第5章 5.4.2 第3课时 正弦函数、余弦函数的性质的综合问题（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本高中数学讲义聚焦正弦函数、余弦函数性质的综合应用，衔接前期对基本性质的学习，以“整体代换”思想为支架，系统探究二次型三角函数（如y=asin²x+bsinx+c）的最值、正余弦函数的对称性及性质综合应用（单调性、周期性等）。 资料以问题链驱动探究，通过例题延伸、反思感悟强化“换元法”“整体代换”等数学思维，如例1将三角函数转化为二次函数求最值培养运算能力与推理意识。课中助力教师系统授课，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

第3课时　正弦函数、余弦函数的性质的综合问题 学习目标　1.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质，能够了解函数的整体性质.(重点)2.能够解决简单的函数性质的综合问题.(难点) 导语 同学们，经过前面几节课的学习，我们对正弦函数、余弦函数有了比较深刻的认识，在探究的过程中，我们发现，“整体代换”的数学思想能有效地帮助我们解决问题.整体代换思想是我们高中数学解题中的一个重要思想，它贯穿于整个高中数学学习中，特别是在解决三角函数问题时，熟练掌握整体代换思想，有利于我们化简、求值、运算等，尤其是在解决单调性、对称性等问题中，整体代换思想发挥着重大作用，今天，我们继续体会整体代换的数学思想. 一、形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题 问题1　求二次函数的最值，需要明确哪些方面？ 提示　开口方向、对称轴、函数的定义域. 问题2　同角三角函数的平方关系是什么？ 提示　sin2α+cos2α=1. 例1　函数y=cos2x+2sin x-2，x∈R的值域为　　　　. 答案　[-4，0] 解析　因为y=cos2x+2sin x-2=-sin2x+2sin x-1=-(sin x-1)2. 又-1≤sin x≤1，所以-4≤y≤0， 所以函数y=cos2x+2sin x-2，x∈R的值域为[-4，0]. 延伸探究1　把本例中“x∈R”变为“x∈”，求函数的最大值和最小值及取得最值时x的值. 解　由例题解答可知y=-(sin x-1)2， 因为x∈所以≤sin x≤1， 所以当sin x=1，即x=时，ymax=0； 当sin x=即x=时，ymin=-. 延伸探究2　本例函数变为y=sin2x+2cos x-2，x∈R，求函数的值域. 解　因为y=sin2x+2cos x-2=1-cos2x+2cos x-2=-cos2x+2cos x-1=-(cos x-1)2， 又-1≤cos x≤1，所以函数的值域为[-4，0]. 反思感悟　 求y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数最值(值域)的方法 形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型，可利用换元思想，设t=sin x，转化为二次函数y=at2+bt+c求最值.t的范围需要根据定义域来确定.若f(x)=asin2x+bcos x+c，还需利用同角三角函数的基本关系，转化成同名三角函数求值. 跟踪训练1　函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是　　　　. 答案　1 解析　由题意得f(x)=1-cos2x+cos x-令cos x=t，则t∈[0，1]，则y=-t2+t+=-+1，当t=即x=时，f(x)取得最大值1. 二、正弦函数、余弦函数的对称性 问题3　正弦函数y=sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？ 提示　有，(kπ，0)(k∈Z). 问题4　正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，其对称轴方程是什么？ 提示　是轴对称图形，方程为x=+kπ(k∈Z). 问题5　类比正弦函数的对称轴和对称中心，你能写出余弦函数的对称轴和对称中心吗？ 提示　对称轴方程是x=kπ(k∈Z)，对称中心的坐标为k∈Z). 例2　函数y=cos的图象的对称轴是直线　　　　，对称中心是点　　　　. 答案　x=k∈Z)　k∈Z) 解析　令2x+=kπ(k∈Z)， 即x=k∈Z)， 故函数y=cos的图象的对称轴是直线 x=k∈Z). 令2x+=kπ+k∈Z)，即x=k∈Z). 故函数y=cos的图象的对称中心是点k∈Z). 反思感悟　正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.考查了整体代换的数学思想. 跟踪训练2　求函数y=2sin的对称轴、对称中心. 解　y=2sin=-2sin； 令2x-+kπ，k∈Z，得x=k∈Z， 所以函数y=2sin的对称轴为直线x=k∈Z； 令2x-=kπ，k∈Z，得x=k∈Z. 所以函数y=2sin的对称中心为k∈Z. 三、函数性质的综合应用 例3　(多选)函数f(x)=cosω>0)的最小正周期为π，则f(x)满足(　　) A.在上单调递增 B.当x=时有最小值-1 C.f D.图象关于直线x=对称 答案　AB 解析　∵函数f(x)=cosω>0)的最小正周期为π， ∴=π，即ω=2， ∴f(x)=cos. 对于A，当x∈时，2x+ ∵⊆(π，2π)， ∴f(x)在上单调递增，故A正确； ∵f =cos=cos π=-1，故B正确； ∵f =cos=cos =-故C错误； 又f =cos=cos =0≠±1，故D错误. 反思感悟　 研究三角函数性质的几个方面是通过数形结合.用整体代换的数学思想研究三角函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等. 跟踪训练3　(多选)已知函数f(x)=2sin则(　　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x)的图象关于点对称 D.f(x)在区间(0，π)上有两个零点 答案　ABD 解析　f(x)的最小正周期T==π，故A正确； ∵f =2sin=2， ∴f(x)的图象关于直线x=对称，故B正确； ∵f =2sin=2sin=1， 故f(x)的图象不经过点即不是其对称中心，故C错误； 令f(x)=0(0<x<π)，即2sin=0， 解得x=或x=故f(x)在区间(0，π)上有两个零点，故D正确. 1.知识清单： (1)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题. (2)正弦函数、余弦函数的对称性. (3)函数性质的综合应用. 2.方法归纳：整体代换、换元法. 3.常见误区：二次函数求最值时需考虑自变量本身的范围，数形结合求解. 1.已知函数y=sin(2x+φ)的图象关于点对称，则φ可以是(　　) A.- B. C.- D. 答案　C 解析　因为函数y=sin(2x+φ)的图象关于点对称，所以2×+φ=kπ(k∈Z)，解得φ=kπ-k∈Z).结合选项，当k=0时，φ=-. 2.已知函数y=4cos x的定义域为值域为[a，b]，则b-a的值是(　　) A.4 B.4-2 C.6 D.4+2 答案　C 解析　∵函数y=4cos x的定义域为且函数在上单调递减.∴当x=时，ymax=4cos =2，即b=2；当x=π时，ymin=4cos π=-4，即a=-4，则b-a=2-(-4)=6. 3.已知直线x=和x=是曲线f(x)=sin(ωx+φ)(-π<φ≤π)的两条对称轴，且函数f(x)在上单调递减，则φ的值是(　　) A.- B.0 C. D.π 答案　A 解析　因为f(x)在上单调递减，且两条对称轴为直线x=和x=所以f是最小值，直线x=0也是对称轴，所以f(0)=-1，故sin φ=-1.又-π<φ≤π，解得φ=-. 4.函数y=cos2x+sin x的最大值为　　　　. 答案　 解析　因为y=cos2x+sin x=1-sin2x+sin x， 令t=sin x，t∈[-1，1]， 则y=-t2+t+1=- 所以当t=时，ymax=. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.函数y=sin πx的图象的两个相邻对称中心间的距离为(　　) A.π B.2π C.1 D.2 答案　C 解析　函数y=sin πx的图象的两个相邻对称中心间的距离为函数的周期T==2，则=1. 2.下列函数中，最小正周期为4π，且图象关于点对称的函数是(　　) A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin 答案　D 解析　若函数的最小正周期为4π， 则函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)中ω= 此时y=2sin 当x=时，y=2sin=0， 此时φ可取-. 3.函数y=|sin x|的一个单调递增区间是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　画出y=|sin x|的图象，如图所示. 结合选项可知函数的一个单调递增区间为. 4.设函数f(x)=cosω>0)的最小正周期为则它的一条对称轴方程为(　　) A.x= B.x=- C.x= D.x=- 答案　D 解析　因为函数f(x)=cosω>0)的最小正周期为所以解得ω=10， 所以f(x)=cos令10x-=kπ，k∈Z，得x=k∈Z，当k=-1时，x=-. 5.如果函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称，那么|φ|取最小值时，φ的值为(　　) A.± B. C.- D.± 答案　D 解析　由函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称， 可得2π+φ=+kπ，k∈Z，即φ=-+kπ，k∈Z，当|φ|取最小值时，k=1，即φ=-或k=2，即φ=故|φ|取最小值时，φ的值为±. 6.对于x∈R，f(x)=sin2x+sin x-1的最小值为(　　) A.- B.-1 C.0 D.-2 答案　A 解析　令sin x=t，则t∈[-1，1]，则y=t2+t-1= 所以当t=-时，y=t2+t-1取得最小值，最小值为-. 7.(多选)已知函数f(x)=sin下列四个结论中，正确的有(　　) A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f(x)的图象关于直线x=对称 C.函数f(x)的图象关于点对称 D.函数f(x)在上单调递增 答案　AD 解析　对于A，函数f(x)的最小正周期T==π，故A正确； 对于B，当x=时，2x-=0，又x=0不是y=sin x的对称轴，故B错误； 对于C，当x=时，2x-又不是y=sin x的对称中心，故C错误； 对于D，当x∈时，2x- 当x∈时，y=sin x单调递增，故D正确. 8.(5分)函数f(x)=3sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称，设g(x)=3cos(ωx+φ)，则g=　　　. 答案　0 解析　∵函数f(x)的图象关于直线x=对称， ∴ω+φ=+kπ，k∈Z， 则cos=0. ∴g=3cos=0. 9.(5分)设函数f(x)=cosω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则f =　　　　，ω的最小值为　　　　. 答案　1　 解析　∵f(x)≤f对任意的实数x都成立， ∴当x=时，f(x)取得最大值1. 即f =cos=1， ∴ω-=2kπ，k∈Z，∴ω=8k+k∈Z. ∵ω>0，∴当k=0时，ω取得最小值. 10.(10分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)若f(x)的图象关于点对称，且图象上两个相邻最高点的距离为π. (1)求f(x)；(5分) (2)求f(x)的单调递增区间.(5分) 解　(1)依题意T=π，∴ω=2， f(x)=sin(2x+φ)， 又f(x)的图象关于点对称， ∴2×+φ=kπ，k∈Z，得φ=+kπ，k∈Z， 又|φ|≤∴φ= ∴f(x)=. (2)令-+2kπ≤2x++2kπ，k∈Z， 得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， ∴f(x)的单调递增区间为k∈Z. 11.(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y=f(x)的图象关于点中心对称，则f等于(　　) A.1 B. C. D.3 答案　A 解析　因为<T<π， 所以<π，解得2<ω<3. 因为y=f(x)的图象关于点中心对称， 所以b=2，且sin=0， 所以ω+=kπ(k∈Z)， 即ω=-k(k∈Z)， 令k=4，得ω= 所以f(x)=sin+2， 所以f=sin+2=sin +2=1. 12.设函数f(x)=cos ωx(ω>0)=2则ω可以是(　　) A. B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　因为f(x)=cos ωx，则该函数的最大值为1，最小值为-1， 且=2=f(x)max-f(x)min， 所以f(x1)，f(x2)中一个为函数f(x)的最大值，一个为函数f(x)的最小值， 设函数f(x)的最小正周期为T， 则T=T=k∈N)， 即可得ω=4k+2(k∈N)，所以ω的可能取值为2. 13.(5分)已知关于x的不等式cos2x-4cos x+a≥1在内恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　. 答案　[4，+∞) 解析　由cos2x-4cos x+a≥1得a≥-cos2x+4cos x+1， 设t=cos x， 因为x∈ 所以t=cos x∈[0，1]， 则a≥-t2+4t+1在t∈[0，1]上恒成立， 设f(t)=-t2+4t+1， 则二次函数f(t)的对称轴为直线t=2， 函数图象开口向下， 所以函数f(t)在[0，1]上单调递增， 所以f(t)的最大值为f(1)=4， 故a≥4，即实数a的取值范围为[4，+∞). 14.(11分)已知函数f(x)=2cosx∈R. (1)求函数f(x)的单调递增区间；(4分) (2)当x∈时，方程f(x)=k恰有两个不同的实数根，求实数k的取值范围.(7分) 解　(1)由余弦函数的单调性，令2kπ-π≤2x+≤2kπ，k∈Z，得-+kπ≤x≤-+kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为k∈Z. (2)由(1)知函数f(x)=2cos的单调递增区间为k∈Z， 令2kπ≤2x+≤π+2kπ，k∈Z， 得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递减区间为k∈Z， 所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减， 且f=0，f=2，f =- 所以当0≤k<2时，直线y=k与函数y=f(x)的图象有两个公共点， 即当0≤k<2时，方程f(x)=k恰有两个不同的实数根. 所以实数k的取值范围为[0，2). 15.(多选)设函数f(x)=sin2x-2sin |x|-3，则(　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)在上单调递减 C.f(x)的最小值是-4 D.f(x)在[-2π，2π]上有2个零点 答案　ACD 解析　由题意，函数f(x)的定义域为R， 因为f(-x)=sin2(-x)-2sin |-x|-3=sin2x-2sin |x|-3=f(x)， 所以函数f(x)是偶函数，故A正确； 因为x<0， 所以f(x)=sin2x+2sin x-3=(sin x+1)2-4， 令t=sin x，在x∈上单调递增， 所以f(t)=(t+1)2-4，在(-1，+∞)上单调递增， 因为x∈ 所以t=sin x∈ 所以f(x)在上单调递增，故B错误； 当x≥0时，f(x)=sin2x-2sin x-3=(sin x-1)2-4， 所以当sin x=1时，f(x)min=-4， 当x<0时，f(x)=sin2x+2sin x-3=(sin x+1)2-4， 所以当sin x=-1时，f(x)min=-4， 综上，f(x)min=-4，故C正确； 当x≥0时，f(x)=sin2x-2sin x-3， 令f(x)=0，得sin2x-2sin x-3=0， 解得sin x=3(舍去)或sin x=-1， 因为x∈[0，2π]， 所以x= 即是函数f(x)在[0，2π]上的零点， 又因为f(x)是偶函数，所以-是f(x)在[-2π，0)上的零点， 所以函数f(x)在[-2π，2π]上有2个零点，故D正确. 16.(12分)设f(x)=log3. (1)求函数f(x)的定义域；(4分) (2)判断函数f(x)的奇偶性；(4分) (3)试判断f(x)是否为周期函数？若是，直接写出f(x)的最小正周期.(4分) 解　(1)∵>0，∴-<sin x< ∴kπ-<x<kπ+k∈Z， ∴该函数的定义域为. (2)由(1)知定义域关于原点对称， 又f(-x)=log3=log3 =-log3=-f(x)， ∴该函数为奇函数. (3)由于y=sin x的最小正周期为2π， f(x+2π)=log3 =log3=f(x)， 即f(x)为周期函数，最小正周期T=2π. 学科网（北京）股份有限公司 $