第04讲 4.4对数函数（知识清单+10类热点题型讲练+分层强化训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦对数函数核心内容，系统梳理对数函数的概念（含定义、判断依据及常用、自然对数）和图象性质（定义域、值域、单调性），构建从概念理解到性质应用的递进式学习支架。 资料以思维导图整合知识体系，通过“即学即练”“典例+变式”及分层精练（夯实基础、能力提升、综合素养）设计，培养学生抽象能力与推理意识，助力课中教学效率提升，课后学生可通过题型训练查漏补缺，强化数学语言表达与问题解决能力。

第04讲 4.4对数函数 （4.4.1对数函数的概念+4.4.2对数函数的图象和性质） 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：对数函数的概念 1、对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 （1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数. 【即学即练1】（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（）． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)不是 (4)是 【分析】根据对数函数的定义判断. 【详解】（1）真数为，不是对数函数． （2）对数式后加3，∴不是对数函数． （3）真数为，且系数不为1，不是对数函数． （4）底数是8，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． 2、两种特殊的对数函数 特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作. 知识点02：对数函数的图象及其性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 单调性 增函数 减函数 【即学即练2】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数，判断的奇偶性，并证明； 【答案】为奇函数，证明如下： 由题意可得，解得， 所以函数的定义域为． 又， 所以函数是定义在上的奇函数． 【分析】首先求出函数的定义域，再计算，即可证明． 【详解】略 第三部分 题型精讲 题型01判断函数是否为对数函数 【典例1】（多选）（26-27高一上·全国·课堂例题）下列给出的函数，其中是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】形如（且）的函数叫对数函数，其中底数为常数，真数只有自变量. 对于A，真数是，不符合定义. 对于B，底数为，为常数，真数为，满足定义. 对于C，底数为变量，不是常数，不符合定义. 对于D，底数为常数，且大于0不等于1，真数是，满足定义. 【典例2】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数是否为对数函数？ (1)且； (2)； (3)； (4)且； (5). 【答案】(1)不是对数函数 (2)不是对数函数 (3)不是对数函数 (4)不是对数函数 (5)是对数函数 【详解】（1）真数不是自变量x，∴不是对数函数； （2）对数式后减1，∴不是对数函数； （3）前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数； （4）中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数． （5）符合对数函数的定义，为对数函数． 【变式1】（23-24高一上·全国·课后作业）下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答. 【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是； 函数是对数函数，C是； 函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是. 故选：C 【变式2】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2) (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不是对数函数 (2)不是对数函数 (3)不是对数函数 (4)不是对数函数 (5)是对数函数 【分析】利用对数函数的定义判断. 【详解】（1）该函数解析式中真数不是自变量，不是对数函数． （2）该函数解析式中对数式后加2，所以不是对数函数． （3）该函数解析式中真数为，不是，系数不为1，故不是对数函数． （4）该函数解析式中底数是自变量，并非常数，所以不是对数函数． （5）该函数解析式中底数是6，真数为，符合对数函数的定义，故是对数函数． 【变式3】指出下列函数中，哪些是对数函数？ ①； ②； ③； ④； ⑤． 【答案】④ 【分析】由对数函数定义可得. 【详解】对数函数定义：函数叫做对数函数. ①是指数函数，不是对数函数； ②的系数为，所以不是对数函数； ③真数为，所以不是对数函数； ④满足定义，是对数函数； ⑤真数是，所以不是对数函数. 故④是对数函数. 题型02求对数函数解析式 【典例1】（2025高一上·全国·专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是对数函数的定义，根据定义求出符合条件的参数. 【详解】函数是对数函数， 且， 解可得或，，故选：C． 【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可. 【详解】∵函数是对数函数， ∴，且， 解得或，∴， 故选：C． 【变式1】函数为对数函数，则_________． 【答案】4 【分析】根据对数函数的定义求解即可. 【详解】由题意知，， 故答案为：4. 【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）函数是对数函数，则实数a＝____________. 【答案】1 【分析】利用对数函数的定义知，，解出的值，验证底数即可. 【详解】由题意得， 解得或1， 又且， 所以 故答案为：1 【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数是对数函数，则________． 【答案】1 【分析】根据对数函数的定义即可得到答案. 【详解】因为函数是对数函数， 则，解得． 故答案为：1. 题型03对数（对数型复合函数）函数定义域 【典例1】（25-26高二下·湖南衡阳·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域是. 【典例2】（26-27高三上·河南濮阳·阶段检测）函数的定义域为__________． 【答案】 【详解】由题意可知，得，解得． 所以函数的定义域为． 【变式1】（25-26高二下·河南·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，根据分式函数和对数函数的性质， 可得，解得，即，B正确. 【变式2】（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的定义域为________ 【答案】 【分析】由函数有意义的条件进行求解． 【详解】解析：由题意可得，解得， 故定义域为． 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）函数的定义域是_______________． 【答案】 【详解】解不等式组，得且，故函数的定义域为． 题型04对数函数（对数型复合函数）图象问题 【典例1】（25-26高一下·湖南·阶段检测）函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过幂函数得出的值，再结合对数函数的平移规律与单调性，即可确定的图象特征. 【详解】由题意得函数满足，即，可得. 因为函数是偶函数，图象关于轴对称， 而函数的图象是由向左平移1个单位得到的， 因此图象关于直线对称， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，，图象过原点， 综上可得：函数的图象如图所示，故B正确. 【典例2】（25-26高一上·天津河西·期末）已知函数（且）与函数（且）的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象的特征分析即可. 【详解】 过点作轴的垂线，交于， 可得：， 过点作轴的垂线，交于， 可得：，解得， 由图象知：， 所以：. 故选：D 【变式1】（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）函数的图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合对数型函数的性质，以及，即可求解. 【详解】由函数，可得，解得， 即函数的定义域为，可得排除C、D选项； 又由，可排除A选项，所以B选项符合题意. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知且，则函数与函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指对函数的图象特征分和判断. 【详解】当时，在R上单调递减且恒过 ，在 上单调递减且恒过 ，B不符合，D符合， 当时, 在R上单调递增且恒过，在 上单调递增且恒过，A、C不符合. 故选：D. 【变式3】（多选）（25-26高一上·甘肃·期末）已知，且，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AD 【分析】分和，利用对数函数和二次函数的图象，结合各个选项的图象，即可求解. 【详解】若，函数的图象过定点且在上单调递减， 函数的对称轴，图象开口向上， 令，得到或，且时，， 结合各个选项可知，选项D正确， 若，函数的图象过定点且在上单调递增， 函数的对称轴，图象开口向上， 令，得到或，且时，， 结合各个选项可知，选项A正确. 故选：AD. 题型05求对数函数（对数型复合函数）的值域 【典例1】（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的值域是_____． 【答案】 【分析】根据复合函数值域求解即可求得结果. 【详解】易知函数的定义域为， 且， 所以，即. 因此函数的值域为. 故答案为： 【典例2】（2025高一上·河南安阳·专题练习）函数，当时，求该函数的值域. 【答案】 【分析】根据对数的运算性质，结合换元法、对数的单调性，二次函数的性质，即可进行求解. 【详解】由， 令，则有， 因为，所以，因此， 所以函数的值域为. 【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）函数，，则其最大值与最小值之和为________． 【答案】 【分析】因为对数函数的底数小于1，所以在定义域上是减函数，则1，15分别对应其最大值和最小值，然后再求解． 【详解】解：对数函数的底数小于1 函数是减函数 最大值与最小值之和即为： 故答案为：． 【变式2】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的值域为______. 【答案】 【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】由于， 所以， 所以原函数的值域为 故答案为： 【变式3】求下列函数的值域． (1)； (2)； (3). 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】根据对数型函数真数范围，再结合对数函数的性质即可求值域. 【详解】（1）因为，且是值域为R的增函数， 所以函数的值域为R. （2）因为，且是值域为R的增函数， 所以函数的值域为R. （3）因为，且是增函数，， 所以函数的值域为. 题型06根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数 【典例1】（2025高二下·陕西西安·学业考试）若函数的值域为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．] 【答案】D 【分析】令，等价于的值域能取到内的任意实数即可， 【详解】令，等价于的值域能取到内的任意实数， 若，则，符合题意， 若，则需，解得，∴a的范围为， 故选：D． 【典例2】（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则_____________． 【答案】6 【分析】根据二次函数与对数函数的性质计算可得. 【详解】因为函数由与复合而成， 而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值， 由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得． 故答案为： 【变式1】（2025·江苏泰州·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围. 【详解】由函数的值域为R，得函数的值域包含， 因此，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·湖南株洲·期末）若函数在上的最大值为2，则实数_______． 【答案】 【分析】由题意易知，分类讨论，时，根据复合函数的单调性建立方程，解之即可求解. 【详解】令，因为时，，所以； 若，则在上为减函数，所以，此时a无解； 若．则在上为增函数，所以，此时 故． 故答案为： 【变式3】若函数（且）的最小值为－4，则实数a的值为______. 【答案】/ 【分析】结合复合函数的单调性、最值以及二次函数的性质即可求出. 【详解】由题意知，，解得， 因为， 因为，则，又因为的最小值为－4， 则，所以， 即，得，因为，所以. 故答案为：. 题型07对数函数（对数型复合函数）的单调性 【典例1】（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，再利用复合函数单调性，结合二次函数、对数函数单调性求出递增区间. 【详解】函数中，，解得或， 函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 即函数的单调递增区间为. 故选：D 【典例2】（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为______． 【答案】 【分析】根据复合函数单调性同增异减求得正确答案. 【详解】， 由，即，解得. 函数的图象开口向下，对称轴是，在上递增， 而在上递减， 根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递减区间是. 故答案为： 【变式1】（25-26高一上·浙江杭州·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律即可得解. 【详解】由，可得. 因为二次函数在上单调递减， 在上单调递增， 故由复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律可知， 函数的单调递减区间为. 故选：D. 【变式2】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，再结合复合函数的单调性，可得答案． 【详解】定义域：，解得， 因为在单调递增，在单调递减， 且在单调递减， 所以函数的增区间为， 故选：D． 【变式3】（25-26高一上·广东惠州·期中）函数的单调减区间为______. 【答案】 【分析】先求出的定义域，然后结合二次函数的单调性，利用复合函数的同增异减法则求解单调区间即可. 【详解】由，可得或， 所以的定义域为， 对于，或，开口向上且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 所以的单调递减区间为. 故答案为： 题型08根据数函数（对数型复合函数）的单调性求参数 【典例1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性确定内层函数与外层函数的单调性，结合函数的定义域列不等式组即可得的取值范围. 【详解】由函数在上单调递增， 可得在上单调递增， 且在上恒成立，故需满足，解得. 故选：B. 【典例2】（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】由复合函数单调性可知，在上单调递减，且恒成立，再通过对称轴和函数的最值的限定，列出不等式求解. 【详解】因为函数在上单调递减，在单调递增， 所以在上单调递减，且恒成立， 即，解得. 故答案为：. 【变式1】（2025高一上·山东枣庄·专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据对数型函数的单调性，结合复合函数单调性的性质分类讨论求解即可. 【详解】当时，，， 所以此时在上单调递减，不符合题意； 当时，二次函数的对称轴为， 要想在上单调递增， 只需， 故答案为： 【变式2】（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知函数，且在上是减函数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由对数复合函数的区间单调性列不等式求参数范围即可. 【详解】由题设在上单调递减，要使在上是减函数， 所以，可得，即实数的取值范围是. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·湖南永州·阶段检测）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围 【答案】 【分析】由复合函数的单调性计算即可得. 【详解】令，对称轴为， 因为函数在区间上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，且， 所以且，即且，解得， 即实数的取值范围为. 题型09比较大小问题 【典例1】（26-27高三上·辽宁·开学考试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】因为，， 所以. 【典例2】（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用对数的运算性质求出的值，再根据对数函数的单调性分别比较与、与的大小，即得. 【详解】根据题意，， 因函数为上的增函数，由于，因此，即， 又因为，而， 函数为上的增函数，由，可得，即， 综上可得，. 【变式1】（25-26高二下·天津南开·期末）设，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于，故， 而，， 因此． 【变式2】（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断，，的范围，再比较大小即可求解. 【详解】因为在单调递减，， 所以， 因为在上单调递增，， 所以， 因为在上单调递减，， 所以， 即，，， 所以. 【变式3】（2026·重庆·模拟预测）已知，，，比较，，的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对数函数在定义域上单调递减， 由于，因此，即； 对数函数在定义域上单调递增， 由于，因此，即； 指数函数在定义域R上单调递减，由，因此， 综上可得. 题型10对数函数综合问题 【典例1】（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知函数（且）． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)偶函数 (3)若，则原不等式的解集为；若，则原不等式的解集为；若，则原不等式无解 【分析】（1）根据对数函数的定义，列式即可求出定义域； （2）根据奇偶性的定义即可判断； （3）按照和分类讨论，根据对数函数的单调性得到不等式解得即可. 【详解】（1）由函数的解析式可得解得， 所以函数的定义域为. （2）由（1）可知函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是偶函数. （3）可化为，， ①若，则有，即， 因为，， 所以原不等式的解集为， ②若，则有，即， （ⅰ）若，则，原不等式有解，解集为； （ⅱ）若，则，原不等式无解， 综上所述，若，则原不等式的解集为； 若，则原不等式的解集为； 若，则原不等式无解. 【典例2】（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数（为常数）是奇函数 (1)求的值与函数的定义域； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，函数的定义域为. (2)由（1）知，， 因为在上单调递减，是增函数， 所以函数在区间上单调递减. 证明：设，且， . 因为，所以 又， 即 所以，所以，即， 所以函数在区间上单调递减. (3) 【分析】（1）根据函数是奇函数，得到，求出的值，再解不等式，即可求出函数的定义域； （2）根据函数解析式，利用复合函数的单调性可判断，再根据定义证明即可； （3）根据对数函数的性质，结合的单调性，求得其取值范围，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数（为常数）是奇函数， 所以，即在定义域内恒成立. 所以，即， 所以，即， 所以，即在定义域内恒成立， 所以，所以. 若，则无意义，不合题意； 若，则， 令，得， 解得或. 所以函数的定义域为. 综上所述，，函数的定义域为. （2）略 （3）由（1）知，，， 所以. 因为在上单调递增， 所以， 即恒成立， 所以. 所以的取值范围是. 【变式1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并给出证明； 【答案】(1) (2)函数为奇函数. 证明如下:由（1）可知定义域关于原点对称， 对任意的，有， 所以函数为奇函数. 【分析】（1）解不等式即可得答案； （2）根据函数奇偶性的定义，结合对数运算法则得即可判断. 【详解】（1）由，解得或， 所以函数的定义域为. （2）略 【变式2】（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)解不等式； (2)当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 【答案】(1) (2)当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0 【分析】（1）先根据已知区间上的最大值与最小值之差确定对数的底数及单调性，再利用对数函数的单调性解不等式； （2）将所求函数化为关于新变量的二次函数，在闭区间上求最值． 【详解】（1）由题意得所给区间的右端点大于左端点，所以，，， 所以，所以在上单调递增， 所以，解之得，所以解集为． （2）因为在上单调递增， 所以，， 即，所以. 所以，所以. 令，因为，所以， 所以. 该二次函数图象开口向上，所以在闭区间上的最小值在顶点处取得，最大值在端点处取得； 比较两个端点的函数值，右端点处的函数值较大． 所以，. 即，， 所以当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0． 【变式3】（23-24高一上·海南海口·阶段检测）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)讨论函数的奇偶性； (3)判断函数在定义域上的单调性，写出结论即可，不需要证明． 【答案】(1) (2)奇函数 (3)在上单调递减 【分析】（1）根据对数函数的性质真数必须大于0，从而解得的定义域； （2）先判定定义域是否关于原点对称，再根据奇函数的定义进行判定； （3）在定义域内取，计算并化简，通过差值的正负判定函数单调性. 【详解】（1）（1）令，可得或，有或空集. 取两个不等式组解集的并集，故函数的定义域为. （2）由（1）知函数的定义域关于原点对称， 又由，可得函数为奇函数. （3）设， ， ，，， ． 利用对数函数在上单调递增有． 故函数在上单调递减． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（25-26高二下·山东青岛·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使函数有意义，需满足真数大于0，即，解得， 因此函数定义域为. 2．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用和作为中间量，比较的大小即可得解. 【详解】函数单调递增，又，所以，即； 函数单调递减，又，所以，即； 函数单调递增，又，所以，即，所以. 3．（26-27高三·全国·一轮复习）函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 又由，所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，，由对数函数的性质得在单调递减，且， 所以选项D符合题意. 4．（25-26高一上·浙江杭州·期末）若函数（）的定义域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为对恒成立，再利用判断式法即可得到的范围，最后利用符复合函数单调性即可得到答案. 【详解】由题意得对恒成立， 则，解得. 则， 根据复合函数单调性知在上单调递减，则. 故选：C. 5．（25-26高一上·河南·期末）若函数（，）的图象恒过点，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据求出的值. 【详解】由题意得，，则，解得． 故选：C 6．（25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数型复合函数单调性直接求解即可. 【详解】由题意得,即或, 则对于函数，其对称轴为, 当时，函数单调递减， 当时,函数单调递增； 又函数在时单调递增， 所以当时，函数单调递减，当时,函数单调递增. 可得函数的单调递减区间为. 故选：C 7．（多选）（24-25高一上·云南曲靖·阶段检测）已知且，则下列函数的图象过定点的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用函数取求值，是否恒等于2，来判断即可. 【详解】对于A，根据函数，可知当时，，满足图象过定点，故A正确； 对于B，根据函数，可知当时，，不满足图象过定点，故B错误； 对于C，根据函数，可知当时，，不满足图象过定点，故C错误； 对于D，根据函数，可知当时，，满足图象过定点，故D正确； 故选：AD. 8．（多选）（24-25高一上·宁夏银川·阶段检测）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】分、两种情况讨论，分析函数、的单调性，即可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，可得， 函数的定义域为， 当时，函数为上的增函数，函数在上为增函数，B合乎要求； 当时，函数为上的减函数，函数在上为减函数，D合乎要求. 故选：BD. 9．（26-27高三上·北京·开学考试）函数在上单调递减，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【详解】复合函数：，其中 外层函数底数，外层函数单调递增， 所以在上单调递减，且在区间恒成立. 是开口向上抛物线，对称轴： 所以， 所以a的取值范围是 10．（2026高三·全国·专题练习）写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式______． ①的定义域为；②；③在区间上单调递减． 【答案】（答案不唯一） 【分析】通过观察定义域将函数大致定位于对数函数，易得对数函数满足条件②，取单调递减的对数函数即可满足条件③． 【详解】取，其定义域为，满足条件①； ，满足条件②； 在区间上单调递减，满足条件③． 故满足题意，答案不唯一. B能力提升 1．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段函数在全体实数单调递增，则每一段自身必须分别单调递增，且左边分段右端极限值 ≤ 右边分段起点函数值. 【详解】在上单调递增，需要同时满足 3 个条件： 指数部分递增：, 对数部分递增：底数, 分段衔接处：,所以， 联立以上三个不等式求交集，得的取值范围是 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】通过讨论的不同取值情况，再结合选项，即可判断. 【详解】当时，函数过定点且单调递减， 则函数过定点且单调递增， 函数过定点且单调递减，D选项符合； 当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减， 函数过定点且单调递增，各选项均不符合. 综上，ABC不可能，D可能. 3．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为______________． 【答案】 【分析】利用复合函数同增异减， 则二次函数在上单调递减且；再结合二次函数的对称轴列不等式，同时保证区间内恒大于 0，联立求出的取值范围. 【详解】令，则， 由在区间上单调递增，且单调递减， 得在区间上单调递减， 因为二次函数开口向上，对称轴为直线，所以，所以， 因为，所以，由在区间上单调递减， 所以当,取得最小值为,则,故, 综上，实数的取值范围为. 4．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）已知函数的值域为，则实数的值为________. 【答案】/ 【分析】利用复合函数的单调性可得的最大值为，结合二次函数的性质确定参数的值并验证可得. 【详解】因的值域为， 即，所以的最大值为，所以. 根据二次函数的性质，当时取最大值， 代入可得，解得. 此时， 由解得，故函数的定义域为. ， 令，则内层函数在上单调递增，在上单调递减. 外层函数在定义域上为增函数， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 所以，符合题意. 所以的值为. 5．（23-24高一上·海南海口·阶段检测）若函数的定义域是，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】将题设条件等价转换成不等式恒成立进行求解． 【详解】依题意得，对任意的，都有恒成立， 所以，故得，即对任意的恒成立， 则，即，解得， 故实数的取值范围是． C综合素养 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知（且）． (1)若，求方程的解集； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，则， 因为， 所以， 化简可得， 即， 化简得， 所以， 所以或，解得或. （2）由，且， 若，对数函数单调递减，则，， 若，对数函数单调递增，则，， 综上，的取值范围是． 2．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用特殊值求出，再根据奇函数定义验证即可； (2)先分别求出的最小值，通过转化得到，求解即可. 【详解】（1）∵是奇函数，且定义域为，∴，即， 解得，将代入函数得， ，符合奇函数定义，∴. （2）∵，单调递增， ∴在定义域上单调递增，又， ，∴， ∵， ∴令，则， 又，，函数对称轴为， 开口向上，∴， ∵对任意的，总存在， 使得成立，即， 即，∴. 所以实数的取值范围为. 3．（25-26高一下·贵州遵义·期末）已知函数（且）满足． (1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中函数解析式结合对数运算可得，即可得结果. （2）利用函数解析式将不等式化简可得在上恒成立.，再利用二次不等式恒成立即可求解. 【详解】（1）的定义域为， 因为，可得. 又因为且，所以. （2）由（1）可知：. 因为，， 则，，可得. 因为在上单调递增， 则，即在上恒成立. 又在上最小值为0，则，解得， 且，所以的取值范围为. 4．（25-26高一下·湖北襄阳·阶段检测）设 (1)求函数的最大值. (2)当不等式在上有解时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）使用换元法将问题转化为一元二次函数在闭区间上的最值问题； （2）将不等式化简并换元，转化为关于的一次不等式在上有解的问题，可构造一次函数或分离参数求解. 【详解】（1）， 令， 因为对称轴为，则函数在上单调递增，上单调递减， 所以当时，. （2）由题可知，不等式在上有解， 即，化简得， 令，则在上有解. 解法1：令，则在上有解， 即有，即. 解法2：当时，，无解； 当时，在上单调增， ∴当时，，只需， 综上：. 5．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数（且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并证明； (3)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据对数的真数为正数可求解； （2）为偶函数，根据偶函数的定义证明； （3）对和分类讨论，解不等式求解. 【详解】（1）要使函数的解析式有意义，则，解得． ∴函数的定义域为． （2）函数是偶函数， 证明如下：由（1）知函数的定义域为，关于原点对称．          ∵， ∴，             ∴ ∴函数是定义在上的偶函数． （3）的定义域为， ∵，∴，               当时，函数为上的增函数， ∴函数在上的最小值为， ∴，∴．                 当时，函数为上的减函数，                ∴函数在上的最小值为， ∴，∴，不符合题意 综上，a的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 4.4对数函数 （4.4.1对数函数的概念+4.4.2对数函数的图象和性质） 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：对数函数的概念 1、对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 （1）形如；（2）底数满足；（3）真数是，而不是的函数；（4）定义域.例如：是对数函数，而、都不是对数函数，可称为对数型函数. 【即学即练1】（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（）． 2、两种特殊的对数函数 特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作. 知识点02：对数函数的图象及其性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 单调性 增函数 减函数 【即学即练2】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数，判断的奇偶性，并证明； 第三部分 题型精讲 题型01判断函数是否为对数函数 【典例1】（多选）（26-27高一上·全国·课堂例题）下列给出的函数，其中是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【典例2】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数是否为对数函数？ (1)且； (2)； (3)； (4)且； (5). 【变式1】（23-24高一上·全国·课后作业）下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C．D． 【变式2】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2) (3)； (4)； (5)． 【变式3】指出下列函数中，哪些是对数函数？ ①； ②； ③； ④； ⑤． 题型02求对数函数解析式 【典例1】（2025高一上·全国·专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【变式1】函数为对数函数，则_________． 【变式2】（23-24高一上·全国·课后作业）函数是对数函数，则实数a＝____________. 【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数是对数函数，则________． 题型03对数（对数型复合函数）函数定义域 【典例1】（25-26高二下·湖南衡阳·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（26-27高三上·河南濮阳·阶段检测）函数的定义域为__________． 【变式1】（25-26高二下·河南·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的定义域为________ 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）函数的定义域是_______________． 题型04对数函数（对数型复合函数）图象问题 【典例1】（25-26高一下·湖南·阶段检测）函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·天津河西·期末）已知函数（且）与函数（且）的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）函数的图像是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知且，则函数与函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（25-26高一上·甘肃·期末）已知，且，则函数与函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   题型05求对数函数（对数型复合函数）的值域 【典例1】（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的值域是_____． 【典例2】（2025高一上·河南安阳·专题练习）函数，当时，求该函数的值域. 【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）函数，，则其最大值与最小值之和为________． 【变式2】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的值域为______. 【变式3】求下列函数的值域． (1)； (2)； (3). 题型06根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数 【典例1】（2025高二下·陕西西安·学业考试）若函数的值域为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．] 【典例2】（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则_____________． 【变式1】（2025·江苏泰州·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为________． 【变式2】（23-24高一上·湖南株洲·期末）若函数在上的最大值为2，则实数_______． 【变式3】若函数（且）的最小值为－4，则实数a的值为______. 题型07对数函数（对数型复合函数）的单调性 【典例1】（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为______． 【变式1】（25-26高一上·浙江杭州·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·广东惠州·期中）函数的单调减区间为______. 题型08根据数函数（对数型复合函数）的单调性求参数 【典例1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 【变式1】（2025高一上·山东枣庄·专题练习）函数在上单调递增，则实数的取值范围是________. 【变式2】（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知函数，且在上是减函数，则实数的取值范围是__________. 【变式3】（24-25高一上·湖南永州·阶段检测）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围 题型09比较大小问题 【典例1】（26-27高三上·辽宁·开学考试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·天津南开·期末）设，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·重庆·模拟预测）已知，，，比较，，的大小为（     ） A． B． C． D． 题型10对数函数综合问题 【典例1】（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知函数（且）． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集． 【典例2】（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数（为常数）是奇函数 (1)求的值与函数的定义域； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【变式1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并给出证明； 【变式2】（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)解不等式； (2)当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 【变式3】（23-24高一上·海南海口·阶段检测）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)讨论函数的奇偶性； (3)判断函数在定义域上的单调性，写出结论即可，不需要证明． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（25-26高二下·山东青岛·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·重庆·开学考试）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高三·全国·一轮复习）函数的图象大致是（    ） A．B． C．D． 4．（25-26高一上·浙江杭州·期末）若函数（）的定义域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河南·期末）若函数（，）的图象恒过点，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 6．（25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高一上·云南曲靖·阶段检测）已知且，则下列函数的图象过定点的有（   ） A． B． C．D． 8．（多选）（24-25高一上·宁夏银川·阶段检测）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．（26-27高三上·北京·开学考试）函数在上单调递减，则实数的取值范围是_________. 10．（2026高三·全国·专题练习）写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式______． ①的定义域为；②；③在区间上单调递减． B能力提升 1．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ） A．B． C．D． 3．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为______________． 4．（25-26高一下·河北衡水·阶段检测）已知函数的值域为，则实数的值为________. 5．（23-24高一上·海南海口·阶段检测）若函数的定义域是，则实数的取值范围是________． C综合素养 1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知（且）． (1)若，求方程的解集； (2)若，求的取值范围． 2．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 3．（25-26高一下·贵州遵义·期末）已知函数（且）满足． (1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围． 4．（25-26高一下·湖北襄阳·阶段检测）设 (1)求函数的最大值. (2)当不等式在上有解时，求的取值范围. 5．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数（且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并证明； (3)若，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $