第05讲 5.4.1正弦函数、余弦函数的图象讲义（知识清单+4类热点题型讲练+分层强化训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学正弦函数、余弦函数的图象这一核心知识点，先梳理正弦曲线、余弦曲线的定义，再详解几何法和“五点法”两种作图方法，以“五点法”为关键技能搭建从定义到作图的学习支架，为后续函数性质学习奠定基础。 该资料以思维导图构建知识框架，知识梳理结合即学即练帮助学生直观理解图象特征，题型精讲从作图到解不等式、求零点层层递进，培养数学眼光与逻辑推理能力。题型精练分层设计，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

第05讲5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 第一部分思维导图 正弦函数Sina 五个关键点 a,0.5.x,0.-.(2r0 COS0余弦函数 五个关键点 @.-0..(2x 正弦函数、余弦函数的图象 列表如下 V=Asin(@x+0)(A>0,0>0) +· 第二部分知识梳理 知识点01：正弦函数的图象 正弦函数y=Sinx,x∈R的图象叫做正弦曲线 y个y=sinx,x∈R 5元 元 3元 5π 7π -4元 2 匹 4元 2 知识点02：正弦函数图象的画法 (1)几何法： ①在单位圆上，将点A绕着点O旋转Xo弧度至点B,根据正弦函数的定义，点B的纵坐标 %=sinX.由此，以x,为横坐标，yo为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T(x,sin xo) Txo,sinXo)） 3元 2π ②将函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平行移动（每次移动2π个单位长度） (2)“五点法”： 在函数y=sinx,r∈[0,2π]的图象上，以下五个点： 0-.0受-.2x.0 在确定图象形状时起关键作用描出这五个点，函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状就基本 确定了因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来， 得到正弦函数的简图 【即学即练l】(2025高二下福建学业考试)函数y=sir+l的图象是() VA YA 知识点03：余弦函数的图象 余弦函数y=CoSx,x∈R的图象叫做余弦曲线 y=cosx,x∈R 7π 5匹 3元 元 3π 5元 7π 2 -2 ·2 -2 2---2 =2π 3匹 4匹 知识点04：余弦函数图象的画法 I)要得到y=cosx'x∈R的图象只需把y=sinx'x∈R的图象向左平移2个单位长度即 可，这是因为cosx=sin(x+乃 (2)用“五点法”画余弦函数y=C0sx在x∈[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为 0),号0，云，-》·（受，0,2x,少再用光滑的曲线述接起来 3π 【即学即练2】(25-26高一下·安徽蚌埠：阶段检测)函数y=cos(-)-2在x∈[-元，可上的图 象是() 3 第三部分题型精讲 题型01用“五点法”作三角函数的图象 【典例1】利用“五点法”画出函数y=sin 6 在长度为一个周期的闭区间的简图， 列表： 2+6 作图： O 5it 8元 11πx --3 -3-- -3---1--1---3--1---1---3 【典例2】设函数f)=2cos2x-了(xeR) 3 5 1r1 G1 -2 π7π (1)在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数f(x)在区间6'6 上的简图（请 先列表，再描点连线)： 5π (2)若f 6 3的值 【变式1】(2425高一上层龙江牡丹江阶段检测)已知函数)=sm(2-孕， y 12 -1 请用“五点法”画出函数()在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字， 再画图)· 2x-8 0 2π x f(x) 【变式2】(2425高-上甘市白银期末)已知西数f)=22x-4) (1)求f(x)的单调递减区间： (2)用“五点法”作出f(x)在一个周期内的简图的过程如下，请先补全表格，然后在下图的 坐标系中作出f(x)在一个周期内的简图. 列表： x 2x 4 f(x)=2cos 画图： 纤 9元. 4:2:4 8 0元3本5π匹π： 888 -2 【变式】(2324高一下湖北十堰开学考试)已知函数（倒=22x+) 1 衣 -2 (1)求当f(x)取得最大值时，x的取值集合： (2)完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数f(x)在[0，上的图象 2r+ 题型02利用图象解三角不等式 【典例1】函数y=V2cos2x+1的定义域是 A.{r-g≤xs2r+gke 6 cpr≤xs2x+5ke 【典例2】(25-26高一下·江西赣州阶段检测) 已知函数f()=sm2x+】 2x+8 2元 5π 12 y=sin 2+8 0 -1 口管季多孥警 -1 (1)用五点法作出(x)在一个周期上的图象： 2根据函数图象，求不等式m2x+君2的解集 【变式1】(24-25高一下四川南充阶段检测) 已知离数f=2n（2x-4),xR f(x) 0 (1)在用“五点法”作函数f(x)的图象时，完成上述表格，并在坐标系中画出函数y=f(x) 的大致图象： (2)根据(1)得到的图象，写出函数)的对称轴方程和对称中心的坐标； 3)求不等式f)-V5>0的解集. 【变式2】已知函数f()-2cos2x+ 2 5π π 12 π-3 [2rπ )用五点法画出函数f(x)在3'3上的大致图像，并写出f(x)的最小正周期： (2)解不等式Vf(x)≤1. 【变式3】设函数f)=coar+p@>0,于<<0的最小正周朗为'且f原= 3 2 (1)求0和9的值： (2)给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π上的图像，并结合图像写出函数的单调递减区间 (直接写出结果即可，不需要叙述过程)： √2 3)若f(x)> 2， 求的取值范围， /(x) 2 π} 2π 12 6 6 题型03利用图象求方程的解或函数零点的个数问题 【典例1】(25-26高一下贵州遵义·阶段检测)方程log,-sinr=0根的个数为 【奥例2】(2526高一下辽宁期中)曲线f闪=2sn与8()=3c2x+星在K间 (0,)上的交点个数为 【变式1】(2026高一全国·专题练习)方程 2】 log1x=0的解的个数为一 【变式2】(25-26高一下·安徽安庆阶段检测)函数f(x)=x-5sinx的零点的个数是 【变式3】(25-26高-下上海期中)已知f()-=2cos3x+日+sin,当xe0.2m时 4 函数)=)的零点个数为 题型04利用图象根据方程的解或函数零点代数和 【典例1】.(25-26高一下江西赣州期中)函数f(x)=6sinx-x+π的所有零点的和为 () A.3π B.5π C.3 D.5 【典例2】(2025高三上河南鹤壁专题练习)函数f(x)=2x-3-8 sin(∈R)的所有零 点之和为. 【变式1】函数/（四=iamr-2x2元，xe[-2元3网的所有零点之和等于（）. 2 A.π B.2元 C.3π D.4π 【变式2】(25-26高一上河北期末)函数f(x)=5sin()-x+2所有零点的和为 【变式3】(2025广东佛山-模拟预测)已知函数f(x)=sinx-g,其零点个数为 函数8(x)=sinx+g(0-x儿，则函数f(x)与函数g(x)的所有零点之和为 第四部分题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1.(25-26高一下河南南阳期中)当x∈[0,4时，曲线y=cosx与y=cos2x的交点个数为 () A.5 B.7 C.9 D.11 2.(25-26高一上黑龙江哈尔滨期末)己知函数f(,=sinx,则方程f(可gx解的个数 是() A.1 B.2 C.3 D.4 π 3.(25-26高二上山东日照开学考试)当x∈0， 2时， 曲线y=cosx与 y=2cos 4x+ +4的交点个数为() A.6 B.5 C.4 D.3 4.(24-25高二下四川广安阶段检测)函数y=x-2sinx(-元≤x≤π)的大致图象是 () i. 5(2425商三上福建滚州阶段检测)当xe不，可时，曲线y=0s与y=c@2r-引 的交点个数为() A.2 B.3 C.4 D.6 6.(2025-陕西汉中·模拟预测)当x∈[-2元，)时，曲线y=sinx与y=cosx的交点个数为 () A.2 B.3 C.4 D.5 7.(多选)(24-25高一上·全国课后作业)下列x的取值范围能使cosx>sinx成立的是 () A. c. （经2a].(） 1 8.(多选)(23-24高一上云南玉溪期末)已知函数f()=simx-l8K2的所有零点从 小到大依次记为，…，x,则（) A.n=20 B.n=18 C.x+x2+…+xn=10 D.x+x2+…+xn=9 9.(24-25高一下·北京海淀·期中)设点M是函数y=sinx图象与函数y=cosx图象的交 点，则点M的坐标可以是一·（写出一个满足条件的坐标即可） 10.(24-25高-下广西阶段检测)当x10.2a时，曲线y=snx与y=2sm3x-石)的 交点个数为 B能力提升 1.(24-25高一下四川南充阶段检测)函数f()=sinx+2|sinx,xe[0,2河的图像与直 线y=k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是() A.1,3) B.(-1,0U0,3) C.1,3] D.[-1,1] sinx,0≤x≤l, 2.(25-26高一下北京延庆期中)已知函数f()= cosx,1<x≤3.若直线y=a与函数 f(x)恰有2个交点，则实数a的取值范围是() A.{ B.{U(-1,0) c.{U(-1,0D.{U[-1,0] 3.(2026高一下全国专题练习)函数y=x2-Cosx的零点个数为， 4.(25-26高三上青海阶段检测)曲线y=sin(x+l)与y=lgr交点个数是 cosx,-π≤x<0 5.(25-26高一下·安徽芜湖阶段检测)已知函数f(x)= sinx,0≤x≤元，图象如下： π 4)若f()=2,求x的值： (2)若aeR,讨论方程f(x)=a的解的个数. 第05讲 5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：正弦函数的图象 正弦函数,的图象叫做正弦曲线. 知识点02：正弦函数图象的画法 (1)几何法: ①在单位圆上,将点绕着点旋转弧度至点,根据正弦函数的定义,点的纵坐标.由此,以为横坐标,为纵坐标画点,即得到函数图象上的点. ②将函数,的图象不断向左、向右平行移动(每次移动个单位长度). (2)“五点法”: 在函数,的图象上,以下五个点: ，，，， 在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数,的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图. 【即学即练1】（2025高二下·福建·学业考试）函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的值域及函数图像的平移变换规律，结合特殊点坐标进行判断. 【详解】 由正弦函数的性质可知 ， 所以 ， 即函数 的值域为 ， 这意味着函数的图像应全部位于 轴上方（包含与 轴相切的情况），且最大值为 ， 观察四个选项： A 选项：图像过原点，且有负值，不符； B 选项：图像有负值，不符； D 选项：图像过原点，且有负值，不符； C 选项：图像全部在 轴上方，最大值为 ，且当 时 ，符合函数 的特征. 知识点03：余弦函数的图象 余弦函数,的图象叫做余弦曲线. 知识点04：余弦函数图象的画法 (1)要得到,的图象,只需把,的图象向左平移个单位长度即可,这是因为. (2)用“五点法”:画余弦函数在上的图象时,所取的五个关键点分别为，，，，再用光滑的曲线连接起来. 【即学即练2】（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）函数在上的图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】利用排除法即可求解. 【详解】取，则，排除BCD选项， 故只有A选项符合题意. 第三部分 题型精讲 题型01 用“五点法”作三角函数的图象 【典例1】利用“五点法”画出函数 在长度为一个周期的闭区间的简图． 列表: x y 作图: 【答案】 0 x y 0 1 0 0 【分析】分别取等于，求出对应的的值，再通过描点得出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． 【详解】先列表： 0 x y 0 1 0 0 再描点并画图， 【典例2】设函数. (1)在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数在区间上的简图(请先列表，再描点连线)； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先列表取出五点，再在直角坐标系中描点，然后连线即可完成； （2）由题可得，再由诱导公式可求得，即可得解. 【详解】（1）列表如下： 0 2 0 -2 0 2 （2）由，得， 由， 得， 由， 得， 则. 【点睛】本题考查“五点法”画函数图像，考查已知三角函数值求三角函数值，解题的关键是正确进行角的拼凑，利用诱导公式求解. 【变式1】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知函数， 请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）. 0 x 【答案】 令，得： 0 x 0 1 0 0 画出函数在一个周期的图象，如图， 【分析】根据五点作图法，分别令填写表格，再作出函数图象. 【详解】略 【变式2】（24-25高一上·甘肃白银·期末）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)用“五点法”作出在一个周期内的简图的过程如下，请先补全表格，然后在下图的坐标系中作出在一个周期内的简图. 列表： 画图： 【答案】(1). (2) 0 【分析】（1）利用余弦函数的单调性可得单调递减区间； （2）填写表格，画出函数图像得到答案. 【详解】（1）令，，，， ，， 即的单调递减区间为. （2）略 【变式3】（23-24高一下·湖北十堰·开学考试）已知函数. (1)求当取得最大值时，的取值集合； (2)完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数在上的图象. 【答案】(1) (2) 列表如下： x 0 0 0 2 则函数在上的图象，如图： 【分析】（1）利用余弦函数性质建立方程，求解即可. （2）利用列表、描点法作出函数图象. 【详解】（1）由题意，当取得最大值时，有，， 所以，， 所以的取值集合为. （2）略 题型02 利用图象解三角不等式 【典例1】函数的定义域是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得出，然后利用余弦函数的图象解此不等式即可. 【详解】由题意可得， 解得. 故选：D.    【点睛】本题考查三角函数定义域的求解，解题时要熟悉三角函数图象，考查计算能力，属于中等题. 【典例2】（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知函数， (1)用五点法作出在一个周期上的图象； (2)根据函数图象，求不等式的解集. 【答案】(1)列表如下： 作出函数在一个周期上的图象如下图所示： (2) 【分析】（1）根据列表、描点、连线，可作出函数在一个周期内的图象： （2）由可得，解之即可. 【详解】（1）略 （2）由可得，解得， 故不等式的解集为. 【变式1】（24-25高一下·四川南充·阶段检测）已知函数，． (1)在用“五点法”作函数的图象时，完成上述表格，并在坐标系中画出函数的大致图象； (2)根据（1）得到的图象，写出函数的对称轴方程和对称中心的坐标； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) 0 0 2 0 -2 0 (2)对称轴方程为：，对称中心为：， (3) 【分析】（1）根据正弦函数“五点法”作图的取点方式，分别求出对应的x和，进而填表，结合“五点法”画出图象即可； （2）结合图象即可求解； （3）由正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）略 （2）由图象可得： 函数的对称轴方程为：， 函数的对称中心为：， （3）由，可得， 由正弦函数的性质可得：， 解得， 即不等式的解集为. 【变式2】已知函数. (1)用五点法画出函数在上的大致图像，并写出的最小正周期； (2)解不等式. 【答案】(1)作图见解析， (2)，. 【分析】（1）用五点法画出函数,再写出的最小正周期即可； （2）由，可得，再解三角不等式即可. 【详解】（1）由，列表如下： 0 0 2 0 函数图像如图： 函数的最小正周期. （2）因为，所以， 即，所以， 则，或，， 解得，或，. 故所求不等式的解集为，. 【变式3】设函数的最小正周期为，且 (1)求和的值； (2)给定坐标系中作出函数在上的图像，并结合图像写出函数的单调递减区间（直接写出结果即可，不需要叙述过程）； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)作图见解析，； (3). 【分析】（1）根据给定条件，结合余弦函数的性质求解作答. （2）结合（1）中函数的解析式绘制函数在上的图象，再写出递减区间即可. （3）由（1）中函数的解析式，列出不等式，再解三角不等式作答. 【详解】（1）依题意，，则， 因，则，即，而，解得， 所以，. （2）由（1）知，， 当时，列表如下： 0 1 0 -1 0 函数在上的图像如下： 观察图象知，函数在上的单调递减区间为， 所以函数的单调递减区间是. （3）由（1）知，，由得：， 解得，化简得， 所以的取值范围是. 题型03 利用图象求方程的解或函数零点的个数问题 【典例1】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）方程根的个数为_________ 【答案】6 【分析】将问题转换成函数图象交点，结合函数图象即可求解. 【详解】画出的函数图象， 由图象可知，两个函数共有6个交点， 故方程根的个数为6. 【典例2】（25-26高一下·辽宁·期中）曲线与在区间上的交点个数为______． 【答案】2 【分析】在同一坐标系中作出两曲线在区间上的图象，利用数形结合法求解. 【详解】列表： x 0 0 0 3 在同一坐标系中作出与在区间上的图象， 如图所示： 由图象知；曲线与在区间上有2个交点． 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）方程的解的个数为__. 【答案】2 【分析】方程的解的个数，即函数和函数的图象的交点个数，画出两函数图象即可得. 【详解】方程的解的个数， 即函数和函数的图象的交点个数， 如图所示，数形结合可得， 函数和函数的图象的交点个数为2， 故方程的解的个数为2. 【变式2】（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）函数的零点的个数是______． 【答案】3 【分析】根据正弦函数的图象及零点的概念求解即可. 【详解】令，得，在同一坐标系内画出和的图象． 由图可知两函数的图象有3个交点，所以函数有3个零点． 【变式3】（25-26高一下·上海·期中）已知，当时，函数的零点个数为______. 【答案】6 【分析】令，然后通过分析方程在给定区间内的解的个数来确定函数的零点个数. 【详解】令，即，移项可得， 对于，其周期；对于，其周期； 当时，画出两个函数图象为： 由图象可以看出，方程在给定区间内的解的个数为6， 所以函数的零点个数为6. 题型04 利用图象根据方程的解或函数零点代数和 【典例1】．（25-26高一下·江西赣州·期中）函数的所有零点的和为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据题意，的零点转化为与的交点，结合图像及对称性求解即可． 【详解】由，得， 则所有零点的和等价于函数与的图象所有交点的横坐标之和． 易得与的图象均关于点对称． ，，，结合与的图象， 可知与的图象在内共有2个交点， 则与的图象共有5个交点，且关于点对称， 则这5个交点的横坐标之和为，即所有零点的和为． 【典例2】（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）函数的所有零点之和为______________ 【答案】12 【分析】函数的零点转化为图象的交点来解决，在同一坐标系下画出和的函数图象，根据函数图象的对称性以及交点个数可得答案. 【详解】由可得，设，， 则函数的零点个数等价于与的交点个数.作出两函数的图象如下. 因，即函数关于直线对称， 对于，由，解得， 即函数也关于对称. 即两函数的图象均关于直线对称. 又因的最小正周期为 ， 且当时， ， 而对于，，且在上单调递增， 所以当时，两函数图象无交点，由图知，两函数在上有4个交点； 再由图象对称性可知，两函数的图象共有个交点，且关于直线对称， 故的个零点之和为． 故答案为：12. 【变式1】函数，的所有零点之和等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数的零点转化为函数图象交点横坐标，画出函数图象，结合函数图像的对称性易得结果. 【详解】由题意分析，函数，的零点， 即函数与函数的交点的横坐标. 由于函数与函数的图像均关于对称，如图所示      则设的零点为， 由对称性可得，所以. 故选：B． 【变式2】（25-26高一上·河北·期末）函数所有零点的和为__________． 【答案】22 【分析】将问题转化为函数的图象与直线所有交点的横坐标之和． 【详解】由，得，则所有零点的和等价于函数的图象与直线所有交点的横坐标之和． 易得的图象与直线均关于点（2，0）对称． 又， 结合的图象与直线可知， 的图象与直线在内共有5个交点， 则的图象与直线共有11个交点，且关于点对称， 则这11个交点的横坐标之和为，即所有零点的和为22．    故答案为：22 【变式3】（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数，其零点个数为__________，函数，则函数与函数的所有零点之和为__________． 【答案】 10 100 【分析】利用函数与方程的思想，将函数的零点个数问题转化为与函数的交点个数问题，数形结合即可求出答案；判断两函数的零点关系后可得两者的零点之和. 【详解】由可得，则该函数的零点个数即函数与函数的交点个数. 在同一坐标系中作出两函数的图象. 由图可知，函数是周期为2，值域为的函数，而函数在上单调递减， 函数值由减小到0，在上单调递增，函数值由0增大到. 又当时，，当时，，而， 故两者的交点个数为个，即函数的零点个数为10； 又因， 则得， 所以也有个零点，设这个零点为， 则为的个不同的零点， 故函数与函数的所有零点之和为. 故答案为：10；100. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（25-26高一下·河南南阳·期中）当时，曲线与的交点个数为（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】在同一坐标系中画出两函数图象即可得. 【详解】在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有7个交点. 2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则方程解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将方程解的个数转化为函数与函数的图象的交点的个数，数形结合即可判断 【详解】根据题意，令，分别作出函数与函数的图象.    在区间内，函数单调递减，与函数有1个交点； 在区间内，函数的值域为，函数单调递增且值域为， 又当时，，结合图象，在区间内，函数与函数有3个交点， 故方程解的个数为4. 故选：D. 3．（25-26高二上·山东日照·开学考试）当时，曲线与的交点个数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据题意，作出函数图象，运用数形结合思想求解即可. 【详解】由题得的最小正周期为，即在内，有3个周期， 又其值域为，且当时，， 在同一个坐标系内作出与的图象如图所示， 由图象知曲线与有6个交点．    故选：A. 4．（24-25高二下·四川广安·阶段检测）函数（）的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用排除法求解.先判断函数的奇偶性，排除CD，再结合特殊点的函数值，进行判断. 【详解】定义域为R，， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故CD错误； 又当时，.故B错误 故选：A 5．（24-25高三上·福建漳州·阶段检测）当时，曲线与的交点个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】首先画出它们各自的图象，然后根据余弦函数的性质和图象可判断交点个数. 【详解】令，因为，所以. 根据余弦函数的图象和性质，画出它们的图象为：    从图象可以看出它们的交点个数为4个. 故选：C. 6．（2025·陕西汉中·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】作出函数图像易得交点个数为3. 【详解】曲线与的图像如下， 所以交点个数为3， 故选：B. 7．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列的取值范围能使成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题意作图，结合图象，可得答案. 【详解】在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数在上的图象，如图： 在内，当时，或， 结合图象可知满足的的取值范围是和. 故选：AC 8．（多选）（23-24高一上·云南玉溪·期末）已知函数的所有零点从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据零点定义，结合正弦型函数和对数型函数的图象进行求解即可. 【详解】令， 在同一直角坐标系，画出两个函数图象如下图所示： 由图可知共有20个交点，故，则A正确，B错误； 又函数的图象都关于对称，则， 故，则C正确，错误， 故选：AC 9．（24-25高一下·北京海淀·期中）设点是函数图象与函数图象的交点，则点的坐标可以是______．（写出一个满足条件的坐标即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先解方程得，然后取，则，即可得满足条件的一个点坐标. 【详解】要求函数与的交点，即先解方程， 两边同时除以（），得，其解为， 取，则，此时， 因此，点的坐标可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 10．（24-25高一下·广西·阶段检测）当时，曲线与的交点个数为________． 【答案】6 【分析】根据正弦函数图像的性质作出两函数图象即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点． 故答案为：6. B能力提升 1．（24-25高一下·四川南充·阶段检测）函数，的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 当时，，∴ ， ∴ ，此时. ∵ 当时，，∴ ， ∴ ，此时. 画出的大致图像如图所示： 观察图象可得，要想有且仅有两个交点，则. 2．（25-26高一下·北京延庆·期中）已知函数若直线与函数恰有2个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线与函数恰有2个交点，将函数图像画出即可求出实数的取值范围是. 3．（2026高一下·全国·专题练习）函数的零点个数为_____________． 【答案】 【分析】根据题意，转化为函数和的图象的交点个数，画出和的图象，结合图象，即可求解. 【详解】函数的零点个数，即为函数和的图象的交点个数， 在同一平面直角坐标系中，画出和的图象， 如图所示，结合图象，可得两个函数图象有两个交点， 所以函数的零点有两个． 故答案为：. 4．（25-26高三上·青海·阶段检测）曲线与交点个数是_______． 【答案】3 【分析】分别作出与图象，分析即可得答案. 【详解】在同一坐标系中作出与图象，如下图所示， 因为，在 单调递增，， 所以由图象可得，交点个数为3. 故答案为：3 5．（25-26高一下·安徽芜湖·阶段检测）已知函数，图象如下： (1)若，求的值； (2)若，讨论方程的解的个数. 【答案】(1)或或 (2) 当或时，解的个数为0； 当或时，解的个数为1； 当时，解的个数为3. 【分析】（1）根据正余弦函数的图像和性质求解； （2）的解的个数就是函数和的交点个数. 【详解】（1）的函数图象如下： 当时，，解得， 当时，，解得或， 综上，或或； （2）方程的解的个数等价于与的图象的交点个数， 则由（1）中函数图象可得， 当或时，解的个数为0； 当或时，解的个数为1； 当时，解的个数为3. 学科网（北京）股份有限公司 $