. 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：因为，， 所以，故B正确； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为、， 所以，故D正确. 故选：BD 9．（25-26高一下·江西抚州·期中）______； 【答案】/ 【分析】借助诱导公式与两角差的余弦公式计算即可得. 【详解】，， 故 . 10．（25-26高一下·重庆綦江·期中）已知为锐角，，则__________． 【答案】 【分析】借助同角三角函数基本关系及两角差的正弦公式计算即可得. 【详解】由，为锐角，则， 由为锐角，则，又，故， 则， 故 ， 又为锐角，故. B能力提升 1．（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知同角一个三角函数值，先利用平方关系求出另外一个三角函数，再代入两角和差公式计算；（2）算出，后代入代数式，根式项恰好抵消，直接化简求值. 【详解】（1）因为，且，所以， 因为，且，所以， 因此，. （2）由（1）知，，，， 则， ， 所以. 2．（25-26高一下·广东中山·期末）求值： (1)； (2)； (3)已知，均为锐角，且，，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两角和的正切公式化简求值即可. （2）利用同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式求解即可. （3）利用同角三角函数的基本关系求出，，再结合两角差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 整理可得； （2）由题意得 . （3）已知，均为锐角，且，， 所以，， ，， ， 因为，所以，． 3．（25-26高一下·甘肃酒泉·期末）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据诱导公式，结合余弦二倍角公式进行求解即可； （2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可； （3）根据两角和正弦公式、辅助角公式，结合同角的三角函数关系式、两角差的余弦公式进行求解即可. 【详解】（1） ； （2） （3） ， 因为，所以， 所以， 所以 . 4．（25-26高一下·陕西渭南·期末）（1）若，，，，求； （2）若，，且，，求． 【答案】 ；（2） 【分析】（1）将角变为，利用两角差的余弦公式求解； （2）将角用表示，利用诱导公式转化为两角和的正弦公式求解. 【详解】（1） 因为，，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. （2）因为 ，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以 . 5．（25-26高一下·广西钦州·期末）已知，且. (1)求的值； (2)已知，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方关系求出，再利用诱导公式化简求值即可； （2）利用平方关系求出，将表示为，再利用差角的正弦公式计算即可. 【详解】（1）因为，且，所以，   所以 ； （2）因为，，所以， 又，所以，     由（1）知，，，   所以 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 【即学即练1】（25-26高一下·内蒙古呼和浩特·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 知识点02：两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 【即学即练2】（26-27高三上·陕西宝鸡·开学考试）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 知识点03：两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 【即学即练3】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）（     ） A． B． C． D． 第三部分 题型精讲 题型01 已知两角的正弦，余弦求和差角的余弦 【典例1】（25-26高二下·福建福州·期末）已知，，若，，则（     ） A． B． C． D． 【典例2】已知角的终边过点，且． (1)求的值； (2)若，，求的值． 【变式1】（25-26高一下·甘肃定西·期中）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·四川德阳·阶段检测）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型02 （）的余弦值 【典例1】（25-26高一上·广东广州·期末）（   ） A． B． C． D． 【典例2】______，_______. 【变式1】cos 255°的值是 （    ） A． B． C． D． 【变式2】的值为（    ） A． B． C．D． 【变式3】（    ） A． B． C． D． 题型03 用和差角的余弦公式化简、求值 【典例1】（26-27高三上·黑龙江·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（26-27高一上·全国·课堂例题）按要求计算： (1)求值：． 【变式1】（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）求值： ． 【变式2】（24-25高一下·江西南昌·期中）求值： ． 【变式3】（23-24高一下·江西宜春·期末）化简求值： ； 题型04逆用和差角的余弦公式化简、求值 【典例1】的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一下·江苏徐州·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一下·甘肃兰州·期中）的值为______． 【变式2】（24-25高一上·湖南湘潭·期末）的值为__________． 【变式3】（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2) 题型05利用和差角的余弦公式求角 【典例1】已知，若，，则_____． 【典例2】（25-26高一下·北京·期中）若，并且均为锐角，且，则________． 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）若，，α，β均为锐角，且，则的值为____． 【变式2】（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，，，. (1)求的值； (2)求的值. 【变式3】（25-26高一下·四川达州·期中）设，且，求角的值. 题型06已知两角的正弦，余弦求和差角的正弦 【典例1】（25-26高一下·四川成都·期中）已知，，，（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·广东惠州·期末）已知，知都是锐角，且，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一下·北京海淀·期中）已知为锐角，，是第四象限角，，则__________. 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且，则__________. 【变式3】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，，且为第一象限角，为第二象限角，求的值． 题型07（）的正弦值 【典例1】（23-24高一下·辽宁·期末） （    ） A． B． C． D． 【典例2】计算下列三角比的值. __________；        __________. 【变式1】计算（    ） A． B． C．D． 【变式2】________． 【变式3】____. 题型08用和差角的正弦公式化简、求值 【典例1】（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）求值：（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【典例2】（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）化简求值： (1)； (2)． 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2). 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）化简： (1)； (2). 题型09利用和差角的正弦公式求角 【典例1】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知锐角，满足，，求的值． 【典例2】（23-24高三上·福建泉州·阶段检测）已知，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且.求 (1)； (2). 【变式1】（23-24高三上·河南南阳·阶段检测）已知，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求角的大小． 【变式2】已知角终边过点，，且. (1)求的值； (2)求的值. 题型10已知两角的正弦，余弦求和差角的正切 【典例1】（25-26高一上·山东济南·阶段检测）已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一下·江苏南京·期中）若，则__________. 【变式1】（25-26高一下·上海闵行·期中）已知为第二象限角，，则__________. 【变式2】若，，则___________. 【变式3】已知为第二象限角，，为第一象限角，. (1)求的值. (2)求的值. 题型11（）的正切值 【典例1】（23-24高一下·四川内江·阶段检测）（    ）． A． B． C． D． 【典例2】（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高三上·江苏淮安·开学考试）的值为___________． 【变式2】（2026高一·全国·专题练习）求的值． 题型12用和差角的正切公式化简、求值 【典例1】（25-26高一下·湖北·期中）（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）（    ） A． B． C．1 D． 【变式1】（24-25高一下·四川雅安·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·广东汕头·二模）的值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式3】（2025高一上·全国·专题练习）____________． 题型13逆用和差角的正切公式 【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）（   ） A． B． C．1 D． 【典例2】求下列各式的值． (1)； (2)． 【变式1】（25-26高一下·全国·课堂例题）（   ） A． B．1 C． D． 【变式2】（25-26高一下·河北·阶段检测）__________． 【变式3】（25-26高一下·全国·课堂例题）____________． 题型14利用和差角的正切公式求角 【典例1】（23-24高三上·山西太原·期末）已知，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】若、为锐角，，，则角______． 【变式1】若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则________ 【变式3】已知，，，则__________. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·河北衡水·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）已知，则的值应是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·北京昌平·期末）（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）已知，，则（ ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高三上·福建·阶段检测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·江西抚州·期中）______； 10．（25-26高一下·重庆綦江·期中）已知为锐角，，则__________． B能力提升 1．（25-26高一下·陕西汉中·期中）已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 2．（25-26高一下·广东中山·期末）求值： (1)； (2)； (3)已知，均为锐角，且，，求． 3．（25-26高一下·甘肃酒泉·期末）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，且，求的值． 4．（25-26高一下·陕西渭南·期末）（1）若，，，，求； （2）若，，且，，求． 5．（25-26高一下·广西钦州·期末）已知，且. (1)求的值； (2)已知，且，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $