周末练5 章末检测试卷二(第5章 统计与概率)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

**基本信息** 聚焦统计与概率模块，以分层抽样、数据特征分析、概率计算为核心，通过递进式题型构建"方法-应用-拓展"的完整训练体系，强化数据分析与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计基础|选择2+填空1|分层抽样比例计算、随机数表法|从抽样方法到数据收集，构建统计研究基础流程| |数据特征|选择3+填空1+解答2|平均数/方差公式、分位数计算、茎叶图分析|数据描述→数字特征→统计推断的逻辑链条| |概率应用|选择3+多选1+解答2|互斥/独立事件判定、古典概型、频率估计概率|事件关系分析→概率模型构建→实际决策应用| |综合应用|解答3|频率分布直方图解读、统计与概率交叉应用|整合统计工具与概率思想解决实际问题|

周末练5　章末检测试卷二(第五章) [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　) A.100，10 B.100，20 C.200，10 D.200，20 答案　D 解析　由题意得样本容量为(3 500+2 000+4 500)×2%=10 000×2%=200，抽取的高中生人数为2 000×2%=40，则近视人数为40×0.5=20. 2.某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人.现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了80人，则n的值为(　　) A.193 B.192 C.191 D.190 答案　B 解析　1 000×=80， 求得n=192. 3.废弃矿山的治理事关我国的生态环境保护，甲、乙两种植物可以在一定程度上加快污染地生态的恢复.若在某一片污染地上甲、乙至少有一种可以存活，且甲存活的概率是0.6，乙存活的概率是0.5，则在该片污染地上甲、乙都存活的概率为(　　) A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1 答案　D 解析　设甲存活为事件A，乙存活为事件B，则P(A)=0.6，P(B)=0.5， 则甲、乙至少有一种存活的概率为 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=1， 所以甲、乙都存活的概率为P(AB)=P(A)+P(B)-1=0.6+0.5-1=0.1. 4.有一组数据，按从小到大的顺序排列为1，2，6，7，10，m，这组数据的40%分位数等于他们的平均数，则m为(　　) A.12 B.11 C.10 D.13 答案　C 解析　这组数据一共有6个，6×0.4=2.4. 则这组数据的40%分位数是第3个数，即6.所以这组数据的平均数为=6， 解得m=10. 5.已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件A为“所抽袋子里有红球”，事件B为“所抽袋子里有白球”，事件C为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是(　　) A.事件A与事件B互斥 B.事件A与事件B相互独立 C.事件A与事件B+C对立 D.事件A与事件B∩C相互独立 答案　B 解析　对于A，事件A和事件B可以同时发生，即抽取丁袋，所以事件A与事件B不互斥，A错误； 对于B，由题意可知P(A)=，P(B)=，P(AB)==P(A)P(B)，所以事件A与事件B相互独立，B正确； 对于C，事件A与事件B+C可以同时发生，即抽取丁袋，所以事件A与事件B+C不对立，C错误； 对于D，P(A)=，P(B∩C)=，P(A∩(B∩C))=≠P(A)P(B∩C)，所以事件A与事件B∩C不相互独立，D错误. 6.某车间共有6名工人，某天他们加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.从该车间6名工人中任取2人，则至少有1名优秀工人的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　依题意，平均数==22，故优秀工人有2人，记2名优秀工人分别为A，B，其他4人分别为a，b，c，d，从中任取2人共有15种情况，其中至少有1名优秀工人的情况有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，共9种，故至少有1名优秀工人的概率是P==. 7.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(　　) A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 答案　C 解析　方法一　设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x+80-60=90，解得x=70， 所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为=0.7. 方法二　用图表示阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系，如图， 易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为=0.7. 8.某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕以后才发现有位同学的卷子还未登记分，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为，s2，新平均分和新方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则(　　) A.=，s2= B.=，s2< C.=，s2> D.<，s2= 答案　C 解析　设这个班有n个同学，得分分别为a1，a2，…，ai，…，an，第i个同学的得分没登记(ai=)， 第一次计算时，总分为(n-1)， 方差为s2=·[(a1-)2+…+(ai-1-)2+(ai+1-)2+…+(an-)2]. 第二次计算时，平均数==， 方差=[(a1-)2+…+(ai-1-)2+(ai+1-)2+…+(an-)2+(-)2]=s2，故s2>. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述正确的是(　　) A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温不低于20 ℃的月份有5个 答案　ABC 解析　由题中雷达图易知A，C正确；七月的平均最高气温超过20 ℃，平均最低气温约为13 ℃；一月的平均最高气温约为6 ℃，平均最低气温约为2 ℃，所以七月的平均温差比一月平均温差大，故B正确；由题图知平均最高气温不低于20 ℃的月份为六、七、八月，有3个，故D错误. 10.在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点值作代表，则下列说法中正确的是(　　) A.成绩在[70，80)分的考生人数最多 B.不及格的考生人数为1 000 C.考生竞赛成绩的平均分约70.5分 D.考生竞赛成绩的中位数为75分 答案　ABC 解析　由频率分布直方图可得，成绩在[70，80)的矩形最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40，60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为4 000×0.25=1 000，故B正确；由频率分布直方图可得平均分约为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5，故C正确；因为成绩在[40，70)的频率为0.45，在[70，80)的频率为0.3，所以中位数为70+10×≈71.67，故D错误. 11.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.则下列说法正确的是(　　) A.进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率为0.3 B.进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率为0.5 C.进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率为0.8 D.进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都不购买的概率为0.5 答案　ABC 解析　记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)=0.5； 记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)=0.6； 记C表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”； 记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”； 记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品的一种”. 易知C=AB， 则P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3. D=A+B，则P(D)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5. P(E)=P(C)+P(D)=0.8. 则甲、乙两种商品都不购买的概率为 1-P(E)=0.2. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.要考察某种品牌的500颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验，利用随机数表抽取种子时，先将500颗种子按001，002，…，500进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的5颗种子的编号：　　　　　　　　.(下面摘取了随机数表第7行至第9行)  84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67 21 76 33 50 25　83 92 12 06 76 63 01 63 78 59　16 95 55 67 19　98 10 50 71 75 12 86 73 58 07　44 39 52 38 9 33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38 15 51 00 13 42　99 66 02 79 54 答案　331，455，068，047，447 解析　选出的三位数分别为331，572，455，068，877，047，447，…，其中572，877均大于500，将其去掉，剩下的前5个编号为331，455，068，047，447. 13.某校从在校学生中，用分层抽样的方法抽取男生30人，女生20人.测得他们的身高后，计算得到男生身高的样本平均值为175 cm，方差为20；女生身高的样本平均值为165 cm，方差为30.则样本中50个身高数据的平均值为　　　　　cm，样本方差为　　　　　.  答案　171　 48 解析　由题意知50个身高数据的平均值为=×175+×165=171(cm)， 50个身高数据的样本方差为s2=×[20+(175-171)2]+×[30+(165-171)2]=×36+×66==48. 14.将一个质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，则函数y=ax2-2bx+1在(-∞，2]上单调递减的概率是　　　　.  答案　 解析　由题意，函数y=ax2-2bx+1在(-∞，2]上单调递减，所以 当a取1时，b可取2，3，4，5，6；当a取2时，b可取4，5，6；当a取3时，b可取6，共9种. 因为(a，b)的取值共36种情况， 所以所求概率为=. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)某农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种种子出芽后麦苗的长势情况，从种植甲、乙两种种子的两块试验田中各取6株麦苗测量株高，得到的数据用茎叶图表示如下(单位：cm)，中间一列的数字表示株高的十位数，两边的数字表示株高的个位数. 甲 乙 9 0　1　1　1 0 0 1 2 8 4　3　0　1 2 (1)求甲种麦苗株高的中位数和众数；(5分) (2)分别计算两组数据的平均数和方差，并由此判断甲、乙两种麦苗株高的差异性.(8分) 解　(1)甲种麦苗的株高由小到大排序依次为9，10，11，11，11，20， 则中位数为=11，众数为11. (2)甲种麦苗株高的平均数为 ==12， 方差为=×[(9-12)2+(10-12)2+3×(11-12)2+(20-12)2]=； 乙种麦苗的株高由小到大排序依次为8，10，11，13，14，22， 则乙种麦苗株高的平均数为 ==13， 方差为=×[(8-13)2+(10-13)2+(11-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(22-13)2]=20， 所以<，<， 所以乙种麦苗的平均株高高于甲种麦苗，但乙种麦苗的差异性更大. 16.(15分)某小区物业公司为进一步提升服务质量，随机抽取了200名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分数据按[40，50)，[50，60)，…，[90，100]依次分为第一至第六组(所有评分x满足40≤x≤100).统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的a值；(4分) (2)求这200名业主评分平均数的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(4分) (3)从评分低于70分的业主中用分层抽样的方法抽取14人进行电话回访，则第一组、第二组和第三组被抽到的业主人数分别是多少？(7分) 解　(1)由频率分布直方图可得(0.005+0.010×2+0.020+0.025+a)×10=1，解得a=0.030. (2)由题意可知这200名业主评分平均数的估计值为45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74. (3)评分低于70分的三组频率之比为1∶2∶4， 故第一组抽到的业主人数为14×=2，第二组抽到的业主人数为14×=4，第三组抽到的业主人数为14×=8， 即第一组、第二组和第三组被抽到的业主人数分别是2，4，8. 17.(15分)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为，他们是否当选互不影响. (1)求恰有一名同学当选的概率；(9分) (2)求至多有两人当选的概率.(6分) 解　设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，则有P(A)=，P(B)=，P(C)=. (1)因为事件A，B，C相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P(A)+P(B)+P(C)=P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()·P()P(C)=××+××+××=. (2)至多有两人当选的概率为1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1-××=. 18.(17分)某学校举办了一场趣味知识竞赛，将100名参赛学生的成绩(百分制)按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中m的值，并估计这100名参赛学生的成绩的中位数；(7分) (2)若从竞赛成绩在[80，90)，[90，100]内的两组学生中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中任意抽取2人代表学校参加竞赛，求抽取的2人中至少有1人的成绩在[90，100]内的概率.(10分) 解　(1)由频率分布直方图可得(0.004+0.022+0.030+0.028+m+0.004)×10=1，解得m=0.012. 由于前两组的频率之和为0.04+0.22=0.26，前三组的频率之和为0.04+0.22+0.3=0.56，故中位数在第三组， 设所求中位数的估计值为t，则0.04+0.22+(t-60)×0.03=0.5， 解得t=68，即这100名参赛学生的成绩的中位数约为68. (2)由题意知，成绩在[80，90)内的频率为0.12，在[90，100]内的频率为0.04， 所以用分层抽样的方法抽取的8人中，成绩在[80，90)内的有6人，分别记为1，2，3，4，5，6， 成绩在[90，100]内的有2人，分别记为A，B. 从这8人中抽取2人的所有样本点为12，13，14，15，16，1A，1B，23，24，25，26，2A，2B，34，35，36，3A，3B，45，46，4A，4B，56，5A，5B，6A，6B，AB，共28个， 而抽取的2人中至少有1人的成绩在[90，100]内包含的样本点有13个， 所以抽取的2人中至少有1人的成绩在[90，100]内的概率为. 19.(17分)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数. (1)若n=19，求y关于x的函数解析式；(4分) (2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；(4分) (3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？(9分) 解　(1)当x≤19时，y=3 800； 当x>19时， y=3 800+500(x-19)=500x-5 700， 所以y关于x的函数解析式为 y=(x∈N). (2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19. (3)若每台机器在购机的同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元，20台的费用为4 300元，10台的费用为4 800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元). 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元，10台的费用为4 500元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 学科网（北京）股份有限公司 $