1 空间直角坐标系-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

本讲义聚焦空间直角坐标系核心知识点，从平面直角坐标系类比引入，系统讲解坐标系建立、点的坐标确定、对称点坐标规律及空间两点间距离公式，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料通过正方体、正四棱锥等实例，引导学生用数学眼光观察空间形式，在推导距离公式和对称规律中培养数学思维的推理能力，以坐标表示和问题解决发展数学语言的模型观念。课中辅助教师直观教学，课后通过跟踪训练和易错分析帮助学生查漏补缺。

§1　空间直角坐标系 学习目标 1.了解空间直角坐标系，能在空间直角坐标系中写出所给点的坐标．　2.了解空间两点间距离公式的推导过程．　3.会应用空间两点间的距离公式，求空间中两点间的距离． 一　点在空间直角坐标系中的坐标 1．空间直角坐标系 坐标系 定义 图示 空间直角坐标系 过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz，如图所示．点O叫作__________，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作____________，通过每两条坐标轴的平面叫作________________，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面 右手系 在空间直角坐标系中，伸出右手，让四指与大拇指__________，并使四指先指向x轴____________，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向______________，此时大拇指的指向即为z轴正方向．我们也称这样的坐标系为右手系 2.点在空间直角坐标系中的坐标 (1)类比平面上点的坐标的确定方式，可以先作出点P在三条坐标轴上的投影，再根据投影在坐标轴上的坐标写出表示点P位置的三元有序实数组； (2)在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用唯一的一个三元有序实数组(x，y，z)来表示；反之，对于任意给定的一个三元有序实数组(x，y，z)，都可以确定空间中的一个点P.这样，在空间直角坐标系中，任意一点P与三元有序实数组(x，y，z)之间，就建立了一一对应的关系：________________． 三元有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的________，记作P(x，y，z)，其中______叫作点P的横坐标，______叫作点P的纵坐标，________________________叫作点P的竖坐标． 提醒　(1)画空间直角坐标系O－xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°，三个坐标平面把空间分成八个部分． (2)将x轴和y轴放在水平面上． (3)x轴的正半轴逆时针旋转90°与y轴正半轴重合． (4)建立的坐标系一般为右手系． [答案自填] 坐标原点　坐标轴　坐标平面　垂直　正方向　y轴正方向　P↔(x，y，z) 坐标　x　y　z 　(1)以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线的交点坐标为(　　) A． B． C． D． (2)已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标． 【解】　(1)选B．由题意知A(0，0，0)，B1(1，0，1)，故AB1的中点为. (2)连接AC，BD，交于点O，连接OP.因为正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，所以|AO|＝2，所以正四棱锥的高为＝2.以点O为原点，过原点平行于BC，AB的直线分别为x轴、y轴，OP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2，0)，B(2，2，0)，C(－2，2，0)，D(－2，－2，0)，P(0，0，2).(答案不唯一) (1)建立空间直角坐标系的原则 ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内． ②充分利用几何图形的对称性． (2)求某点M的坐标的方法 ①垂线法：向坐标轴或坐标平面作垂线．注意坐标符号． ②公式法：利用中点坐标公式、重心坐标公式求出坐标． ③方程(组)法：利用向量平行或相等关系设出所求点的坐标，建立方程组． 作MM′垂直于xOy平面，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上投影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z). [跟踪训练1] 画一个正方体ABCD-A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 (1)顶点A，D1的坐标分别为__________________________； (2)棱C1C中点的坐标为________； (3)正方形BCC1B1对角线的交点的坐标为_________________________． 答案：(1)(0，0，0)，(0，1，1)　(2)(1，1，) (3)(1，，) 二　空间点的对称问题 　在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4). (1)求点P关于x轴对称的点P1的坐标； (2)求点P关于xOy平面对称的点P2的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点P3的坐标． 【解】　(1)由于点P关于x轴对称后，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数，所以对称点P1的坐标为(－2，－1，－4). (2)由点P关于xOy平面对称后，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以对称点P2的坐标为(－2，1，－4). (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3的坐标为(6，－3，－12). 空间直角坐标系中对称点坐标的求法 (1)在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点如下： 关于xOy 平面对称 关于yOz 平面对称 关于zOx 平面对称 关于原点对称 (x，y，－z) (－x，y，z) (x，－y，z) (－x，－y，－z) 关于x轴对称 关于y轴对称 关于z轴对称 (x，－y，－z) (－x，y，－z) (－x，－y，z) (2)点关于坐标轴、坐标平面的对称点的坐标的记忆方法：“关于谁对称谁不变，其余均改变”，如关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数，关于xOy平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数． [跟踪训练2] (1)(2024·陕西西安检测)点A(3，－2，4)关于点(0，1，－3)的对称点的坐标是(　　) A．　　　 B．(－3，2，－4) C．(－3，4，－10) D．(6，－5，11) 解析：选C．设点A(3，－2，4)关于点(0，1，－3)的对称点的坐标为(x，y，z)，可得解得所以对称点的坐标是(－3，4，－10).故选C． (2)已知点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________． 解析：点P(2，3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1). 答案：(2，－3，1) 三　空间两点间的距离公式 已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离为|PQ|＝_______________________________． 提醒　(1)公式特征：同名坐标差的平方和的算术平方根． (2)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝. (3)x2＋y2＋z2＝1表示以原点为球心，1为半径的球的方程． [答案自填] 　(1)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝|BC|＝2，|AA1|＝，点E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则点E，F间的距离为________． (2)如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，CA⊥CB，D，E，F分别是棱AB，B1C1，AC的中点，求|DE|，|EF|的长． 【解】　(1)以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1，1, )，F，所以|EF|＝＝.所以点E，F间的距离为. (2)以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，所以C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，所以|DE|＝＝，|EF|＝＝. 在具体的立体几何图形中，需结合图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，再利用空间两点间的距离公式求解． [跟踪训练3] (1)若点A(1，2，a)到原点的距离为，则实数a的值为________． 解析：由已知得 ＝，所以a2＝6，解得a＝±. 答案：± (2)已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5).求： ①△ABC中最短边的边长； ②AC边上中线的长度． 解：①由空间两点间距离公式得 |AB|＝＝3， |BC|＝＝， |AC|＝＝， 所以△ABC中最短边是BC，其长度为. ②由中点坐标公式，得AC的中点坐标为，所以AC边上中线的长度为＝. 四　空间两点间距离公式的综合应用 　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝2，|AA1|＝3，点M，N分别是AB，B1C1的中点，点P是线段DM的中点，求|NP|的长． 【解】　如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．则D(0，0，0)，N(1，2，3)，M(2，1，0).因为点P是线段DM的中点，所以P.所以|NP|＝＝. 【变式探究】 (综合变式)若本例中条件“点P是线段DM的中点”改成“点P是线段DM上的点，且|DP|＝a”，求|NP|的最小值及此时a的值． 解：依例题中解法建立空间直角坐标系．设点P的坐标为(x，y，0)，则x＝2y(0≤y≤1).|NP|＝＝ ＝ ＝， 所以当y＝时，|NP|取最小值，最小值为，此时a＝＝＝. 距离是几何中的基本度量，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值． [跟踪训练4] 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系O-xyz.若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|. (1)试写出点P的坐标，并写出点P关于y轴的对称点P′的坐标； (2)在线段C1D上找一点M，使得点M和点P间的距离最小，求出点M的坐标． 解：(1)由题意知P的坐标为.点P关于y轴的对称点P′的坐标为. (2)设线段C1D上一点M的坐标为(0，m，m)，0≤m≤1，则点M和点P间的距离|MP|＝＝＝，当m＝时，|MP|取到最小值，所以点M的坐标为. 易错点 对于空间直角坐标系的对称性质理解错误 [典例展示]　点A(1，2，3)关于xOy平面对称的点B的坐标是(　　) A．(－1，2，3) B．(1，－2，3) C．(1，2，－3) D．(－1，－2，3) [错解展示]　根据空间直角坐标系的对称性质得选D． 正解：根据空间直角坐标系的对称性质得，关于xOy平面对称时，横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，故选C． 答案：C [易错警示]　错解错在对于空间直角坐标系的对称性质理解错误，空间直角坐标系和平面直角坐标系中的对称性质是一样的，对称轴或对称平面上的坐标不改变，其他坐标要改变．掌握这个规律就能准确解题． 1．在空间直角坐标系中，下列各点位于yOz平面内的是(　　) A．(3，2，1) B．(2，0，0) C．(5，0，2) D．(0，－1，－3) 解析：选D．位于yOz平面内的点，其横坐标为0，其余坐标任意，故(0，－1，－3)在yOz平面内． 2．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标平面的距离都是2，那么该定点到原点的距离是(　　) A． B．2 C． D． 解析：选B．设该定点坐标为(x，y，z)，因为在空间直角坐标系中，该定点到三个坐标平面的距离都是2，所以|x|＝2，|y|＝2，|z|＝2，所以该定点到原点的距离是＝2. 3．在空间直角坐标系中，点A(－1，2，－3)关于yOz平面的对称点的坐标为____________． 解析：点A(－1，2，－3)关于yOz平面的对称点的坐标为(1，2，－3). 答案：(1，2，－3) 4．已知空间中两点A(－3，－1，1)，B(－2，2，3)，在z轴上有一点C，它到A，B两点的距离相等，求点C的坐标． 解：设点C的坐标为(0，0，z)，则由|CA|＝|CB|，得＝，即10＋(z－1)2＝8＋(z－3)2，解得z＝，所以点C的坐标为. 1．已学习：空间直角坐标系的概念、空间点的坐标及空间两点间的距离公式． 2．须贯通：求空间直角坐标系中点的坐标，要观察该点在坐标轴的正方向或负方向上距离原点的距离． 3．应注意：混淆空间中点的对称点的特点，记忆方法：“关于谁对称谁不变，其余均改变”． 学科网（北京）股份有限公司 $