第一章 直线和圆（高效培优讲义）数学北师大版高二选择性必修第一册

该高中数学单元复习讲义通过思维导图和表格系统构建直线与圆的知识体系，梳理教学目标、重难点及8个核心知识点，将倾斜角与斜率、直线方程、位置关系等内容分层呈现，突出知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，涵盖斜率范围、切线问题等7类题型，通过典例与变式题引导学生用代数方法解决几何问题，培养数学思维与运算能力。配套答题思路与易错点分析，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

第一章 直线和圆 教学目标 ①理解直线的倾斜角、斜率概念，掌握斜率计算公式；会求直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，能根据条件灵活选用直线方程形式。 ②掌握两条直线平行、垂直的判定条件；会求两直线交点、两点间距离、点到直线距离、两条平行线间距离。 ③掌握圆的标准方程、一般方程，会根据条件求圆的方程；能判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决相交、相切、相离相关计算问题。 ④会处理直线和圆的综合问题，能够结合几何性质、代数方程联立求解，体会解析几何用代数方法研究几何图形的思想。 教学重难点 1. 重点 直线斜率计算，各类直线方程的求法；两直线平行、垂直的条件；距离公式（两点距离、点到直线距离、平行线距离）。 圆的标准方程与一般方程；直线与圆的位置关系判定；圆与圆的位置关系。 坐标法思想，联立方程解决直线圆相交、相切问题。 2. 难点 倾斜角与斜率的对应关系，直线方程不同形式适用限制条件。 直线、圆综合问题：弦长问题、切线问题、最值问题、动点轨迹问题；参数问题分类讨论。 数形结合，灵活选用几何性质简化代数运算，避免大量复杂计算。 知识点 01 直线的倾斜角与斜率 倾斜角：直线向上方向与 x 轴正方向夹角，范围 直线斜率不存在。 斜率公式 两点。 知识点 02 直线的方程 点斜式：；局限：不能表示斜率不存在垂直 x 轴直线。 斜截式：y=kx+b，b为纵截距；局限同上。 两点式：；不能表示垂直坐标轴直线。 截距式：；a横截距，b纵截距；不能表示过原点、垂直坐标轴直线。 一般式：Ax+By+C=0（A,B不同时为 0），可表示全部直线。 知识点 03 两条直线的位置关系 设 平行： 斜率存在时：； 一般式：且。 垂直： 斜率存在：； 一般式通用条件：（包含一条斜率为 0，一条斜率不存在）。 两直线交点：联立方程组，方程组解就是交点坐标；无解两直线平行；无穷多解两直线重合。 知识点 04 距离公式 两点距离： 点到直线距离：点，直线 两条平行直线距离： 知识点 05 圆的方程 标准方程：圆心(a,b)，半径r： 圆的一般方程：条件：； 圆心；半径。 若表示一个点；小于 0 无轨迹。 知识点 06 直线与圆的位置关系 两种判定方法： 几何法（圆心到直线距离 d，圆半径 r） d>r：相离，无交点； d=r：相切，1 个交点，切线； d<r：相交，2 个交点；弦长公式：。 代数法：联立直线、圆方程，消元得到一元二次方程，判别式 相交；相切；相离。 知识点 07 圆与圆的位置关系 两圆圆心距d，半径 ：外离； ：外切； ：相交（2 交点，公共弦）； ：内切； ：内含。 两圆相交，两圆方程相减，得到公共弦所在直线方程。 知识点 08 直线和圆综合拓展 切线方程、动点轨迹、圆上点到直线最值、参数范围问题。 题型01 求斜率；斜率范围 【典例1】已知点，，若直线与线段相交，则实数k的取值范围是（    ）． A．或 B．或 C．或 D． 【变式1】已知点.若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】设点，，若直线与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式3】已知两点，直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是 A． B． C． D． 题型 02 求两直线交点；过交点直线系方程 【典例1】求经过直线与的交点，且过点的直线方程. 【变式1】已知直线，直线，直线与直线的交点. (1)求点的坐标； (2)过点且平行于直线的直线的一般式方程； (3)过点且垂直于直线的直线的一般式方程. 【变式2】求经过两条直线和的交点，且与直线平行的直线方程； 【变式3】（1）求经过直线，的交点，且过点的直线的方程； （2）求经过直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程． 题型 03 直线与圆位置关系切线问题 【典例1】从直线l：x＋y＝1上一点P向圆C：x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为 A． B． C． D． 【变式1】已知圆的方程为，直线，点是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】点是直线上的动点，由点向圆作切线，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】由动点向圆引两条切线，切点分别为 ，若四边形为正方形，O为原点，则线段的最大值是（   ） A．3 B．5 C． D．7 题型 04 圆和圆位置关系 【典例1】已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若圆与圆的公共弦长为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【变式2】已知圆：与圆：有公共点，则（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【变式3】已知点P为圆上的一个点，点，，则（    ） A．过点A一定存在两条直线与圆C相切 B．存在实数a，使得 C．存在实数a，使得 D．存在实数a，使得 40．已知圆，直线，则（     ） A．直线上存在点，使得 B．直线被圆截得的弦长为4 C．圆上的点到直线的最大距离为 D．过圆心作直线的垂线，垂足坐标为 题型 05 圆上点到直线最大最小距离 【典例1】已知实数满足方程，求的最大值和最小值（    ） A． B． C． D． 【变式1】直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】圆 上的动点到直线的距离的最大值是（     ） A．4 B．6 C． D． 【变式3】已知圆M：与直线l：，则圆心M到直线l的最大距离为（    ） A．5 B．6 C． D． 题型 06动点轨迹问题 【典例1】过原点作直线交圆于，两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，为平面上的一个动点，若，则的轨迹所围成的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； (3)过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型 07公切线问题 【典例1】已知圆与圆的公切线有且只有一条，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1】已知圆：，点，（），若圆上存在，两点，使得以，，，四个点为顶点的平行四边形有且仅有1个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若动点在圆上，动点在圆上，则（    ） A．两圆有3条公切线 B．两圆公共弦所在直线方程为 C．的最大值为 D．两圆公共弦长为 【变式3】点在圆：上，点在圆：上，则（    ） A．两圆有且仅有两条公切线 B．的最大值为10 C．两个圆心所在直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线方程为 1．已知圆与圆交于、两点，且四边形的面积为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知圆，当圆心C到直线的距离最大时，实数的值是（    ） A． B． C．－3 D．3 3．圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 4．已知圆：上任意一点，设点到直线：的距离为，当取最大值时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆：，直线：，设为圆上的一动点，则点到直线的最大距离为（   ） A．4 B．5 C．7 D．13 6．若圆与圆有且仅有一条公切线，则（    ） A．16 B．25 C．36 D．16或36 7．已知圆与圆，若与有且仅有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．已知直线：被圆截得的弦长为，则直线的斜率为（     ） A． B． C． D． 10．已知直线与圆相切，则（     ） A． B． C．或 D． 或 11．已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A．与圆相交 B．与圆相切 C．与圆相离 D．以上都有可能 12．阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的有（    ） A．曲线的方程为 B．过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 13．动直线与动直线相交于点，则下列说法正确的是（     ） A．直线过的定点是 B．点C的轨迹是一个完整的圆 C．的最小值为2 D．的取值范围为 14．已知两条直线和交于点，则（   ） A．直线必过点 B．点在圆上 C．点到直线距离最小值为 D．点的轨迹与圆有三条公切线 15．已知圆：和圆：相交于、两点，下列说法正确的为（    ） A．两圆有两条公切线 B．直线的方程为 C．线段的长为 D．点在圆上，点在圆上，则的最大值为 16．已知圆和圆的交点为，，则（    ） A．圆和圆有两条公切线 B．直线的方程为 C．圆上存在两点和使得 D．圆上的点到直线的最大距离为 17．点在圆上，点在圆上，则（    ） A．圆与圆相交 B．的最大值为10 C．两圆的公共弦长为 D．当直线与圆相切时，的最大值为 18．已知圆和圆，则下列结论正确的是（    ） A．两圆有3条公切线 B．两圆的公共弦所在的直线方程为 C．若点E在圆C上，点F在圆M上，则的最大值为 D．两圆的交点及两个圆心的连线所围成的四边形的面积为 19．点在圆：上，点在圆：上，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 20．已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________ . 1．已知圆和圆的交点为，则下列说法正确的是（    ） A．两圆的圆心距 B．直线的方程为 C．圆上存在两点和，使得 D．圆上的点到直线的最大距离为 2．已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线与直线垂直，则 C．若直线在轴上的截距为3，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 3．已知过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则直线必过定点________． 4．点是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为_________. 5．已知两定点，，动点M与定点P，Q的距离之比（，），那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为______． 6．已知直线，直线，若，则______________. 7．已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 8．已知圆，，为圆O上相异两点，且，则的最大值为______． 9．已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 10．已知点在圆上，点，，则点到直线的距离的最大值为__________；当最小时，的长度为__________． 11．已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为______． 12．求过两直线和的交点且过点的直线方程． 13．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程. 14．在平面直角坐标系中，点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程． 15．已知，，，求（均写出一般式方程）： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)求点关于的对称点的坐标． 16．根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 直线和圆 教学目标 ①理解直线的倾斜角、斜率概念，掌握斜率计算公式；会求直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，能根据条件灵活选用直线方程形式。 ②掌握两条直线平行、垂直的判定条件；会求两直线交点、两点间距离、点到直线距离、两条平行线间距离。 ③掌握圆的标准方程、一般方程，会根据条件求圆的方程；能判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决相交、相切、相离相关计算问题。 ④会处理直线和圆的综合问题，能够结合几何性质、代数方程联立求解，体会解析几何用代数方法研究几何图形的思想。 教学重难点 1. 重点 直线斜率计算，各类直线方程的求法；两直线平行、垂直的条件；距离公式（两点距离、点到直线距离、平行线距离）。 圆的标准方程与一般方程；直线与圆的位置关系判定；圆与圆的位置关系。 坐标法思想，联立方程解决直线圆相交、相切问题。 2. 难点 倾斜角与斜率的对应关系，直线方程不同形式适用限制条件。 直线、圆综合问题：弦长问题、切线问题、最值问题、动点轨迹问题；参数问题分类讨论。 数形结合，灵活选用几何性质简化代数运算，避免大量复杂计算。 知识点 01 直线的倾斜角与斜率 倾斜角：直线向上方向与 x 轴正方向夹角，范围 直线斜率不存在。 斜率公式 两点。 知识点 02 直线的方程 点斜式：；局限：不能表示斜率不存在垂直 x 轴直线。 斜截式：y=kx+b，b为纵截距；局限同上。 两点式：；不能表示垂直坐标轴直线。 截距式：；a横截距，b纵截距；不能表示过原点、垂直坐标轴直线。 一般式：Ax+By+C=0（A,B不同时为 0），可表示全部直线。 知识点 03 两条直线的位置关系 设 平行： 斜率存在时：； 一般式：且。 垂直： 斜率存在：； 一般式通用条件：（包含一条斜率为 0，一条斜率不存在）。 两直线交点：联立方程组，方程组解就是交点坐标；无解两直线平行；无穷多解两直线重合。 知识点 04 距离公式 两点距离： 点到直线距离：点，直线 两条平行直线距离： 知识点 05 圆的方程 标准方程：圆心(a,b)，半径r： 圆的一般方程：条件：； 圆心；半径。 若表示一个点；小于 0 无轨迹。 知识点 06 直线与圆的位置关系 两种判定方法： 几何法（圆心到直线距离 d，圆半径 r） d>r：相离，无交点； d=r：相切，1 个交点，切线； d<r：相交，2 个交点；弦长公式：。 代数法：联立直线、圆方程，消元得到一元二次方程，判别式 相交；相切；相离。 知识点 07 圆与圆的位置关系 两圆圆心距d，半径 ：外离； ：外切； ：相交（2 交点，公共弦）； ：内切； ：内含。 两圆相交，两圆方程相减，得到公共弦所在直线方程。 知识点 08 直线和圆综合拓展 切线方程、动点轨迹、圆上点到直线最值、参数范围问题。 题型01 求斜率；斜率范围 【典例1】已知点，，若直线与线段相交，则实数k的取值范围是（    ）． A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】由直线与线段相交，则线段的两端点在直线的两侧或在直线上，即可列式求解. 【详解】因为直线与线段相交，所以， 解得. 故选：D. 【变式1】已知点.若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线恒过定点，然后画图观察直线的变化时斜率的变化，再求的斜率，所以得答案. 【详解】即，又因为， 所以直线恒过定点，画图得直线要想与线段有交点，就需要绕着点，从直线开始逆时针旋转到直线，则， 所以直线斜率 故选：A 【变式2】设点，，若直线与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】依题可得直线l过点，求出，结合图象观察即可. 【详解】如图所示：依题意直线l过点， ，， 要想直线l过点且与线段MN相交， 则或．    故选：A． 【变式3】已知两点，直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线所过定点，画出图形，再求出，的斜率，数形结合得答案． 【详解】解：直线过定点， ，， 直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是． 故选． 【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线斜率的求法，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题． 题型 02 求两直线交点；过交点直线系方程 【典例1】求经过直线与的交点，且过点的直线方程. 【答案】 【分析】联立方程可求交点，结合条件即求；或设直线交点系方程，利用条件即求. 【详解】解法一：联立直线方程，解方程组得， 由两点式得所求直线的方程为， 即. 解法二：易知直线不符合所求方程，设所求直线方程为， 将点的坐标代入，得， 解得， 故所求直线方程为，整理得. 【变式1】已知直线，直线，直线与直线的交点. (1)求点的坐标； (2)过点且平行于直线的直线的一般式方程； (3)过点且垂直于直线的直线的一般式方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）联立直线方程得到方程组，解得即可； （2）设所求直线方程为，代入点的坐标，求出的值即可； （3）设所求直线方程为，代入点的坐标，求出的值即可； 【详解】（1）由，解得， 即直线与直线的交点； （2）设所求直线方程为，则，解得， 所以过点且平行于直线的直线的一般式方程为； （3）设所求直线方程为，则，解得， 所以过点且垂直于直线的直线的一般式方程. 【变式2】求经过两条直线和的交点，且与直线平行的直线方程； 【答案】 【详解】试题分析：联立方程组可得交点坐标，分别由平行、垂直关系设所求直线的方程为代入交点的坐标分别可解得，可得直线方程． 试题解析：解：由，得； ∴与的交点为． 设与直线平行的直线为 则，∴． ∴所求直线方程为． 考点：直线的一般式方程与直线的平行关系． 【一题多解】∵所求直线的斜率，且经过点，∴求直线的方程为，即． 【变式3】（1）求经过直线，的交点，且过点的直线的方程； （2）求经过直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用两直线的交点坐标公式以及直线的点斜式方程求解； （2）利用两直线的交点坐标公式以及两直线垂直与斜率的关系求解. 【详解】（1）设的交点为， 联立，解得， 所以的交点为, 所以, 由点斜式可得，整理得. （2）设的交点为， 联立，解得， 所以的交点为, 设所求直线方程为， 因为直线过点，所以， 所以所求直线方程为. 题型 03 直线与圆位置关系切线问题 【典例1】从直线l：x＋y＝1上一点P向圆C：x2＋y2＋4x＋4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：圆的方程转化为，圆心到直线的距离 最短的切线长为 考点：直线与圆相切问题 【变式1】已知圆的方程为，直线，点是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得当点到圆心的距离最小时，切线的长度最小，此时四边形的面积最小，求出点的坐标，以为直径的圆的方程，两圆相减得到直线的方程. 【详解】 由圆的方程为可知圆心，半径，点到圆心的距离最小时，切线的长度最小，此时四边形的面积最小， 所以，，所以直线的方程为， 联立，解得， 以为直径，以中点为圆心的圆方程为， 两圆方程相减可得直线的方程， 故选：D 【变式2】点是直线上的动点，由点向圆作切线，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长的最小，则必须点P到圆的距离最小，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可． 详解：∵圆， ∴圆心 ，半径． 由题意可知， 点到圆的切线长最小时，直线． ∵圆心到直线的距离 ， ∴切线长的最小值为． 故选C． 点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键． 【变式3】由动点向圆引两条切线，切点分别为 ，若四边形为正方形，O为原点，则线段的最大值是（   ） A．3 B．5 C． D．7 【答案】D 【分析】根据题意，得到，求得点轨迹是以为圆心，半径为的圆，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 又由动点向圆引两条切线，切点分别为，若四边形为正方形， 所以，可得， 所以点的轨迹方程为， 即点轨迹是以为圆心，半径为的圆， 又由，所以的最大值为. 故选：D. 题型 04 圆和圆位置关系 【典例1】已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径为， 依题意，以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则， 而，因此，解得， 所以的取值范围为. 【变式1】若圆与圆的公共弦长为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，根据点到直线的距离公式，利用几何法求弦长列出方程，解方程即可. 【详解】圆与圆两式相减， 整理得公共弦所在直线方程为， 又，圆心为，半径为2，公共弦长为， 则圆心到直线的距离 ， 化简得， 解得：．验证知符合题意. 故选：A.    【变式2】已知圆：与圆：有公共点，则（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】由圆，圆的方程确定两圆的圆心和半径，结合条件可得，解不等式求的范围即可. 【详解】由题得圆：的圆心为，半径为； 圆：的圆心为，半径为； 因为圆与圆有公共点， 所以，又， 所以 由，可得， 由可得， 所以， 所以的最小值为，最大值为. 【变式3】已知点P为圆上的一个点，点，，则（    ） A．过点A一定存在两条直线与圆C相切 B．存在实数a，使得 C．存在实数a，使得 D．存在实数a，使得 【答案】BC 【分析】分别确定各选项中P点的轨迹（都是圆），利用圆与圆的位置关系判断. 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆心C在直线上， 选项A，当时，，即在圆内，过点A不存在圆C切线，A错误； 选项B，，则在以为圆心，2为半径的圆上， 当时，，， 因此圆B与圆C相交，即圆C上有点P，满足，B正确； 选项C，，则P在以为直径的圆上，圆心为，半径为， 取，即，， 显然，即圆M与圆C相交， 所以圆C上有点P，满足，C正确； 选项D，，设，则， 化简得，即在以为圆心，2为半径的圆上， 由于， 从而取任意实数，都有圆N与圆C外离，所以不存在P，满足，D错误. 40．已知圆，直线，则（     ） A．直线上存在点，使得 B．直线被圆截得的弦长为4 C．圆上的点到直线的最大距离为 D．过圆心作直线的垂线，垂足坐标为 【答案】BCD 【分析】先求出圆C的圆心、半径，再计算圆心到直线l的距离，结合点到直线距离公式、弦长公式、直线交点求解等知识逐一判断选项. 【详解】圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 因为，所以直线上不存在点，使得，故A错误； 因为，所以直线与圆相交，所以弦长为，故B正确； 因为圆上的点到直线的最大距离为，故C正确； 过圆心作直线的垂线，则垂线的斜率为，所以直线方程为，联立，可解得，所以垂足坐标为，故D正确. 题型 05 圆上点到直线最大最小距离 【典例1】已知实数满足方程，求的最大值和最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把转化为圆上一点与原点连线的斜率，设，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由方程，可化为， 表示以为圆心坐标､为半径的圆， 由的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设，即， 如图所示，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 此时，解得，所以的最大值为，最小值为. 【变式1】直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于,当时,,当时,,所以,, 所以.圆的圆心为,半径, 圆心到直线的距离为, 即直线与圆相离,所以点P到直线的距离的最大值为, 点P到直线的距离的最小值为, 所以面积的最大值为,最小值为, 所以面积的取值范围是. 【变式2】圆 上的动点到直线的距离的最大值是（     ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】直线过定点，圆上的点到直线的最大距离即圆上的点到定点的距离，计算即可. 【详解】直线 所过的定点坐标为， 圆的圆心坐标为，半径为 2 ， 当圆上的动点到直线的距离最大时，即为圆上的动点到定点的距离， 已知圆心到定点的 距离为， 所以距离的最大值为.    故选：C 【变式3】已知圆M：与直线l：，则圆心M到直线l的最大距离为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】计算圆心为，过定点，最大距离为，得到答案. 【详解】圆M：，即，圆心为， 过定点，故圆心M到直线l的最大距离为. 故选：. 【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点是解题的关键. 题型 06动点轨迹问题 【典例1】过原点作直线交圆于，两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题意可得P点轨迹是一个圆的一部分,再结合圆的几何性质及弧长公式可得. 【详解】由圆的性质知，故点的轨迹是以为直径的圆位于圆内部的－段圆弧，如图： 因为，所以的中点，且点D在圆C上， 故以为直径的圆的方程为， 设此圆与圆的两个交点为、，所以四边形是边长为1的菱形， 所以，所以为正三角形，且边长为1. 所以，，则弧的长度为． 【变式1】已知，，为平面上的一个动点，若，则的轨迹所围成的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：使用两点间距离公式结合条件可得的轨迹为圆，进而可得轨迹所围成的面积；法二：由题意得的轨迹为存在一条直径位于轴上的圆，由此求出圆的端点，进而可得半径与面积. 【详解】法一：因为，，设，由得， 平方并整理得，化简并整理得， 故点的轨迹是圆，其半径为，故其面积为. 法二：因为，，，所以的轨迹为一条直径位于轴上的圆， 设此直径的端点坐标为，则或 所以或，所以的轨迹所围成的面积为. 【变式2】已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； (3)过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在， 【分析】（1）法一利用中点性质求出，再代入中求解轨迹方程，法二结合相似的性质得到，再结合圆的定义求出轨迹方程即可. （2）先讨论直线的斜率是否存在，再利用直线与圆的位置关系求出直线方程，进而求出交点坐标和弦长即可. （3）对直线斜率是否存在进行讨论，并结合题意得到，进而得到，进而求解出定点即可. 【详解】（1）法一：设点坐标为， 因为点坐标为，点为线段的中点，所以， 又因为点在圆上，代入圆的方程得 化简得，故点的轨迹方程为， 法二：设圆心与点连线的中点为点， 如图，作出符合题意的图形， 因为点为的中点，为的中点，所以， 因为，所以， 则，可得点轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 故轨迹方程为． （2）当过点的直线斜率不存在时，不可能与圆有交点，故舍去； 如图，作出符合题意的图形， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径2， 可得，解得， 此时直线方程为，联立可得， 解得，，所以点和点坐标为，， 故直线的方程为， （3）存在，点坐标为，证明如下， 不妨设点坐标为，交点，点坐标为，， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 联立方程组，解得，， 则与圆的交点为和，可得轴上任意一点均满足题意， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，化简得， 由韦达定理可知， 又因为轴平分，所以直线和直线的斜率互为相反数： 可得，即， 将直线方程代入，化简得到 代入韦达定理结果得， 化简得，即，解得， 综上所述，点坐标为，得证． 题型 07公切线问题 【典例1】已知圆与圆的公切线有且只有一条，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】首先根据题意得到圆与圆内切，从而得到求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为. 因为圆和圆只有一条公切线， 所以圆与圆内切，所以，即或． 故选：C. 【变式1】已知圆：，点，（），若圆上存在，两点，使得以，，，四个点为顶点的平行四边形有且仅有1个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形顶点的位置关系，分为平行四边形的对角线和其中一边两种情况分类讨论，分别计算两种情况对应的符合条件的平行四边形个数，由平行四边形有且仅有1个限定出不等关系，解不等式可求出的取值范围. 【详解】易知圆：的圆心为，半径为； 显然，因此点在圆的内部； 点，都在直线上，且该直线过圆心； 若， 由对称性可知在直线两侧分别可构造出两组且互相平行的直线，此时可构成两个以为一边的平行四边形； 除此之外，当与垂直且互相平分时可构成一个以为对角线的平行四边形， 综上可知，一共可以构成三个平行四边形，显然不合题意； 若， 此时在直线两侧无法构造出，此时无法构成以为一边的平行四边形； 因此只有当与垂直且互相平分时可构成一个平行四边形， 此时为平行四边形的对角线，且的中点到圆心的距离不大于半径， 所以， 解得； 当时，或， 此时弦的长为，两点重合，不合题意； 因此可得的取值范围是. 【变式2】若动点在圆上，动点在圆上，则（    ） A．两圆有3条公切线 B．两圆公共弦所在直线方程为 C．的最大值为 D．两圆公共弦长为 【答案】BC 【分析】求出圆和圆的圆心、半径，判断两圆的位置关系，再逐项分析计算作答. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， ，即，因此，圆与圆相交， 圆与圆只有两条公切线，A不正确； 两圆的方程相减得：，即两圆公共弦所在直线方程为，B正确； 由圆的性质得：，C正确； 点到直线的距离，则有两圆公共弦长为，D不正确. 故选：BC 【变式3】点在圆：上，点在圆：上，则（    ） A．两圆有且仅有两条公切线 B．的最大值为10 C．两个圆心所在直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线方程为 【答案】BC 【分析】两圆的位置关系可得公切线的条数进而可判断A；由可判断B；由斜率公式求出可判断C；两圆的位置关系可判断D. 【详解】圆的圆心坐标，半径 圆 ，即的圆心坐标，半径 因为圆心距， 所以两圆外切， 所以两圆有3条公切线，故A错误； 又在圆上，在圆上 则的最大值为，故B正确； 两圆圆心所在的直线斜率为，C正确； 因为两圆外切，故两圆没有相交弦，故D错误； 故选：BC 1．已知圆与圆交于、两点，且四边形的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，分析可知点为的中点，由四边形的面积为，可得出的长，利用勾股定理可得出关于的等式，解出的值，即可求得. 【详解】如下图所示： 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 由题意可知，，，，， 所以，，所以，， 设，则为的中点， 故四边形的面积为，则， 故，所以，， ，又因为， 所以，，解得，因此，. 故选：C. 2．已知圆，当圆心C到直线的距离最大时，实数的值是（    ） A． B． C．－3 D．3 【答案】B 【分析】圆心，半径，直线恒过定点，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，由斜率公式求得的斜率，再由垂直关系可得答案． 【详解】因为圆的方程为：，化为标准方程得：， 所以圆心为，半径， 直线恒过定点， 当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大， 由斜率公式得直线的斜率为：， 由垂直关系的斜率公式得：，解得， 故选：B． 3．圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 直线可化为， 令，得，故直线过定点， 由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：， 故圆上的点到直线距离最大值为. 4．已知圆：上任意一点，设点到直线：的距离为，当取最大值时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，直线过定点，圆的圆心，当时，圆心到直线的距离最大，求出直线的斜率，从而可求出直线方程. 【详解】直线：过定点， 圆：的圆心，半径； 当时，圆心到直线的距离最大， ∵，∴，即直线方程为. 故选：C 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题. 5．已知圆：，直线：，设为圆上的一动点，则点到直线的最大距离为（   ） A．4 B．5 C．7 D．13 【答案】C 【分析】先求得圆心到直线的最大距离，再根据圆周上的点到直线距离的最大值为即可求解． 【详解】由题意得圆心，半径为3， 因为直线：，所以直线过定点， 数形结合可知，圆心到直线的最大距离， 所以点到直线的最大距离为． 6．若圆与圆有且仅有一条公切线，则（    ） A．16 B．25 C．36 D．16或36 【答案】C 【分析】将圆化成标准方程，求出圆心和半径，由题可判断两圆内切，结合圆心距等于半径差可求. 【详解】根据题意，圆，即，其圆心为，半径为1， 圆，圆心为，半径为， 两圆的圆心距， 若两圆有且仅有一条公切线，则两圆内切，则有， 又由，解可得， 故选：C． 7．已知圆与圆，若与有且仅有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，再求出结果即可. 【详解】圆可化为，圆心，半径； 圆可化为，圆心，半径； 因为与有且仅有一条公切线，所以两圆内切， 所以，即，解得. 故选：D 8．已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用已知条件结合点到直线距离列式计算求解. 【详解】圆心到直线的距离， 结合圆上到直线距离为1的点有且仅有3个，可得. 9．已知直线：被圆截得的弦长为，则直线的斜率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用圆的弦长公式及点到直线距离公式列式求解. 【详解】由直线被圆截得的弦长为， 得圆心到直线的距离为， 因此，整理得，解得， 所以直线的斜率. 10．已知直线与圆相切，则（     ） A． B． C．或 D． 或 【答案】B 【分析】由直线与圆的位置关系列出方程求解即可. 【详解】因为圆的圆心，半径， 由题意可得， 整理得， 解得. 11．已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A．与圆相交 B．与圆相切 C．与圆相离 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】先找出对称轴上的定点，由对称性质得该定点到距离相等，写出的轨迹圆；再将轨迹圆与已知圆联立求交点，得到点坐标；计算圆心到直线的距离，对比半径判断直线与圆的位置关系. 【详解】∵圆，∴圆心，半径； 关于直线对称，且原点在直线上， ，， 则，故在圆上， 联立，解得，， ， ∵，∴，得， 所以直线方程为， 圆心到直线的距离：， ，直线与圆相离. 12．阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的有（    ） A．曲线的方程为 B．过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 【答案】AD 【分析】设，由点满足，求得曲线的轨迹方程为，结合圆的性质，直线与圆的位置关系和圆的切线长公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设，因为，且点满足， 可得，即， 可得， 整理得，即曲线的方程为，所以A正确； 对于B，由曲线的方程为，可得其圆心，半径为， 设过点的直线的斜率为，则其直线方程为，即， 若直线与圆有公共点，则满足圆心到直线的距离小于等于半径，即， 可得，解得，即直线的斜率范围是，所以B错误； 对于C，由圆心到直线的距离为， 则曲线上的点到直线的最小距离为，所以C不正确； 对于D，由圆心到点的距离为， 根据圆的切线长公式，可得切线长为，所以D正确. 13．动直线与动直线相交于点，则下列说法正确的是（     ） A．直线过的定点是 B．点C的轨迹是一个完整的圆 C．的最小值为2 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对A，将的方程整理为含参数的分组形式，令的系数和常数项同时为0，解得定点判断；对B，由两直线恒垂直，交点轨迹本是以两直线定点连线为直径的圆，但圆上的点无法通过有限实数取到；对C，将分式化简为，利用几何意义求出的范围，进而求得原式最小值为；对D，将转化为乘以点到直线的距离，得最小距离对应点取不到，最大距离对应点存在，进而得取值范围. 【详解】对于A：对动直线整理得，令，得定点， 代入方程验证恒成立，A正确； 对于B：对，整理得，令，得定点； 对任意，由可知， 所以交点的轨迹是以为直径的圆，圆心为中点，又， 所以圆方程为， 但点满足圆方程但无法通过有限实数取到， 轨迹缺一个点，不是完整的圆，B错误； 对于C：，是点与定点连线的斜率， 连线方程为，则，解得， 因此原式最小值为，且对应点在轨迹上，能取到最小值，C正确； 对于D：（是点到直线的距离）， 圆心到直线的距离，圆半径为， 因此， 距离为对应切点，不在轨迹上，故； 最大距离对应点，在轨迹上，因此，D正确. 14．已知两条直线和交于点，则（   ） A．直线必过点 B．点在圆上 C．点到直线距离最小值为 D．点的轨迹与圆有三条公切线 【答案】ABD 【分析】将代入直线计算可得A；结合两直线位置关系及所过定点计算可得B；利用圆的性质及点到直线距离公式计算可得C；求出两圆圆心距离及半径之和可得两圆位置关系，即可得D. 【详解】对A：将代入，可得， 故直线必过点，故A正确； 对B：对，令，则，故过点， 又，故与垂直， 结合直线过点，可得点在以为直径的圆上， 圆心为，半径， 故点在圆上，故B正确； 对C：由B知，点在圆上， 由斜率存在，故的轨迹不过点， 故点的轨迹方程为，且不过点， 的轨迹所在圆的圆心为，半径， 到直线距离， 则点到直线距离最小值为， 由图可得，此时点不为，故C错误； 对D：圆的圆心为，半径， 则，， 故圆与圆相外切， 即有三条公切线，故D正确. 15．已知圆：和圆：相交于、两点，下列说法正确的为（    ） A．两圆有两条公切线 B．直线的方程为 C．线段的长为 D．点在圆上，点在圆上，则的最大值为 【答案】AD 【分析】两圆相交，由两条外公切线，将两圆方程相减可求得交线方程，求公共弦长转化为求相交弦长，数形结合可求得两圆上动点距离的最大值. 【详解】解：因为圆O：和圆C：相交于A、B两点， 所以两圆有两条公切线，∴A正确； 圆O：和圆C：的方程相减得， 故直线AB的方程为，∴B错误； 圆O：的圆心为，，到直线AB的距离为， 所以线段AB的长为，∴C错误； 圆：的圆心为，，则两圆圆心距， 点E在圆上，点在圆上，则的最大值为，D正确． 故选：AD． 16．已知圆和圆的交点为，，则（    ） A．圆和圆有两条公切线 B．直线的方程为 C．圆上存在两点和使得 D．圆上的点到直线的最大距离为 【答案】ABD 【分析】A：判断两圆相交可得切线条数；B：两圆相交，做差可得公共弦方程；C：判断弦AB经过圆心，则弦为最长弦，不再存在比AB更长的弦；D：求圆心到直线的距离加半径即为到直线AB的最大距离. 【详解】解：对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确； 对于B，将两圆方程作差可得，即得公共弦的方程为，故B正确； 对于C，直线经过圆的圆心，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，故C错误； 对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确. 故选：ABD. 17．点在圆上，点在圆上，则（    ） A．圆与圆相交 B．的最大值为10 C．两圆的公共弦长为 D．当直线与圆相切时，的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据两圆的方程分别求出两圆的圆心和半径，再结合图象分析各个选项的正误. 【详解】对于A，由圆的方程知，圆心，半径； 圆的方程化成标准方程为，所以圆心，半径． 因为两圆圆心距，且， 所以圆与圆相交，故A正确． 对于B，如图所示， 当线段PQ同时经过两圆圆心且分别在圆心两侧时， ，故B错误． 对于C，如图所示， 两圆方程作差，得两圆公共弦所在直线方程为， 又圆心到直线的距离， 所以两圆的公共弦长为，故C正确． 对于D，如图所示， 当直线与圆相切时，点在圆外， 因为，所以当取得最大值时，取得最大值． 因为，所以点在圆上，所以的最大值为， 所以的最大值为，故D正确． 故选：ACD． 18．已知圆和圆，则下列结论正确的是（    ） A．两圆有3条公切线 B．两圆的公共弦所在的直线方程为 C．若点E在圆C上，点F在圆M上，则的最大值为 D．两圆的交点及两个圆心的连线所围成的四边形的面积为 【答案】BD 【分析】由两圆方程式可知圆心及半径，确定两圆位置关系，再确定公切线条数，可判断A，将两圆方程式相减，可得到公共弦方程式，可判断B，利用圆上点到定直线距离最值，可判断C，求出弦长，可判断D. 【详解】由圆，得圆心，半径，由圆，得圆心，半径. 对于A项，因为，所以两圆相交，则两圆有两条公切线，故A不正确； 对于B项，因为两圆相交，将两圆的方程作差得，所以公共弦所在的直线方程为，故B项正确； 对于C项，由题意可得，当E，C，M，F四点共线时，最大， 所以，故C项不正确； 对于D项，圆心到公共弦所在的直线的距离, 所以公共弦长为， 所以两圆的交点及两个圆心的连线所围成的四边形的面积为，故D项正确. 故选：BD. 19．点在圆：上，点在圆：上，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】先把两个圆的方程都转化成标准形式，得出圆心坐标和半径大小，再算圆心距，并判断位置关系，求 的最值，及圆心连线斜率，最后逐一判断选项即可. 【详解】圆 ：，圆心 ，半径 ， 圆 ：，即，所以圆心 ，半径 ， 则，所以两圆相离. 的最小值：，A错误； 的最大值：， 的最大值为 7，B正确； C选项：两圆心连线斜率 ，C正确. D选项：两圆外离，无相交弦，故方程不存在， D错误. 故选：BC. 20．已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________ . 【答案】 【详解】因为直线l的一个方向向量为， 所以直线l的斜率为 1．已知圆和圆的交点为，则下列说法正确的是（    ） A．两圆的圆心距 B．直线的方程为 C．圆上存在两点和，使得 D．圆上的点到直线的最大距离为 【答案】AD 【分析】A选项，求出两圆的圆心，得到圆心距；B选项，两圆相减得到直线的方程；C选项，线段是圆的直径，故C错误；D选项，求出圆心到直线的距离，从而得到最大距离. 【详解】对于，因为圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标， 因为两个圆相交，所以两圆的圆心距，故A正确； 对于，将两圆方程作差可得， 即得公共弦的方程为，故B错误； 对于，由B选项可知，直线的方程为，由于满足上， 故直线经过圆的圆心坐标，所以线段是圆的直径， 故圆中不存在比长的弦，故C错误； 对于，圆的圆心坐标为，半径为2， 圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的最大距离为，故D正确， 故选：AD. 2．已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线与直线垂直，则 C．若直线在轴上的截距为3，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AC 【详解】对于A：直线的方程可化为，由，解得， 即该直线恒过定点，故A正确； 对于B：直线的斜率为，直线与直线垂直， 则直线得斜率，故B错误. 对于C：由，令，解得，依题意，解得，故C正确； 对于D：依题意，因，由正切函数的性质，可得，故D错误. 3．已知过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则直线必过定点________． 【答案】 【分析】求出以为直径的圆的方程，将该圆方程与圆的方程作差，可得出直线的方程，将直线的方程变形，可求得直线所过定点的坐标. 【详解】圆的方程可化为，所以圆心． 则以为直径的圆的圆心为， 设以为直径的圆的半径为，则． 所以以为直径的圆的方程为． 过点作圆的切点分别为、， 两圆的交点为、，即两圆的公共弦为． 将两圆的方程相减可得直线的方程为，即， 令得，所以直线必过定点． 故答案为：． (2) 【分析】（1）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程即可. （2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程即可. 【详解】（1）由条件可知，圆心为， 所以圆的标准方程为. （2）由题意得，所以半径， 由中点坐标公式得圆心为， 所以圆的标准方程为. 4．点是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为_________. 【答案】 【分析】计算，设直线方程为，计算，利用点到直线的距离公式得到答案. 【详解】如图所示：，故，设直线方程为. ，，故，根据相似计算得到， 利用点到直线的距离公式得到：，解得或 当时，直线和圆不相交，舍去，故. 故答案为：.    【点睛】本题考查了圆的切线问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 5．已知两定点，，动点M与定点P，Q的距离之比（，），那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为______． 【答案】 【分析】先根据阿波罗尼斯圆的性质得到三角形相似，进而得到比值和相应值． 【详解】如图所示，根据阿波罗尼斯圆的性质得，与相似， 于是有， 又，且阿波罗尼斯圆方程为， 所以，，因此，， 由于，因此，故的值为． 6．已知直线，直线，若，则______________. 【答案】 【分析】由两直线平行，且，即可求出的值. 【详解】因为，则且，所以. 7．已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 【答案】 【详解】由题可知圆的圆心为、半径为，且， 过点作圆的切线，设切点为A， 则切线长. 8．已知圆，，为圆O上相异两点，且，则的最大值为______． 【答案】 【分析】根据，得到A，B的关系，进而得到的关系，代入目标式以后，利用三角换元求最值. 【详解】因为，则， 又A，B为圆O上相异两点，则A，B关于原点O对称， 所以，，所以， 由圆得半径，圆心为， 设，所以， 当时，取最大值，为， 即的最大值为. 9．已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】利用两条直线垂直的充要条件求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由直线和垂直，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 10．已知点在圆上，点，，则点到直线的距离的最大值为__________；当最小时，的长度为__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，利用几何性质，结合点到直线距离公式求出最大值，再作出图形，确定角最小时直线的位置求解. 【详解】依题意，直线的直线方程为，即，圆的圆心，半径为4， 圆心到直线的距离为，因此点到直线的距离的最大值为； 如图：当最小时，直线与圆相切，又，，所以. 11．已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为______． 【答案】 【分析】找到点关于直线的对称点，即可得到即为的最小值. 【详解】    如图所示，设点关于直线的对称点为，则，， 连接， ， 则即为的最小值， ， 所以为的最小值为． 12．求过两直线和的交点且过点的直线方程． 【答案】4x－y－3＝0 【分析】求出两直线x＋y－7＝0和3x－y－1＝0 的交点，再用两点式方程求出直线方程. 【详解】由x＋y－7＝0和3x－y－1＝0联立并解得：x＝2，y＝5． ∵直线过点(2，5)和(1，1) ∴所求的直线方程为，即：4x－y－3＝0． 13．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程. 【答案】x＋y＝0 【分析】列方程组求得方程组的解，即得交点坐标，求得直线斜率后得直线方程． 【详解】由方程组 解得，即l1与l2的交点坐标为(－2,2). ∵直线过坐标原点，所以其斜率k＝＝－1， 直线方程为y＝－x，一般式为x＋y＝0. 14．在平面直角坐标系中，点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）因为，由两点间距离公式列出方程后化简即可求得轨迹的方程； （2）由点斜式设出直线的方程，因为与相切，且的轨迹是圆，则有圆心到直线的距离等于半径，结合点到直线距离公式即可求得当斜率存在时直线的方程，再考虑直线的斜率不存在即可． 【详解】（1）因为，由，得， 化简得，即， 所以点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，轨迹表示圆心为，半径为2的圆， 当直线的斜率不存在时，方程为， 此时圆心到直线的距离，等于圆的半径， 故直线与相切，满足题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 于是圆心到的距离等于半径2， 即，解得， 因此直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 15．已知，，，求（均写出一般式方程）： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)求点关于的对称点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）因，，， 设中点为，则得，即， 则直线的方程为，即； （2）依题意，当截距为0时，直线过原点和点， 则其方程为，即； 当截距不为0时，依题意，可设直线， 代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或； （3）设关于的对称点，则中点在上且， 则， 解得，，故． 16．根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； 【答案】(1) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $