第07讲 5.4.3正切函数的性质与图象讲义（知识清单+8类热点题型讲练+分层强化训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦正切函数的性质与图象核心知识点，从函数图象入手，系统梳理定义域、值域、周期性等性质，对比正切与正切型函数差异，通过题型精讲与分层练习构建完整学习支架，衔接三角函数性质学习脉络。 资料以思维导图构建知识框架，表格对比明晰性质逻辑，分层题型训练提升解题能力。结合数学眼光观察图象特征，数学思维推理性质应用，课中辅助教学高效，课后助力学生查漏补缺，强化知识理解与应用。

第07讲 5.4.3正切函数的性质与图象 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：正切函数的图象 【即学即练1】画出函数在上的简图． 【答案】 【分析】根据五点作图法画图即可. 【详解】令，，可得，， 又，所以直线是该函数图象的一条渐近线． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 描点，，，，画虚线，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示．    知识点02：正切（型）函数的性质 正切函数 正切型函数 定义域 由 值域 周期性 奇偶性 奇函数 当时是奇函数 单调性 在，上单调递增 当,时，由，解出单调增区间 对称性 对称中心：；无对称轴 令：，对称中心为：，无对称轴 【即学即练2】（26-27高一上·全国·课后作业）下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质即可求得对称中心. 【详解】由已知令，解得， 当时，， 所以，，都是函数图象的对称中心， 当，解得， 所以不是函数图象的对称中心. 第三部分 题型精讲 题型01 正切函数的定义域 【典例1】函数的定义域是（    ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】由题可得，即得. 【详解】由题可得，解得， ∴函数的定义域为. 故选：A. 【典例2】（25-26高一下·江西鹰潭·期中）函数的定义域为______． 【答案】 【分析】由题可得，再根据正切函数单调性解不等式即可. 【详解】由题意，得， 所以， 解得， 故所求函数的定义域为． 故答案为： 【变式1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式，即可得出函数的定义域. 【详解】对于函数，有，即，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：B. 【变式2】（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为______________ 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法结合正切函数性质进行求解即可. 【详解】由，得，    则，即． 所以函数的定义域为． 故答案为：. 【变式3】求函数的定义域： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）正切函数的性质知，即可求定义域. （2）由根式的性质有，结合正切函数的性质即可求定义域. 【详解】（1）由得：， ∴函数的定义域为． （2）由得：． 结合的图象知：在上，满足的角x应满足， ∴的定义域为． 题型02 正切函数的值域 【典例1】函数的值域是______. 【答案】 【分析】由题意，令，再根据正切函数的单调性，即可求出结果. 【详解】函数. ，令. 函数在上单调递增， ，即， ， 函数的值域为. 故答案为： 【典例2】（23-24高一下·福建莆田·期中）函数，的值域为__________． 【答案】 【分析】首先确定的范围，结合二次函数值域的求法可求得结果. 【详解】当时，， ， 当时，；当时，； ，的值域为. 故答案为：. 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的最小值为_________. 【答案】2 【分析】配方，结合即可求解. 【详解】因为，由于，所以当时，函数取最小值2. 故答案为：2 【变式2】（26-27高一上·全国·课堂例题）求函数，的值域． 【答案】 【分析】令,转化为求的值域． 【详解】令， ∵，∴. ∵在上是增函数， ∴，即. ∴所求函数的值域为． 【变式3】（25-26高一上·四川凉山·期末）设函数． (1)求的最小正周期和单调区间； (2)求在区间的值域． 【答案】(1)最小正周期；在单调递减，无单调递增区间 (2) 【分析】（1）由正切函数的周期公式和单调性可解； （2）由正切函数的单调性可得值域. 【详解】（1）的最小正周期， ，解得， 在单调递减，无单调递增区间． （2）由（1）得在区间单调递减． ， 所以的值域为 题型03求正切函数的单调区间 【典例1】（25-26高一下·上海·期中）函数的严格增区间为________. 【答案】 【详解】设，由正切函数的性质可知， 函数在每个区间上严格递增， 在上严格递增，由复合函数的单调性判断方法， 令， 解不等式得， 即， 所以函数的严格增区间为. 【典例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）求函数的单调区间． 【答案】单调递减区间为， 【分析】由正切函数的奇偶性可得，结合正切函数的单调递增区间可解得的单调递增区间即的单调递减区间为. 【详解】， 由，， 得，． 所以的单调递增区间为， 即的单调递减区间为，． 【变式1】函数的（   ） A．单调递增区间是 B．单调递减区间是 C．单调递减区间是 D．单调递增区间是 【答案】C 【详解】由可知，，所以的单调递减区间为． 【变式2】（25-26高一下·全国·课堂例题）函数的单调递增区间是______． 【答案】 【详解】令， 所以函数的单调递增区间是. 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的单调区间为_________． 【答案】 【分析】利用求解即可. 【详解】由，解得， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间. 故答案为：. 题型04 正切函数单调性的应用 【典例1】（24-25高一下·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正切函数的单调增区间，结合题设条件建立不等式组，解之即得. 【详解】因在上是增函数，依题意该函数在区间上是增函数， 则有，解得，又因，故. 故选：C. 【典例2】（2026·江苏南京·三模）已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由正切函数的单调递增区间为，求得函数的单调递增区间为；再根据函数在上单调，得，从而得到不等式组，确定的取值，结合的条件，确定的最大值. 【详解】由正切函数的单调递增区间为； 令，解得； 函数的单调递增区间为. 由()在上单调，得； ，解得； ，，解得； ，； ，得； 的最大值为. 【变式1】（多选）（23-24高一上·河北沧州·阶段检测）已知函数，若在区间内单调递增，则的可能取值是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】结合正切型函数的单调性计算即可得. 【详解】因为，故， 由函数在区间内单调递增， 故，所以． 故选：BC． 【变式2】（25-26高三上·陕西·期末）设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为______． 【答案】2 【分析】根据正切型函数的单调性进行求解即可. 【详解】令，， 可得，． 因为在区间上单调递增， 所以，， 解得，， 由，得， 当时，可得，故的最大值为2． 故答案为：2 【变式3】（23-24高一下·河北承德·阶段检测）已知函数在上单调递增，则______． 【答案】/ 【分析】求出函数的含有数0的单调递增区间，再利用集合的包含关系求解即得. 【详解】函数，由，得， 因此函数在上单调递增，又在上单调递增， 于是，即， 解得， 所以. 故答案为： 题型05 正切函数的周期性与奇偶性 【典例1】（辽宁五校联考2025-2026学年高一下学期期末数学试卷）已知函数的最小正周期为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正切函数性质得函数的最小正周期为，得到. 【典例2】（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数，，则____________. 【答案】 【详解】因为， 所以. 【变式1】（25-26高一下·上海·期中）若函数（其中常数）的最小正周期为3，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据正切型函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】由题意可知：，解得：. 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）已知函数，若，则________． 【答案】 【分析】利用正弦函数，正切函数的周期性与奇偶性计算即可求值. 【详解】因为，且，所以， 所以，所以， 所以 . 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）若函数为奇函数，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】根据奇函数的定义,求得,再根据,即可得答案. 【详解】因为函数为奇函数,所以 由得,, 即,所以, 解得,,因为,取,得,所以的最小值为. 故答案为: 题型06 正切函数图象的对称性 【典例1】（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的图象关于点对称， 则，得到，又，所以的最小值为. 【典例2】（25-26高一上·四川成都·期末）下列是函数的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 所以函数的对称中心是， 显然不存在使得，当时， 所以函数的一个对称中心为，选A. 【变式1】（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）函数的图象关于点中心对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是的一个对称中心，所以，， 即，又，故的最小值为. 【变式2】（25-26高二下·山西长治·阶段检测）已知点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知点是函数图象的一个对称中心， 故，则， 结合，可知，则时，取最小值. 【变式3】（25-26高一下·辽宁大连·期中）函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，得， 故函数图象的对称中心是. 题型07与正切（型）函数有关的值域（最值）问题 【典例1】（23-24高一下·江西·阶段检测）函数，的值域为（    ） A． B． C． ． 【答案】C 【分析】先求出的范围，再由正切函数的性质求出范围，再乘以3即可. 【详解】 故选：C. 【典例2】函数的最大值为________． 【答案】/ 【分析】分子分母同时除以，然后使用基本不等式可得. 【详解】解：∵，∴，由题意得，当且仅当，即时取等号，故的最大值为． 故答案为： 【变式1】函数在上的值域为__________． 【答案】 【分析】根据题意求得，结合正切函数的性质，即可求解. 【详解】由，可得， 根据正切函数的性质，可得， 即函数在上的值域为. 故答案为：. 【变式2】函数，的值域为______． 【答案】 【分析】由的范围求出的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案. 【详解】因为，所以， ， 则当时，， 当时，， 所以函数的值域为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·四川德阳·阶段检测）求函数，的值域. 【答案】 【分析】令，可得，结合二次函数的单调性可求得其值域. 【详解】因为，令，可得， 因为二次函数在上单调递增，故. 因此，函数，的值域为. 题型08正切函数图象与性质的综合应用 【典例1】（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最小正周期为，求的定义域及对称中心； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)定义域为，对称中心为，； (2). 【分析】（1）由解得，再利用正切函数的对称中心列式求解即可； （2）利用正切函数的单调区间列出不等式求解即得. 【详解】（1）因为的最小正周期，所以，则，             由，，得，，所以的定义域为，                             令，，得，， 所以的对称中心为，. （2）当时，， 因为在区间上单调递增， 所以，，                 所以，即， 则，解得，                 又，所以或，则或， 所以的取值范围为. 【典例2】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数． (1)求的最小正周期、定义域、对称中心和单调区间； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，定义域为；对称中心为；单调递减区间为）无单调递增区间 (2) 【分析】（1）根据的相关性质，整体法代入求解即可； （2）先求得，再求值域即可． 【详解】（1）解：的最小正周期为 由，解得， 故的定义域为； 由，解得， 故的对称中心为； 因为， 由，得， 所以函数的单调递减区间为）无单调递增区间. （2）， ． 【变式1】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数． (1)求的定义域及图象的对称中心； (2)求使不等式成立的的取值集合． 【答案】(1)定义域为，； (2). 【分析】（1）应用正切函数的定义域及对称中心计算求解； （2）应用正切函数值域计算求解. 【详解】（1）令，， 解得，， 故的定义域为． 令，解得， 故图象的对称中心为． （2）不等式，即，则， 可得，， 解得，， 不等式的解集为． 【变式2】（25-26高一上·宁夏固原·期末）设函数． (1)求函数的定义域和对称中心； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据正切函数的性质计算可得； （2）依题意可得，解得即可. 【详解】（1）对于函数， 令，解得， 所以的定义域是； 令，解得， 所以的对称中心是 （2）由，可得， 解得， 所以不等式的解集是 【变式3】（25-26高一上·新疆·阶段检测）已知函数的图象过点． (1)求出的值， (2)求出的单调区间； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，无单调递减区间 (3) 【分析】（1）根据函数图象过点，结合，可得； （2）根据正切型函数的单调性即可求出答案； （3）根据正切型函数的单调性解不等式即可求出答案. 【详解】（1）因为的图象过点， 所以，解得 ， 因为，所以. （2）由（1）知， 令， 即， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间． （3）不等式，即， 解得，即， 所以不等式的解集为. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，解得， 函数的对称中心为 2．（25-26高一下·辽宁·期末）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得的系数， 代入周期公式得： ，即该函数的最小正周期为. 3．（25-26高一下·江西鹰潭·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正切函数定义域的求法可得答案. 【详解】令， 解得， 所以函数的定义域为． 4．（25-26高二下·山西长治·阶段检测）已知点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知点是函数图象的一个对称中心， 故，则， 结合，可知，则时，取最小值. 5．（25-26高一下·河南南阳·开学考试）根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的的集合：；（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，又时，， 故. 6．（25-26高一上·湖北孝感·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求的最小正周期为，再根据，的最小正周期相同即可得答案. 【详解】因为函数的最小正周期为， 又函数的最小正周期为，函数的最小正周期也为， 所以的最小正周期与的最小正周期相同，为 故选：C 7．（多选）（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 【答案】ABD 【分析】由正切函数定义域，周期，单调区间，对称性结合题意可得答案. 【详解】对于A，的最小正周期满足：，故A正确； 对于B，定义域满足， 则定义域为：，故B正确； 对于C，对称中心的横坐标满足：，则对称中心为： ，其中，故C错误； 对于D， 单调递增区间满足： ， 其中，则单调递增区间为，.故D正确. 故选：ABD 8．（多选）（24-25高二上·湖南·阶段检测）以下是方程的解的为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】解正切型方程判断即可. 【详解】因为，所以，， 所以，，所以是方程的解， 故选：ACD 9．（26-27高三·全国·一轮复习）函数的定义域为______． 【答案】 【详解】由题意可知：，当有意义时， 所以函数的定义域为． 10．（25-26高二下·上海松江·阶段检测）已知，满足，则__________. 【答案】 【分析】构造函数，根据奇函数性质得到方程，求出答案. 【详解】，令， 由于， 显然，即， 所以. B能力提升 1．（26-27高一上·全国·课后作业）在区间内，函数与函数图象交点的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】联立方程变形后得到，在给定开区间内找出全部解. 【详解】在区间内，函数与函数图象交点的个数， 就是在区间内方程解的个数， 方程变形后得到， 在区间内方程的解为， 即两个函数的图象有3个交点． 2．（2026·河北沧州·一模）已知函数图象的一个对称中心为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的范围可知函数的图象是由的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到的，从而可得，根据正切函数的对称中心，求出的值即可得答案. 【详解】因为，所以， 所以函数的图象是由的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到的， 又因为函数的对称中心为， 由题意可得，令，得， 将代入得，从而得， 所以. 3．（多选）（25-26高一下·吉林长春·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．函数的值域是 D．函数的单调递减区间是 【答案】BD 【分析】根据正切函数的性质，结合绝对值的特点，分别对函数的周期、值域、对称轴和单调区间进行分析. 【详解】选项A：因为函数，其周期与相同，为， 因为题中，则周期，故A错误； 选项B：因为 的对称轴为 ， 令 ，则对称轴为 ， 当 时，，符合条件，故B正确； 选项C：因为，当 时，， 故值域为 ，不是 ，故C错误； 选项D：因为 的单调递减区间为 ， 则令 ，解得：， 所以与选项D的区间一致，故D正确； 4．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为__________. 【答案】5 【分析】根据正切函数的单调性列不等式计算，再分讨论即可求出最大值. 【详解】由函数在区间内单调递增， 可得，且，解得. 当时，1，又，所以； 当时，； 当时，不等式无解. 综上，的最大值为5. 故答案为：5. 5．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最小正周期为，求的定义域及对称中心； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)定义域为，对称中心为，； (2). 【分析】（1）由解得，再利用正切函数的对称中心列式求解即可； （2）利用正切函数的单调区间列出不等式求解即得. 【详解】（1）因为的最小正周期，所以，则，             由，，得，，所以的定义域为，                             令，，得，， 所以的对称中心为，. （2）当时，， 因为在区间上单调递增， 所以，，                 所以，即， 则，解得，                 又，所以或，则或， 所以的取值范围为. C综合素养 1．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知函数，点和是曲线相邻的两个对称中心． (1)求的解析式； (2)若关于的方程在区间内恰有两个实根，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先由已知得到周期信息、结合周期公式求出参数，再代点即可计算求解即可得解； （2）换元，将题设等价转换为函数在上存在两个零点，接着分和结合函数奇偶性、单调性和函数与方程思想数形结合分析函数零点个数即可求解. 【详解】（1）由题可知的最小正周期T满足，解得， 又由题意， 所以，即， 又，所以 ，所以． （2）设，函数，则， 因为关于的方程在区间内恰有两个实根， 所以函数在上存在两个零点， 因为对任意有， 所以为奇函数， （i）若，当时，，故在区间上无零点； 当时，一方面有， 另一方面，若存在使得，则， 若对任意，则， 故的零点个数为奇数，不合题意． （ii）若，当时，为增函数， 所以在区间上只有唯一零点0； 当时，函数分别为减函数和增函数，且恒成立， 又，时， 所以时，函数有唯一交点， 在区间上有唯一零点， 所以函数在上存在两个零点， 综上所述，的取值范围为． 2．（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数. (1)若，求的最小正周期； (2)若在区间上有定义. （i）求的最大值； （ⅱ）若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）（ⅱ） 【分析】（1）根据正切型函数最小正周期的计算公式直接计算即可； （2）根据正切型函数的定义域与对称中心直接计算. 【详解】（1）当时，， 易得的最小正周期； （2）（i）当时，，， 若函数在区间上有定义，则， 解得，故的最大值为； （ii）函数的对称中心满足，， 解得，， 其图象至少有两个对称中心在区间上， 则在区间上至少有两解， 故至少存在两个值使， 故至少有，两个取值， 所以，综上，的取值范围为. 3．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知函数 (1)若，求的最小正周期与函数图象的对称中心； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在3022个根，且的最小值不小于3022，求的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为， (2)． (3)． 【详解】解：（1）由题可得，所以函数的最小正周期为．由，可得，所以函数的图象的对称中心是． （2）因为在上单调递增，所以当时，，所以，解得．又．所以． （3）因为，所以，则，所以．又至少存在3022个根，所以可得至少包含3021个周期，即，所以的最小值为．又的最小值不小于3022，所以，所以． 4．（24-25高一上·安徽淮北·期末）设函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用整体代入法，根据正切函数的定义域，即可求出结果； （2）利用整体代入法，根据正切函数的单调性，即可求出结果； （3）由题意可得，结合函数图象与性质可知，解不等式即可求出结果. 【详解】（1）函数中， 令，，解得，， 所以函数的定义域为； （2）由， 所以函数的单调递增区间为 ， （3）不等式可化为， 解得，， 即，； 所以不等式的解集为， 5．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数.（直接写出结果） (2)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明；对任意的，，都有：. 【答案】(1)不是，是； (2)证明：由是以为周期的周期函数，不妨设， 当时，而函数为上的“”函数，则， 当时，不妨设，且， 由是以为周期的周期函数，得，又函数为上的“”函数， 因此 ，则对任意的，均有， 由于是以为周期的周期函数，则对任意， 存在，使得， 从而， 所以对任意的，均有. 【分析】（1）利用“”函数的定义分别判断即可. （2）由是以为周期的周期函数，不妨设，按并结合“”函数的定义证明结论，再利用周期性推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为， 由“”函数的定义知，函数不是“”函数； 令，其定义域为，，， 所以函数是“”函数. （2）略 【点睛】关键点点睛：第二问利用是以为周期的周期函数得，证明在区间具有性质是解决本题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 5.4.3正切函数的性质与图象 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：正切函数的图象 【即学即练1】画出函数在上的简图． 知识点02：正切（型）函数的性质 正切函数 正切型函数 定义域 由 值域 周期性 奇偶性 奇函数 当时是奇函数 单调性 在，上单调递增 当,时，由，解出单调增区间 对称性 对称中心：；无对称轴 令：，对称中心为：，无对称轴 【即学即练2】（26-27高一上·全国·课后作业）下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（　　） A． B． C． D． 第三部分 题型精讲 题型01 正切函数的定义域 【典例1】函数的定义域是（    ） A． B． C． D．且 【典例2】（25-26高一下·江西鹰潭·期中）函数的定义域为______． 【变式1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为______________ 【变式3】求函数的定义域： （1）； （2）． 题型02 正切函数的值域 【典例1】函数的值域是______. 【典例2】（23-24高一下·福建莆田·期中）函数，的值域为__________． 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的最小值为_________. 【变式2】（26-27高一上·全国·课堂例题）求函数，的值域． 【变式3】（25-26高一上·四川凉山·期末）设函数． (1)求的最小正周期和单调区间； (2)求在区间的值域． 题型03求正切函数的单调区间 【典例1】（25-26高一下·上海·期中）函数的严格增区间为________. 【典例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）求函数的单调区间． 【变式1】函数的（   ） A．单调递增区间是 B．单调递减区间是 C．单调递减区间是 D．单调递增区间是 【变式2】（25-26高一下·全国·课堂例题）函数的单调递增区间是______． 【变式3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的单调区间为_________． 题型04 正切函数单调性的应用 【典例1】（24-25高一下·四川成都·期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·江苏南京·三模）已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【变式1】（多选）（23-24高一上·河北沧州·阶段检测）已知函数，若在区间内单调递增，则的可能取值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·陕西·期末）设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为______． 【变式3】（23-24高一下·河北承德·阶段检测）已知函数在上单调递增，则______． 题型05 正切函数的周期性与奇偶性 【典例1】（辽宁五校联考2025-2026学年高一下学期期末数学试卷）已知函数的最小正周期为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数，，则____________. 【变式1】（25-26高一下·上海·期中）若函数（其中常数）的最小正周期为3，则的值为__________． 【变式2】（24-25高一下·上海·期末）已知函数，若，则________． 【变式3】（24-25高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）若函数为奇函数，则的最小值为__________. 题型06 正切函数图象的对称性 【典例1】（25-26高三下·江西赣州·期中）若函数的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·四川成都·期末）下列是函数的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）函数的图象关于点中心对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·山西长治·阶段检测）已知点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一下·辽宁大连·期中）函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 题型07与正切（型）函数有关的值域（最值）问题 【典例1】（23-24高一下·江西·阶段检测）函数，的值域为（    ） A． B． C． ． 【典例2】函数的最大值为________． 【变式1】函数在上的值域为__________． 【变式2】函数，的值域为______． 【变式3】（24-25高一下·四川德阳·阶段检测）求函数，的值域. 题型08正切函数图象与性质的综合应用 【典例1】（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最小正周期为，求的定义域及对称中心； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 【典例2】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数． (1)求的最小正周期、定义域、对称中心和单调区间； (2)若，求的取值范围． 【变式1】（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数． (1)求的定义域及图象的对称中心； (2)求使不等式成立的的取值集合． 【变式2】（25-26高一上·宁夏固原·期末）设函数． (1)求函数的定义域和对称中心； (2)求不等式的解集． 【变式3】（25-26高一上·新疆·阶段检测）已知函数的图象过点． (1)求出的值， (2)求出的单调区间； (3)求不等式的解集． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·辽宁·期末）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·江西鹰潭·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·山西长治·阶段检测）已知点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·河南南阳·开学考试）根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的的集合：；（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖北孝感·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 8．（多选）（24-25高二上·湖南·阶段检测）以下是方程的解的为（   ） A．0 B． C． D． 9．（26-27高三·全国·一轮复习）函数的定义域为______． 10．（25-26高二下·上海松江·阶段检测）已知，满足，则__________. B能力提升 1．（26-27高一上·全国·课后作业）在区间内，函数与函数图象交点的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2026·河北沧州·一模）已知函数图象的一个对称中心为，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一下·吉林长春·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．直线是函数图象的一条对称轴 C．函数的值域是 D．函数的单调递减区间是 4．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数在区间内单调递增，则的最大值为__________. 5．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最小正周期为，求的定义域及对称中心； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. C综合素养 1．（25-26高三上·江西·阶段检测）已知函数，点和是曲线相邻的两个对称中心． (1)求的解析式； (2)若关于的方程在区间内恰有两个实根，求的取值范围． 2．（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数. (1)若，求的最小正周期； (2)若在区间上有定义. （i）求的最大值； （ⅱ）若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围. 3．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知函数 (1)若，求的最小正周期与函数图象的对称中心； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在3022个根，且的最小值不小于3022，求的取值范围． 4．（24-25高一上·安徽淮北·期末）设函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集. 5．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数.（直接写出结果） (2)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明；对任意的，，都有：. 学科网（北京）股份有限公司 $