周周测11 4.4-4.5幂函数、函数模型及其应用（数学人教B版必修第二册）

**基本信息** 聚焦幂函数与函数模型，通过分层设计的选择、填空及综合解答题，考查抽象能力、推理意识与应用意识，适配高一学生周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|幂函数单调性（1）、充要条件（2）、图象识别（4）|基础巩固，结合数学眼光观察函数性质| |多选|3/18|幂函数性质判断（10）、不等式应用（9）|能力提升，考查推理意识的严谨性| |填空|3/15|解析式求法（12）、不等式解集（13）|简洁诊断，强化符号意识与运算能力| |解答|5/77|单调性与最值（16）、恒成立问题（18）、存在性探究（20）|综合应用，通过问题链发展逻辑推理与创新意识|

2026-2027学年高一上学期数学周周测11 4.4-4.5幂函数、函数模型及其应用 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．已知实数，满足，则下列关系式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 8．已知a，b，c为正实数，满足，则实数a，b，c之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．若实数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．幂函数，，则下列结论正确的有（    ）. A． B．函数在定义域内单调递减 C． D．函数的值域为 11．下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若幂函数过点，则此函数的解析式为________. 13．已知函数，则不等式的解集为__________． 14．已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知，且. (1)计算并化简； (2)若幂函数的图象恒过点，求的值. 16．已知幂函数在上单调递增 (1)求m的值； (2)若，且，求的最小值. 17．解下列关于的不等式： (1)； (2)． 18．已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. (1)求函数的表达式； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 19．已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 20．已知幂函数的图象经过点. (1)求的值； (2)记，若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (3)设，，是否存在实数，使得的最小值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测11 4.4-4.5幂函数、函数模型及其应用 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据初等函数的单调性判断即可. 【详解】对于A，在上单调递减，故A不符合题意， 对于B，在和上单调递增，在定义域上不是单调递增函数，故B不符合题意， 对于C，在上单调递减，在上单调递增，故C不符合题意， 对于D，在上单调递增，故D符合题意。 故选：D. 2．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由幂函数的性质，可得，解不等式组可得答案 【详解】解：因为， 所以， 解得， 故选：B 3．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一次函数与幂函数的性质进行判断. 【详解】对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，故A错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知且，相符，故B正确； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，故C错误； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，故D错误. 故选：B. 4．已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数图象过点求出，可得的解析式，再根据的单调性可得答案. 【详解】已知幂函数经过点，可得，解得， 即，易知在上单调递减． 由于，， 所以可得，综上所述，． 故选：B． 5．设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易得，再由，利用幂函数的单调性判断. 【详解】因为， 且， 在上递增， 所以，即， 综上： 故选：A 6．已知a，b，c为正实数，满足，则实数a，b，c之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由指数函数，对数函数以及幂函数的单调性，代入计算，即可得到的范围，从而得到结果. 【详解】函数，则在上单调递增， 且，可得； 函数，则在上单调递增， 且，可得； 函数，则在上单调递增， 且，可得． 故选：D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分） 7．幂函数，，则下列结论正确的有（    ）. A． B．函数在定义域内单调递减 C． D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】根据幂函数的性质可得，进而可得，由幂函数的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】由为幂函数可得，解得或， 又，所以.所以，故A正确； 因为函数的定义域为，关于原点对称， 由，知函数为偶函数， 由于，故在区间上单调递减， 根据偶函数性质知在区间上单调递增，故B错误； ，故C错误； 因为的定义域为，则，所以的值域为，故D正确. 故选：AD. 8．下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 【答案】ABD 【详解】对于A，设幂函数解析式为，代入点，可得，，解得，解析式为，故A正确， 对于B，，，故B正确， 对于C，函数为幂函数，且，所以在区间上单调递减， 又，所以为偶函数， 根据偶函数的性质可得，在区间上单调递增，故C错误， 对于D，由已知可得，，解得或， 又幂函数图象关于轴对称，，，在区间上单调递增， ，， ，故D正确. 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．若幂函数过点，则此函数的解析式为________. 【答案】/ 【分析】设，代入所过点即可求得结果. 【详解】设幂函数，则，解得：，. 故答案为：. 10．已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求得幂函数的解析式，根据函数的奇偶性、单调性来求得的取值范围. 【详解】设， 则， 所以， 在上递增，且为奇函数， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且， ∴函数为奇函数. (3). 【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解. （2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为. （2）略 （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测11 4.4-4.5幂函数、函数模型及其应用 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．已知a，b，c为正实数，满足，则实数a，b，c之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分） 7．幂函数，，则下列结论正确的有（    ）. A． B．函数在定义域内单调递减 C． D．函数的值域为 8．下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．若幂函数过点，则此函数的解析式为________. 10．已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______． 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测11 4.4-4.5幂函数、函数模型及其应用 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据初等函数的单调性判断即可. 【详解】对于A，在上单调递减，故A不符合题意， 对于B，在和上单调递增，在定义域上不是单调递增函数，故B不符合题意， 对于C，在上单调递减，在上单调递增，故C不符合题意， 对于D，在上单调递增，故D符合题意。 故选：D. 2．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由幂函数的单调性结合充分必要条件的定义判断. 【详解】当时，函数在上单调递增， 则时，一定有在上单调递增；在上单调递增，不一定满足， 故“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 3．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由幂函数的性质，可得，解不等式组可得答案 【详解】解：因为， 所以， 解得， 故选：B 4．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一次函数与幂函数的性质进行判断. 【详解】对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，故A错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知且，相符，故B正确； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，故C错误； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，故D错误. 故选：B. 5．已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数图象过点求出，可得的解析式，再根据的单调性可得答案. 【详解】已知幂函数经过点，可得，解得， 即，易知在上单调递减． 由于，， 所以可得，综上所述，． 故选：B． 6．设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易得，再由，利用幂函数的单调性判断. 【详解】因为， 且， 在上递增， 所以，即， 综上： 故选：A 7．已知实数，满足，则下列关系式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，借助特例法及函数的单调性，即可判断正误. 【详解】∵实数，满足， ∴， 对于A，取x＝0，y＝﹣2，不成立； 对于B，取x＝0，y＝﹣1，不成立； 对于C，取x＝2，y＝1，不成立； 对于D，在上单调递增，显然正确. 故选D 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键． 8．已知a，b，c为正实数，满足，则实数a，b，c之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由指数函数，对数函数以及幂函数的单调性，代入计算，即可得到的范围，从而得到结果. 【详解】函数，则在上单调递增， 且，可得； 函数，则在上单调递增， 且，可得； 函数，则在上单调递增， 且，可得． 故选：D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．若实数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据指数函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，利用特殊值判断C，根据幂函数的性质判断D. 【详解】因为在定义域上单调递减且，所以，故A正确； 因为在定义域上单调递增且，所以，故B正确； 当时，，故C不正确； 因为在定义域上单调递增且，所以，故D正确. 故选：ABD 10．幂函数，，则下列结论正确的有（    ）. A． B．函数在定义域内单调递减 C． D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】根据幂函数的性质可得，进而可得，由幂函数的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】由为幂函数可得，解得或， 又，所以.所以，故A正确； 因为函数的定义域为，关于原点对称， 由，知函数为偶函数， 由于，故在区间上单调递减， 根据偶函数性质知在区间上单调递增，故B错误； ，故C错误； 因为的定义域为，则，所以的值域为，故D正确. 故选：AD. 11．下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数图象关于轴对称，则 【答案】ABD 【详解】对于A，设幂函数解析式为，代入点，可得，，解得，解析式为，故A正确， 对于B，，，故B正确， 对于C，函数为幂函数，且，所以在区间上单调递减， 又，所以为偶函数， 根据偶函数的性质可得，在区间上单调递增，故C错误， 对于D，由已知可得，，解得或， 又幂函数图象关于轴对称，，，在区间上单调递增， ，， ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若幂函数过点，则此函数的解析式为________. 【答案】/ 【分析】设，代入所过点即可求得结果. 【详解】设幂函数，则，解得：，. 故答案为：. 13．已知函数，则不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】得到原函数的单调性与奇偶性后得，计算即可得. 【详解】定义域为，且，故为奇函数， 又函数与函数在上单调递增，故在上单调递增， 由，故， 故有，即，解得， 故其解集为. 故答案为：. 14．已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求得幂函数的解析式，根据函数的奇偶性、单调性来求得的取值范围. 【详解】设， 则， 所以， 在上递增，且为奇函数， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知，且. (1)计算并化简； (2)若幂函数的图象恒过点，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意结合指数幂运算求和； （2）由幂函数的图象恒过点，代入求解即可. 【详解】（1）； . （2）因为幂函数的图象恒过点， 则，所以. 16．已知幂函数在上单调递增 (1)求m的值； (2)若，且，求的最小值. 【答案】(1) (2)8 【分析】(1)用幂函数的定义可求得的值，又由上单调递增确定. (2)结合第一问的结论，用基本不等式中的乘1法可以解决. 【详解】（1）由幂函数的定义得：，或， 当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去； 当时，在上单调递增，符合题意； 综上可知：. （2） 当且仅当且时，即时，的最小值为8. 17．解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据对数函数的单调性可得出关于实数x的不等式，即可求出原不等式的解集； （2）构造函数，分析该函数的定义域，奇偶性与单调性，根据所求不等式可得出关于x的不等式，即可求出原不等式的解集． 【详解】（1）因为， 所以，解得或， 所以原不等式的解集为． （2）令，易知的定义域是，且在区间上单调递减， 又，所以是奇函数， 所以函数在和上是减函数， 所以原不等式等价于或或， 解得或 所以原不等式的解集为或． 18．已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. (1)求函数的表达式； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据在区间上是严格减函数可得，解不等式可得整数的值，检验是否符合奇函数即可； （2）对任意实数，不等式恒成立，而在上为减函数，由此可得解． 【详解】（1）依题意为奇函数，在区间上是严格减函数， 可得，解得， 由于,故，1，2， 当和时，，此时为奇函数，符合要求， 当时，，此时为偶函数，不符合要求， ； （2）不等式，即， 又在上是减函数，在上为增函数，则在上为减函数， 所以，则， 所以实数的取值范围为． 19．已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且， ∴函数为奇函数. (3). 【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解. （2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为. （2）略 （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 20．已知幂函数的图象经过点. (1)求的值； (2)记，若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (3)设，，是否存在实数，使得的最小值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在实数，使得的最小值为4 【分析】（1）将点坐标代入即可求出答案； （2）根据复合函数的单调性及对数函数的定义域列不等式组，即可求出答案； （3）分为，和三种情况，分别求的最小值，列式求解即可证明. 【详解】（1）因为幂函数的图象经过点， 所以，解得. （2）由，及， 得. 因为在区间上单调递增，函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，在单调递增，且在上恒成立， 函数的图象开口向上，对称轴为 所以，解得， 故实数的取值范围为. （3）存在实数，使得的最小值为4. 由已知，得，. 理由如下： 函数的图象开口向上，对称轴为， ①当，即时，在上单调递增， 最小值， 由，解得； ②当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 则最小值， 由，此时无解. ③当，即时，在上单调递减， 则最小值， 由，此时无解. 综上所述：存在实数，使得的最小值为4. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $