第5章 5.5.2 第2课时 简单的三角恒等变换(二)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦简单的三角恒等变换(二)，核心知识点为辅助角公式，从两角和差正弦余弦公式引入，通过问题驱动推导公式，构建“公式推导—三角函数化简合并—几何与实际问题应用”的学习支架。 资料以李善兰提出辅助角公式的历史背景激发兴趣，通过例题与延伸探究结合（如函数单调性、方程有解问题）培养推理能力，几何与实际问题（扇形内接矩形面积）应用体现用数学语言建模。课中辅助教师引导探究，课后跟踪训练与对点练助力学生巩固，查漏补缺。

第2课时　简单的三角恒等变换(二) 学习目标　1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并.(重点)2.能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题.(难点) 导语 同学们，我们从开始学习两角差的余弦，就尝试对展开式进行合并，尤其是一些特殊的形式，比如sin x+cos x等，其实从那个时候起，就开始有了辅助角公式的影子，大家知道吗？辅助角公式是由我国数学家李善兰先生提出的，辅助角公式的提出，对整个三角函数产生了巨大的影响，今天，我们就来探究辅助角公式的意义. 一、辅助角公式及其应用 问题1　利用两角和与差的正弦、余弦公式，如何化简三角函数式sin α+cos α？ 提示　逆用两角和与差的正弦、余弦公式， 即sin α+cos α=sin αcos+cos αsin=sinsin α+cos α=sinsin α+coscos α=cos αcos+sin αsin=cos. 问题2　一般地，对于y=asin x+bcos x，你能对它进行合并吗？ 提示　第一步：提常数，提出 得到； 第二步：定角度，确定一个角φ满足cos φ=sin φ= 得到cos φsin x+sin φcos x)； 第三步：化简、逆用公式得asin x+bcos x =sin(x+φ)，其中tan φ=. 知识梳理　辅助角公式 y=asin x+bcos x=sin(x+φ). 注意点： (1)该函数的最大值为最小值为-. (2)有时y=asin x+bcos x=cos(x-φ). 例1　(课本例9)求下列函数的周期，最大值和最小值： (1)y=sin x+cos x；(2)y=3sin x+4cos x. 解　(1)y=sin x+cos x =2 =2. 因此，所求周期为2π，最大值为2，最小值为-2. (2)设3sin x+4cos x=Asin(x+φ)，则 3sin x+4cos x=Asin xcos φ+Acos xsin φ. 于是Acos φ=3，Asin φ=4， 于是A2cos2φ+A2sin2φ=25， 所以A2=25. 取A=5，则cos φ=. 由y=5sin(x+φ)可知，所求周期为2π，最大值为5，最小值为-5. 例1　已知f(x)=sin 2x-cos 2x. (1)将f(x)化成y=Asin(ωx+φ)的形式； (2)求f(x)的最小正周期及最大值. 解　(1)f(x)=sin 2x-cos 2x = = =. (2)由f(x)=得， f(x)的最小正周期T==π， f(x)的最大值为. 延伸探究1　(多选)在本例条件下，f(x)在下列区间上单调递增的是(　　) A. B. C. D. 答案　BC 解析　由f(x)= 令-+2kπ≤2x-+2kπ，k∈Z， 整理得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为k∈Z. 经检验B，C正确. 延伸探究2　在本例条件下，若方程f(x)=m-1有解，则实数m的取值范围为　　　　　　. 答案 [1-1+ 解析　f(x)=m-1， 即=m-1， 因为sin∈[-1，1]， 所以-≤m-1≤ 所以1-≤m≤1+. 反思感悟　研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角恒等变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式，将y=asin x+bcos x转化为y=sin(x+φ)或y=cos(x-φ)的形式，以便研究函数的性质. 二、三角恒等变换在几何中的应用 例2　(课本例10) 如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角∠POQ=，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形.记∠POC=α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积. 解　在Rt△OBC中，OB=cos α，BC=sin α. 在Rt△OAD中，. 所以OA=sin α， AB=OB-OA=cos α-sin α. 设矩形ABCD的面积为S，则S=AB·BC =sin α =sin αcos α-sin2α =(1-cos 2α) = = =. 由0<α<时， S最大=. 因此，当α=. 例2　某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图). 解　如图，连接OC， 设∠COB=θ， 则0°<θ<45°，OC=1. 因为AB=OB-OA=cos θ-AD=cos θ-sin θ， 所以S矩形ABCD=AB·BC=(cos θ-sin θ)·sin θ =-sin2θ+sin θcos θ=-1-cos 2θ)+sin 2θ =sin 2θ+cos 2θ)-cos(2θ-45°)-. 当2θ-45°=0°，即θ=22.5°时，(S矩形ABCD)max=m2)，所以割出的长方形桌面的最大面积为 m2. 反思感悟　三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角恒等变换来解决，体现了数学中的化归思想. 跟踪训练1　如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最长？ 解　设∠AOB=α，△OAB的周长为l， 则AB=Rsin α，OB=Rcos α， 所以l=OA+AB+OB=R+Rsin α+Rcos α =R(sin α+cos α)+R=Rsin+R. 因为0<α<所以<α+ 所以当α+即α=时，l的最大值为R+R=+1)R，故当α=时，△OAB的周长最长. 三、三角恒等变换在实际问题中的应用 例3　如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形ABCD的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝向市政府大楼.设扇形的半径OM=R，∠MOP=45°，OB与OM之间的夹角为θ. (1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数； (2)若R=45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(取=1.414) 解　(1)由题意，可知点M为的中点， 所以OM⊥AD. 设OM与BC的交点为F(图略)， 则AD=BC=2Rsin θ，OF=Rcos θ， 所以AB=OF-AD=Rcos θ-Rsin θ， 所以S=AB·BC=2Rsin θ(Rcos θ-Rsin θ) =R2(2sin θcos θ-2sin2θ) =R2(sin 2θ-1+cos 2θ) =R2sin-R2，θ∈. (2)因为θ∈ 所以2θ+ 所以当2θ+即θ=时，S有最大值， Smax=-1)R2 =-1)×452=0.414×2 025 =838.35(m2). 故当θ=时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35 m2. 反思感悟　实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题. 跟踪训练2　在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图为由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，则cos 2θ= 　　　　. 答案　 解析　由题意得5cos θ-5sin θ=1，θ∈ 所以cos θ-sin θ= 又(cos θ+sin θ)2+(cos θ-sin θ)2=2， 所以cos θ+sin θ= 所以cos 2θ=cos2θ-sin2θ=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ)=. 1.知识清单： (1)辅助角公式. (2)三角恒等变换在几何中的应用. (3)三角恒等变换在实际问题中的应用. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：易忽视实际问题中的定义域. 1.等于(　　) A. B.1 C. D. 答案　A 解析　 =. 2.已知sin x+cos x=则cos等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵sin x+cos x=2sin ∴sin 则cos=sin. 3.函数f(x)=sin+cos的最小正周期是(　　) A.6π B.3π C. D. 答案　A 解析　由题意，f(x)=sin+cos=-=- 所以f(x)的最小正周期是=6π. 4.如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为若P为上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于点Q，当△POQ的面积大于时，∠POQ的取值范围为　　　　. 答案　 解析　设∠POQ=θ 则PQ=sin θ，OQ=cos θ， ∴S△POQ=sin θcos θ=sin 2θ， 由sin 2θ>得sin 2θ>. 又2θ∈(0，π)， ∴<2θ<则<θ< ∴∠POQ的取值范围为. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分 1.+cos等于(　　) A. B.- C. D. 答案　A 解析　+cos =2 =2 =2sin=2sin. 2.cos 15°-4sin215°cos 15°等于(　　) A. B. C.1 D. 答案　D 解析　cos 15°-4sin215°cos 15° =cos 15°-2sin 15°·sin 30°=cos 15°-sin 15° =-2=-2sin(-45°)=. 3.若sin α-cos α=则cos等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　D 解析　∵sin α-cos α=2 =-2cos ∴cos=-. 4.已知函数f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)是奇函数，则tan φ等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　D 解析　由f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)=2sin 又函数f(x)为奇函数， 则φ+=kπ，k∈Z， 解得φ=-+kπ，k∈Z， 所以tan φ=tan=-tan =-. 5.把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图，点O为圆心，OA⊥AB，设∠AOB=θ，把面积y表示为θ的解析式，则有(　　) A.y=50cos 2θ B.y=25sin θ C.y=25sin 2θ D.y=50sin 2θ 答案　D 解析　由题知OB=5，∠AOB=θ，OA⊥AB，所以在△AOB中，OA=5cos θ，AB=5sin θ， 则矩形木料的面积为 y=2OA×2AB=4×25sin θcos θ =100sin θcos θ=50sin 2θ. 6.若方程sin x+cos x=4-m有解，则实数m的取值范围是(　　) A.[2，6] B.[-6，6] C.(2，6) D.[2，4] 答案　A 解析　∵sin x+cos x=4-m， ∴sin x+cos x= ∴sinsin x+coscos x= ∴cos.∵-1≤cos≤1， ∴-1≤≤1，∴2≤m≤6. 7.(多选)已知函数f(x)=sin πx+cos πx(x∈R)，则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)是周期函数 B.函数f(x)的最大值是2 C.函数f(x)的图象关于点对称 D.函数f(x)的图象关于直线x=对称 答案　AC 解析　因为f(x)=sin πx+cos πx =sin 所以f(x)是周期为2的周期函数，其最大值是所以A正确，B错误； 因为f=0，f =1≠±所以C正确，D错误. 8.(5分)已知函数f(x)=2sin x+3cos x，x1，x2∈R，则f(x1)-f(x2)的最大值是　　　　. 答案　2 解析　因为f(x)=2sin x+3cos x=sin(x+φ) 所以f(x)max=f(x)min=- 因为x1，x2∈R， 所以f(x1)-f(x2)的最大值为 f(x)max-f(x)min=-(-)=2. 9.(5分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos2-cos 2(B+C)=则角A的大小是　　　　　　. 答案　 解析　由A+B+C=π，即B+C=π-A，故2(B+C)=2π-2A， 则4cos2-cos 2(B+C) =4×-cos(2π-2A) =2+2cos A-cos 2A =2+2cos A-(2cos2A-1) =-2cos2A+2cos A+3= 可得4cos2A-4cos A+1=0，解得cos A= 因为0<A<π，所以A=. 10.(10分)已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x. (1)求函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离；(3分) (2)求函数f(x)在区间上的最大值与最小值，以及此时x的取值.(7分) 解　f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1=2sin+1. (1)函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离为 . (2)∵x∈∴2x+ ∴当2x+即x=时， f(x)取得最大值3； 当2x+=-即x=-时， f(x)取得最小值0. 11.函数f(x)=sin-sin的值域为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　f(x)=sin-sin =sin-cos 又0≤x≤∴≤2x+ ∴≤sin≤1， ∴ ∴函数f(x)=的值域为. 12.(多选)已知sin θ+cos θ=+1，θ∈则θ等于(　　) A. B. C. D. 答案　AC 解析　sin θ+cos θ=+1⇒2sin θcos θ+2cos2θ=+2cos θ， 即sin 2θ+2cos2θ-1)=2cos θ， 故sin 2θ+cos 2θ=2cos θ， 由辅助角公式得2cos=2cos θ， 即cos=cos θ， 因为θ∈ 所以2θ- 故2θ-=θ或2θ-+θ=0， 解得θ=或θ= 经检验，均满足要求. 13.(多选)已知函数f(x)=sin xcos x+sin2x，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最大值为2 B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)关于直线x=-对称 D.f(x)在上单调递增 答案　BCD 解析　∵f(x)=sin 2x+ =sin 2x-cos 2x)+ ∴f(x)max=最小正周期T==π. 当x=-时，sin=-1， ∴直线x=-为f(x)图象的一条对称轴. 当x∈时，2x- ∴f(x)在上单调递增， 综上有B，C，D正确，A不正确. 14.(10分)如图，半圆的直径AB=2，O为圆心，C，D为半圆上的点. (1)请你确定点C的位置，使△ABC的周长最大，并说明理由；(6分) (2)已知AD=DC，设∠ABD=θ，当θ为何值时，四边形ABCD的周长最大？并求出最大值.(4分) 解　(1)如图，当C在半圆的中点位置时，△ABC的周长最大.理由如下： 因为点C在半圆上，且AB是圆的直径， 所以∠ACB=即△ABC是直角三角形. 设BC=a，AC=b，∠ABC=α 又AB=2，则a=2cos α，b=2sin α， 所以△ABC的周长为a+b+2=2cos α+2sin α+2 =2(cos α+sin α)+2=2+2. 因为0<α< 所以<α+ 所以当α+即α=时，△ABC的周长取得最大值2+2，此时C是半圆的中点. (2)因为AD=DC，所以∠ABD=∠DBC=θ， 所以AD=DC=ABsin θ=2sin θ， CB=ABcos 2θ=2cos 2θ. 设四边形ABCD的周长为p， 则p=AD+DC+CB+AB=4sin θ+2cos 2θ+2 =4sin θ+2(1-2sin2θ)+2=5-4. 显然θ∈所以当θ=时，p取得最大值5， 即当θ=时，四边形ABCD的周长取得最大值5. 15.已知f(x)=2sin+2cos2若|f(x)-m|≤3对任意x∈恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A.[-1，1] B. C. D.[0，1] 答案　A 解析　f(x)=2sin+2cos2 =sin x+cos x=2sinx∈ 则x+∈[-1，1]， f(x)∈[-2，2]. 由|f(x)-m|≤3，得-3≤f(x)-m≤3，则m-3≤f(x)≤m+3， 若|f(x)-m|≤3对任意x∈恒成立， 则[-2，2]⊆[m-3，m+3]，即 解得即m的取值范围是[-1，1]. 16.(12分)如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m. (1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？(6分) (2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？(6分) 解　(1)连接OB，如图所示，设∠AOB=θ， 则AB=OBsin θ=20sin θ，OA=OBcos θ=20cos θ，且θ∈. 因为A，D关于点O对称， 所以AD=2OA=40cos θ. 设矩形ABCD的面积为S，则 S=AD·AB=40cos θ·20sin θ=400sin 2θ. 因为θ∈所以2θ∈(0，π)， 所以当sin 2θ=1，即θ=时，Smax=400(m2). 此时AO=DO=10m). 故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2. (2)由(1)知AB=20sin θ， AD=40cos θ， 所以AB+BC+CD=40sin θ+40cos θ =40 又θ∈所以θ+ 当θ+即θ=时，(AB+BC+CD)max=40m)， 此时AO=DO=10m)， 即当A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远. 学科网（北京）股份有限公司 $