第五章 概率与统计全章高频重点题型突破（十四重点题型+三大难点题型专项训练）数学人教B版高一必修第二册

**基本信息** 以分层递进的题型体系系统覆盖概率与统计全章高频考点，通过基础到综合的题型设计培养数学思维与数据观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|14类基础题型，每类配4-6题|聚焦抽样方法、数据特征、概率事件等核心概念的直接应用|从抽样原理到数据描述，再到概率计算，构建"概念-运算-应用"的逻辑链条| |核心提升|3类重难点题型，每类配4-5题|深化频率分布直方图量的关系、事件关系综合判断等复杂问题|在基础概念上延伸，强化知识间交叉应用，培养推理意识| |综合攻坚|3类综合题型，配多步解答题|结合实际情境的概率统计综合应用，含图表分析与概率计算|以真实问题为载体，发展数据观念与模型意识，体现数学语言表达现实世界的价值|

第五章 概率与统计全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 简单随机抽样的特征及适用条件 题型8 众数、中位数、平均数的求解及应用 题型2 随机数表法 题型9 方差、标准差的求解及应用 题型3 抽样方法的选取 题型10 事件的分类与运算 题型4 分层抽样的计算 题型11 互斥事件与对立事件 题型5 频率分布直方图的相关问题 题型12 计算古典概型问题的概率 题型6 根据统计图解决实际问题 题型13 概率与频率 题型7 百分位数的求解 题型14 相互独立事件的概念及计算 核心提升·重难点归纳 题型1 频率分布直方图中各个量的计算 题型2 互斥、对立与独立事件的综合问题 题型3 概率与统计的综合应用 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 简单随机抽样的特征及适用条件 1．（25-26高一下·甘肃张掖·期末）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（    ） A．盒中装有个小球，某人一次抽取个小球 B．从个产品中随机逐个抽取个进行产品合格检测 C．从自然数中逐个抽取个数 D．老师从班里名同学中点了名同学参加数学竞赛 2．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题中正确的是（    ） A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样 B．这次抽样一定没有采用分层抽样 C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率 D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率 3．（多选）下列说法中正确的有（   ） A．抽签法是简单随机抽样 B．随机数表法是简单随机抽样 C．简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数有限 D．简单随机抽样可以从总体中一次性抽出样本 4．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）下列抽样的方式属于简单随机抽样的是（   ） A．从500个个体中一次性抽取50个作为样本 B．将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本 C．箱子共有100个零件，从中选出10个进行检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行检验后，再把它放回箱子 D．福利彩票用摇奖机摇奖 5．（25-26高三·全国·一轮复习）实验室的笼子里共有100只小白鼠，现要从中抽取10只做试验用．①每次不经任何挑选地抓一只，抓满10只为止；②将笼中的100只小白鼠按1～100编号，任意选取编号范围内的10个不重复数字，把相应编号的小白鼠作为试验用的小白鼠，则以上两种情况属于简单随机抽样的是________． ◆题型2 随机数表法 1．（2026高三·全国·专题练习）要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取50袋进行检验．先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读取，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号是（   ） 第7行：84   42   17   53   31   57   24   55   06   88   77   04   74   47   67   21   76   33   50   25   83   92   12   06   78 第8行：63   01   63   78   59   16   95   55   67   19   98   10   50   71   75   12   86   73   58   07   44   39   52   38   79 第9行：33   21   12   34   29   78   64   56   07   82   52   42   07   44   38   15   51   00   13   42   99   66   02   79   54 A．55，67，19，98，10 B．556，719，810，507，175 C．785，567，199，507，175 D．556，719，050，717，512 2．（25-26高一下·广西来宾·阶段检测）总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取6个个体．利用科学计算器依次生成一组随机数如下：65 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 32 15 52 39 52 40，则选出来的第6个个体的编号为______． 3．（25-26高一下·重庆·阶段检测）某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析， 先将全体900名学生编号为001， 002， 003， …， 900， 从中抽取60个样本， 并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为____________. 95226000     49840128     66175168      39682927     43772366     27096623 92580956    43890890      06482834      59741458     29778149     64608925 4．（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）总体由编号为00，01，02，…，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第3列和第4列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为__________． 附：第6行至第9行的随机数表 27  48  61  98  71  64  41  48  70  86  28  88  85  19  16  20 74  77  01  11  16  30  24  04  29  79  79  91  96  83  51  25 32  11  49  19  73  06  49  16  76  77  87  33  99  74  67  32 26  35  79  00  33  70  91  60  16  20  38  82  77  57  49  50 5．（25-26高二上·上海·期末）现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第1个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为________.（以下随机数表第7行）. 39832276  39918535  32591131  40469235  04982212  20671263 ◆题型3 抽样方法的选取 1．（25-26高一下·山西·阶段检测）某小学有学生3300人，卫生部门为了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本，则适合的抽样方法是（    ） A．抽签法 B．随机数法 C．简单随机抽样 D．分层随机抽样 2．下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是（    ） A．某学校有学生1320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本 B．从1135个村庄中抽取50个进行收入调查 C．从全班30名学生中，任意选取5名进行家访 D．为了解某地区某传染病的发病情况，从该地区的5000人中抽取200人进行统计 3．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从中抽取一个容量为36的样本，则最适合的抽样方法是（    ） A．按年龄分层抽样 B．随机数表法随机抽样 C．抽签法随机抽样 D．系统抽样 4．（多选）下列问题中不适合用分层随机抽样法抽样的是：（    ） A．某会堂有32排座位，每排有40个座位，座位号是1~40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈 B．从10台冰箱中抽取3台进行质量检查 C．某地农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计该地农田平均产量 D．从50个零件中抽取5个做质量检验 5．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②．完成①②这两项调查采用的抽样方法依次是________． ◆题型4 分层抽样的计算 1．（25-26高一下·湖南岳阳·期末）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件. 为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（　　） A．10 B．12 C．13 D．14 2．（25-26高一下·云南昭通·期末）某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为300的样本，则应抽取三年级的学生人数为（   ） A．60 B．70 C．80 D．90 3．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）某高山生态茶园共有2000棵茶树，分为珍稀良种茶树、常规本土茶树，采用分层随机抽样的方法抽取50棵进行病虫害监测，样本中珍稀良种茶树有12棵，则估计总体中常规本土茶树的数量为（    ） A．1440 B．1480 C．1520 D．1680 4．（25-26高一下·北京东城·期末）某工厂共有男职工1200人，女职工800人，现按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全厂职工中抽出一个容量为200的样本进行健康调查．若样本按比例分配，则应抽取男职工的人数为（    ） A．80 B．100 C．120 D．200 5．（25-26高一下·河北承德·期末）为调研消费者对不同动漫角色的购买偏好，根据统计数据得到角色A购买者有600位，角色B购买者有650位，角色C购买者有750位．现采用按比例分层随机抽样的方法抽取160人进行调研，则应抽取的角色A购买者的人数是（   ） A．60 B．52 C．48 D．72 ◆题型5 频率分布直方图的相关问题 1．（25-26高一下·云南红河·期末）某中学为了解本校学生课外阅读情况，随机抽取名学生进行调查，统计学生平均每日课外阅读时长（单位：分钟），且时长均在范围内，得到如图所示频率分布直方图．该校将阅读时间较长者评为“阅读达人”，且获得“阅读达人”称号的学生人数占总人数的．以样本估计总体，若某学生获得“阅读达人”称号，则他平均每日课外阅读时长至少达到（    ）    A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 2．（25-26高一下·北京·期中）某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于80分的人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 3．（2026·吉林长春·二模）某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（   ）    A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 4．（2026·河北衡水·一模）某市为了鼓励市民节约用水，计划实施阶梯水价政策.现随机抽取1000户居民，统计其月用水量（单位：吨），并绘制出如图所示的频率分布直方图.若用这1000户居民的月用水量的80%分位数作为月用水量的临界值（精确到0.1），使得月用水量不超过该值的用户不受水价上调的影响，则该市月用水量的临界值为（   ） A．26.8吨 B．27.7吨 C．28.3吨 D．29.2吨 5．（25-26高三上·安徽·期末）在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的物理成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法正确的是（   ） A． B．众数小于平均数 C．中位数超过75分 D．估计全校有640名考生及格 6．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量（单位：）调查，将得到的数据按分为6组，画出的频率分布直方图如图所示，则在被调查的用户中，月用电量落在内的户数为（    ） A．35 B．40 C．42 D．45 ◆题型6 根据统计图解决实际问题 1．（25-26高一下·广东广州·期末）某学校组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，校团委从参加这五个社团的学生中随机选取部分学生进行问卷调查，选取的学生情况绘制成如下不完整的两个统计图，则选取的学生中，绘画社团的学生数为（    ） A．16 B．18 C．20 D．25 2．（25-26高三上·河南信阳·期末）某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（   ） A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过 C．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的 D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数多 3．（25-26高一上·安徽阜阳·开学考试）某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表： 根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（    ） A．身高在区间的男生比女生多人 B．B组中男生和女生占比相同 C．超过一半的男生身高在以上 D．女生身高在组的人数有人 4．（25-26高一下·山东青岛·期末）小明记录了某年1月至11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据、整理并绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（    ）    A．月跑步里程最小值出现在2月 B．2月至6月的月跑步里程逐月增加 C．9月至11月的月跑步里程的平均数大于20 D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更大 5．（25-26高一下·山西·期末）如图是山西省运城市某高校两名篮球队员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，下列结论中错误的是（    ） A．第3天至第10天两名篮球队员综合得分均不低于80分 B．第2天至第7天篮球队员的得分逐日提高 C．第2天至第3天篮球队员的得分增量大于运动员的得分增量 D．A篮球队员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分方差 ◆题型7 百分位数的求解 1．（25-26高一下·贵州遵义·期中）数据：的第百分位数为（   ） A． B． C． D．或 2．（25-26高一下·吉林长春·期末）样本数据的上四分位数为（   ） A．14 B．15 C．16 D．18 3．（25-26高一下·湖南长沙·期末）某校举行演讲比赛，10位评委对某选手的评分数据如下： 7.5，7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.2，8.4，8.6，9.0 则该组数据的第75百分位数是（    ） A．8.2 B．8.3 C．8.4 D．8.5 4．（25-26高一下·山东菏泽·期末）一组从小到大排列的数据：若这组数据的第百分位数为11，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（25-26高一下·贵州黔东南·期末）如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的55%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（   ） A．76 B．77 C．78 D．79 ◆题型8 众数、中位数、平均数的求解及应用 1．（25-26高一下·四川攀枝花·期末）给定10个数据：1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，则此组数据的（    ） A．极差为3 B．众数为3 C．平均数为3 D．第75百分位数为3 2．（25-26高一下·陕西安康·期末）2026年五一假期轻量化露营成为青年出游新热点，某户外装备租赁门店统计了连续12名青年顾客单次租赁的装备件数，数据如下：3，2，4，3，5，3，2，3，4，3，5，2，则这组数据的众数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26高一下·海南·期末）射箭比赛中的环数通常为整数，最高 10 环，若一名射箭运动员连续射箭 3 次的环数均不低于 8 环，则称该运动员为“神射手”. 现有甲、乙、丙、丁四名射箭运动员连续射箭 3 次，根据他们的数据， 可以推断一定不是神射手的是（    ） A．甲:平均数为 9 ，中位数为 9 B．乙:平均数为 9 ，极差大于 1 C．丙:中位数为 9 ，众数为 9 D．丁:众数为 9 ，方差大于 1 4．（多选）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期末）某校为了解高一学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图（同一组的数据用该组区间的中点值代表），则（    ）    A． B．众数是 C．中位数是 D．第百分位数是 5．（多选）（25-26高一下·山东菏泽·期末）为评估某款AI芯片在不同模型架构下的推理延迟表现，抽取200个模型作为样本，测试模型的推理延迟时间（单位：ms），将测试数据适当分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，，则（    ） A． B．样本中延迟时间在内的模型个数为60 C．样本的中位数落在区间内 D．15可以作为样本众数的估计值 ◆题型9 方差、标准差的求解及应用 1．（多选）（25-26高一下·云南丽江·期末）为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（    ） A．该样本的极差为5分 B．用样本均值估计总体均值，其值约为7分 C．该样本的分位数为8分 D．用样本方差估计总体方差，其值约为1.8 2．（多选）（25-26高一下·广东深圳·期末）已知一组大小不等的数据的极差为m，平均数为，方差为，标准差为s，若，则下列关于数据的结论正确的有（     ） A．极差为3m B．方差为 C．平均数为 D．标准差为 3．（多选）（25-26高一下·宁夏银川·期末）某校为了解高一年级学生的身高情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，抽取了男生人，其平均数和方差分别为和．抽取了女生人，其平均数和方差分别为和．由这些数据，可计算出总样本平均数与总样本方差分别是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高一下·山东青岛·期末）某科技公司推出了，型两款智能商用服务器，公司统计了某地区2025年前6个月这两款服务器月销售量（单位：万台），得到了下面的销售量的折线图，分析这6个月的销售数据，下列说法正确的是（   ） A．型号服务器月销售量的极差比型号服务器月销售量的极差大 B．型号服务器月平均销售量比型号服务器月平均销售量大 C．型号服务器月销售量的上四分位数比型号服务器销售量的上四分位数大 D．型号服务器月销售量的方差比型号服务器月销售量的方差小 5．（多选）（25-26高一下·河北·期末）某同学进行了5次掷骰子（点数1~6）试验，得到一组整数数据，关于这组数据的统计量，有四个说法： ①若平均数为3，则方差可能为2.4； ②若中位数为2，则众数可能为3； ③若平均数为4，则极差可能为2； ④若中位数为3，则方差可能为2.8． 其中正确的说法是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 6．（多选）（25-26高一下·广西南宁·期末）下列说法正确的是（   ） A．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 B．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C．数据，，，…，的平均数为2，方差为4，则数据，，，…，的平均数为5，方差为16 D．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出58人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为20人 ◆题型10 事件的分类与运算 1．（25-26高二上·四川巴中·期末）在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上答案都不对 2．（25-26高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某抽奖活动设置了“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种抽奖结果，已知甲、乙两人各抽奖一次，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，则事件“至少有一人中奖”可表示为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·安徽宣城·期末）已知事件，满足，，，则（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.2 D．0.12 4．（25-26高一下·山西太原·期末）投掷一枚质地均匀的骰子，事件“出现奇数点”，“出现3点或5点”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·河南安阳·阶段检测）甲、乙两个元件构成一并联电路，设“甲元件故障”、“乙元件故障”、则表示电路故障的事件为（   ） A． B． C． D． ◆题型11 互斥事件与对立事件 1．（25-26高一下·青海海东·期末）某小组有两名男生和两名女生，从中任选两人参加演讲比赛，则下列事件中，与事件“恰有一名男生被选中”互斥但不对立的是（    ） A．恰有一名女生被选中 B．被选中的学生的性别相同 C．被选中的学生均是男生 D．至少有一名女生被选中 2．（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，是互斥事件，与是对立事件，若，，则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 3．（25-26高一下·黑龙江大庆·期末）从一批产品中取出三件产品，设事件=“三件产品全不是次品”，事件=“三件产品全是次品”，事件=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（    ） A．与对立 B．与互斥 C．与互斥 D．与不对立 4．（25-26高一下·山东青岛·期末）已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 5．（25-26高一下·广西南宁·期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，甲、乙各猜一个成语，已知甲猜对的概率是，乙猜对的概率是，甲和乙猜对与否互不影响，则两人中恰好只有一人猜对的概率是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·云南昭通·期末）某商场顾客购买生活物品时只用现金支付的概率为0.48，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.12，则不用现金支付的概率为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 ◆题型12 计算古典概型问题的概率 1．（25-26高一下·云南丽江·期末）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天．”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑．现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）从1，2，4，7中随机选取两个不同的数，则这两个数之和大于5的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·福建福州·期末）某学校举办数学竞赛，共道不同的题目.甲、乙两位同学依次从中随机抽取一道题（抽后放回），则两人抽到不同题目的概率为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·甘肃白银·期末）从1，2，3，…，20中任意选1个数，则这个数能被3整除的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期末）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），记录向上的点数，则一枚骰子的点数是另一枚骰子点数的2倍的概率是（    ） A． B． C． D． ◆题型13 概率与频率 1．（25-26高一下·河南商丘·期末）长时间使用手机，不仅会损伤视力，还会影响大脑认知功能．某中学为了解学生使用手机的情况，随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时长（单位：小时）进行调查，统计数据如下表所示： 手机使用时长 学生人数 4 11 15 14 6 则从该校随机抽取1名学生，估计其每周使用手机的时间少于8小时的概率为（    ） A．0.3 B．0.22 C．0.15 D．0.08 2．（25-26高一下·河北·期末）某校为了解高一学生的月阅读时间（单位：小时），得到如下数据：已知阅读时间在内的频率为0.1，在内的频率为0.2，在内的频率为0.4，在内的频率为0.2，在内的频率为0.1，若月阅读时间不低于15小时的学生共有90人，则根据上述数据，该校高一学生总人数为（    ） A．200 B．300 C．400 D．500 3．（25-26高一下·山西太原·期末）某项球类比赛按三局两胜的赛制进行，甲、乙两队进行此项比赛．已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．现用计算机产生1～5之间的随机数，当出现1，2或3时，表示此局比赛甲获胜，当出现4或5时，表示此局比赛乙获胜．在一次试验中，产生了20组随机数如下： 125  432  354  534  443  512  541  334  151  314 525  332  152  344  114  453  345  423  123  423 根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获胜的概率为（   ） A．0.144 B．0.432 C．0.6 D．0.648 4．（25-26高一下·浙江宁波·期末）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（   ） A．8个 B．10个 C．12个 D．14个 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 6．（25-26高二上·江苏苏州·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 ◆题型14 相互独立事件的概念及计算 1．（25-26高一下·内蒙古阿拉善·期末）投掷一枚均匀的骰子，记事件：“朝上的点数大于3”，：“朝上的点数为2或6”，则下列选项正确的是（    ） A．与互斥 B．与对立 C． D． 2．（25-26高一下·福建福州·期末）已知事件，，满足：，，则下列结论正确的为（     ） A．若，则与相互对立 B．若，则 C．若事件与相互独立，则 D．若事件与相互独立，则 3．（25-26高一下·福建福州·期末）甲、乙、丙三人各射击一个目标一次，三次射击相互独立，命中率分别为，，，则目标恰好被击中两次的概率为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·湖南长沙·期末）掷一枚均匀的骰子，设事件A：“点数为奇数”，事件B：“点数为偶数”，下列说法正确的是（    ） A．与互斥但不对立 B．与对立 C．与不互斥 D．与相互独立 5．（25-26高一下·贵州贵阳·期末）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别是，，则密码被成功破译的概率为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·安徽合肥·期末）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投，且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则投篮结束时，乙至多投了1次球的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·四川宜宾·期末）如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件能正常工作的概率为，则该电路是通路的概率为（     ） A． B． C． D． ◆题型1 频率分布直方图中各个量的计算 1．（25-26高一下·天津滨海新区·期末）为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取100名学生参加环保知识测试，整理他们的成绩（单位：分），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，下列结论正确的是（   ）    A．估计样本数据的中位数为75分 B．样本中得分低于80分的人数大约为35人 C．估计样本数据的众数为70分 D． 2．（25-26高一下·四川达州·期末）为了解某社区月均用水情况，随机抽取100户居民近半年月均用水量（单位：吨），将用水量数据按，，，，分组制成频率分布直方图，则（    ）    A． B．估计样本的中位数为10 C．估计样本的众数为10 D．估计样本的平均数为10 3．（25-26高一下·天津·期末）某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（     ） A．的值为0.015 B．估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C．估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 D．估计总体中成绩落在内的学生人数为90 4．（25-26高一下·天津和平·期末）某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损，使部分图形缺失，如图，在该频率分布直方图中，下列说法正确的是（     ）    A．第三组的频数为16人 B．估计样本的众数为85分 C．估计样本的平均数为73.5分 D．估计样本的中位数为75.5分 5．（25-26高一下·天津·期末）在一次数学竞赛中，将100名参赛者的成绩按区间分成5组，得到如下频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值代表，根据图中信息，下列结论正确的是（   ）    A． B．该100名学生成绩的众数约为70 C．该100名学生中成绩在的人数为48 D．该100名学生成绩的第85百分位数约为83.3 ◆题型2 互斥、对立与独立事件的综合问题 1．（25-26高一下·广东广州·期末）已知事件A，B，C满足，，，下列结论正确的是（    ） A．B，C互为对立事件 B．若，则 C．若A，B互斥，则 D．若A，B相互独立，则 2．（25-26高一下·山东枣庄·期末）一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件A为“两次记录的数字和为奇数”，事件B为“第一次记录的数字为奇数”，事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则（   ） A．A与C互斥 B．B与C对立 C． D．A与B相互独立 3．（25-26高一下·新疆喀什·期末）一个不透明的袋子中有2个白球，2个红球，摇匀后随机不放回摸出2个球，记事件A为“摸出1个白球1个红球”，则与事件A互斥而不对立的事件是（    ） A．至少摸出1个白球 B．至少摸出1个红球 C．摸出2个白球 D．摸出2个白球或摸出2个红球 4．（25-26高一下·广东广州·期末）将一枚质地均匀的骰子先后掷两次，设“第一次出现1点”，“第二次出现1点”，“两次出现的点数之和为5”，“两次出现的点数之和为奇数”，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 5．（多选）（25-26高一下·广东深圳·期末）设，为随机事件．以下说法正确的有（     ） A．若，对立，则 B．若，则，对立 C．若，互斥，则 D．若，相互独立，则 6．（多选）（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若与互斥，则 B．若，则事件与相互独立 C．若发生时一定发生，则 D． ◆题型3 概率与统计的综合应用 1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期末）袋中共有编号为0~9的完全相同的10个小球，甲、乙、丙、丁四名同学分别有放回地各抽取10次，记录抽出小球的编号.甲统计的数据为“平均数为3，中位数为4”，乙统计的数据为“中位数为3，众数为4”，丙统计的数据为“平均数为3，第25百分位数为1”，丁统计的数据为“平均数为2，方差为3”，根据统计数据估计，摸出的10个球的编号一定全部不大于7的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（25-26高一下·湖北襄阳·期末）某射击运动员进行5次射击训练，每次射击的环数为整数，且可能为1到10环，已知以下四组统计特征，其中可以判断一定没有打出8环的是（   ） A．平均数为4，中位数为5 B．平均数为4，极差为5 C．平均数为5，方差为1.6 D．中位数为5，标准差为1.2 3．（25-26高一下·河北沧州·期末）若数据的方差为15，数据的方差为10，则数据，的方差的最小值为（   ） A．10 B．12 C．13 D．15 4．（25-26高一下·福建福州·期末）人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．很多学校已经推出基于AI的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新．某探究小组利用AI解答了一些模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图．已知准确率在内的试卷份数为10． (1)求出试卷总份数，并估计出准确率的中位数； (2)“如何利用AI”是AI能否更好地造福人类的关键，基于此该小组进行了AI运用比赛，即用AI进行问题解答，并通过正确率来评定结果．甲、乙两名小组成员进行AI运用比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为（，，，），且每局比赛结果相互独立． （ⅰ）若，，，求进行4局比赛后甲同学赢得比赛的概率； （ⅱ）当时，求比赛不超过5局就结束的概率（用表示）． 5．（25-26高二上·浙江杭州·期中）人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．很多学校已经推出基于DeepSeek的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新．某探究小组利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷（每份试卷包含文科、理科共30个题），收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)求这组数据的中位数； (3)若将准确率不低于90%定义为“优秀表现”，且已知：①每份试卷中，文科题（语文、英语、历史）与理科题（数学、物理、化学）各占比50%，DeepSeek解答理科题的平均正确率比文科题高5%；②理科题每题6分，文科题每题4分，请计算： ①DeepSeek在“优秀表现”试卷中，理科题和文科题的平均正确率分别是多少？ ②一份“优秀表现”的试卷，DeepSeek的平均得分是多少？ 6．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示． (1)求的值，并估计这组数据的平均数和中位数； (2)现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率； (3)从年龄在及的人群中按分层抽样共抽取50人，在抽取的人中年龄在的平均数为40，方差为14，年龄在的平均数为50，方差为24． （i）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，样本方差为．证明： （ii）用样本估计总体，试估计参与关注生态文明建设的人群中年龄的平均数和方差． 1．（25-26高一下·广东湛江·期末）甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，甲同学：中位数为22，众数为20；乙同学：中位数为25，平均数为22；丙同学：第40百分位数为22，极差为2；丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8．根据四名同学的统计结果，可以判断出四位同学记录的所有数据一定都不小于20的人数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一下·湖北武汉·期末）袋子中有6个相同的球分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为5，方差小于1，则（   ） A．可能取到数字3 B．中位数可能是5 C．极差可能是4 D．众数可能是3 3．（25-26高一下·河南·期末）甲、乙、丙、丁篮球运动员连续7场比赛得分数据（分值均为整数）的数字特征如下： 甲球员：平均数为26，方差为20 乙球员：中位数为29，众数为26 丙球员：中位数为25，极差为10 丁球员：众数为25，第40百分位数为30 根据以上信息，下列结论一定错误的是（   ） A．乙球员场均得分在24分以上 B．甲球员有一场比赛的得分可能为40分 C．丙球员场均得分一定在20分以上 D．丁球员场均得分至少为30分 4．（25-26高一下·吉林长春·期末）某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法不正确的是（    ） A．甲队积分为分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为分 C．丙队积分为分的概率为 D．甲队胜场且乙队胜场的概率为 5．（25-26高一下·山西太原·期末）某运动软件记录了一组运动时长数据：20，30，25，40，35，从这组数据中随机删除3个数得到一组新数据，下列结论正确的有（   ） A．新数据的极差是10的概率为0.4 B．新数据的平均数是30的概率为0.3 C．前后两组数据中位数不变的概率为0.2 D．前后两组数据方差不变的概率为0.1 6．（多选）（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录骰子每次出现的点数，根据这四名同学的统计结果，可以判断该同学掷得的点数一定有6的是（     ） A．甲：极差为4，平均数为4.4 B．乙：中位数为3，平均数为3.4 C．丙：平均数为3，方差不小于4 D．丁：中位数为2，方差大于2.5 7．（多选）（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下. 甲:众数为83，平均数为82. 乙:中位数为82，众数为80. 丙:中位数为85，平均数为82. 丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2. 甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．（多选）（25-26高一下·贵州铜仁·期末）甲、乙两人组成“旭日队”参加投篮活动，每轮活动由甲、乙各投两个球，已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为．在每轮活动中，甲和乙每次投进与否互不影响，各轮结果也互不影响，且每轮甲和乙合计至少投进三个球队伍才能晋级下一轮活动，则下列结论正确的是（     ） A．在第一轮活动中，甲恰好投进一个球的概率为 B．在第一轮活动中，“旭日队”晋级下一轮活动的概率为 C．若第一轮活动中甲已经投进两个球，则“旭日队”晋级第二轮的概率为 D．“旭日队”晋级第三轮且队伍中有人在前两轮中全部投进的概率为 9．（多选）（25-26高一下·湖北武汉·期末）在一个有限样本空间中，事件，，发生的概率满足，则下列说法正确的是（   ） A．若与相互独立，则 B．若与互斥，则 C．若，则 D．若，与互斥，则 10．（25-26高一下·湖南衡阳·期末）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，，若，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________． 11．（25-26高一下·海南·期末）某校为了选拔参加数学竞赛的学生， 安排名同学参加预选赛， 所有成绩按照分组，得到如图所示的频率分布直方图，则图中_____．若按分数从高到低选拔出名学生，则划定的分数线大约为_____．    12．某校在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的300名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，学校将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. (1)求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； (2)学校要求按照分数从高到低选拔前90名的学生进行培训，试估计这90名学生的最低分数（计算结果由四舍五入保留一位小数）； (3)试估计这300名学生的分数的方差，并判断此次得分为64分和87分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 概率与统计全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 简单随机抽样的特征及适用条件 题型8 众数、中位数、平均数的求解及应用 题型2 随机数表法 题型9 方差、标准差的求解及应用 题型3 抽样方法的选取 题型10 事件的分类与运算 题型4 分层抽样的计算 题型11 互斥事件与对立事件 题型5 频率分布直方图的相关问题 题型12 计算古典概型问题的概率 题型6 根据统计图解决实际问题 题型13 概率与频率 题型7 百分位数的求解 题型14 相互独立事件的概念及计算 核心提升·重难点归纳 题型1 频率分布直方图中各个量的计算 题型2 互斥、对立与独立事件的综合问题 题型3 概率与统计的综合应用 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 简单随机抽样的特征及适用条件 1．（25-26高一下·甘肃张掖·期末）下面的抽样方法是简单随机抽样的是（    ） A．盒中装有个小球，某人一次抽取个小球 B．从个产品中随机逐个抽取个进行产品合格检测 C．从自然数中逐个抽取个数 D．老师从班里名同学中点了名同学参加数学竞赛 【答案】B 【详解】对于A，一次抽取3个，不是逐个抽取，不符合简单随机抽样“逐个抽取”的要求； 对于B，从100个（有限总体）产品中“随机逐个抽取”10个，每个产品被抽到的概率相等，满足简单随机抽样的全部条件； 对于C，自然数是无限总体，简单随机抽样要求总体个体数有限，因此不符合； 对于D，老师主观点名，不是随机抽取，带有主观倾向性，不满足随机性要求． 2．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题中正确的是（    ） A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样 B．这次抽样一定没有采用分层抽样 C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率 D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率 【答案】A 【分析】根据简单随机抽样、分层抽样的定义可以判断A，B；通过计算概率可判断C，D. 【详解】对于A，这次抽样可能采用的是简单随机抽样，故A正确. 对于B，由知，采用的可以是分层抽样，故B错误. 对于C和D，抽样中每个女生被抽到的概率与每个男生被抽到的概率均等于，故C和D均错误. 故选：A. 3．（多选）下列说法中正确的有（   ） A．抽签法是简单随机抽样 B．随机数表法是简单随机抽样 C．简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数有限 D．简单随机抽样可以从总体中一次性抽出样本 【答案】ABC 【分析】由简单随机抽样的定义逐项判断即可. 【详解】抽签法是简单随机抽样，所以A正确； 随机数表法是简单随机抽样，所以B正确； 简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数有限，所以C正确； 简单随机抽样要求从总体中逐个抽出样本，所以D错误. 故选：ABC． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）下列抽样的方式属于简单随机抽样的是（   ） A．从500个个体中一次性抽取50个作为样本 B．将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本 C．箱子共有100个零件，从中选出10个进行检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行检验后，再把它放回箱子 D．福利彩票用摇奖机摇奖 【答案】BD 【分析】根据简单随机抽样的概念依次判断即可. 【详解】根据简单随机抽样的概念：从有限总体中进行随机、不放回抽样， 可知 A不是逐个抽取，C不是不放回抽取，故不是简单随机抽样，BD是简单随机抽样． 故选：BD 5．（25-26高三·全国·一轮复习）实验室的笼子里共有100只小白鼠，现要从中抽取10只做试验用．①每次不经任何挑选地抓一只，抓满10只为止；②将笼中的100只小白鼠按1～100编号，任意选取编号范围内的10个不重复数字，把相应编号的小白鼠作为试验用的小白鼠，则以上两种情况属于简单随机抽样的是________． 【答案】①② 【分析】先明确简单随机抽样的定义及特征，再分别分析两种抽样方法是否满足这些特征，从而判断是否属于简单随机抽样. 【详解】简单随机抽样是一种从总体中抽取样本的方法，其特征包括：1、总体中的个体数有限；2、从总体中逐个地进行抽取；3、不放回抽样；4、每个个体抽到的机会均等.以上两个抽样，逐个分析，都满足简单随机抽样的特征. 故答案为：①② ◆题型2 随机数表法 1．（2026高三·全国·专题练习）要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取50袋进行检验．先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读取，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号是（   ） 第7行：84   42   17   53   31   57   24   55   06   88   77   04   74   47   67   21   76   33   50   25   83   92   12   06   78 第8行：63   01   63   78   59   16   95   55   67   19   98   10   50   71   75   12   86   73   58   07   44   39   52   38   79 第9行：33   21   12   34   29   78   64   56   07   82   52   42   07   44   38   15   51   00   13   42   99   66   02   79   54 A．55，67，19，98，10 B．556，719，810，507，175 C．785，567，199，507，175 D．556，719，050，717，512 【答案】C 【分析】定位起点后，依次向右连续读取三位数字，并舍去超出000至799范围以及重复的无效数据，直至筛选出所需的5个符合条件的编号. 【详解】由题意得第8行第7列的数为7，每次取3个连续数字， 数字串为， 其中都超出， 所以最先检测的5袋牛奶的编号是785，567，199，507，175. 2．（25-26高一下·广西来宾·阶段检测）总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取6个个体．利用科学计算器依次生成一组随机数如下：65 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 32 15 52 39 52 40，则选出来的第6个个体的编号为______． 【答案】 【分析】根据随机数抽样规则可得结果. 【详解】生成的随机数中落在编号01，02，…，39，40内的依次有06，35，02，35（重复），32，15，39，40. 所以选出来的第6个个体的编号为39. 3．（25-26高一下·重庆·阶段检测）某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析， 先将全体900名学生编号为001， 002， 003， …， 900， 从中抽取60个样本， 并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为____________. 95226000     49840128     66175168      39682927     43772366     27096623 92580956    43890890      06482834      59741458     29778149     64608925 【答案】175 【分析】根据随机数表抽样规则，从指定起始位置向右逐次读取三位编号，舍去超出001~900范围的编号，统计得到第5个有效编号即可. 【详解】读取规则为从随机数表第1行第4列开始向右连续读取，每次取3位数字，凡不在001~900范围内的编号跳过，与已读取编号重复的也跳过： 首次读取得到260，属于有效范围，为第1个样本编号； 接下来读取得到004，属于有效范围，为第2个样本编号； 继续读取得到984，超出最大编号900，舍去；继续读取得到012，属于有效范围，为第3个样本编号； 继续读取得到866，属于有效范围，为第4个样本编号； 继续读取得到175，属于有效范围，为第5个样本编号。 因此得到的第5个样本的编号为175. 4．（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）总体由编号为00，01，02，…，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第3列和第4列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为__________． 附：第6行至第9行的随机数表 27  48  61  98  71  64  41  48  70  86  28  88  85  19  16  20 74  77  01  11  16  30  24  04  29  79  79  91  96  83  51  25 32  11  49  19  73  06  49  16  76  77  87  33  99  74  67  32 26  35  79  00  33  70  91  60  16  20  38  82  77  57  49  50 【答案】 16 【分析】依据随机数表法抽取样本的规则，从指定起始位置依次选取范围内的不重复编号，计数到第5个有效编号即可. 【详解】首先确定起始位置：随机数表第6行的第3列和第4列组成两位数字48，属于的编号范围，记为第1个有效编号； 从左到右依次选取后续两位数字，仅保留编号在范围内且不重复的结果： 1.选取61，数值大于49，舍去； 2.选取98，数值大于49，舍去； 3.选取71，数值大于49，舍去； 4.选取64，数值大于49，舍去； 5.选取41，符合要求，记为第2个有效编号； 6.选取48，与已选编号重复，舍去； 7.选取70，数值大于49，舍去； 8.选取86，数值大于49，舍去； 9.选取28，符合要求，记为第3个有效编号； 10.选取88，数值大于49，舍去； 11.选取85，数值大于49，舍去； 12.选取19，符合要求，记为第4个有效编号； 13.选取16，符合要求，记为第5个有效编号， 故第5个个体的编号为16. 5．（25-26高二上·上海·期末）现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第1个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为________.（以下随机数表第7行）. 39832276  39918535  32591131  40469235  04982212  20671263 【答案】 【分析】由随机数表法写出前4支水笔的编号，即可得. 【详解】由随机数表法，前4支水笔的编号依次为， 所以第4支水笔的编号为. 故答案为： ◆题型3 抽样方法的选取 1．（25-26高一下·山西·阶段检测）某小学有学生3300人，卫生部门为了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本，则适合的抽样方法是（    ） A．抽签法 B．随机数法 C．简单随机抽样 D．分层随机抽样 【答案】D 【详解】由于不同年级的学生身体发育情况可能存在差异，因此适合采用分层随机抽样的方法． 2．下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是（    ） A．某学校有学生1320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本 B．从1135个村庄中抽取50个进行收入调查 C．从全班30名学生中，任意选取5名进行家访 D．为了解某地区某传染病的发病情况，从该地区的5000人中抽取200人进行统计 【答案】C 【分析】分析总体容量的大小，以及样本之间是否有明显差异，综合比较可得. 【详解】A项，总体容量较大，有明显的层次性，如男女生在身高体重等方面有较大差异，宜采用分层抽样方法； B项，总体容量较大，且各村庄人口、地域、发展等方面的差异，收入可能有明显的差异，不宜采用简单随机抽样方法； C项，总体个数少，家访活动学生个体平等，且无明显差异，宜采用简单随机抽样方法； D项，总体容量大，不同年龄的人传染病发病情况不同，有明显的差异，不宜采用简单随机抽样方法； 综上比较，最适合用简单随机抽样方法的是C. 故选：C. 3．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从中抽取一个容量为36的样本，则最适合的抽样方法是（    ） A．按年龄分层抽样 B．随机数表法随机抽样 C．抽签法随机抽样 D．系统抽样 【答案】A 【分析】根据三种不同抽样的适用情况，即可判断选项. 【详解】由于总体由具有明显不同特征的三部分构成，所以宜采用按年龄分层抽样. 故选：A 4．（多选）下列问题中不适合用分层随机抽样法抽样的是：（    ） A．某会堂有32排座位，每排有40个座位，座位号是1~40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈 B．从10台冰箱中抽取3台进行质量检查 C．某地农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计该地农田平均产量 D．从50个零件中抽取5个做质量检验 【答案】ABD 【分析】根据分层随机抽样的特征和适用的情况对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】选项A，总体中的个体无明显差异，且总体容量较大，故不宜采用分层随机抽样法； 选项B，总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便，不宜采用分层随机抽样； 选项C，总体容量较大，且各类农田的产量有明显差别，宜采用分层随机抽样； 选项D，总体中的个体无明显差异，总体容量较小，宜采用随机抽样法. 故选：ABD 5．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②．完成①②这两项调查采用的抽样方法依次是________． 【答案】分层随机抽样，简单随机抽样 【分析】通过随机抽样的定义进行判断． 【详解】解：对于调查①，某公司在四个地区的销售点存在明显的差距，故采用的是：分层随机抽样； 对于调查②，明显是采用的是：简单随机抽样， 故答案为：分层随机抽样，简单随机抽样 ◆题型4 分层抽样的计算 1．（25-26高一下·湖南岳阳·期末）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件. 为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（　　） A．10 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【详解】依题意，抽样比为，则由，解得. 2．（25-26高一下·云南昭通·期末）某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为300的样本，则应抽取三年级的学生人数为（   ） A．60 B．70 C．80 D．90 【答案】A 【详解】由题意可得应抽取三年级的学生人数为(人). 3．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）某高山生态茶园共有2000棵茶树，分为珍稀良种茶树、常规本土茶树，采用分层随机抽样的方法抽取50棵进行病虫害监测，样本中珍稀良种茶树有12棵，则估计总体中常规本土茶树的数量为（    ） A．1440 B．1480 C．1520 D．1680 【答案】C 【详解】总体中常规本土茶树的数量为棵. 4．（25-26高一下·北京东城·期末）某工厂共有男职工1200人，女职工800人，现按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全厂职工中抽出一个容量为200的样本进行健康调查．若样本按比例分配，则应抽取男职工的人数为（    ） A．80 B．100 C．120 D．200 【答案】C 【详解】因为工厂男职工女职工， 所以抽取的男职工人数人. 5．（25-26高一下·河北承德·期末）为调研消费者对不同动漫角色的购买偏好，根据统计数据得到角色A购买者有600位，角色B购买者有650位，角色C购买者有750位．现采用按比例分层随机抽样的方法抽取160人进行调研，则应抽取的角色A购买者的人数是（   ） A．60 B．52 C．48 D．72 【答案】C 【详解】设应抽取的角色A购买者的人数为，则，所以， 所以应抽取的角色A购买者的人数为48． ◆题型5 频率分布直方图的相关问题 1．（25-26高一下·云南红河·期末）某中学为了解本校学生课外阅读情况，随机抽取名学生进行调查，统计学生平均每日课外阅读时长（单位：分钟），且时长均在范围内，得到如图所示频率分布直方图．该校将阅读时间较长者评为“阅读达人”，且获得“阅读达人”称号的学生人数占总人数的．以样本估计总体，若某学生获得“阅读达人”称号，则他平均每日课外阅读时长至少达到（    ）    A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】D 【详解】 由题意知，获得“阅读达人”称号的同学平均每日课外阅读时长的最小值为样本数据的分位数， 由频率分布直方图可知，组距为，且第五组的频率为； 所以前四组频率之和为，则样本数据的分位数为分钟． 2．（25-26高一下·北京·期中）某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于80分的人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 【答案】B 【详解】由频率分布直方图的性质可得，， 解得. 这些同学物理成绩大于等于80分的人数为. 3．（2026·吉林长春·二模）某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（   ）    A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】C 【分析】在频率分布表中，小矩形的面积等于这一组的频率，所以面积和为1，建立等量关系求出，进而求出长度在内的频率． 【详解】由题意知，，整理得，解得. 所以任取一个垫片为合格品的概率为：. 4．（2026·河北衡水·一模）某市为了鼓励市民节约用水，计划实施阶梯水价政策.现随机抽取1000户居民，统计其月用水量（单位：吨），并绘制出如图所示的频率分布直方图.若用这1000户居民的月用水量的80%分位数作为月用水量的临界值（精确到0.1），使得月用水量不超过该值的用户不受水价上调的影响，则该市月用水量的临界值为（   ） A．26.8吨 B．27.7吨 C．28.3吨 D．29.2吨 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图百分位数计算方法计算求解. 【详解】由频率分布直方图可知，前五组的频率之和为，前六组的频率之和为， 设该市月用水量的临界值为吨， 则，由，得， 故该市月用水量的临界值为28.3吨. 5．（25-26高三上·安徽·期末）在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的物理成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法正确的是（   ） A． B．众数小于平均数 C．中位数超过75分 D．估计全校有640名考生及格 【答案】D 【分析】根据频率分布直方图的性质，列出方程，求得的值，可判断A不正确；求得数据的众数和平均数的值，可判定B不正确；根据中位数的计算方法，求得数据的中位数，可判定C错误；求得落在中的人数为，结合分层抽样，列出方程，求得及格的人数，可判定D正确. 【详解】对于A，根据频率分布直方图的性质，可得， 解得，所以A不正确； 对于B，由频率分布直方图，可得数据的众数为， 平均数， 众数大于平均数，所以B错误； 对于C，由频率分布直方图，可得中位数为，所以C错误； 对于D，由频率分布直方图，可得落在中的人数为， 设全校有人及格，则，解得，即估计全校有640名考生及格，所以D正确. 故选：D. 6．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）从某小区抽取100户居民用户进行月用电量（单位：）调查，将得到的数据按分为6组，画出的频率分布直方图如图所示，则在被调查的用户中，月用电量落在内的户数为（    ） A．35 B．40 C．42 D．45 【答案】B 【分析】利用频率分布直方图的性质先计算参数，再根据图象计算即可. 【详解】易知，所以， 即， 而月用电量落在内的户数为. 故选：B ◆题型6 根据统计图解决实际问题 1．（25-26高一下·广东广州·期末）某学校组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，校团委从参加这五个社团的学生中随机选取部分学生进行问卷调查，选取的学生情况绘制成如下不完整的两个统计图，则选取的学生中，绘画社团的学生数为（    ） A．16 B．18 C．20 D．25 【答案】C 【详解】由条形统计图可知，演讲社团的人数为30，由扇形统计图可知， 演讲社团的人数占选取学生总人数的，所以选取的学生总人数为. 由扇形统计图可知，舞蹈社团和英语协会的人数占比均为， 所以舞蹈社团和英语协会的人数均为； 又由条形统计图可知，合唱社团的人数为70， 所以绘画社团的学生数为. 2．（25-26高三上·河南信阳·期末）某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（   ） A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过 C．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的 D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数多 【答案】D 【分析】对于A，不知道“80后”从事技术岗位的人数的比例，故无法比较；由图1可判断B；求出芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数占比即可判断C；求出“90后”从事市场岗位的人数占比可判断D. 【详解】对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为， 芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的，但不知道从事技术岗位的人数的比例，故无法比较，故A不一定正确； 对于B，由图1知芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为，超过，故B错误； 对于C，芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数占从事这两个行业总人数的， 没有超过从事这两个行业总人数的，故C错误； 对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为， 因为， 所以芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事芯片、软件行业的总人数多，故D正确. 故选：D. 3．（25-26高一上·安徽阜阳·开学考试）某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表： 根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（    ） A．身高在区间的男生比女生多人 B．B组中男生和女生占比相同 C．超过一半的男生身高在以上 D．女生身高在组的人数有人 【答案】D 【分析】根据直方图即可求得抽取男生的总人数也就是女生的总人数，然后根据扇形统计图乘以对应的百分比即可求解. 【详解】解析：抽取的男生总人数为（人）， 因为抽取的样本中，男生、女生人数相同， 所以抽取的女生总人数为人， 由直方图可知，身高在区间的男生人数为12人， 由扇形统计图可知，身高在区间的女生人数为（人）， 则身高在区间的男生比女生少3人，选项A错误； B组中男生和女生占比不相同，选项B错误； 男生身高在以上的占比为，则选项C错误； 女生中E组的人数为（人），则选项D正确； 故选：D. 4．（25-26高一下·山东青岛·期末）小明记录了某年1月至11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据、整理并绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（    ）    A．月跑步里程最小值出现在2月 B．2月至6月的月跑步里程逐月增加 C．9月至11月的月跑步里程的平均数大于20 D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更大 【答案】D 【详解】由折线图可知月跑步里程最小值出现在2月，故A正确，不符合题意； 2月至6月的月跑步里程逐月增加，故B正确，不符合题意； 9月至11月的月跑步里程最小值为20，则平均数大于20，故C正确，不符合题意； 1月到5月的月跑步里程相对于6月至11月更均匀，波动性更小，故D错误，符合题意． 5．（25-26高一下·山西·期末）如图是山西省运城市某高校两名篮球队员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，下列结论中错误的是（    ） A．第3天至第10天两名篮球队员综合得分均不低于80分 B．第2天至第7天篮球队员的得分逐日提高 C．第2天至第3天篮球队员的得分增量大于运动员的得分增量 D．A篮球队员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分方差 【答案】D 【分析】根据图象，逐一分析选项，即可得出答案. 【详解】对于A，由图象可得，第3天至第10天两名篮球队员综合得分均不低于80分，故A正确； 对于B，由图象可得，第2天至第7天B篮球队员的得分逐日提高，故B正确； 对于C，第2天至第3天篮球队员的得分增量为篮球队员的得分增量小于2，故C正确； 对于D，由图象可得，在第1天至第3天的得分中，篮球队员的最小得分为78，最高得分为80， 在第2天至第4天的得分中，最小得分为78，最高得分高于80， 所以第2天至第4天的得分比第1天至第3天的得分更分散， 所以篮球队员第1天至第3天的得分方差小于第2天至第4天的得分的方差，故D错误. ◆题型7 百分位数的求解 1．（25-26高一下·贵州遵义·期中）数据：的第百分位数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】由题知共个数据，又， 所以的第百分位数为. 2．（25-26高一下·吉林长春·期末）样本数据的上四分位数为（   ） A．14 B．15 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据上四分位数的定义求解即可. 【详解】，所以样本数据的上四分位数为. 3．（25-26高一下·湖南长沙·期末）某校举行演讲比赛，10位评委对某选手的评分数据如下： 7.5，7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.2，8.4，8.6，9.0 则该组数据的第75百分位数是（    ） A．8.2 B．8.3 C．8.4 D．8.5 【答案】C 【分析】将数据从小到大排列，由百分位数定义求解即可． 【详解】数据从小到大排列如下：7.5，7.5，7.8，7.8，8.0，8.0，8.2，8.4，8.6，9.0， 而，则该组数据的第75百分位数是第8个数据，为. 4．（25-26高一下·山东菏泽·期末）一组从小到大排列的数据：若这组数据的第百分位数为11，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据第60百分位数计算方法得到其表达式，结合第60百分位数为，再求出的值. 【详解】该组数据共有5个，从小到大排列：.首先计算,所以根据百分位数的定义，第百分位数为第3项与第4项数据的算术平均数，即，解得. 5．（25-26高一下·贵州黔东南·期末）如图是根据某校学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则该次数学成绩的55%分位数约为（采用四舍五入法精确到1）（   ） A．76 B．77 C．78 D．79 【答案】C 【详解】从左到右前2个小组的频率分别为0.1，0.2，第3个小组的频率为0.3， 又，， 故55%分位数在内，约为． ◆题型8 众数、中位数、平均数的求解及应用 1．（25-26高一下·四川攀枝花·期末）给定10个数据：1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，则此组数据的（    ） A．极差为3 B．众数为3 C．平均数为3 D．第75百分位数为3 【答案】C 【详解】A选项，极差为，A错误； B选项，2出现了3次，3出现了3次，众数为2和3，B错误； C选项，，平均数为3，C正确； D选项，，从小到大，选择第8个数作为第75百分位数，即4，D错误. 2．（25-26高一下·陕西安康·期末）2026年五一假期轻量化露营成为青年出游新热点，某户外装备租赁门店统计了连续12名青年顾客单次租赁的装备件数，数据如下：3，2，4，3，5，3，2，3，4，3，5，2，则这组数据的众数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】结合题干中数据和众数的定义求解即可. 【详解】由题可知：2出现3次，3出现5次，4出现2次，5出现2次， 其中3出现的次数最多，因此这组数据的众数为3. 3．（25-26高一下·海南·期末）射箭比赛中的环数通常为整数，最高 10 环，若一名射箭运动员连续射箭 3 次的环数均不低于 8 环，则称该运动员为“神射手”. 现有甲、乙、丙、丁四名射箭运动员连续射箭 3 次，根据他们的数据， 可以推断一定不是神射手的是（    ） A．甲:平均数为 9 ，中位数为 9 B．乙:平均数为 9 ，极差大于 1 C．丙:中位数为 9 ，众数为 9 D．丁:众数为 9 ，方差大于 1 【答案】D 【详解】设三次射箭环数从小到大依次为，环数为整数且，“神射手”要求. 对选项A，由甲的平均数为9、中位数为9，得，，故. 又，因此，即，三次环数均不低于8，甲一定是神射手. 对选项B，由乙的平均数为9、极差大于1，可取环数为8,9,10（极差，均不低于8，是神射手）， 也可取环数为7,10,10（极差，存在环数低于8，不是神射手），故无法断定乙一定不是神射手. 对选项C，由丙的中位数为9、众数为9，可取环数为（均不低于8，是神射手）， 也可取环数为7,9,9（存在环数低于8，不是神射手），故无法断定丙一定不是神射手. 对选项D，由丁的众数为9，知9至少出现两次.若三次均为9，则方差为0，与方差大于1矛盾， 故必为两次9、一次（）.设环数为，平均数，方差 由得，即.结合环数为整数且最高10环，得， 即，故必有一次环数低于8，丁一定不是神射手. 4．（多选）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期末）某校为了解高一学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图（同一组的数据用该组区间的中点值代表），则（    ）    A． B．众数是 C．中位数是 D．第百分位数是 【答案】ABD 【分析】利用频率分布直方图中矩形面积等于该组频率，且所有矩形面积总和为1的性质，通过计算累积频率来逐一求解各选项即可. 【详解】，解得，故A正确， 最高的矩形对应的区间是，该区间的中点值为，故B正确， 的频率为，的频率为， 的频率为，， 因为，所以中位数一定落在下一个区间内， 设中位数为，则，解得，故C错误， 由上知前2组的累积频率为，前3组的累积频率为， 所以第百分位数落在区间内， 设第百分位数为，则，解得，故D正确. 5．（多选）（25-26高一下·山东菏泽·期末）为评估某款AI芯片在不同模型架构下的推理延迟表现，抽取200个模型作为样本，测试模型的推理延迟时间（单位：ms），将测试数据适当分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，，则（    ） A． B．样本中延迟时间在内的模型个数为60 C．样本的中位数落在区间内 D．15可以作为样本众数的估计值 【答案】ABD 【详解】 选项A：因为组距为10，所以有，解得，即，正确； 选项B：延迟时间在内的频率为，样本总数为，所以该区间内的模型个数为，正确； 选项C：前两组的频率之和为， 因为，且第一组频率为，所以中位数位于第二组内，而不是内，错误； 选项D：图中最高的矩形对应区间为，其中点值为，所以15可以作为样本众数的估计值，正确. ◆题型9 方差、标准差的求解及应用 1．（多选）（25-26高一下·云南丽江·期末）为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（    ） A．该样本的极差为5分 B．用样本均值估计总体均值，其值约为7分 C．该样本的分位数为8分 D．用样本方差估计总体方差，其值约为1.8 【答案】ABD 【详解】将样本数据从小到大排序：5，6，6，6，7，7，7，8，8，10， 选项A，极差=最大值-最小值，，所以A正确； 选项B， 样本均值，用样本均值估计总体均值，所以B正确； 选项C，百分位数位置：，因为为整数，所以分位数是第9项和第10项数据的平均值，即分位数是，所以C错误； 选项D，样本方差，所以D正确． 2．（多选）（25-26高一下·广东深圳·期末）已知一组大小不等的数据的极差为m，平均数为，方差为，标准差为s，若，则下列关于数据的结论正确的有（     ） A．极差为3m B．方差为 C．平均数为 D．标准差为 【答案】ABC 【详解】对于A，不妨设数据的最大值为，最小值为，则， 由，得，， 所以数据的极差为，故A正确； 对于BC，因为数据的平均数为，方差为， 所以，， 所以， 所以的方差 ，故BC正确； 对于D，由选项B可得数据的标准差为，故D错误. 3．（多选）（25-26高一下·宁夏银川·期末）某校为了解高一年级学生的身高情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，抽取了男生人，其平均数和方差分别为和．抽取了女生人，其平均数和方差分别为和．由这些数据，可计算出总样本平均数与总样本方差分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据按比例分配的分层随机抽样的总样本平均数、总样本方差的计算公式，分别求解对应数值后判断选项即可. 【详解】 选项AB：总样本平均数为各层平均数按样本量权重加权的结果，计算得，故A正确，B错误； 选项CD：分层随机抽样总样本方差为 ，故C正确，D错误. 4．（多选）（25-26高一下·山东青岛·期末）某科技公司推出了，型两款智能商用服务器，公司统计了某地区2025年前6个月这两款服务器月销售量（单位：万台），得到了下面的销售量的折线图，分析这6个月的销售数据，下列说法正确的是（   ） A．型号服务器月销售量的极差比型号服务器月销售量的极差大 B．型号服务器月平均销售量比型号服务器月平均销售量大 C．型号服务器月销售量的上四分位数比型号服务器销售量的上四分位数大 D．型号服务器月销售量的方差比型号服务器月销售量的方差小 【答案】ABC 【详解】选项A，，型服务器的月销售数据为 型号：25，28，27，42，38，50， 型号：22，25，30，37，40，45， 型号的极差：， 型号的极差：， ，A正确. 选项B： 型号平均数为， 型号平均数为， ，B正确. 选项C，先排序： 型号：25， 27，28，38，42，50， 型号：22，25，30，37，40，45， 上四分位数（第75百分位数）位置：，取第5个数， 型号的上四分位数：42，型号的上四分位数：40，，C正确. 选项D，型号数据：25，28，27，42，38，50， 平均数， ， 型号数据：22，25，30，37，40，45， 平均数 ， ， ，所以型号方差比型号大，D选项错误. 5．（多选）（25-26高一下·河北·期末）某同学进行了5次掷骰子（点数1~6）试验，得到一组整数数据，关于这组数据的统计量，有四个说法： ①若平均数为3，则方差可能为2.4； ②若中位数为2，则众数可能为3； ③若平均数为4，则极差可能为2； ④若中位数为3，则方差可能为2.8． 其中正确的说法是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ACD 【分析】利用平均数，方差，中位数，众数的定义依次分析选项即可求解. 【详解】设数据为,，且， 对于A，因为平均数，假设方差， 可得， 取这组数据为：，则这五个数的和为，方差，满足条件. 对于B，若中位数为2，则，若众数为3，则3出现次数最多， 但3最多出现2次，1或2必然也至少出现2次，3无法成为唯一众数，故②错误； 对于C，若极差为2，则，取这组数据为：，满足平均数为4，极差为2，故③正确； 对于D,若中位数为3，则，取这组数据为：， 则平均数为，方差,满足条件，故正确 6．（多选）（25-26高一下·广西南宁·期末）下列说法正确的是（   ） A．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 B．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C．数据，，，…，的平均数为2，方差为4，则数据，，，…，的平均数为5，方差为16 D．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出58人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为20人 【答案】BCD 【分析】A选项：因为已知数据的平均数，所以先根据平均数公式求出未知参数，再代入方差公式计算方差判断正误；B选项：根据百分位数定义运算求解；C选项：因为已知原数据的平均数和方差，所以根据线性变换后数据的平均数、方差的性质，直接计算新数据的平均数和方差判断正误；D选项：因为是分层抽样，所以先根据高一年级的抽样人数和总人数求出抽样比，再结合高二年级人数算出高二抽样人数，最后用总抽样人数减去高一、高二抽样人数得到高三抽样人数判断正误. 【详解】A选项，由得， 根据方差公式，故A项错误； B选项，将数据从小到大排序可得12，14，15，17，19，23，27，30， 因为不是整数， 所以第70百分位数是排序后第6个数，即23，故B项正确； 选项C：数据，，，…，的平均数为， 方差为，故C正确； D选项，由题意知，抽样比为，则从高二年级抽取人数为， 设高三年级学生中抽取的人数为x，则，解得，故D项正确. ◆题型10 事件的分类与运算 1．（25-26高二上·四川巴中·期末）在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】根据随机事件的概念判断. 【详解】在掷骰子试验中， 朝上面的点数为3点，可能发生也可能不发生， 所以事件：朝上面的点数为3点，为随机事件. 故选：C 2．（25-26高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某抽奖活动设置了“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种抽奖结果，已知甲、乙两人各抽奖一次，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，则事件“至少有一人中奖”可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”， 事件为“甲未中奖”，事件为“乙未中奖”， 事件“至少有一人中奖”，表示“甲中奖乙未中奖”或者“乙中奖甲未中奖” 或者“甲乙同时中奖”； 对选项A，表示事件和事件同时发生，即“甲乙同时中奖”，故A错误； 对选项B，表示事件或事件发生，即至少有一人中奖，故B正确； 对选项C，表示事件和事件同时发生，即“甲乙都未中奖”，故C错误； 对选项D，表示事件和事件同时发生，即“甲中奖且乙未中奖”，故D错误. 3．（25-26高一下·安徽宣城·期末）已知事件，满足，，，则（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.2 D．0.12 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以. 4．（25-26高一下·山西太原·期末）投掷一枚质地均匀的骰子，事件“出现奇数点”，“出现3点或5点”，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】事件A=“出现奇数点”=“出现1点或3点或5点”，B=“出现3点或5点”，所以. 5．（25-26高一下·河南安阳·阶段检测）甲、乙两个元件构成一并联电路，设“甲元件故障”、“乙元件故障”、则表示电路故障的事件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由并联电路性质得电路故障为甲，乙两个元件同时发生故障． ∴表示电路故障的事件为． ◆题型11 互斥事件与对立事件 1．（25-26高一下·青海海东·期末）某小组有两名男生和两名女生，从中任选两人参加演讲比赛，则下列事件中，与事件“恰有一名男生被选中”互斥但不对立的是（    ） A．恰有一名女生被选中 B．被选中的学生的性别相同 C．被选中的学生均是男生 D．至少有一名女生被选中 【答案】C 【详解】从两名男生和两名女生中，任选两人参加演讲比赛，按性别情况可以分三类， 分别是：①两名男生②两名女生③一名男生一名女生， 事件“恰有一名男生被选中”对应③，即一名男生一名女生； 对于A，“恰有一名女生被选中”对应③，与目标事件③相同，可同时发生， 不是互斥事件，故A错误； 对于B，“被选中的学生的性别相同”对应①和②，与目标事件③不能同时发生， 是互斥事件，但目标事件不发生，该事件一定发生，是对立事件，故B错误； 对于C，“被选中的学生均是男生”对应①，与目标事件③不能同时发生，是互斥事件， 但存在②，使得两个事件可同时不发生，故不是对立事件， 所以目标事件与该事件是互斥但不对立事件，故C正确； 对于D，“至少有一名女生被选中”对应②和③，与目标事件可同时发生， 不是互斥事件，故D错误. 2．（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，是互斥事件，与是对立事件，若，，则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 【答案】A 【详解】因为，是互斥事件，所以，则， 因为与是对立事件，所以. 3．（25-26高一下·黑龙江大庆·期末）从一批产品中取出三件产品，设事件=“三件产品全不是次品”，事件=“三件产品全是次品”，事件=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（    ） A．与对立 B．与互斥 C．与互斥 D．与不对立 【答案】B 【分析】利用互斥事件和对立事件的定义即可. 【详解】从一批产品中取出三件产品的样本空间有“三件正品”，“两件正品一件次品”，“一件正品两件次品”，“三件次品”. 事件的样本点有“三件正品”，事件的样本点有“三件次品”，事件的样本点有“三件正品”，“两件正品一件次品”，“一件正品两件次品”. 所以与互斥不对立，与互斥且对立，与不互斥. 4．（25-26高一下·山东青岛·期末）已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则（   ） A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9 【答案】B 【详解】因为与对立，且，所以， 因为与互斥，且，所以 5．（25-26高一下·广西南宁·期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，甲、乙各猜一个成语，已知甲猜对的概率是，乙猜对的概率是，甲和乙猜对与否互不影响，则两人中恰好只有一人猜对的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将“恰好只有一人猜对”拆分为“甲对乙错”和“甲错乙对”两个互斥的独立事件，分别计算概率后求和即可. 【详解】设事件A为“甲猜对成语”，事件B为“乙猜对成语”，由题意得A和B相互独立， 且，因此. “两人中恰好只有一人猜对”对应事件，且与为互斥事件. 所以. 6．（25-26高一下·云南昭通·期末）某商场顾客购买生活物品时只用现金支付的概率为0.48，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.12，则不用现金支付的概率为（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【分析】使用互斥事件概率公式求解. 【详解】设事件A为不用现金支付，则． ◆题型12 计算古典概型问题的概率 1．（25-26高一下·云南丽江·期末）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天．”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑．现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】样本空间{（立夏，小满），（立夏，芒种），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑）， （小满，芒种），（小满，夏至），（小满，小暑），（小满，大暑）， （芒种，夏至），（芒种，小暑），（芒种，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）}， 共有15个样本点.其中任取2个节气，这2个节气不在同一个月的样本点有12个. 所以这2个节气不在同一个月的概率为． 2．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）从1，2，4，7中随机选取两个不同的数，则这两个数之和大于5的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举法求概率 【详解】1，2，4，7中随机选取两个不同的数， 有，共6种情况， 这两个数之和大于5的情况有，共4种情况， 故这两个数之和大于5的概率为. 3．（25-26高一下·福建福州·期末）某学校举办数学竞赛，共道不同的题目.甲、乙两位同学依次从中随机抽取一道题（抽后放回），则两人抽到不同题目的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分步计数，甲任意选题，乙只能选取剩余题目，直接统计符合条件的基本事件求概率. 【详解】由题，有放回抽取，甲6种选择，乙6种选择，总基本事件共种， 甲任选1题，乙选剩下5题，事件数种，则两人抽到不同题目的概率为. 4．（25-26高一下·甘肃白银·期末）从1，2，3，…，20中任意选1个数，则这个数能被3整除的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】1，2，3，…，20中能被3整除的有3，6，9，12，15，18，共6个，所以所求概率为． 5．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期末）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），记录向上的点数，则一枚骰子的点数是另一枚骰子点数的2倍的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于骰子质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型．抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，因此抛掷两枚骰子共有36个样本点．一枚骰子的点数是另一枚骰子点数的2倍有，，，，，，共6个样本点，因此一枚骰子的点数是另一枚骰子点数的2倍的概率是． ◆题型13 概率与频率 1．（25-26高一下·河南商丘·期末）长时间使用手机，不仅会损伤视力，还会影响大脑认知功能．某中学为了解学生使用手机的情况，随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时长（单位：小时）进行调查，统计数据如下表所示： 手机使用时长 学生人数 4 11 15 14 6 则从该校随机抽取1名学生，估计其每周使用手机的时间少于8小时的概率为（    ） A．0.3 B．0.22 C．0.15 D．0.08 【答案】A 【详解】由数表得，该校学生每周使用手机的时间少于8小时的频数为15，频率为， 所以该校学生每周使用手机的时间少于8小时的概率约为0.3. 2．（25-26高一下·河北·期末）某校为了解高一学生的月阅读时间（单位：小时），得到如下数据：已知阅读时间在内的频率为0.1，在内的频率为0.2，在内的频率为0.4，在内的频率为0.2，在内的频率为0.1，若月阅读时间不低于15小时的学生共有90人，则根据上述数据，该校高一学生总人数为（    ） A．200 B．300 C．400 D．500 【答案】B 【分析】根据已知的频率和频数，根据频率=频数/总数可计算总数． 【详解】因为月阅读时间不低于15小时的学生频率为，频数为90， 故总人数为人． 3．（25-26高一下·山西太原·期末）某项球类比赛按三局两胜的赛制进行，甲、乙两队进行此项比赛．已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．现用计算机产生1～5之间的随机数，当出现1，2或3时，表示此局比赛甲获胜，当出现4或5时，表示此局比赛乙获胜．在一次试验中，产生了20组随机数如下： 125  432  354  534  443  512  541  334  151  314 525  332  152  344  114  453  345  423  123  423 根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获胜的概率为（   ） A．0.144 B．0.432 C．0.6 D．0.648 【答案】C 【详解】由题意，表示甲获胜的数有125，432，512，334，151，314，332，152，114，423，123，423共12组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为． 4．（25-26高一下·浙江宁波·期末）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（   ） A．8个 B．10个 C．12个 D．14个 【答案】C 【详解】设袋中红球有个， 利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到红球的概率约为0.6， 由题意可得：，解得， 所以袋中约有红球12个. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 【答案】A 【分析】根据频率与概率的概念逐个判断即可. 【详解】根据频率与概率的定义，可知①正确； 概率不是频率，而②中所给的是事件A发生的频率，因此②错误； 概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误； 根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确． 故选：A 6．（25-26高二上·江苏苏州·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区男大学生的吸烟情况，对随机抽出的400名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题A：你的手机尾号是否是偶数？问题B：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个学生随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答问题A，摸到红球的学生如实回答问题B，每个学生只需回答“是”或“否”，无人知道他回答的是哪一个问题．已知手机尾号为偶数的概率为0.5，若在400名学生中共有130人回答“是”，则估计该地区男大学生吸烟的比例约为（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.25 D．0.3 【答案】A 【分析】先确定回答“是”的130人中，吸烟的人数，再利用古典概型估计吸烟的比例. 【详解】因为摸到白球和红球的概率均为， 回答A问题“是”的学生人数为， 所以回答B问题“是”的学生人数为， 所以男大学生吸烟人数的比例约为． 故选：A ◆题型14 相互独立事件的概念及计算 1．（25-26高一下·内蒙古阿拉善·期末）投掷一枚均匀的骰子，记事件：“朝上的点数大于3”，：“朝上的点数为2或6”，则下列选项正确的是（    ） A．与互斥 B．与对立 C． D． 【答案】C 【详解】投掷均匀骰子的样本空间为，共6个等可能基本事件， 事件，事件，事件， A：，故与不互斥，A错误； B：，故与不对立，B错误； C：由古典概型得，，， 根据，得，故C正确； D：，D错误. 2．（25-26高一下·福建福州·期末）已知事件，，满足：，，则下列结论正确的为（     ） A．若，则与相互对立 B．若，则 C．若事件与相互独立，则 D．若事件与相互独立，则 【答案】D 【分析】利用对立事件的定义、事件包含关系的概率性质、独立事件的概率运算规则即可. 【详解】. 对于选项A，对立事件需同时满足两个条件：①与互斥；②.所以只有不能判定是否对立，故A错误； 对于选项B，因为，所以，故B错误； 对于选项C，因为事件与相互独立，所以，故C错误； 对于选项D，因为事件与相互独立，则事件与相互独立.又，所以，故D正确. 3．（25-26高一下·福建福州·期末）甲、乙、丙三人各射击一个目标一次，三次射击相互独立，命中率分别为，，，则目标恰好被击中两次的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式结合对立事件的概率求解即可. 【详解】目标恰好被命中两次的概率为. 4．（25-26高一下·湖南长沙·期末）掷一枚均匀的骰子，设事件A：“点数为奇数”，事件B：“点数为偶数”，下列说法正确的是（    ） A．与互斥但不对立 B．与对立 C．与不互斥 D．与相互独立 【答案】B 【分析】由事件的相互关系及独立性进行判断． 【详解】显然与互斥且对立，故B项正确，AC都是错误的； 对于D项，，则， 得与不独立，故D项错误． 5．（25-26高一下·贵州贵阳·期末）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别是，，则密码被成功破译的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，再由对立事件的概率性质可得到答案. 【详解】由题意，密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率为， 故该密码被成功破译的概率为 6．（25-26高一下·安徽合肥·期末）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投，且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则投篮结束时，乙至多投了1次球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合对立事件和独立事件的概率公式求解. 【详解】设，分别表示甲、乙在第次投篮时投中,则，， 记“投篮结束时,乙投了2个球”为事件C, ， 则投篮结束时，乙至多投了1次球的概率. 7．（25-26高一下·四川宜宾·期末）如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件能正常工作的概率为，则该电路是通路的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及相互独立事件的概率公式计算即可． 【详解】由电路图可得元件都不正常工作的概率为， 故元件至少有一个正常工作的概率为， 而电路是通路，则元件必须正常工作，且元件至少有一个正常工作， 所以这个电路是通路的概率为． ◆题型1 频率分布直方图中各个量的计算 1．（25-26高一下·天津滨海新区·期末）为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取100名学生参加环保知识测试，整理他们的成绩（单位：分），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，下列结论正确的是（   ）    A．估计样本数据的中位数为75分 B．样本中得分低于80分的人数大约为35人 C．估计样本数据的众数为70分 D． 【答案】A 【详解】由于，解得，故D错误； 由于前三组累计频率为， 前四组累计频率为， 故中位数在第四组内，设中位数为， 则，解得，故A正确； 得分低于80分的频率为， 故样本中低于80分的人数大约为人，故B错误； 由直方图知，估计样本数据的众数值为，故C错误． 2．（25-26高一下·四川达州·期末）为了解某社区月均用水情况，随机抽取100户居民近半年月均用水量（单位：吨），将用水量数据按，，，，分组制成频率分布直方图，则（    ）    A． B．估计样本的中位数为10 C．估计样本的众数为10 D．估计样本的平均数为10 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为求出的值，再结合中位数、众数、平均数的定义及计算公式逐一判断各选项即可. 【详解】对于A选项，由频率分布直方图的性质可知，所有小矩形的面积之和为， 即， 解得，故A错误， 对于B选项，前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为， 所以中位数位于第三组内， 设中位数为，则， 解得，即估计样本的中位数为，故B错误， 对于C选项，在频率分布直方图中，众数是最高矩形底边的中点值， 由图可知，最高矩形对应的区间为， 所以估计样本的众数为，故C正确， 对于D选项，估计样本的平均数为： ，故D错误. 3．（25-26高一下·天津·期末）某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（     ） A．的值为0.015 B．估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C．估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 D．估计总体中成绩落在内的学生人数为90 【答案】C 【分析】对A ，利用频率分布直方图所有矩形面积之和为 1，列方程求解的值；对 B，众数为最高矩形底边中点的横坐标，取区间[70,80)的中点 75；对C ，根据前几组频率和确定第 80 百分位数所在区间，再根据百分位数的计算公式求解即可；对D ，先算[80,90)的频率，再乘以总体 300 得到估计人数. 【详解】对于A：由，解得，A正确； 对于B：因为直方图中最高矩形对应区间为，所以估计这40名学生数学考试成绩的众数为，B正确； 对于C：前三组的频率和为，第四组的频率为， 因为，所以第百分位数落在区间内， 由，即估计这名学生数学考试成绩的第百分位数约为，C错误； 对于D：区间对应的频率为，， 所以估计总体中成绩落在的学生人数为，D正确. 4．（25-26高一下·天津和平·期末）某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损，使部分图形缺失，如图，在该频率分布直方图中，下列说法正确的是（     ）    A．第三组的频数为16人 B．估计样本的众数为85分 C．估计样本的平均数为73.5分 D．估计样本的中位数为75.5分 【答案】C 【详解】选项 A：分数在内的频率为， 所以第三组的频数为，A 错误； 选项 B：众数为最高矩形中点，最高组是，中点是，B 错误； 选项 C：样本的平均数估计值为 C 正确； 选项 D：因为 所以中位数位于，所以中位数的估计值为，D 错误. 5．（25-26高一下·天津·期末）在一次数学竞赛中，将100名参赛者的成绩按区间分成5组，得到如下频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值代表，根据图中信息，下列结论正确的是（   ）    A． B．该100名学生成绩的众数约为70 C．该100名学生中成绩在的人数为48 D．该100名学生成绩的第85百分位数约为83.3 【答案】D 【详解】依题意可得，解得，故A错误； 该100名学生成绩的众数约为，故B错误； 该100名学生中成绩在的人数为人，故C错误； 因为， ， 所以第85百分位数位于，设其为，则， 解得，该100名学生成绩的第85百分位数约为83.3.故D正确. ◆题型2 互斥、对立与独立事件的综合问题 1．（25-26高一下·广东广州·期末）已知事件A，B，C满足，，，下列结论正确的是（    ） A．B，C互为对立事件 B．若，则 C．若A，B互斥，则 D．若A，B相互独立，则 【答案】C 【分析】根据对立事件定义、集合包含关系、互斥事件概率公式、相互独立事件的概率公式逐项判断各选项正误. 【详解】选项 A ：互为对立事件的充要条件为两事件交集为空集且并集为样本空间， 仅无法推出B与C互为对立事件，故A错误； 选项B ：若，则， 因此，故B错误； 选项C ：若A与B互斥，根据互斥事件的概率加法公式， 可得，故 C正确； 选项D：若A与B相互独立，则A与也相互独立，， 因此，故D错误. 2．（25-26高一下·山东枣庄·期末）一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件A为“两次记录的数字和为奇数”，事件B为“第一次记录的数字为奇数”，事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则（   ） A．A与C互斥 B．B与C对立 C． D．A与B相互独立 【答案】D 【分析】列举出基本事件，对四个选项一一判断：对于A，由事件A与C有相同的基本事件，否定结论；对于B，由事件B与C有相同的基本事件，否定结论；对于C，事件B中存在基本事件不在事件A中，否定结论；对于D，利用公式法判断. 【详解】连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有： . 其中事件A包括：. 事件B包括：. 事件C包括：. 对于A，事件A与事件C有相同的事件，， 故A与C互斥不成立，选项A错误； 对于B，事件B与事件C有相同的事件，， 故B与C对立不成立，选项B错误； 对于C，事件B中的样本点显然不在事件A中，选项C错误； 对于D，，，， 因为两个事件的发生与否互不影响，且， 所以事件与事件相互独立，选项D正确. 3．（25-26高一下·新疆喀什·期末）一个不透明的袋子中有2个白球，2个红球，摇匀后随机不放回摸出2个球，记事件A为“摸出1个白球1个红球”，则与事件A互斥而不对立的事件是（    ） A．至少摸出1个白球 B．至少摸出1个红球 C．摸出2个白球 D．摸出2个白球或摸出2个红球 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件的概念判断可得选项． 【详解】对于A，“至少摸出1个白球”与“摸出1个白球1个红球”不是互斥事件，A错误； 对于B，“至少摸出1个红球”与“摸出1个白球1个红球”不是互斥事件，B错误； 对于C，“摸出2个白球”与“摸出1个白球1个红球”是互斥事件，但还有种“摸出2个红球”的情况， 故两者不是对立事件，C正确； 对于D，“摸出2个白球或摸出2个红球”与“摸出1个白球1个红球”是既互斥又对立的事件，故.D错误. 4．（25-26高一下·广东广州·期末）将一枚质地均匀的骰子先后掷两次，设“第一次出现1点”，“第二次出现1点”，“两次出现的点数之和为5”，“两次出现的点数之和为奇数”，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【详解】样本空间共包含个等可能基本事件. ，，事件包含共4个基本事件， 故；事件包含18个基本事件，分别为 ， 故. 事件包含基本事件，故与不互斥，A错误. 事件包含基本事件，，，故与不相互独立，B错误. 事件包含共3个基本事件，，， 故，故与相互独立，C正确. 事件包含基本事件，故，，D错误. 5．（多选）（25-26高一下·广东深圳·期末）设，为随机事件．以下说法正确的有（     ） A．若，对立，则 B．若，则，对立 C．若，互斥，则 D．若，相互独立，则 【答案】ACD 【分析】由对立事件的性质判断A；举反例判断B；由互斥事件的性质判断C；由独立事件的性质判断D. 【详解】对于A，因为，对立，所以，不同时发生，则，故A正确； 对于B，由，不能得出，对立，如投掷一枚质地均匀的骰子， “出现的点数为1，2”，“出现的点数为3，4”，显然，但，不对立，故B错误； 对于C，因为，互斥，，则，故C正确； 对于D，因为，相互独立，，则，故D正确. 6．（多选）（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若与互斥，则 B．若，则事件与相互独立 C．若发生时一定发生，则 D． 【答案】BD 【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断. 【详解】对于A，若A与B互斥，则，故A错； 对于B，因为，，则， 因为，所以事件与相互独立，故B对； 对于C，若发生时一定发生，则，则，故C不对； 对于D，，因为， ，所以，故D正确. ◆题型3 概率与统计的综合应用 1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期末）袋中共有编号为0~9的完全相同的10个小球，甲、乙、丙、丁四名同学分别有放回地各抽取10次，记录抽出小球的编号.甲统计的数据为“平均数为3，中位数为4”，乙统计的数据为“中位数为3，众数为4”，丙统计的数据为“平均数为3，第25百分位数为1”，丁统计的数据为“平均数为2，方差为3”，根据统计数据估计，摸出的10个球的编号一定全部不大于7的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】举出反例可得ABC错误；D选项，假设若有个小球的编号大于7，不妨设为8（因为此时方差最小），推出矛盾，得到D正确. 【详解】“平均数为3，中位数为4”有可能有大于7的编号，例如0，0，1，1，4，4，4，4，4，8； “中位数为3，众数为4”有可能有大于7的编号，例如0，0，1，1，2，4，4，4，5，9； “平均数为3，第25百分位数为1”有可能有大于7的编号，例如0，0，1，1，4，4，4，4，4，8； “平均数为2，方差为3”，由方差公式，得． 若有一个小球的编号大于7，不妨设为8（因为此时方差最小）， 则，与统计数据有矛盾，故D正确． 2．（25-26高一下·湖北襄阳·期末）某射击运动员进行5次射击训练，每次射击的环数为整数，且可能为1到10环，已知以下四组统计特征，其中可以判断一定没有打出8环的是（   ） A．平均数为4，中位数为5 B．平均数为4，极差为5 C．平均数为5，方差为1.6 D．中位数为5，标准差为1.2 【答案】C 【详解】对于A，5次射击的结果为1，1，5，5，8，其平均数为4，中位数为5，A不是； 对于B，5次射击的结果为3，3，3，3，8，其平均数为4，极差为5，B不是； 对于C，平均数为5时，含8时的方差不低于，C是； 对于D，5次射击的结果为5，5，5，5，8，其中位数为5，平均数为， 标准差为，D不是. 3．（25-26高一下·河北沧州·期末）若数据的方差为15，数据的方差为10，则数据，的方差的最小值为（   ） A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】根据平均数、方差公式，并结合已知表示出新数据的平均数以及方差，再求新数据方差的最小值. 【详解】设的平均数为，的平均数为，总体的平均数为，总体的方差为， 则， ， 当且仅当时，等号成立. 所以数据，的方差的最小值为12. 4．（25-26高一下·福建福州·期末）人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．很多学校已经推出基于AI的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新．某探究小组利用AI解答了一些模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图．已知准确率在内的试卷份数为10． (1)求出试卷总份数，并估计出准确率的中位数； (2)“如何利用AI”是AI能否更好地造福人类的关键，基于此该小组进行了AI运用比赛，即用AI进行问题解答，并通过正确率来评定结果．甲、乙两名小组成员进行AI运用比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为（，，，），且每局比赛结果相互独立． （ⅰ）若，，，求进行4局比赛后甲同学赢得比赛的概率； （ⅱ）当时，求比赛不超过5局就结束的概率（用表示）． 【答案】(1)100套，中位数为． (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）先利用直方图总面积为求出参数，结合区间样本数量算出总试卷数，累加前两组频率确定中位数落在，再通过中位数左右面积均为列方程求解中位数； （2）（i） 先划分 4 局结束且甲赢的所有互斥对局序列，分别计算每种序列的独立事件概率再相加，合并同类项化简得到总概率；（ii）由只剩甲乙胜负两种结果，列出局、局结束的全部互斥对局情况，分别计算独立事件概率求和，整理为关于的多项式表达式. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得； 而准确率在内的试卷数占样本总数的， 准确率在内的试卷数为10，所以共有100套试卷； 准确率在90以下所占比例为， 因此中位数落在区间内，设中位数为， 由，得到， 所以准确率的中位数为． （2）（ⅰ）用事件，，分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，“平局”， 则，，， 记“进行4局比赛后甲同学赢得比赛”为事件， 则事件 ，，，，两两互斥，，，相互独立 所以 ． （ⅱ）因为，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即， 记“比赛不超过5局就结束”为事件， 则事件， ，，，，，两两互斥，，相互独立 所以 5．（25-26高二上·浙江杭州·期中）人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．很多学校已经推出基于DeepSeek的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新．某探究小组利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷（每份试卷包含文科、理科共30个题），收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)求这组数据的中位数； (3)若将准确率不低于90%定义为“优秀表现”，且已知：①每份试卷中，文科题（语文、英语、历史）与理科题（数学、物理、化学）各占比50%，DeepSeek解答理科题的平均正确率比文科题高5%；②理科题每题6分，文科题每题4分，请计算： ①DeepSeek在“优秀表现”试卷中，理科题和文科题的平均正确率分别是多少？ ②一份“优秀表现”的试卷，DeepSeek的平均得分是多少？ 【答案】(1) (2) (3)①理科题的平均正确率为，文科题的平均正确率为；②分 【分析】（1）借助频率和为计算即可得； （2）利用中位数定义计算即可得； （3）①设“优秀表现”试卷中文科题平均正确率为，借助加权平均数计算即可得；②分别计算文科得分与理科得分即可得. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得； （2）设中位数为，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 所以，则，解得， 所以估计准确率的中位数为； （3）①设“优秀表现”试卷中文科题平均正确率为，则理科题平均正确率为， 优秀表现的准确率区间为， 其平均准确率为：， 则，解得， 则理科题平均正确率为； ②文科得分为，理科得分为， 则DeepSeek的平均得分为分. 6．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示． (1)求的值，并估计这组数据的平均数和中位数； (2)现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率； (3)从年龄在及的人群中按分层抽样共抽取50人，在抽取的人中年龄在的平均数为40，方差为14，年龄在的平均数为50，方差为24． （i）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，样本方差为．证明： （ii）用样本估计总体，试估计参与关注生态文明建设的人群中年龄的平均数和方差． 【答案】(1)，平均数为；中位数为 (2) (3)（i）证明: ， 又因为，所以， 同理可得， 所以， ，所以， 同理可得， 根据方差的定义可得， 所以， 又 又 ， 又， 所以， 同理， 所以 所以 （ii）， 【分析】（1）根据频率分布图的频率之和为1，计算即可求得，进而利用平均数与中位数的意义求解即可； （2）按分层抽样从抽取的5人中任抽2人，列举出所有基本事件，再利用古典概型概率公式计算即可求解. （3）（i）利用方差的意义计算即可证明结论； （ii）利用（i）的结论计算即可求解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以平均数为； 因为， 所以中位数在内，中位数为； （2）由在及的人群中按分层抽样抽取5人，因为两组频率之比为， 所以在内抽取了2人，记这两人为，在内抽取了3人，记这三人为， 从中选2人有共10种取法， 其中这两人来自于同一组的取法有共4种取法， 所以这两人来自同一组的概率为； （3）（i）略； （ii）年龄在及的人群的比例为， 所以利用分层抽样的方法在及的人群中共抽取50人， 则在的人群中应抽取20人，在的人群中应抽到30人， 则， 所以， . 1．（25-26高一下·广东湛江·期末）甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，甲同学：中位数为22，众数为20；乙同学：中位数为25，平均数为22；丙同学：第40百分位数为22，极差为2；丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8．根据四名同学的统计结果，可以判断出四位同学记录的所有数据一定都不小于20的人数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】假设5个正整数数据分别为，结合中位数、众数、平均数、百分位数、极差、方差的性质，判断能否小于即可得. 【详解】假设5个正整数数据分别为； 对甲：由题意可得，，故所有的数都不小于，故甲符合； 对乙：若5个正整数数据分别为、、、、， 此时中位数为，平均数为，但存在数据小于，故乙不符； 对丙：，故，即，， 则，则， 则，故，故所有的数都不小于，故丙符合； 对丁： ， 故，整理得， 解得，由为正整数，故， 故所有的数都不小于，故丁符合； 综上所述：四位同学记录的所有数据一定都不小于20的人数为人. 2．（25-26高一下·湖北武汉·期末）袋子中有6个相同的球分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为5，方差小于1，则（   ） A．可能取到数字3 B．中位数可能是5 C．极差可能是4 D．众数可能是3 【答案】B 【分析】对于AC选项，根据题意结合平均数，方差和极差的定义分析判断，由A选项的结论判断D选项，对于B选项，举例说明即可. 【详解】由题意可得，个数字的平均数为，因此总和为 ， 方差，整理得，即平方和最大为4（平方和为整数）， A：若取到个，则， 剩余个数的平方和最多只能为，即剩余个数都是， 总和为 ，不符合， 若取到3有个或以上，平方和至少为，不符合， 因此不可能取到，A错误， B：举例：取5个数为，总和为， 满足平均为5，平方和，满足方差小于1， 排序后中位数为第三个数，即，符合要求，因此B正确， C：若极差为，即最大数最小数，仅两种可能或， 若最小数是：，平方和超出要求， 若最小数是2：，平方和超出要求， 因此极差不可能为，C错误， D：由A的结论，不可能取到3，因此众数不可能是3，D错误. 3．（25-26高一下·河南·期末）甲、乙、丙、丁篮球运动员连续7场比赛得分数据（分值均为整数）的数字特征如下： 甲球员：平均数为26，方差为20 乙球员：中位数为29，众数为26 丙球员：中位数为25，极差为10 丁球员：众数为25，第40百分位数为30 根据以上信息，下列结论一定错误的是（   ） A．乙球员场均得分在24分以上 B．甲球员有一场比赛的得分可能为40分 C．丙球员场均得分一定在20分以上 D．丁球员场均得分至少为30分 【答案】B 【分析】根据平均数、中位数、众数、极差、方差、百分位数的定义及计算公式分析判断即可. 【详解】对于A，乙球员中位数为29，说明7场得分中，第4高的得分为29， 又众数为26，则26至少出现两次， 计算最小总得分：， 场均最小值，A正确. 对于B，甲球员平均数为26，当有一场比赛的得分为40分时，方差， 故甲球员某一场比赛的得分不可能为40，B一定错误. 对于C，丙中位数为，排序后第位是，极差为， 因此最大得分，最小得分， 计算最小总得分，场均最小值，C正确. 对于D，丁球员第40百分位数位置为，向上取整为第3项，排序后第3项得分为， 又众数为25，则25至少出现两次，只能是排序后前两项为25， 所以最小总得分：，场均最小值为30， 因此丁场均至少30分，D正确. 4．（25-26高一下·吉林长春·期末）某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法不正确的是（    ） A．甲队积分为分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为分 C．丙队积分为分的概率为 D．甲队胜场且乙队胜场的概率为 【答案】C 【分析】由题意得四支队伍进行单循环比赛，共比赛6场，运用每场比赛结果相应概率，分析各选项比赛情况即可求解 【详解】四支队伍进行单循环比赛，共比赛场， 分别是甲与乙，甲与丙，甲与丁，乙与丙，乙与丁，丙与丁，每支球队比赛三场. 对于A，甲队积分为分，即甲队三场比赛全胜， 所以甲队积分为分的概率为，故A正确； 对于B，若甲队三场比赛全胜，则甲队得9分，乙队、丙队、丁队各剩余两场比赛，如果全部是平局，则乙队、丙队、丁队各得2分， 则总积分为分，故B正确； 对于C，丙队积分为分有2种情况，即胜1平0负2或者胜0平3负0， 若为胜1平0负2，则概率为， 若为胜0平3负0，则概率为， 所以丙队积分为分的概率为，故C错误； 对于D，甲队胜场且乙队胜场有3类情况： 第一种：甲胜乙，则甲已经胜一场，乙已经负一场，甲还需对丙、丁胜一场， 乙需对丙、丁全胜，则概率为， 第二种：甲平乙，则甲还需对丙、丁全胜，乙需对丙、丁全胜， 则概率为， 第三种：甲负乙，则甲已经负一场，乙已经胜一场，则甲还需对丙、丁全胜， 乙需对丙、丁胜一场，则概率为， 所以甲队胜场且乙队胜场的概率为，故D正确. 5．（25-26高一下·山西太原·期末）某运动软件记录了一组运动时长数据：20，30，25，40，35，从这组数据中随机删除3个数得到一组新数据，下列结论正确的有（   ） A．新数据的极差是10的概率为0.4 B．新数据的平均数是30的概率为0.3 C．前后两组数据中位数不变的概率为0.2 D．前后两组数据方差不变的概率为0.1 【答案】C 【详解】原数据从小到大排序为：， 删除3个数，留下2个数，所有可能的留下组合只有10种： ， 选项A，极差为10的组合有，，共3种， 其概率为，选项A错误. 选项B，平均数为30，即两数和为60的组合有，共2种， 其概率：，选项B错误. 选项C，原数据的中位数为，新数据（2 个数）的中位数是两数的平均数， 要等于30，需两数和为 60，即，共2种， 其概率：，选项C正确. 选项D，原数据方差：先算平均数， 方差为， 保留：，， 保留：，， 保留：，， 保留：，， 保留：，， 保留：，， 保留：，， 保留：，， 保留：，， 保留：，， 没有任何一组新数据的方差等于原方差50， 所以方差不变的情况数为，概率为，选项D错误. 6．（多选）（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录骰子每次出现的点数，根据这四名同学的统计结果，可以判断该同学掷得的点数一定有6的是（     ） A．甲：极差为4，平均数为4.4 B．乙：中位数为3，平均数为3.4 C．丙：平均数为3，方差不小于4 D．丁：中位数为2，方差大于2.5 【答案】AC 【分析】根据极差，中位数的定义，假设5个数据不含6，确定固定的数，其余数字按平均数或方差构造合理数字检验假设是否成立. 【详解】选项A，假设没有6，则必有1，5，平均数为4.4，所以其余三个数之和应为16，所以假设不成立； 选项B，当5个数字为2，2，3，5，5时，中位数为3，平均数为3.4，满足条件； 选项C，假设没有6，方差最大时5个数字为1，1，3，5，5时， 平均数是3，方差为，假设不成立； 选项D， 当五个数字为1，2，2，5，5时，中位数是2，平均数3， 方差为，满足题意. 7．（多选）（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下. 甲:众数为83，平均数为82. 乙:中位数为82，众数为80. 丙:中位数为85，平均数为82. 丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2. 甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】BD 【分析】分别结合甲、乙、丙、丁四人已知的众数、中位数、平均数、方差的统计性质，逐一验证是否存在得分低于分的可能性，由此判断哪名实习生一定满足五天得分均不低于分的合格要求. 【详解】对于A：若甲有四个工作日的得分为，则剩余的那个工作日的得分为， 故甲的考核不一定合格，A错误； 对于B：将得分排序后，第三个为，且至少有两个，这两个必然是最小的两个数， 因此所有得分均不低于，故乙的考核一定合格，B正确； 对于C：丙的中位数为，平均数为，其得分可以为， 故丙的考核不一定合格，C错误； 对于D，由于丁有一个工作日的得分为，且平均数为， 若有一个工作日的得分为，由， 可知其方差必超过了，所以丁连续五个工作日的得分均不低于， 故丁的考核一定合格，D正确. 8．（多选）（25-26高一下·贵州铜仁·期末）甲、乙两人组成“旭日队”参加投篮活动，每轮活动由甲、乙各投两个球，已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为．在每轮活动中，甲和乙每次投进与否互不影响，各轮结果也互不影响，且每轮甲和乙合计至少投进三个球队伍才能晋级下一轮活动，则下列结论正确的是（     ） A．在第一轮活动中，甲恰好投进一个球的概率为 B．在第一轮活动中，“旭日队”晋级下一轮活动的概率为 C．若第一轮活动中甲已经投进两个球，则“旭日队”晋级第二轮的概率为 D．“旭日队”晋级第三轮且队伍中有人在前两轮中全部投进的概率为 【答案】ACD 【分析】将每个选项的事件合理拆分，再利用互斥事件与独立事件的概率公式求解即可. 【详解】对于A，在第一轮活动中，甲恰好投进一个， 即甲第一球投进第二球不投进或第二球投进第一球不投进， 故其概率为，故A正确； 对于B，在第一轮活动中，“旭日队”晋级， 则甲投进2球乙投进1球或甲投进1球乙投进2球或甲乙全部投进， 而乙恰好投进一球的概率为， 故“旭日队”晋级的概率为，故B错误； 对于C，在第一轮活动中，甲已经投进2球， 则乙至少投进1球“旭日队”即可晋级，故其概率为，故C正确； 对于D，队伍获得晋级，则每轮中至少一人全投进，另一人至少投进一个， 我们分甲全部投进和乙全部投进两种情况进行讨论， 设第轮甲全部投进为事件，甲恰好投进一个为事件， 乙全部投进为事件，乙恰好投进一个为事件，队伍获得晋级为事件， 则， 法一：由题意得 ，故D正确. 法二： ，故D正确. 9．（多选）（25-26高一下·湖北武汉·期末）在一个有限样本空间中，事件，，发生的概率满足，则下列说法正确的是（   ） A．若与相互独立，则 B．若与互斥，则 C．若，则 D．若，与互斥，则 【答案】ACD 【分析】对于A，利用独立事件求，进而由即可判断，对于B，由与互斥，得即可判断，对于C，由，求，进而求，又与互斥，进而求，即可判断，对于D，由即可判断. 【详解】对于A，由与相互独立，所以， 所以，故A正确； 对于B，若与互斥，所以，故B错误； 对于C，由，所以， 所以， 所以，， 由与互斥，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 10．（25-26高一下·湖南衡阳·期末）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，，若，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________． 【答案】/0.52 【分析】先确定总事件数，再列举“心有灵犀”的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】甲乙两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故基本事件是种， “心有灵犀”的情况包括：，，，，，，，，，，，，共13种， 故他们“心有灵犀”概率为， 11．（25-26高一下·海南·期末）某校为了选拔参加数学竞赛的学生， 安排名同学参加预选赛， 所有成绩按照分组，得到如图所示的频率分布直方图，则图中_____．若按分数从高到低选拔出名学生，则划定的分数线大约为_____．    【答案】 【分析】第一空利用频率直方图总面积为列方程解；第二空先算出选拔比例确定分位数，从高分段累加频率锁定分位数所在区间，线性插值算出分数线． 【详解】由图可知，，解得， 按分数从高到低从名学生中选拔出名学生，则分数线为分位数， 由频率分布直方图可知，第六组的频率为，第五组的频率为， 所以分位数位于第五组，为． 12．某校在组织选拔数学英才班的过程中，对高一年级的300名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间，学校将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. (1)求的值，并估计此次校内测试分数的平均值； (2)学校要求按照分数从高到低选拔前90名的学生进行培训，试估计这90名学生的最低分数（计算结果由四舍五入保留一位小数）； (3)试估计这300名学生的分数的方差，并判断此次得分为64分和87分的两名同学的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）. 【答案】(1)， (2) (3)得分成绩区间为：故64分的同学成绩进入区间范围，87分的同学的成绩未进入到区间范围. 【分析】（1）根据频率直方图，各组的频率之和为1，求出m，利用平均数的定义求出； （2）先求出90名学生的最低分数就是该次校内测试分数的分位数，利用百分位的定义求解； （3）先利用方差公式求出方差，再判断即可. 【详解】（1）由频率直方图总面积为1，可得： ， 解得， 根据频率分布直方图，各组中间值为：，对应频率为： ，所以： . （2）因为， 所以这90名学生的最低分数为该次校内测试分数的分位数. 又， 设这90名学生的最低分数为，所以， 所以分 （3） 所以， 所以，. 所以得分成绩区间为：故64分的同学成绩进入区间范围，87分的同学成绩未进入区间范围. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $