第01讲 3.1.1函数的概念（知识清单+12类热点题型+2核心方法+分层强化训练）【精讲精练】-2026-2027学年高一上学期数学同步学与练（人教A版必修第一册）

本讲义聚焦高中数学“函数的概念”核心知识点，从初中传统定义过渡到近代集合对应定义，系统梳理函数的非空性、任意性等四特征，明确定义域、对应关系、值域三要素及函数相等的判断标准，结合区间概念构建完整知识支架。 资料以思维导图开篇构建知识框架，知识梳理配“即学即练”实例强化理解，题型精讲分12类覆盖函数关系判断、定义域值域求解等应用，精练分层次提升。通过概念抽象培养数学眼光，逻辑推理发展数学思维，符号表达强化数学语言，课中辅助教师系统授课，课后助力学生分层练习查漏补缺。

第01讲 3.1.1函数的概念 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 【即学即练1】（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 知识点02：函数的三要素 1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 【即学即练2】（24-25高一上·广东深圳·期中）函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要使函数有意义，则， 所以函数定义域为. 知识点03：函数相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 【即学即练3】（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． 知识点04：区间的概念 1区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 2含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 【即学即练4】（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）集合或用区间表示为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据区间定义即可得答案. 【详解】由区间定义可知，或. 故选：A 第三部分 题型精讲 题型01函数关系的判断 【典例1】（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）下列图形可作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义即可判断. 【详解】对于C，满足函数的定义，所以可以作为函数的图象， 对于A、B、D均存在使得一个对应两个及两个以上的值，不符合函数的定义，所以不能作为函数的图象. 故选：C. 【典例2】（多选）（25-26高一上·四川达州·阶段检测）下列能够表示集合到集合的函数关系的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的概念判断各选项即可. 【详解】对于A，在中，当时，对应的函数值为，与集合不对应，故A错误； 对于B，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故B正确； 对于C，在中，当时，对应的函数值为，与集合不对应，故C错误； 对于D，在中，当时，对应的函数值为都属于集合，故D正确. 故选：BD. 【变式1】下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】A，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； B，当时，对于，任意，都有唯一的与之相对应，所以是的函数，符合； C，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合； D，令，由，得，不符合函数的定义，所以不是的函数，不符合. 故选：B 【变式2】（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】BD 【分析】根据函数的概念，集合中任意一个元素，集合中都有唯一的元素与之对应，选项和分别可以举出反例，即可判断是错误的；选项和满足概念条件. 【详解】选项，A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数. 选项，由负数没有平方根，若集合A中的元素取负整数，则集合B中没有元素与之对应，故不是集合A到集合B的函数. 选项，对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数. 【变式3】（25-26高一上·山东枣庄·期中）下列图形中是以为自变量，为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数的定义逐项判断即可. 【详解】根据函数的定义可知，ABD选项中的图象为函数的图象， 对于C选项，当时，一个与两个对应，不符合函数的概念， 故选：ABD. 题型02集合与区间的转化 【典例1】（23-24高三上·陕西宝鸡·阶段检测）设全集，，，则图中阴影部分表示的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由韦恩图的意义结合区间集合的运算即可得解. 【详解】集合，， ， . 故选：B. 【典例2】（24-25高一·全国·课堂例题）用区间表示下列数集： （1）__________； （2）__________； （3）且__________； （4）__________； （5）__________． 【答案】 【分析】根据区间的定义逐个分析可得结果. 【详解】； ； 且； ； . 故答案为：；；；；. 【变式1】（23-24高一上·河南郑州·阶段检测）已知全集U＝R，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据图确定集合为，再求集合，即可求解. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为， 因为集合，又全集， 所以，因为， 所以. 故选：B 【变式2】试用区间表示下列实数集 （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）、（2）直接写出区间即可；（3）画数轴，由集合的交集运算可得结果；（4）由集合的并集运算可得结果. 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查了区间的表示和集合的交集、并集运算，考查了计算能力，属于基础题目. 题型03同一个函数 【典例1】（25-26高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，， 所以表示同一函数，D正确. 【典例2】（多选）（24-25高一上·广西河池·期中）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于选项A： ∵ 的定义域为，，定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项B： ∵ 的定义域为，化简后为，而的定义域为，二者定义域不同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 对于选项C： ∵ 的定义域为，的定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项D： ∵ ，定义域为；的定义域为，化简后为，二者定义域和对应法则均不相同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 综上，正确选项为A、C. 【变式1】（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可. 【详解】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·天津和平·期中）下列各组函数为同一个函数的是________． ①， ②， ③， ④，且 【答案】③④ 【分析】若为同一个函数，则需要两个函数的三要素，即定义域、值域、对应法则都相等，以此判断即可. 【详解】①的定义域为R，的定义域为，故不是同一个函数； ②的定义域为R，的定义域为，故不是同一个函数； ③ ，且定义域为，值域为， ，且定义域为，值域为， 函数三要素一致，故是同一个函数； ④定义域为，值域为， 定义域为，值域为， 函数三要素一致，故是同一个函数. 故答案为：③④ 题型04求函数值 【典例1】若函数，，则（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】A 【分析】应用赋值法计算求解函数值. 【详解】因为，所以，又，所以. 【典例2】（25-26高一上·福建泉州·期中）若函数，则_____. 【答案】 【分析】令，求出，即可得答案. 【详解】令，可得，解得，所以. 故答案为： 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则_______________． 【答案】2 【详解】 【变式2】（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，则的值为__________. 【答案】 【详解】因为函数，，所以， 故. 【变式3】（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据函数的表达式求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：A 题型05根据函数值求自变量或参数 【典例1】（24-25高一上·广东广州·阶段检测）已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 【答案】C 【分析】中令，结合可得答案. 【详解】令， 因为，且， 所以，可得， 故选：C. 【典例2】（25-26高一上·广西贵港·阶段检测）已知函数，若，则________． 【答案】 【分析】由解析式展开求解即可. 【详解】依题意得， 即，解得． 故答案为： 【变式1】（24-25高一上·江苏徐州·阶段检测）已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的函数，代入解方程即得. 【详解】函数，由，得，则，解得， 所以的值等于. 故选：C 【变式2】已知函数，且，则实数____________． 【答案】或4或 【详解】令，则，解得或0．由，得，解得．由得，解得或． 故答案为：或4或 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，当时，______． 【答案】/ 【分析】根据求解即可. 【详解】由题得，解得． 故答案为：. 题型06函数的定义域（具体函数的定义域） 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据具体函数定义域的求法求解即可. 【详解】由条件可得：， 所以的定义域为． 【典例2】（25-26高一下·山东德州·阶段检测）函数的定义域是________ 【答案】 【详解】要使函数有意义， 需使，即， 所以，即或. 故函数的定义域是. 【变式1】（25-26高一下·广东汕尾·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 【答案】C 【分析】根据根式有意义及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题意知，， 又恒成立， 所以函数的定义域为. 【变式2】（第二章函数与基本初等函数（综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）函数的定义域为______．（用区间表示） 【答案】 【详解】依题意可知，解得且， 所以的定义域为. 【变式3】函数的定义域为________． 【答案】 【分析】由根号下的非负的限制取两部分取值的交集即可求解. 【详解】函数有意义，则有，解得， 的定义域为. 题型07函数的定义域（抽象函数的定义域） 【典例1】（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数的定义域的求解方法，列出不等式，即可求解，得到答案． 【详解】设，由函数的定义域为，得函数的定义域为， 即，因此，解得． 所以的定义域为. 【典例2】（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可. 【详解】设，则可化为. 因为定义域为，即，则中的， 即，解得. 所以的定义域为. 【变式1】（25-26高一上·新疆·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，则在函数中，，解得， 所以的定义域为． 【变式2】（25-26高一下·江西九江·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抽象函数定义域可得即可求解. 【详解】令， ∵函数的定义域为， ，即， 解得， 所以函数的定义域是． 故选：B． 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 【答案】 【分析】由抽象函数定义域的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，则，即的定义域为. 题型08函数的定义域（复合函数的定义域） 【典例1】（2026高二下·浙江温州）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域为，的定义域需要满足 解得，且． 的定义域为． 【典例2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的分母不为0，偶次根式的被开方数非负，复合函数的定义域求法可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以若有意义，需满足，解得. 故选：B. 【变式1】（25-26高一上·福建福州·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数定义域的求法求解. 【详解】因为函数的定义域为， 则对于函数，由，解得， 所以函数的定义域是． 故选：C 【变式2】（25-26高一·全国·寒假作业）若函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】由已知函数定义域列不等式即可求解. 【详解】对函数，定义域是，则， 则函数有. 故函数定义域为[0,1). 故选：C 【变式3】（25-26高一上·四川南充·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 【答案】 【分析】根据函数解析式求定义域即可. 【详解】要使函数有意义，则 ， 解得或. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 题型09函数的定义域（实际问题中的定义域） 【典例1】（23-24高一上·四川乐山·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实际意义分析即可. 【详解】由题意可知，炮弹发射后共飞行了， 所以，即函数的定义域为. 故选：C 【典例2】（24-25高一上·山东烟台·阶段检测）如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为______. 【答案】 【分析】由三角形相似得，再根据面积不小于，即可求得x的取值范围. 【详解】设矩形另一边的长为m， 由三角形相似得：，（）, 所以, 所以矩形草坪的面积， 解得：. 故答案为： 【变式1】（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm.则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形三边关系即可得到函数的定义域. 【详解】由题知：，， 根据三角形三边关系得到， 所以函数的定义域为. 故选：A 【变式2】已知矩形的周长为定值，设它的一条边长为，则矩形面积的函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的周长的定义和边长的范围可得选项. 【详解】边长为，另一条边长为，得，所以， 故选：D. 【点睛】本题考查函数的定义域，在求解函数的定义域时，需考虑自变量的实际意义，属于基础题. 题型10函数的值域（常见（一次，二次，反比例）函数的值域） 【典例1】（25-26高一上·天津·期中）函数的值域为___________； 【答案】 【分析】根据题意结合二次函数最值分析求解即可. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 所以函数的值域为. 故答案为：. 【典例2】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可； （2）利用二次根式的意义求出值域； （3）利用二次函数的性质求出值域； （4）根据不等式性质运算求解即可． 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为． 【变式1】（25-26高一上·河南新乡·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数定义域及不等式的性质求解值域即可. 【详解】函数的定义域为， 由，可得， ，即函数的值域为. 故选：A. 【变式2】（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A，由基本不等式即可得到值域；对B，根据二次函数性质即可得到值域；对CD求出分母的范围即可得到值域. 【详解】对A，当时，， 当时，， 则其值域为，故A错误； 对B，，则其值域为，故B错误； 对C，因为，则，故C错误； 对D，的定义域为，则，则，故D正确. 故选：D. 【变式3】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）函数，的值域是___________. 【答案】 【分析】根据自变量取值代入计算即可得出结果. 【详解】将分别代入计算可得. 所以函数的值域为. 故答案为： 题型11函数的值域（根式型函数的值域） 【典例1】（25-26高一上·陕西汉中·期中）函数的值域是__________. 【答案】 【分析】根据题意可得，可求出结果. 【详解】令， 由有意义可得， 所以， 则， 所以. 故答案为：. 【典例2】（25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 【答案】 【分析】令，则可得，化简函数解析式，利用二次函数的值域求解即可. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值，即. 所以其值域为. 【变式1】（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，则，可得，可得出，利用二次函数的单调性可求出的值域. 【详解】令，则，可得， 所以， 因为二次函数在上为增函数， 当时，，故函数的值域为. 故选：D. 【变式2】（25-26高一上·山东济南·期中）函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，再应用换元法结合二次函数的值域计算求解. 【详解】函数有意义，则，解得， 所以其定义域为， 令，则， 则， 所以的值域为． 故选:B． 【变式3】（25-26高一上·江苏南京·期中）已知，则的值域为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用配凑法求出值域. 【详解】函数定义域为，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的值域为. 故答案为： 题型12函数的值域（分式型函数的值域） 【典例1】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数的值域为______． 【答案】 【分析】采用分离常数的方法，结合反比例函数的值域可求得结果. 【详解】， ，，，即， 的值域为. 故答案为：. 【典例2】（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 【答案】 【分析】函数的定义域为，令，将问题转化为，再分，，三种情况，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以函数的定义域为 ， 令，则，代入解析式得：， 当时，， 当时， 当时，，当且仅当，即时等号成立，故，； 当时,,则，当且仅当，即时等号成立，故，； 综上，的值域为，即函数的值域为 故答案为： 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为____________ 【答案】 【分析】利用分离常数法求解即可. 【详解】因为， 则，所以函数的值域为． 故答案为： 【变式2】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为：______． 【答案】 【分析】求出函数定义域，再利用判别式法求出函数值域即可. 【详解】由于恒成立，所以原函数定义域为， 由，得， 当时，，符合题意； 当时，由，得恒有实数根， 因此，解得且， 所以函数的值域为 故答案为： 【变式3】函数的值域为___________. 【答案】 【分析】利用换元法和基本不等式求值域. 【详解】令，则， ， 当时，； 当时，， 因为，当且仅当，时等号成立， 所以， 所以函数的值域为， 故答案为： 核心方法一：换元法求值域 【典例1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法并根据二次函数性质计算可得结果. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值2，即； 所以其值域为. 故选：A 【典例2】（24-25高二下·吉林长春·期末）函数在上的值域为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，按分类，结合基本不等式求出值域. 【详解】当时，； 当时，令，，则， ，当且仅当，即时取等号，此时， 所以所求值域为. 故答案为： 【变式1】函数的值域为______． 【答案】 【分析】令，换元得，再求二次函数的值域即可. 【详解】， 令，则， 得， 当时，取得最小值为， 则函数的值域为 故答案为： 【变式2】（24-25高一下·河南洛阳·阶段检测）已知函数，则函数的最小值为__________． 【答案】2 【分析】利用换元法，结合对勾函数性质求解即可. 【详解】令，则原函数化为函数 函数图像如下：    由对勾函数性质得在上单调递增， 所以当时，函数取最小值 故答案为：2 【变式3】求函数的值域． 【答案】 【分析】利用换元法，转化成二次函数的值域问题求解. 【详解】设，则． 原函数转化为求函数（）的值域. 因为，当且仅当时取等号. 所以，可知． 所以函数的值域为. 核心方法二：分离常数法求值域 【典例1】（24-25高一上·四川南充·阶段检测）函数y的值域是（　　） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞） 【答案】D 【分析】分离常数即可得出，从而得出，进而得出该函数的值域． 【详解】解：， ∴y， ∴该函数的值域为． 故选：D． 【典例2】（24-25高一上·浙江台州·阶段检测）函数的值域为________ 【答案】 【分析】将分式函数分离常数，再利用不等式法即可求得函数值域. 【详解】， ， ， ， ， 函数的值域为． 故答案为：. 【变式1】（23-24高一上·江西·期中）函数，的值域为______. 【答案】 【分析】先分离常数，再确定分式函数值域，最后确定整个函数的值域. 【详解】， 因为，所以，所以，所以， 所以函数，的值域为. 故选： 【变式2】（23-24高一上·天津红桥·期中）已知函数 ，则函数的值域为______. 【答案】 【分析】分离常数法求函数的值域. 【详解】定义域为， 因为，所以，即， 所以的值域为. 故答案为：. 【变式3】求函数的值域． 【答案】 【分析】先分离常数，再分类讨论与，结合换元法与对勾函数的性质即可得解. 【详解】， 当时，， 当时，， 令，则，， 所以， 由对勾函数的值域可知，当时，， 所以， 所以． 综上所述，函数的值域为． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高二下·河南开封·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，要使函数有意义，需满足被开方数大于0， 即，综上所述，，C正确. 2．（25-26高二下·重庆·期末）下列说法正确的是（     ） A．，对应关系是A到B的函数 B．和表示同一函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的值域是 【答案】C 【详解】对于A，，对应关系， 当时，，不满足函数定义，故A错误； 对于B，定义域为，定义域为， 定义域不同，所以不是同一函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为，则函数需满足， 即，故函数的定义域为，故C正确； 对于D，函数是对勾函数， 当时取最小值，故最小值不是3，故D错误. 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，.若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由条件可知，，即，，得， 解得：. 4．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】由函数有意义的条件，结合函数的定义域即可求解. 【详解】函数的定义域为，函数有意义， 则有且，解得且， 所以函数的定义域为且. 故选：B 5．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抽象函数定义域结合分式和根式的意义列式求解即可. 【详解】令，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 6．（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义域确定的范围，再结合反比例型函数得到值域即可． 【详解】函数的定义域为， 则或， 当时，， 当时，， 综上，此函数的值域为． 7．（25-26高一上·北京·期中）函数的定义域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得关于的不等式的解集为，根据和进行分类，结合函数的图象分别求解再求并集即可. 【详解】由题意，可知关于的不等式的解集为， 当时，不等式为，解集不是，不合题意； 当时，需使，解得. 综上，可得实数的取值范围为. 故选：A. 二、多选题 8．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】CD 【分析】根据题意结合函数相等的定义，分析函数的对应关系和定义域，进而逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为，与的对应关系不相同， 所以不是同一个函数，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，的定义域为， 两者的定义域不相同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：因为与，即对应关系相同， 且定义域均为，所以是同一个函数，故C正确； 对于选项D：因为与，即对应关系相同， 且定义域均为，所以是同一个函数，故D正确； 故选：CD. 三、填空题 9．（24-25高一上·广东深圳·期中）若函数 的定义域为，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】将问题转化为对任意都恒成立. 【详解】函数 的定义域为，则对任意恒成立， 当时，不是恒成立， 当时，则,解得：， 所以实数的取值范围是. 10．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是______． 【答案】 【分析】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合的值域构造不等式，解不等式求函数的值域． 【详解】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. B能力提升 1．（25-26高三上·江苏扬州·期中）表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被高斯采用，因此得名高斯函数，例如：.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一元二次不等式得出解集，结合高斯函数的定义求解范围. 【详解】因为，则， 根据高斯函数定义可得实数. 故选：C. 2．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若函数定义域为R，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数的定义域转化为恒成立即可． 【详解】因为函数的定义域为R，所以在R上恒成立， 所以在R上恒成立. 当时，符合题意； 当时，，解得. 综上，实数的取值范围是； 故选：D 3．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将定义域是的问题转化为不等式恒成立，对是否为零进行分类讨论即可求得结果. 【详解】根据题意对于恒成立； 当时，显然成立，可得符合题意； 当时，若满足题意可得，解得； 综上可得，的取值范围是. 故选：C 4．（25-26高一上·上海·期中）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若，设，试比较与的大小并说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，；当且时，. 【分析】（1）根据函数定义域的要求，需保证二次函数在上恒非负，利用判别式，求解的取值范围； （2）通过作差法计算，化简后判断其符号，即可比较与的大小. 【详解】（1）由题意，，则， 因为函数的定义域为， 所以对任意，都有恒成立． 即，解得． 故a的取值范围是． （2）由题意，当时，， 所以 ．           所以当时，；当且时，． C综合素养 1．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是上的“有界函数”.已知下列函数：（1）；（2）（表示不大于的最大整数）；（3）；（4）.其中“有界函数”的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据有界函数的定义，分别讨论各选项中函数的值域，判断是否是有界函数. 【详解】对于（1），定义域为，，则，所以是上的“有界函数”； 对于（2），函数定义域为，，则，所以是上的“有界函数”； 对于（3），定义域为，，， 则当时，，所以不是上的“有界函数”； 对于（4），定义域为，因为， 所以，即，所以是上的“有界函数”. 所以是有界函数的有（1）（2）（4）. 故选：C 2．（多选）（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）对R上定义运算；.若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的（    ） A．最小值是 B．最小值是 C．最大值是 D．最大值是2 【答案】AC 【分析】根据新定义可得对任意实数恒成立，由二次函数的性质得出，从而得出，最后解一元二次不等式求出实数的取值范围，结合选项即可得出答案. 【详解】由题意可得， 所以对任意实数x恒成立， 即对任意实数x恒成立， 因为， 所以对任意实数x恒成立， 所以，解得， 所以实数的最大值为，最小值为. 故选：AC 3．（25-26高一上·湖南长沙·期中）函数的值域为_______. 【答案】 【分析】求出函数定义域，将函数平方后利用二次函数的性质即可求解. 【详解】易得，， ， 由二次函数性质易知：当时，有最大值；当或时，有最小值. 所以，即函数值域为. 故答案为：. 4．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】求出两个函数的值域，再利用集合之间的包含关系求参. 【详解】在上的值域为， 在上的值域为， 由题意得，，则，得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 5．求函数的值域． 【答案】 【分析】利用换元法求值域即可. 【详解】函数的定义域为， 令，则， 原函数变为， 当时，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以当或时，， 即当时，； 当时，， 因为在上单调递增，所以， 即当时，， 综上所述，函数的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 3.1.1函数的概念 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 【即学即练1】（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 知识点02：函数的三要素 1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 【即学即练2】（24-25高一上·广东深圳·期中）函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 知识点03：函数相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 【即学即练3】（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 知识点04：区间的概念 1区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 2含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 【即学即练4】（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）集合或用区间表示为（   ）． A． B． C． D． 第三部分 题型精讲 题型01函数关系的判断 【典例1】（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）下列图形可作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（25-26高一上·四川达州·阶段检测）下列能够表示集合到集合的函数关系的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【变式2】（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【变式3】（25-26高一上·山东枣庄·期中）下列图形中是以为自变量，为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 题型02集合与区间的转化 【典例1】（23-24高三上·陕西宝鸡·阶段检测）设全集，，，则图中阴影部分表示的区间是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一·全国·课堂例题）用区间表示下列数集： （1）__________； （2）__________； （3）且__________； （4）__________； （5）__________． 【变式1】（23-24高一上·河南郑州·阶段检测）已知全集U＝R，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（　　）    A． B． C． D． 【变式2】试用区间表示下列实数集 （1）； （2）； （3）； （4）； 题型03同一个函数 【典例1】（25-26高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】（多选）（24-25高一上·广西河池·期中）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】（24-25高一上·天津和平·期中）下列各组函数为同一个函数的是________． ①， ②， ③， ④，且 题型04求函数值 【典例1】若函数，，则（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 【典例2】（25-26高一上·福建泉州·期中）若函数，则_____. 【变式1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则_______________． 【变式2】（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，则的值为__________. 【变式3】（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，则（   ） A． B． C． D．4 题型05根据函数值求自变量或参数 【典例1】（24-25高一上·广东广州·阶段检测）已知函数满足．若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．0 【典例2】（25-26高一上·广西贵港·阶段检测）已知函数，若，则________． 【变式1】（24-25高一上·江苏徐州·阶段检测）已知函数，若，则的值等于（   ）. A．2 B． C． D． 【变式2】已知函数，且，则实数____________． 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，当时，______． 题型06函数的定义域（具体函数的定义域） 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一下·山东德州·阶段检测）函数的定义域是________ 【变式1】（25-26高一下·广东汕尾·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 【变式2】（第二章函数与基本初等函数（综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）函数的定义域为______．（用区间表示） 【变式3】函数的定义域为________． 题型07函数的定义域（抽象函数的定义域） 【典例1】（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·新疆·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·江西九江·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 题型08函数的定义域（复合函数的定义域） 【典例1】（2026高二下·浙江温州）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A．B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·福建福州·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一·全国·寒假作业）若函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【变式3】（25-26高一上·四川南充·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 题型09函数的定义域（实际问题中的定义域） 【典例1】（23-24高一上·四川乐山·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·山东烟台·阶段检测）如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为______. 【变式1】（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm.则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知矩形的周长为定值，设它的一条边长为，则矩形面积的函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型10函数的值域（常见（一次，二次，反比例）函数的值域） 【典例1】（25-26高一上·天津·期中）函数的值域为___________； 【典例2】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)，． 【变式1】（25-26高一上·河南新乡·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·北京·期中）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·四川成都·阶段检测）函数，的值域是___________. 题型11函数的值域（根式型函数的值域） 【典例1】（25-26高一上·陕西汉中·期中）函数的值域是__________. 【典例2】（25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 【变式1】（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·山东济南·期中）函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式3】（25-26高一上·江苏南京·期中）已知，则的值域为__________. 题型12函数的值域（分式型函数的值域） 【典例1】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数的值域为______． 【典例2】（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为____________ 【变式2】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为：______． 【变式3】函数的值域为___________. 核心方法一：换元法求值域 【典例1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·吉林长春·期末）函数在上的值域为______. 【变式1】函数的值域为______． 【变式2】（24-25高一下·河南洛阳·阶段检测）已知函数，则函数的最小值为__________． 【变式3】求函数的值域． 核心方法二：分离常数法求值域 【典例1】（24-25高一上·四川南充·阶段检测）函数y的值域是（　　） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞） C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞） 【典例2】（24-25高一上·浙江台州·阶段检测）函数的值域为________ 【变式1】（23-24高一上·江西·期中）函数，的值域为______. 【变式2】（23-24高一上·天津红桥·期中）已知函数 ，则函数的值域为______. 【变式3】求函数的值域． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高二下·河南开封·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·重庆·期末）下列说法正确的是（     ） A．，对应关系是A到B的函数 B．和表示同一函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的值域是 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，.若，则（    ） A． B． C．1 D． 4．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 5．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 6．（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·北京·期中）函数的定义域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 三、填空题 9．（24-25高一上·广东深圳·期中）若函数 的定义域为，则实数的取值范围是________. 10．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是______． B能力提升 1．（25-26高三上·江苏扬州·期中）表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被高斯采用，因此得名高斯函数，例如：.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若函数定义域为R，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海·期中）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若，设，试比较与的大小并说明理由． C综合素养 1．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是上的“有界函数”.已知下列函数：（1）；（2）（表示不大于的最大整数）；（3）；（4）.其中“有界函数”的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选）（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）对R上定义运算；.若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的（    ） A．最小值是 B．最小值是 C．最大值是 D．最大值是2 3．（25-26高一上·湖南长沙·期中）函数的值域为_______. 4．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是________. 5．求函数的值域． 学科网（北京）股份有限公司 $