单元素养测评卷(二) 第2章 函数-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

**基本信息** 本卷为高中数学第二章函数单元测评卷，聚焦函数概念与性质，融合文化情境（如垂鳞纹圆壶注水问题）与实际应用，全面考查数学抽象、逻辑推理和数学建模素养，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|函数图象识别、奇偶性判断、单调性充要条件|第6题以先秦文物注水为情境，考查数学眼光观察现实世界| |填空题|3题/15分|定义域、偶函数性质、奇函数交点问题|第14题结合奇函数与分式函数交点，体现数学思维的严谨性| |解答题|5题/77分|偶函数解析式与图象、幂函数性质、抽象函数应用|第19题抽象函数性质证明与集合问题综合，考查逻辑推理与数学语言表达|

单元素养测评卷(二)  第二章 时间:120分钟　分值:150分　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.如图所示的四个图象中函数图象的个数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知函数f(x)=则f(-2)+f(1)= (　　) A.3 B.6 C.7 D.10 3.下列函数不具备奇偶性的是 (　　) A.y=2x B.y=x2-5 C.y=- D.y= 4.若f(x)满足关系式f(x)+2f=3x,则f(2)的值为 (　　) A.1 B.-1 C.- D. 5.[2024·湖南株洲高一期末] 已知函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,设Δx=x1-x2,Δy=f(x1)-f(x2),其中x1≠x2,则“对任意x1,x2∈I, >0恒成立”是“函数f(x)在区间I上单调递增”的 (　　) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.如图所示的文物叫作“垂鳞纹圆壶”,是先秦时期的青铜器皿,其身流线自若、纹理分明,展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积,以恒定的流速向其内注水,恰好用时30秒注满,设注水过程中,壶中水面的高度为h厘米,注水时间为t秒,则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是 (　　) A B C D 7.[2024·江苏无锡高一期中] 已知函数f(x)=在R上满足不等式>0(x1≠x2),则实数a的取值范围为 (　 ) A.[-5,0) B.(-∞,-2] C.[-5,-2] D.(-∞,-5] 8.已知f(x)=x2-ax+在区间[0,1]上的最大值为g(a),则g(a)的最小值为 (　　) A.0 B. C.1 D.2 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列各组中的两个函数表示同一个函数的有 (　　) A.f(x)=|x|,g(x)= B.f(x)=|x|,g(x)=()2 C.f(x)=,g(x)=1 D.f(x)=x2+2x+1,g(t)=(t+1)2 10.下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是 (　　) A.f(x)=x3 B.f(x)=x C.f(x)= D.f(x)=x-1 11.[2024·湖南长沙高一期末] 已知函数f(x)的定义域为R,且对任意的实数x1,x2(x1≠x2),x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)恒成立,则下列结论正确的是 (　 ) A.函数f(x)在R上单调递减 B.f(-5)<f(0)<f(1) C.f(0)=0一定成立 D.f(2x-1)<f(3-x)的解集为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知函数f(x)的定义域为[0,2],则函数y=f(x+1)的定义域是　　　　.  13.若函数y = f(x)为偶函数,且在(0, + ∞)上单调递减,f(1) = 0,则<0的解集为　　　　　　.  14.[2024·河南郑州高一期末] 已知函数y=f(x)为奇函数,g(x)=,若f(x)与g(x)的图象仅有四个交点,分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),则y1+y2+y3+y4=　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x. (1)求函数f(x)的解析式; (2)在图中画出函数f(x)的图象; (3)根据图象写出f(x)的单调区间和值域. 16.(15分)已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数,且f(2)=. (1)求函数f(x)的解析式; (2)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性,并用定义法证明. 17.(15分)已知幂函数f(x)=(m2-3m-9)xm-3在(0,+∞)上单调递减. (1)求m的值; (2)若(2a-1)m>(a+2)m,求实数a的取值范围. 18.(17分)[2024·江西上饶清源学校月考] 已知函数f(x)=(a,b为常数,且a2+b2≠0),满足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一解. (1)求函数f(x)的解析式; (2)如果f(x)是R上的奇函数,求f[f(-3)]的值; (3)如果f(x)既不是奇函数,也不是偶函数,证明:函数f(x)在区间(-2,+∞)上单调递增. 19.(17分)[2024·江西宜丰中学高一月考] 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)同时满足如下三个条件: ①对任意x,y∈(0,+∞)都有f(xy)=f(x)+f(y); ②当x>1时,f(x)<0; ③f(3)=-1. (1)计算f(9),f()的值. (2)证明:f(x)在(0,+∞)上单调递减. (3)若集合A={(c,d)|f(c2+1)-f(5d)-2>0,c,d∈(0,+∞)},B=.问:是否存在点(c0,d0),使(c0,d0)∈A∩B? 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元素养测评卷(二) 1.B　[解析] 对于题图①,当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此①不是函数图象;对于题图②,当x=x0时,y的值有两个,因此②不是函数图象;对于题图③④,每一个x的值对应唯一的y值,因此③④是函数图象.故选B. 2.B　[解析] 因为f(x)=所以f(-2)=(-2)2-1=3,f(1)=2×1+1=3,所以f(-2)+f(1)=3+3=6.故选B. 3.D　[解析] 对于A选项,函数y=2x为奇函数;对于B选项,函数y=x2-5的图象的对称轴为y轴,该函数为偶函数;对于C选项,函数y=-为奇函数;对于D选项,函数y=的定义域为{x|x≠-3},不关于原点对称,该函数既不是奇函数也不是偶函数.故选D. 4.B　[解析] ∵f(x)满足关系式f(x)+2f=3x,∴①-②×2得-3f(2)=3,∴f(2)=-1,故选B. 5.A　[解析] 函数f(x)在区间I上单调递增的充要条件是对任意x1,x2∈I,当x1>x2时,都有f(x1)>f(x2),或当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),等价于对任意x1,x2∈I,x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,也等价于对任意x1,x2∈I,>0恒成立.故选A. 6.A　[解析] 文物的结构是下端与上端细、中间粗,所以在注水流速恒定的情况下,水面的高度先增加地快,再增加地慢,最后又增加地快,由题图可知选项A符合,故选A. 7.C　[解析] 依题意知,函数f(x)在R上单调递增,可得解得-5≤a≤-2,所以实数a的取值范围为[-5,-2].故选C. 8.B　[解析] 易知f(x)=x2-ax+的图象开口向上,图象的对称轴方程为x=.①当≤,即a≤1时,函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为g(a)=f(1)=1-;②当>,即a>1时,函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为g(a)=f(0)=.故g(a)=所以当a=1时,g(a)取得最小值.故选B. 9.AD　[解析] A中,f(x)=|x|的定义域为R,g(x)==|x|的定义域为R,定义域和对应关系都相同,f(x)与g(x)表示同一个函数;B中,f(x)=|x|的定义域为R,g(x)=()2的定义域为{x|x≥0},定义域不同,f(x)与g(x)不表示同一个函数;C中,f(x)=的定义域为{x|x≠0},g(x)=1的定义域为R,定义域不同,f(x)与g(x)不表示同一个函数;D中,f(x)=x2+2x+1=(x+1)2和g(t)=(t+1)2显然表示同一个函数.故选AD. 10.AB　[解析] 对于A,函数f(x)=x3的定义域为R,且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,根据幂函数的性质,可得函数f(x)=x3在区间(0,+∞)上单调递增,故A正确;对于B,函数f(x)=x的定义域为R,且f(-x)=-x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,易知f(x)=x在区间(0,+∞)上单调递增,故B正确;对于C,函数f(x)=的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以函数f(x)为非奇非偶函数,故C错误;对于D,函数f(x)=x-1在区间(0,+∞)上单调递减,故D错误.故选AB. 11.BD　[解析] 由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)恒成立,得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0恒成立,所以f(x)在R上单调递增,A错误;由-5<0<1,得f(-5)<f(0)<f(1),B正确;由题中条件不能推出“f(0)=0一定成立”,如f(x)=x+1在R上单调递增,但f(0)=1,C错误;由f(2x-1)<f(3-x),得2x-1<3-x,解得x<,则不等式的解集为,D正确.故选BD. 12.[-1,1]　[解析] 由题意得0≤x+1≤2,解得-1≤x≤1,故函数y=f(x+1)的定义域为[-1,1]. 13.(-1,0)∪(1,+∞)　[解析] 作出符合条件的函数图象,如图所示,由函数y=f(x)为偶函数,<0,得<0,即xf(x)<0,结合图象可知,当x>0时,f(x)<0,则x>1;当x<0时,f(x)>0,则-1<x<0.所以<0的解集为(-1,0)∪(1,+∞). 14.0　[解析] 函数g(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又g(-x)==-=-g(x),所以函数g(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的奇函数,所以g(x)的图象关于原点对称.因为函数y=f(x)为奇函数,所以f(x)的图象也关于原点对称.所以f(x)与g(x)图象的四个交点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)两两关于原点中心对称,所以y1+y2+y3+y4=2×0+2×0=0. 15.解:(1)若x<0,则-x>0,∵当x≥0时,f(x)=x2-2x,∴当x<0时,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x, 又f(x)是定义在R上的偶函数, ∴f(x)=f(-x),∴当x<0时,f(x)=x2+2x. 故f(x)= (2)f(x)的图象如图所示. (3)观察图象可得,f(x)的单调递减区间为(-∞,-1],[0,1],单调递增区间为[-1,0],[1,+∞),值域为[-1,+∞). 16.解:(1)因为函数f(x)=是定义在R上的奇函数, 所以f(0)==0,解得n=0. 又由f(2)=,得f(2)==,解得m=1,所以f(x)=. (2)函数f(x)=在(0,1)上单调递增. 证明:任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-==, 由0<x1<x2<1,得x1-x2<0,1-x1x2>0, 又1+>0,1+>0,所以f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在(0,1)上单调递增. 17.解:(1)因为f(x)是幂函数,所以m2-3m-9=1,所以m2-3m-10=0,即(m+2)(m-5)=0,解得m=-2或m=5. 因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以m-3<0,即m<3,则m=-2. (2)由(1)可知m=-2, 则(2a-1)m>(a+2)m等价于>, 所以即解得-<a<或<a<3.故实数a的取值范围是∪. 18.解:(1)由f(x)=x,得=x, ①若a=0,b≠0,则f(x)=,由f(2)=1,得b=2,则f(x)=; ②若a≠0,b=0,则f(x)=(x≠0), 由f(2)=1,得a=1,则f(x)=1(x≠0); ③若a≠0,b≠0,则由=x,得ax2+(b-1)x=0,由Δ=0得b=1, 又由f(2)=1,得a=,则f(x)=(x≠-2). 所以f(x)的解析式为f(x)=或f(x)=1(x≠0)或f(x)=(x≠-2). (2)若f(x)是R上的奇函数,则由(1)知f(x)=, 于是f(-3)=-,f[f(-3)]=f=-. (3)证明:若f(x)既不是奇函数也不是偶函数,则由(1)知f(x)=(x≠-2),任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-=. 因为-2<x1<x2,所以x1-x2<0,x1+2>0,x2+2>0, 所以<0,则f(x1)<f(x2), 所以f(x)在区间(-2,+∞)上单调递增. 19.解:(1)f(9)=f(3×3)=f(3)+f(3)=-2, 由f(3)=f(×)=f()+f()=-1,得f()=-. (2)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则>1. 根据条件②得f<0. 所以f(x2)=f=f(x1)+f<f(x1), 所以f(x)在(0,+∞)上单调递减. (3)假设存在点(c0,d0),使(c0,d0)∈A∩B, 则不等式组有解. 将f(9)=-2,f()=-,代入上式得 因为f(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以消去c得27d2-5d+9<0. 因为Δ=25-4×27×9=-947<0,所以d无实数解.所以不存在满足题意的点(c0,d0),使(c0,d0)∈A∩B. 学科网（北京）股份有限公司 $