专题03 幂指对式的比较大小问题（8题型专项训练）数学人教B版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦指对幂式比较大小，构建“基础方法-高频技巧-综合应用”三级方法体系，通过8类题型系统梳理函数单调性、中间值法等核心策略，逻辑递进培养数学思维与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型|3-7题/题型|单调性法、中间值法、作差作商法、特殊值法、构造函数法、数形结合法、基本不等式法、条件含变量法|从函数性质直接应用到构造新函数深层推理，形成“性质应用-技巧搭桥-综合构造”的逻辑链条| |综合攻坚|15题|综合方法应用|整合各类方法解决复杂问题，强化知识迁移与运算能力|

专题03 指对幂式的比较大小问题 常考题型·精准突破 题型01 利用指对幂函数的单调性 题型02 中间值法（重） 题型03 作差、作商比较法 题型04 特殊值法 题型05 构造函数法（高频） 题型06 数形结合法 题型07 基本不等式法 题型08 条件含变量问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01 利用指对幂函数的单调性 1．（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和幂函数单调性可比较出大小 【详解】由于在R上单调递减，故，即， 由于在上单调递增，故，即， 综上， 2．（25-26高二下·天津·期末）若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因， 又因幂函数在上单调递增， 由，可得，即, 故有. 3．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. 4．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数单调性判断的范围，再结合指数函数和幂函数单调性比较大小关系即可. 【详解】指数函数，底数，因此是上的减函数, 原不等式可改写为：, 根据减函数性质：函数值越小，对应指数越大，得：. 指数函数，底数，因此是减函数， 因为，所以. 幂函数，指数，因此在上是增函数. 因为，所以 所以 5．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 6．（25-26高二下·云南曲靖·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】指数函数在上为减函数，所以，即， 也即，所以. 对数函数在上单调递减，因为，所以， 即，所以. 7．已知，下列不等式判断中，正确的个数为（     ） ①；②；③；④； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】对于①，因为在上单调递增， 当时，，所以，故①错误； 对于②，因为在上单调递增， 当时，， 因为在上单调递增， 所以，故②正确； 对于③，因为在上单调递减， 当时，， 因为在上单调递增， 所以，故③错误； 对于④，， 当时，， 所以，即，故④正确； 综上：正确的个数为2个. 题型02 中间值法（重） 1．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别判断出、、的范围,比较大小即可. 【详解】由，即； 由，即， 所以. 2．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，即， ，则，即， ，则，得，即， 所以，，的大小关系为. 3．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指对数函数的单调性，通过中间量0和即可比较大小. 【详解】因为，所以． 4．（25-26高二下·宁夏银川·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合中间值、对应函数单调性比较三个数的大小. 【详解】由对数函数单调性得； 幂函数在单调递增，故，即， 因此. 5．（25-26高一下·浙江金华·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用对数运算将化为，结合对数函数单调性得，再判断，可知最小，最终得到． 【详解】，， 因为，所以， 即， 又， 所以，即． 6.（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， ， ， 且，所以. 题型03 作差、作商比较法 1.若，，，则（  ） A． B． C． D． 【分析】利用作差法，再结合对数函数的单调性分别判断和的大小关系，即可判断出的大小关系. 【解析】因为，所以； 又因为，所以； 综上所述：. 故选：C. 2.已知，，，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分别与、、比较大小即可得出判断. 【解析】∵， ∴， ∵， ∴，则． ∵， ∴， ，，则， ∵，∴，则，故． 故选：C． 3.已知实数，，，那么实数，，的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，结合对数的运算，以及对数函数的性质，可得答案. 【解析】，由，则，即，可得； ，由，则，即，可得； ，由，则，即，可得； 综上，. 4．（2026·江苏南通·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 因为，且， 所以，即， ，因为，幂函数在上单调递增，， 所以，因此，即， ， 因为，，所以， 因为，所以，即， 因此. 5.（2026·天津河北·二模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】指数函数 在定义域内单调递减，所以 ，即 . 对数函数 在 上单调递增， 所以 ，即 . 对数函数 在 上单调递增， 所以 ，即 . 又 ， ，， 所以 ，即 ，所以 . 综上，. 题型04 特殊值法 1.已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，， ， 故，故． 2.若正实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 若，则，与矛盾. 若，则，则，成立. 若，则，代入原式得，即，解得，与题干中是正实数矛盾， 综上，与均不成立，则一定成立. 取，代入等式得，根据零点存在性定理可得,此时，C不成立； 取，代入等式得，根据零点存在性定理可得,此时，D不成立. 3．（25-26高一下·广东汕尾·期末）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算、指数与对数的互化、单调性，结合赋值法判断即可. 【详解】设， 则，，. 对于A，当时，，，，则，A有可能. 对于B，当时，，，，则，B有可能. 对于C，要满足，即，同时取对数得， 则. 当时，会非常小；当足够小时，比衰减慢，会出现； 如时，，，， 因为，，， 所以，易得，，所以， 故，C可能. 对于 D，若 ，则必有 和 ． 由 ，得 若 ，则 ，从而 ，矛盾，所以 ． 由 ，得 若 ，则矛盾，所以 ． 这与 矛盾，因此 不可能出现． 题型05 构造函数法（高频） 1.已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得：，，， 因为，且构造在定义域内单调递增， 可得，所以． 故选：D. 2.（2026·北京大兴·三模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知，同时取对数得： ，， 又，且函数在区间单调递增，因此， 可得：，即，故. 3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）设，，则使得成立的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，利用单调性分析得，再结合各项的描述，根据对应函数的单调性、对数及不等式性质判断各项是否为充分不必要条件即可. 【详解】由，则， 令，而和在R上都是单调递增， 所以在 R上也是单调递增，因此等价于， 即原不等式成立的充要条件是， A：因为在R 上单调递增，所以，即是充要条件，不符合， B：显然为充要条件，不符合， C：由对数的性质，且，因此是的充分条件， 若，例如，则无意义，不能推出， 因此它是充分不必要条件，符合， D：由， 若，则， 若，则， 所以它不能推出，不符合. 4.已知实数，满足，，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【解析】假设，则，即， 而在上单调递减，又，故， 同理，即， 而在上单调递减，又，故． 综上，假设不成立，故. 5.若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，其中，， 因此原等式可整理为：. 设函数， 因为 和 在上都是单调递增函数， 因此是定义域上的增函数. 对等式变形：， 代入得：，即， 因为单调递增，因此，故A错误，B正确. 排除选项C、D 举反例验证： 当时，原等式右侧为， 即，且，可得， 即，故D不成立； 当 时，原等式右侧为， 即，且， 得，此时，，故C不成立. 题型06 数形结合法 1.（2026·云南昆明·模拟预测）若正数满足，则的大小关系不可能的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，分别作，，的图象， 当时，此时，A正确； 当时，，C正确； 当时，，D正确； 因为都为正数，所以结合图形不存在这种情况，B错误． 2.（2026·高三·甘肃武威·阶段检测）已知互不相等的正数满足，则下列关系式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为所以，整理可得． 令， 在同一直角坐标系中分别作出的图象， 因为互不相等，观察可知，当时，，当时，． 3.（2026·山西忻州·模拟预测）若正实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 所以对应函数依次为， 根据指数函数的图象及其平移关系，大致图象如下， 由图，随从左到右移动依次有，，，， 即，，，，不可能有. 题型07 基本不等式法 1.下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A，； 对B，； 对C，由均值不等式得； 对D， 【详解】对A，，故，A错； 对B， ，B错； 对C，，故，C错； 对D，，，D对； 故选：D 2.，若，，，则下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简，利用基本不等式可得，结合对数函数单调性可比较得，即可得答案. 【详解】由题意得，， ， 因为，故， 函数在上单调递减，则， 所以，即， 故选：D 3.已知四个数，，，，其中最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数单调性可求得，再由基本不等式以及不等式性质比较得出四个数的大小，即可得出结论. 【详解】易知，所以可得， 即； 再由基本不等式可得，即； 显然，即； 因此可得，即最小的是. 故选：C 4.设，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 又，，所以， ，且，所以， 所以. 故选：A. 5.已知，，，则，，的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，， ， 因此，所以. 故选：C 6.若，则有（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以， ， 又因为， 所以，即. 故选：B. 题型08 条件含变量问题（难） 1.（多选）已知，则下列不等关系一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由，则，又在上单调递减，则，故A错误； 不等式 等价于 ，即 ， 令 ，则 在 上恒成立，故 在 上单调递增， 因 ，故 ，故B正确； 由等价于，设，在上单调递减，且， 所以，即，故C错误； 由等价于， 设，在上单调递增，且，所以， 所以，即，故D正确． 故选：BD. 2.若，且，，均不为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，取，，，则，， 则有，， 则有，故A错误， 对于B选项，取，，， 则，， 所以，故B错误， 对于C选项，取，，， 则，， 则有，故C错误， 对于D选项，因为， 所以，由不等式的同向相加性质可知，故D正确． 3.（2026·山东临沂·二模）已知实数x，y，z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，．由 ，得 ， 函数 在 上单调递增， 单调递减， 故方程有唯一解，且 ． 由 ，代入 得，故 ． 令 ，该函数在 上单调递增， 因为 ，，所以 ． 综上，． 4.若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，结合指数函数的图像与性质可得结果. 【解析】∵，， ∴ 又，∴ ∴ ， 又 ∴ 综上： 故选：A 5.设正数，满足，，，则（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据条件，，取对数得，，从而可得取值同在区间或，再分在两个区间取值，利用对数函数的单调性，即可求解. 【解析】由题知正数均不等于，由，得到， 由，得到，所以， 若，则，若，则， 所以取值同在区间或， 若，由，得到，由，得到，所以， 若，由，得到，由，得到，所以， 综上所述，， 故选：A. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高一上·江苏连云港·期末）下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用的正负对幂函数的增减性的影响可分别判定四个选项的正误. 【详解】对于A，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 且为偶函数，所以， 因为，所以，所以，故B正确； 对于C，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 因为所以，故C正确； 对于D，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 且为奇函数，所以， 因为，所以，所以，故D错误. 故选：D. 2．（25-26高一上·云南大理·期末）下列选项正确的是（   ） A．若，则 B． C． D． 【答案】D 【分析】举例说明可判断A；由幂函数在定义域内单调递增，则，故B错误；由指数函数在定义域内单调递增，则，故C错误；由对数函数在定义域内单调递增，则，故D正确； 【详解】对于A选项，若，时，满足，但，故A选项错误； 对于B选项，构造幂函数，且该幂函数在定义域内单调递增， ，因此，故B选项错误； 对于C选项，构造指数函数，且该指数函数在定义域内单调递增， ，因此，故C选项错误； 对于D选项，构造对数函数，且该对数函数在定义域内单调递增， ，因此，故D正确， 故选：D． 3．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）已知，均为正实数，且，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式结合对数与指数的运算性质逐一分析即可得出答案. 【详解】对于A，，∴，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，故C错误： 对于D， ， 当且仅当时等号成立，故D正确． 所以不正确的选C. 4．（26-27高三上·云南·阶段检测）已知，，则下列条件中使成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对ABC选项直接用特殊值验证可得，对D由不等式性质及指数函数性质可得结果. 【详解】对于A：取，显然有，所以A不正确； 对于B：取，显然有，所以B不正确； 对于C：取，显然有，所以C不正确； 对于D：充分性：因为，且，再由函数是单调递增函数，所以， 必要性：由且函数是单调递增函数，所以.故D正确. 5．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数在 上单调递减，判断；根据幂函数 在 上单调递增，得到 . 【详解】因为对数函数在 上单调递减，所以 ，所以； ， ， 因为幂函数 在 上单调递增，且 ，所以 ， 即 ； 所以 . 6．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的单调性判断的大小，然后利用1作为不等式关系的过渡，最终得到. 【详解】构造函数，令，解得. ，单调增. ，单调减. 因为，所以，即，故. 考虑在单调减， 所以. 又因为指数函数的性质可知，，故有. 7．（2026·四川宜宾·一模）已知，且，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，通过对数和幂函数将用表示，再比较大小. 【详解】设，因为，所以. 所以， ， . 因为，所以，，故； 而，所以，， 因为函数在时单调递减，且，所以，即. 综上，. 8．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）若，，，，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将4个指数式转换成同指数结构，再结合函数单调性即可判断. 【详解】由指数幂的运算可得： ， ， ， ， 对于幂函数，当时是增函数， 又 ， 即. 9．（25-26高一上·上海·期末）若实数，实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，结合作差比较法逐一判断即可. 【详解】A：考虑幂函数在上单调递增， 因，，可以得到，故A正确； B：考虑指数函数，在时单调递增， 因，可以得到，故B不正确； C：考虑对数函数，当，时单调递增， 由，可以得到，故C不正确； D：由， 因为实数，而实数， 所以，则，即，故D不正确. 故选：A 10．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对两边同时取以为底的对数，可判断，，根据函数在上单调递增，可得，故可得答案. 【详解】因为，， 则，， 则， 又函数是增函数，则， ， 因为，则函数在上单调递增， 又，则，即， 则. 故选：C. 11．（25-26高一上·四川广安·期末）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数、对数函数的性质和运算法则求出的取值范围及的值，进而比较的大小． 【详解】，底数，函数单调递增，指数， ， ，底数，函数单调递增，指数， ， ， ，故D正确． 故选：D． 12．（25-26高一上·黑龙江·期中）设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性求得正确答案. 【详解】， 又，由指数函数在上单调递减， 幂函数在上单调递增， 可得， 所以．故选D． 13．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数单调性可得，再由指数函数以及幂函数性质可判断，可得结论. 【详解】因为，所以，可得； 则，即， 又，即， 易知指数函数单调递减，可得， 又幂函数单调递增，可知， 即可得； 因此可得. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性，限定出各数的取值范围，再综合利用指数函数、幂函数单调性可得结论. 14．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知三个互不相等的正数满足，（其中是一个无理数），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数和指幂函数的单调性和运算性质放缩，再加上基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以 所以根据幂函数的性质可得， 因为都是正数， ， ， 因为是递增函数，又因为， 作出和的图像，如图可得，当时，两函数值相等；时，图像一直在的上方，所以    故， 故选：B 【点睛】将利用幂函数的单调性进行放缩；把用指数函数的运算性质和基本不等式放缩；再把用对数函数的性质放缩，最终得到结果. 15．（22-23高一上·河北唐山·阶段检测）设，，，则a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得解. 【详解】因为，，， 又因为在上单调递增，所以，即， 因为，所以， 又因为在上单调递增，所以，即， 综上：. 故选：D. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 指对幂式的比较大小问题 常考题型·精准突破 题型01 利用指对幂函数的单调性 题型02 中间值法（重） 题型03 作差、作商比较法 题型04 特殊值法 题型05 构造函数法（高频） 题型06 数形结合法 题型07 基本不等式法 题型08 条件含变量问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01 利用指对幂函数的单调性 1．（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·天津·期末）若，，，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 6．（25-26高二下·云南曲靖·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，下列不等式判断中，正确的个数为（     ） ①；②；③；④； A．0 B．1 C．2 D．3 题型02 中间值法（重） 1．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·宁夏银川·期末）若，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·浙江金华·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6.（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 题型03 作差、作商比较法 1.若，，，则（  ） A． B． C． D． 2.已知，，，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 3.已知实数，，，那么实数，，的大小关系是（  ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏南通·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 5.（2026·天津河北·二模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型04 特殊值法 1.已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2.若正实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东汕尾·期末）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 题型05 构造函数法（高频） 1.已知，则（  ） A． B． C． D． 2.（2026·北京大兴·三模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）设，，则使得成立的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 4.已知实数，满足，，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 5.若，则（     ） A． B． C． D． 题型06 数形结合法 1.（2026·云南昆明·模拟预测）若正数满足，则的大小关系不可能的是（   ） A． B． C． D． 2.（2026·高三·甘肃武威·阶段检测）已知互不相等的正数满足，则下列关系式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 3.（2026·山西忻州·模拟预测）若正实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 题型07 基本不等式法 1.下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 2.，若，，，则下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3.已知四个数，，，，其中最小的是（   ） A． B． C． D． 4.设，则（  ） A． B． C． D． 5.已知，，，则，，的大小关系为（  ） A． B． C． D． 6.若，则有（  ） A． B． C． D． 题型08 条件含变量问题（难） 1.（多选）已知，则下列不等关系一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2.若，且，，均不为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3.（2026·山东临沂·二模）已知实数x，y，z满足，则（   ） A． B． C． D． 4.若，则（  ） A． B． C． D． 5.设正数，满足，，，则（  ） A. B. C. D. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高一上·江苏连云港·期末）下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·云南大理·期末）下列选项正确的是（   ） A．若，则 B． C． D． 3．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）已知，均为正实数，且，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·云南·阶段检测）已知，，则下列条件中使成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·四川宜宾·一模）已知，且，则（） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）若，，，，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·上海·期末）若实数，实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·四川广安·期末）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·黑龙江·期中）设，则（　　） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知三个互不相等的正数满足，（其中是一个无理数），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高一上·河北唐山·阶段检测）设，，，则a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 指对幂式的比较大小问题 常考题型·精准突破 题型01 利用指对幂函数的单调性 1． 【答案】B 【分析】根据指数函数和幂函数单调性可比较出大小 【详解】由于在R上单调递减，故，即， 由于在上单调递增，故，即， 综上， 2． 【答案】A 【详解】因， 又因幂函数在上单调递增， 由，可得，即, 故有. 3． 【答案】C 【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. 4． 【答案】B 【分析】利用指数函数单调性判断的范围，再结合指数函数和幂函数单调性比较大小关系即可. 【详解】指数函数，底数，因此是上的减函数, 原不等式可改写为：, 根据减函数性质：函数值越小，对应指数越大，得：. 指数函数，底数，因此是减函数， 因为，所以. 幂函数，指数，因此在上是增函数. 因为，所以 所以 5． 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 6． 【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】指数函数在上为减函数，所以，即， 也即，所以. 对数函数在上单调递减，因为，所以， 即，所以. 7． 【答案】C 【解析】对于①，因为在上单调递增， 当时，，所以，故①错误； 对于②，因为在上单调递增， 当时，， 因为在上单调递增， 所以，故②正确； 对于③，因为在上单调递减， 当时，， 因为在上单调递增， 所以，故③错误； 对于④，， 当时，， 所以，即，故④正确； 综上：正确的个数为2个. 题型02 中间值法（重） 1． 【答案】B 【分析】分别判断出、、的范围,比较大小即可. 【详解】由，即； 由，即， 所以. 2． 【答案】B 【详解】，即， ，则，即， ，则，得，即， 所以，，的大小关系为. 3． 【答案】A 【分析】由指对数函数的单调性，通过中间量0和即可比较大小. 【详解】因为，所以． 4． 【答案】B 【分析】结合中间值、对应函数单调性比较三个数的大小. 【详解】由对数函数单调性得； 幂函数在单调递增，故，即， 因此. 5． 【答案】D 【分析】先利用对数运算将化为，结合对数函数单调性得，再判断，可知最小，最终得到． 【详解】，， 因为，所以， 即， 又， 所以，即． 6. 【答案】D 【解析】因为， ， ， 且，所以. 题型03 作差、作商比较法 1. 【分析】利用作差法，再结合对数函数的单调性分别判断和的大小关系，即可判断出的大小关系. 【解析】因为，所以； 又因为，所以； 综上所述：. 故选：C. 2. 【答案】C 【分析】将分别与、、比较大小即可得出判断. 【解析】∵， ∴， ∵， ∴，则． ∵， ∴， ，，则， ∵，∴，则，故． 故选：C． 3. 【答案】A 【分析】利用作差法，结合对数的运算，以及对数函数的性质，可得答案. 【解析】，由，则，即，可得； ，由，则，即，可得； ，由，则，即，可得； 综上，. 4． 【答案】A 【详解】，， 因为，且， 所以，即， ，因为，幂函数在上单调递增，， 所以，因此，即， ， 因为，，所以， 因为，所以，即， 因此. 5. 【答案】C 【解析】指数函数 在定义域内单调递减，所以 ，即 . 对数函数 在 上单调递增， 所以 ，即 . 对数函数 在 上单调递增， 所以 ，即 . 又 ， ，， 所以 ，即 ，所以 . 综上，. 题型04 特殊值法 1. 【答案】A 【解析】，，， ， 故，故． 2. 【答案】A 【解析】. 若，则，与矛盾. 若，则，则，成立. 若，则，代入原式得，即，解得，与题干中是正实数矛盾， 综上，与均不成立，则一定成立. 取，代入等式得，根据零点存在性定理可得,此时，C不成立； 取，代入等式得，根据零点存在性定理可得,此时，D不成立. 3． 【答案】D 【分析】根据对数的运算、指数与对数的互化、单调性，结合赋值法判断即可. 【详解】设， 则，，. 对于A，当时，，，，则，A有可能. 对于B，当时，，，，则，B有可能. 对于C，要满足，即，同时取对数得， 则. 当时，会非常小；当足够小时，比衰减慢，会出现； 如时，，，， 因为，，， 所以，易得，，所以， 故，C可能. 对于 D，若 ，则必有 和 ． 由 ，得 若 ，则 ，从而 ，矛盾，所以 ． 由 ，得 若 ，则矛盾，所以 ． 这与 矛盾，因此 不可能出现． 题型05 构造函数法（高频） 1. 【答案】D 【解析】由题意可得：，，， 因为，且构造在定义域内单调递增， 可得，所以． 故选：D. 2. 【答案】D 【解析】已知，同时取对数得： ，， 又，且函数在区间单调递增，因此， 可得：，即，故. 3． 【答案】C 【分析】构造，利用单调性分析得，再结合各项的描述，根据对应函数的单调性、对数及不等式性质判断各项是否为充分不必要条件即可. 【详解】由，则， 令，而和在R上都是单调递增， 所以在 R上也是单调递增，因此等价于， 即原不等式成立的充要条件是， A：因为在R 上单调递增，所以，即是充要条件，不符合， B：显然为充要条件，不符合， C：由对数的性质，且，因此是的充分条件， 若，例如，则无意义，不能推出， 因此它是充分不必要条件，符合， D：由， 若，则， 若，则， 所以它不能推出，不符合. 4. 【答案】C 【解析】假设，则，即， 而在上单调递减，又，故， 同理，即， 而在上单调递减，又，故． 综上，假设不成立，故. 5 【答案】B 【解析】因为，其中，， 因此原等式可整理为：. 设函数， 因为 和 在上都是单调递增函数， 因此是定义域上的增函数. 对等式变形：， 代入得：，即， 因为单调递增，因此，故A错误，B正确. 排除选项C、D 举反例验证： 当时，原等式右侧为， 即，且，可得， 即，故D不成立； 当 时，原等式右侧为， 即，且， 得，此时，，故C不成立. 题型06 数形结合法 1. 【答案】B 【解析】令，分别作，，的图象， 当时，此时，A正确； 当时，，C正确； 当时，，D正确； 因为都为正数，所以结合图形不存在这种情况，B错误． 2. 【答案】A 【解析】因为所以，整理可得． 令， 在同一直角坐标系中分别作出的图象， 因为互不相等，观察可知，当时，，当时，． 3. 【答案】D 【解析】令，则， 所以对应函数依次为， 根据指数函数的图象及其平移关系，大致图象如下， 由图，随从左到右移动依次有，，，， 即，，，，不可能有. 题型07 基本不等式法 1. 【答案】D 【分析】对A，； 对B，； 对C，由均值不等式得； 对D， 【详解】对A，，故，A错； 对B， ，B错； 对C，，故，C错； 对D，，，D对； 故选：D 2. 【答案】D 【分析】化简，利用基本不等式可得，结合对数函数单调性可比较得，即可得答案. 【详解】由题意得，， ， 因为，故， 函数在上单调递减，则， 所以，即， 故选：D 3. 【答案】C 【分析】利用对数函数单调性可求得，再由基本不等式以及不等式性质比较得出四个数的大小，即可得出结论. 【详解】易知，所以可得， 即； 再由基本不等式可得，即； 显然，即； 因此可得，即最小的是. 故选：C 4. 【答案】A 【解析】因为，， 又，，所以， ，且，所以， 所以. 故选：A. 5. 【答案】C 【解析】依题意，， ， 因此，所以. 故选：C 6. 【答案】B 【解析】，所以， ， 又因为， 所以，即. 故选：B. 题型08 条件含变量问题（难） 1. 【答案】BD 【解析】由，则，又在上单调递减，则，故A错误； 不等式 等价于 ，即 ， 令 ，则 在 上恒成立，故 在 上单调递增， 因 ，故 ，故B正确； 由等价于，设，在上单调递减，且， 所以，即，故C错误； 由等价于， 设，在上单调递增，且，所以， 所以，即，故D正确． 故选：BD. 2. 【答案】D 【解析】对于A选项，取，，，则，， 则有，， 则有，故A错误， 对于B选项，取，，， 则，， 所以，故B错误， 对于C选项，取，，， 则，， 则有，故C错误， 对于D选项，因为， 所以，由不等式的同向相加性质可知，故D正确． 3. 【答案】D 【解析】由题意，．由 ，得 ， 函数 在 上单调递增， 单调递减， 故方程有唯一解，且 ． 由 ，代入 得，故 ． 令 ，该函数在 上单调递增， 因为 ，，所以 ． 综上，． 4. 【答案】A 【分析】利用作差法，结合指数函数的图像与性质可得结果. 【解析】∵，， ∴ 又，∴ ∴ ， 又 ∴ 综上： 故选：A 5. 【答案】A 【分析】根据条件，，取对数得，，从而可得取值同在区间或，再分在两个区间取值，利用对数函数的单调性，即可求解. 【解析】由题知正数均不等于，由，得到， 由，得到，所以， 若，则，若，则， 所以取值同在区间或， 若，由，得到，由，得到，所以， 若，由，得到，由，得到，所以， 综上所述，， 故选：A. 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】D 【分析】利用的正负对幂函数的增减性的影响可分别判定四个选项的正误. 【详解】对于A，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 且为偶函数，所以， 因为，所以，所以，故B正确； 对于C，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 因为所以，故C正确； 对于D，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 且为奇函数，所以， 因为，所以，所以，故D错误. 故选：D. 2． 【答案】D 【分析】举例说明可判断A；由幂函数在定义域内单调递增，则，故B错误；由指数函数在定义域内单调递增，则，故C错误；由对数函数在定义域内单调递增，则，故D正确； 【详解】对于A选项，若，时，满足，但，故A选项错误； 对于B选项，构造幂函数，且该幂函数在定义域内单调递增， ，因此，故B选项错误； 对于C选项，构造指数函数，且该指数函数在定义域内单调递增， ，因此，故C选项错误； 对于D选项，构造对数函数，且该对数函数在定义域内单调递增， ，因此，故D正确， 故选：D． 3． 【答案】C 【分析】根据基本不等式结合对数与指数的运算性质逐一分析即可得出答案. 【详解】对于A，，∴，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时等号成立，故C错误： 对于D， ， 当且仅当时等号成立，故D正确． 所以不正确的选C. 4． 【答案】D 【分析】对ABC选项直接用特殊值验证可得，对D由不等式性质及指数函数性质可得结果. 【详解】对于A：取，显然有，所以A不正确； 对于B：取，显然有，所以B不正确； 对于C：取，显然有，所以C不正确； 对于D：充分性：因为，且，再由函数是单调递增函数，所以， 必要性：由且函数是单调递增函数，所以.故D正确. 5． 【答案】D 【分析】根据对数函数在 上单调递减，判断；根据幂函数 在 上单调递增，得到 . 【详解】因为对数函数在 上单调递减，所以 ，所以； ， ， 因为幂函数 在 上单调递增，且 ，所以 ， 即 ； 所以 . 6． 【答案】C 【分析】利用函数的单调性判断的大小，然后利用1作为不等式关系的过渡，最终得到. 【详解】构造函数，令，解得. ，单调增. ，单调减. 因为，所以，即，故. 考虑在单调减， 所以. 又因为指数函数的性质可知，，故有. 7． 【答案】D 【分析】设，通过对数和幂函数将用表示，再比较大小. 【详解】设，因为，所以. 所以， ， . 因为，所以，，故； 而，所以，， 因为函数在时单调递减，且，所以，即. 综上，. 8． 【答案】D 【分析】将4个指数式转换成同指数结构，再结合函数单调性即可判断. 【详解】由指数幂的运算可得： ， ， ， ， 对于幂函数，当时是增函数， 又 ， 即. 9． 【答案】A 【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，结合作差比较法逐一判断即可. 【详解】A：考虑幂函数在上单调递增， 因，，可以得到，故A正确； B：考虑指数函数，在时单调递增， 因，可以得到，故B不正确； C：考虑对数函数，当，时单调递增， 由，可以得到，故C不正确； D：由， 因为实数，而实数， 所以，则，即，故D不正确. 故选：A 10． 【答案】C 【分析】对两边同时取以为底的对数，可判断，，根据函数在上单调递增，可得，故可得答案. 【详解】因为，， 则，， 则， 又函数是增函数，则， ， 因为，则函数在上单调递增， 又，则，即， 则. 故选：C. 11． 【答案】D 【分析】利用指数、对数函数的性质和运算法则求出的取值范围及的值，进而比较的大小． 【详解】，底数，函数单调递增，指数， ， ，底数，函数单调递增，指数， ， ， ，故D正确． 故选：D． 12． 【答案】D 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性求得正确答案. 【详解】， 又，由指数函数在上单调递减， 幂函数在上单调递增， 可得， 所以．故选D． 13． 【答案】D 【分析】根据对数函数单调性可得，再由指数函数以及幂函数性质可判断，可得结论. 【详解】因为，所以，可得； 则，即， 又，即， 易知指数函数单调递减，可得， 又幂函数单调递增，可知， 即可得； 因此可得. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性，限定出各数的取值范围，再综合利用指数函数、幂函数单调性可得结论. 14． 【答案】B 【分析】由对数函数和指幂函数的单调性和运算性质放缩，再加上基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以 所以根据幂函数的性质可得， 因为都是正数， ， ， 因为是递增函数，又因为， 作出和的图像，如图可得，当时，两函数值相等；时，图像一直在的上方，所以    故， 故选：B 【点睛】将利用幂函数的单调性进行放缩；把用指数函数的运算性质和基本不等式放缩；再把用对数函数的性质放缩，最终得到结果. 15． 【答案】D 【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得解. 【详解】因为，，， 又因为在上单调递增，所以，即， 因为，所以， 又因为在上单调递增，所以，即， 综上：. 故选：D. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $