专题02 指数、对数型复合函数问题（10题型专项训练）数学人教B版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦指数、对数型复合函数的定义域、图像、性质及应用，通过10类题型系统覆盖核心考点，形成从概念到综合应用的递进训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义域|8题|含参数及抽象函数定义域求解|从基础定义域到参数范围，强化数学抽象| |图像|5题|函数图像识别与判断|结合指对数函数性质，培养几何直观| |单调性|7题|判断单调区间及参数求解|应用“同增异减”法则，发展逻辑推理| |值域与最值|9题|值域求解及参数问题|综合函数性质，提升数学运算能力| |零点问题|5题|零点存在性及参数范围|结合图像与方程，培养数学建模意识|

专题02 指数、对数型复合函数问题 常考题型·精准突破 题型01指对型复合函数的定义域 1． 【答案】D 【详解】由题意可得，解得，故函数的定义域为. 2． 【答案】D 【分析】分别分析函数和的定义域限制，列不等式组求解即可． 【详解】由，解得． 故选：D． 3． 【答案】A 【分析】先由函数的定义域求复合函数的定义域，再结合对数函数的性质可得. 【详解】因为函数的定义域为，在函数中，要使函数有意义， 则，即，解得，所以函数的定义域为. 4． 【答案】（或） 【详解】，解得，则此函数的定义域为或. 5． 【答案】 【分析】利用对数函数的性质转化为恒成立问题，再建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以在上恒成立， 当时，，解得，不合题意； 当时，则，解得． 综上实数的取值范围为． 6． 【答案】 【详解】要使函数有意义， 则，即，即， 解得， 所以函数的定义域为. 7． 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负及零指数幂的底数不为零得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数， 则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 8． 【答案】 【分析】要使函数有意义，须使，解不等式可得函数 的定义域. 【详解】要使函数有意义，须使. 所以. 因为函数是减函数，所以，所以. 所以函数 的定义域是. 故答案为：. 题型02指对型复合函数的图像 1． 【答案】B 【分析】根据排除C，判断函数的奇偶性可排除D；再根据时，可排除A. 【详解】由，可得，排除C， 则， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除D； 当时，，则，排除A，则B符合题意. 故选：B 2． 【答案】B 【分析】根据函数的值域判断即可. 【详解】因为，所以， 又为增函数，所以，即， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 3． 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，再结合特殊值，即可判断. 【详解】由，可得，即函数的定义域为且，关于原点对称， 由，可知函数为奇函数，故排除B、D； 又因为，故排除A. 故选：C. 4． 【答案】D 【分析】通过函数的定义域、对称性和单调性即可求解，得到答案. 【详解】由可知，，函数图象关于直线对称，B、C错误. 因为外层函数是减函数，内层函数在上单调递减，在上单调递增. 根据“同增异减”原则，函数在上单调递增，在上单调递减，A错误，D正确. 故选：D 5． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及特殊点的函数值确定正确答案. 【详解】对于函数， 由，解得， 所以的定义域为， ， 所以是奇函数，图象关于原点对称，所以D选项错误. ，由于， 所以，所以C选项错误. ，所以B选项错误. 故选：A 题型03指对型复合函数过定点 1． 【答案】A 【分析】根据指数函数定点计算求解. 【详解】因为，所以函数的图象过定点. 故选：A. 2． 【答案】C 【分析】根据指数函数的图象恒过点可求出点A的坐标，代入直线方程可得到的关系式，根据基本不等式中“1”的妙用可得解. 【详解】因为函数的图象恒过定点，所以. 又A点在直线上，所以，即， 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为2. 3． 【答案】B 【分析】根据对数函数性质求出定点确定、的值，再将式子变形，最后利用乘1法结合基本不等式求最值. 【详解】对于对数函数 ， 令，解得 ， 此时，因此函数过定点， 得 ，由条件 可得： ，即 ， 由 ，代入得： 利用1的代换结合基本不等式： 当且仅当成立时，等号成立， 结合 ，得 ，满足正数条件， 所以 . 所以当时，取最小值，最小值为. 4． 【答案】B 【分析】利用指数函数、对数函数图象恒过定点问题求出定点坐标即可. 【详解】依题意，当，即时，恒有，因此点， 当时，恒有，因此点，所以. 故选：B. 5． 【答案】 【分析】根据指数函数恒过定点可得. 【详解】因为且，， 所以函数（，且）的图象恒过定点. 所以点P的坐标为. 6． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对数函数图象恒过定点求解即得. 【详解】对任意且，恒成立， 所以的图象恒过定点. 故答案为： 题型04判断指对型复合函数的单调性 1． 【答案】B 【详解】设，则， 是指数函数，且在上单调递增， 是二次函数，图象开口向下，对称轴为，且在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，的单调递增区间为．. 2． 【答案】D 【分析】先求得的定义域，根据复合函数单调性的求法，结合二次函数、对数函数的性质，即可得答案. 【详解】由题意得，令，解得或， 的定义域为， 设，， 根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又因为在为增函数， 根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为. 3． 【答案】D 【分析】明确复合函数的构成，根据同增异减确定单调区间. 【详解】函数由和复合而成， 因为，其单调递减区间是，单调递增区间是； 而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性知的单调递减区间是. 4． 【答案】C 【详解】由，得， 则函数的定义域为，排除AB； 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 则函数在上单调递增，C正确，D错误. 5． 【答案】D 【分析】根据对数函数的定义域、单调性以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】函数有意义，则，解得. 令，开口向下，对称轴为. 则函数在上单调递增，在上单调递减. 函数关于是单调递减，根据复合函数"同增异减"，要求原函数的增区间，等价于求内层 的减区间， 即. 6． 【答案】 【分析】结合复合函数“同增异减”的单调性规则，先求定义域再推导内层函数的对应单调区间即可 【详解】由题意可知，整理得， 解得定义域为，令， 由于底数，因此外层函数在上单调递减， 要使复合函数单调递减，需内层函数在定义域内单调递增， 是开口向下的二次函数，对称轴为，其单调递增区间为， 将该区间与定义域取交集，得， 因此函数的单调递减区间为. 7． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据对数的运算法则，对进行化简整理，利用换元法，结合二次函数的性质及复合函数单调性，即可得答案. （2）根据已知定义域结合对数函数值域化简，再构造函数应用单调性得出最值进而得出参数范围. 【详解】（1）由题意 ， 令， 则为开口向上，对称轴为的抛物线， 又因为在上单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，解得， 所以根据复合函数单调性得函数的单调递增区间为. （2）因为对任意恒成立，且， 所以，化简得恒成立， 令， 则在上单调递增， 所以，即得， 又因为恒成立，所以，所以. 所以的取值范围为． 题型05已知复合函数的单调性求参数 1． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，则， 解得. 综上，. 2． 【答案】B 【分析】结合复合函数增减性和二次函数单调性及对数函数真数的定义域列出不等式组，即可求解 【详解】要使在上单调递增， 因为外层函数在上单调递增， 所以只需求内层函数在上单调递增， 又因为内层函数是二次函数，开口向上，其对称轴为， 所以，解得 根据函数定义域有，结合单调区间等价于对所有恒成立，即 综上，取两个条件的交集，得. 3． 【答案】B 【详解】设，则， 因为在区间上单调递增，且为减函数， 由复合函数单调性知在上单调递减， 则有解得， 故的取值范围是， 故选：B． 4． 【答案】B 【详解】令，函数的外层函数为， 又，则外层函数为单调递减函数. ∵ 函数在区间上单调递增， ∴ 内层函数在区间上单调递减，且在上恒成立. ∵ 是开口向上的二次函数，对称轴为， ∴ 要满足在上单调递减，需，解得. ∵ 在上单调递减，∴ 时，， 要满足在上恒成立，需，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 5． 【答案】A 【分析】应用复合函数单调性结合对数函数单调性列式计算求解参数. 【详解】∵在上单调递减，∴在上单调递增，∴. 题型06求指对型复合函数的值域与最值 1． 【答案】A 【分析】运用换元法，令，令，逐步求出该复合函数的值域即可. 【详解】令，令， 由二次函数的性质可知，当时，二次函数在上单调递减， 在上单调递增，故， 又易知在上单调递减，故， 即函数的值域为. 故选：A. 2． 【答案】B 【分析】由可得，再结合不等式的运算求解值域即可. 【详解】函数的定义域为， 由是奇函数即， 所以，解得， 则， 因为且，所以，，则， 即，可得， 所以函数的值域为． 3． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出的值域，再借助二次函数求出的值域，最后利用指数函数单调性求解即得. 【详解】由可得， 函数在上单调递增，， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：B 4． 【答案】 【分析】根据指数复合函数值域计算求解. 【详解】因为， ，当时取最小值0． 所以值域为. 故答案为：. 5． 【答案】 【分析】利用换元法，令，求出的范围，再求的范围即可得到答案. 【详解】函数的定义域为， 令，则， 则， 所以函数的值域为. 故答案为：. 6． 【答案】 【分析】先分析真数的取值范围，再确定对数函数的值域即可； 【详解】因为函数，则， 所以， 即函数的值域是. 故答案为：. 7． 【答案】 【分析】利用换元法结合对数运算、对数函数性质、二次函数性质求值即可. 【详解】设，则. . 函数是开口向上的二次函数，对称轴为. 所以. 故答案为：. 8． 【答案】 【分析】根据复合函数值域求解即可求得结果. 【详解】易知函数的定义域为， 且， 所以，即. 因此函数的值域为. 故答案为： 9． 【答案】(1)， (2). 【分析】（1）代入计算求参，再根据真数为正可求函数的定义域； （2）根据对数复合函数的单调性，再根据单调性结合定义域计算得出值域. 【详解】（1），即，则. 由题意得解得，故的定义域为. （2）， 令，设， 的对称轴：， 在上单调递增，在上单调递减. 在单调递减， 由复合函数可知：时，单调递减，时，单调递增. ， 在上的值域为. 题型07由指对型复合函数的值域与最值求参数 1． 【答案】A 【分析】由题意可知即有解，且无最大值，分为，，三种情况讨论求解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，，则有解， 当时，有最大值，则有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，无最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 2． 【答案】A 【分析】由已知可得函数的值域为，从而可得的值，的最小值为9，从而可得的值，即可得解． 【详解】因为函数的值域为， 所以函数的值域为， 所以，解得， 因为的值域为,， 所以的最小值为9，所以， 解得， 所以． 故选：A． 3． 【答案】 【分析】设，依题意得的最小值为，根据的取值分成，和三类情况分析函数的单调性，求出其最小值后验证即得参数范围. 【详解】令，则得的最小值为. 当，即时，函数在上为增函数， ，满足题意； 当，即时，函数在上为减函数，在上为增函数. ①当，即时，函数在上为增函数， ，满足题意； ②当，即时， .令，解得，不满足题意. 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 4． 【答案】 【分析】对分类讨论可知，只有当且函数的值域包含时满足题意，由此即可列出不等式组求解. 【详解】若，则，不满足题意； 若，则， 当，即时，的值域为，满足题意. 故答案为：. 5． 【答案】 【分析】由函数的值域为，知能取到所有正实数.分析和两种情况，可得实数的取值范围. 【详解】因为函数的值域为，所以能取到所有正实数. 若，则.当时，能取到所有正实数，满足题意； 若，要使能取到所有正实数，须使，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 6． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由给定条件可得不等式的解集为R，再由求解即得. （2）由函数的值域为R，结合对数函数性质可得函数的值域包含，再利用二次函数性质列式求解. （3）由函数的值域为，结合对数函数性质可得函数的值域为，再求出二次函数值域列式求解. 【详解】（1）由函数的定义域为R，得不等式的解集为R， 则，解得， 所以a的取值范围为. （2）由函数的值域为R，得函数的值域包含集合， 因此，解得：或. 所以实数a的取值范围是. （3）由函数的值域为，得函数的值域为， 而，因此，解得， 所以实数的值是. 题型08指对型复合函数的奇偶性 1． 【答案】C 【详解】已知函数，其定义域为，关于原点对称． 因为，所以是偶函数，选项A正确； 对求导，． 令，即， 则，即，解得． 当时，，，所以， 则在上递增，选项B正确； 由上述分析可知，当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 根据极值的定义可知，是的极小值点，所以只有极小值，无极大值， 选项C错误，选项D正确． 2． 【答案】C 【分析】对A，由，即可求解；对B，根据函数为奇函数，由即可求解；对C，利用指数函数的单调性求解；对D，由时，，得到，再由是奇函数即可求解． 【详解】对于A，由，解得，所以的定义域为，故A正确； 对于B，因为函数是定义域为的奇函数，所以， 即，解得， 当时，，， 则符合题意，所以B正确； 对于C，当时，，且在上递增，则在上递减， 所以在上递减，又是奇函数， 则的单调递减区间为和，故C错误， 对于D，由选项B可知，，当时，，则， 所以，又是奇函数，当时，， 所以的值域，故D正确． 3． 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性及单调性，结合题设可得，然后利用基本不等式“1”的代换求解最值即可. 【详解】由，， 则，故是定义在上的奇函数， 由，得， 由为增函数，知是增函数， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是. 4． 【答案】B 【详解】将函数的图象向右平移1个单位后得到函数， 由题可知图象关于原点对称，所以为奇函数， 所以，即， 所以，即， 所以， 解得（因为，舍去），或，或（因为，舍去），或， 所以. 5． 【答案】ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义可以直接判断奇偶性，再把化简成利用复合函数单调性的判断方法可以判断单调性，最后利用指数函数的性质结合不等式的性质可以求值域，逐项判断即可. 【详解】定义域为,，符合奇函数定义，故A对，D不对. ， 已知在上单调递增，那么在上单调递减， 所以在上单调递增，故B对. ，因为，所以，由此可得， 即的值域为，故C对. 6． 【答案】 【分析】由奇函数的定义得到，化简后利用指数函数的一一对应关系求出参数，再验证所得参数满足题意． 【详解】因为为奇函数，所以对任意都有． 由函数解析式， 因此，当时，．取，得． 指数函数在上单调递增，所以，即． 验证：当时，， 所以满足题意． 7． 【答案】2 【详解】注意到， 因此． 题型09 与指对型复合函数有关的不等式问题 1． 【答案】C 【分析】构造，利用其单调性解不等式求参数范围. 【详解】由，得， 构造函数，即 因为、是R上的增函数，则是R上的增函数， 所以，整理得，解得或， 即的取值范围是. 2． 【答案】D 【详解】由函数， 得， 即，所以的图象关于直线对称， 设，则， 因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以由，可得，即. 所以，整理得，解得或． 故关于的不等式的解集为. 3． 【答案】A 【分析】确定函数为偶函数，再利用导数可确定在上单调递增，进而求解不等式. 【详解】由，解得或，函数的定义域为，关于原点对称， 又，则函数为偶函数， 当时，，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 则，而，因此，函数在上单调递增， 不等式， 即，解得或， 所以使不等式成立的的取值范围是. 4． 【答案】 【详解】需满足：， 解得或，解得，因此， 由于，则 由于函数在上单调递增， 因此上述不等式等价于：， 整理得，解得或， 结合，得， 即得不等式的解集为. 5． 【答案】(1)证明：因为 由题意可得 恒成立，所以函数 的定义域为. 又 所以函数是定义在上的奇函数. (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义证明即可. （2）根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）略 （2）由题意，即，也即， 整理得. 因为，所以，所以可化为，即. 又在定义域上单调递增，所以 ， 解得. 所以的取值范围为. 题型10 指对型复合函数的零点问题 1． 【答案】C 【分析】根据题意求得的零点为，再由对数函数性质判断即可. 【详解】令的值即的零点． 而，即，， 而，所以， 所以函数的零点就是，． 要比较与的大小，等价于比较2与的大小，等价于比较与大小， 显然，，． 2． 【答案】D 【分析】设，将原函数化为二次函数，问题转化为 在正半轴上有两个不同实根，利用二次函数根的分布，由判别式、韦达定理建立不等式组求解即可． 【详解】设，则原函数化为， 令 ，则 有两个零点等价于方程 在 上有两个不同的实数解， 二次函数 开口向上，对称轴为 ，要使其在 上有两个零点，需满足，解得， 因此实数 的取值范围为 . 3． 【答案】D 【详解】函数有两个零点，则方程有两个实根， 即有两个实根，即直线与函数的图象有两个交点. 结合函数的图象，可得， 所以的取值范围是. 4． 【答案】AD 【分析】先得到函数定义域为，由，即可得到图象关于直线对称，即可验证A项；令内层函数， 时，单调递减，根据复合函数“同增异减”得到在单调递减，即可验证B项；先由复合函数的单调性原则得到函数的单调性，即可验证C项；令，解得，即可验证D项. 【详解】函数 需满足，即定义域为， 由对数的运算法则得到， 对于A项，因为， 所以，即图象关于直线对称，故A正确； 对于B项，令内层函数，开口向下，对称轴， 时，单调递增，时，单调递减， 因为外层函数在单调递增， 所以根据复合函数的单调性得到在单调递减，故B错误； 对于C项，根据复合函数的单调性得到在单调递增， 所以当时，函数有最大值， 又因为当或时，函数，， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D项，令，即，得到， 整理得到，解得， 所以函数有两个零点，故D正确. 5． 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用函数的图象变换，得到函数的图象关于直线对称，令，得到关于的方程，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数的图象，经过轴翻折变换，可得函数的图象， 再向右平移1个单位，可得的图象， 最终经过轴翻折变换，可得的图象，如图所示， 则函数的图象关于直线对称，令， 因为函数最小的零点为，且， 故当时，方程有4个零点， 所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则或， 由，可得或， 设的四个根从小到大依次为， 由函数的图象关于直线对称，可得， 所以的所有零点之和是6，故D正确； 关于的方程的两个实数根为和， 由韦达定理，得，，所以， 所以B，C正确，A错误. 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性和单调性逐一分析选项即可. 【详解】选项A，在中，，因为，所以函数是偶函数，不符合题意，A错误； 选项B，在中，，因为，所以函数是奇函数， 因为函数和均在R上单调递减，所以函数在定义域R上单调递减，不符合题意，B错误； 选项C，在中，,因为，所以函数是偶函数，不符合题意，C错误； 选项D，在中，由，得解得，即定义域为，关于坐标原点对称， 因为，所以，所以函数是奇函数， 因为，所以函数在定义域上单调递增，符合题意，D正确． 2． 【答案】C 【详解】函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域是. 3． 【答案】A 【分析】由方程求解零点. 【详解】由， 得，所以， 解得， 所以的零点为， 故选：A. 4． 【答案】D 【详解】因为函数的零点为1，2， 所以，. 所以不等式可化为. 所以所求不等式的解集为. 所以选项D正确. 5． 【答案】C 【分析】先由复合函数单调性得出内层二次函数需单调递减且恒大于0的条件，从而得到函数递增的充要条件为 ；再将此范围与题干条件 比较，通过判断两者之间的推出关系确定条件类型． 【详解】设，则， 因为在定义域内单调递减，要使在上单调递增，需在上单调递减且恒大于0， 二次函数的图象开口向上，对称轴为，因为在上单调递减，所以， 又因为对任意恒成立，所以，即，解得， 因此，函数在区间上单调递增的充要条件为， 若，显然，所以必要性成立； 但不能保证，所以充分性不成立； 所以，“”是函数在上单调递增的必要不充分条件． 6． 【答案】A 【详解】令， 因为单调递减， 又因为函数的最大值为2027， 则的最小值为， 所以，且当时有， 即得，解得或， 所以. 二、多选题 7． 【答案】AC 【分析】根据函数奇偶性的定义及函数增减性分别判断即可． 【详解】对于A，的定义域为R，， 所以为奇函数，又与均在R上单调递增， 故在R上单调递增，故A正确； 对于B，在定义域上单调递增，且是非奇非偶函数，故B错误； 对于C，对函数，由得函数的定义域为，关于原点对称， ，所以函数为奇函数， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为函数的定义域为，该函数在其定义域上不具有单调性，故D错误． 8． 【答案】ACD 【分析】由对数型复合函数的性质，结合二次函数性质、复合函数“同增异减”规则、函数对称性判定方法逐一分析选项即可. 【详解】选项A：当时，对数真数需满足，因式分解得， 解得或，即定义域为，A正确； 选项B：当时，真数，为增函数， 故，值域为，不是，B错误； 选项C：， ， 即，故图象关于直线对称，C正确； 选项D：当时，定义域为， 内层函数在上单调递减，外层单调递增， 由复合函数“同增异减”规则，得的单调递减区间为，D正确. 9． 【答案】BC 【分析】根据二次函数以及指数函数的单调性求解选项A.根据复合函数的单调性求解选项B.根据对数函数的定义域以及二次函数判别式求解选项C.根据对数函数以及一次函数的单调性，复合求解选项D. 【详解】选项A.设指数部分，则，函数是减函数，因此当取最大值时，取最小值. 最小值为，错误. 选项B.. 内层二次函数开口向下，对称轴，因此在上单调递减； 外层是增函数，的单调递减区间为，正确. 选项C.函数恒有意义等价于，对任意恒成立. 当时，真数为，恒成立； 当时，二次函数恒正需满足，解得. 综上，，正确. 选项D.内层函数是增函数，由复合函数单调性，外层也需递增，故； 要保证真数在上恒正：对所有成立，递增， 故最小值趋近于. 因此，错误. 三、填空题 10． 【答案】 【分析】应用换元法结合对数函数单调性及复合函数单调法则计算判断求解. 【详解】令，，则在上递减. 在上递减，在上递增， 根据复合函数单调性“同增异减”原则， 当时，由，得， 所以函数的单调递增区间是. 11． 【答案】和 【分析】使用对数型复合函数的单调性求解. 【详解】令，解得， 函数的定义域为， 令，当和时，是减函数， 当和时，是增函数， 因为是减函数， 所以的递增区间为和. 12． 【答案】 【分析】先化简原函数判断单调性，反解出关于的表达式，将转化为关于的函数，结合二次函数的最值性质即可求出最小值. 【详解】，因为在上单调递增，所以是上的单调递增函数，值域为. 由，设，则，结合值域得， 由，整理得，解得， 所以，同理可得 设， 令，由得，最大值为， 则是关于的减函数，当取最大值时，最小， . 四、解答题 13． 【答案】(1)当时，为偶函数；当时，为奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数； (2) 【分析】（1）应用奇函数及偶函数的定义计算，再应用特殊值法计算判断； （2）应用换元法计算，再结合指数函数及二次函数值域计算求解. 【详解】（1）因为的定义域为，所以， 当时，，为偶函数， 当时，，为奇函数， 当时，则， ，从而， 所以既不是奇函数也不是偶函数． （2）当时，，存在，使得成立， 化简可得，即在上有解， 令，因为，所以，即在上有解， ，因为， 所以实数的取值范围为． 14． 【答案】 【分析】根据对数基本运算，化简函数，利用换元将函数改为二次函数形式，讨论a范围，求解即可. 【详解】因为，， 故函数， 令，则， 根据函数最大值为0，最小值为，可以得到， 最小值在时取得，此时， 最大值在或时取得，此时或， 当时，，即 因为时取得最小值，故不符合题意，故， 当时，，此时，最大值在区间端点处取得， 若在取得，则或，解得或， 当时，则，此时不在区间内，故不符合题意， 当时，则，此时在区间内，故符合题意， 若在取得，则或，解得或， 当时，则，此时不在区间内，故不符合题意， 当时，则，此时在区间内，故符合题意， 综上所述，. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 指数、对数型复合函数问题 常考题型·精准突破 题型01指对型复合函数的定义域 题型02指对型复合函数的图像（重） 题型03指对型复合函数过定点 题型04判断指对型复合函数的单调性（重） 题型05已知复合函数的单调性求参数（高频） 题型06求指对型复合函数的值域与最值 题型07由指对型复合函数的值域与最值求参数 题型08指对型复合函数的奇偶性（难） 题型09 与指对型复合函数有关的不等式问题 题型10 指对型复合函数的零点问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01指对型复合函数的定义域 1．（25-26高一下·四川泸州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·上海奉贤·期末）函数的定义域是______. 5．（25-26高一下·云南昭通·阶段检测）若函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． 6．（25-26高一下·上海宝山·期末）函数的定义域为______． 7．（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. 8．（25-26高一上·天津·阶段检测）函数 的定义域是___________ . 题型02指对型复合函数的图像 1．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海浦东新·期末）函数的图像大致为（   ）. A．   B．   C．   D．   3．（25-26高一上·四川成都·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的大致图象为（） A．B．C．D． 5．（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）函数（其中是自然对数的底数）的图象大致为（   ） A． B． C． D． 题型03指对型复合函数过定点 1．（25-26高一上·浙江杭州·期末）函数（且）的图象过定点（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数的图象恒过定点A，且A点在直线上，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 3．（25-26高一下·浙江·开学考试）函数（且）的图象过定点，若正数，，满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 4．（25-26高一上·广东肇庆·期末）已知且，若函数的图像经过定点，函数的图像恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为______. 6．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）已知实数且，则的图象恒过的定点为______． 题型04判断指对型复合函数的单调性 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 4．（2026·广西·模拟预测）设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 5．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）函数的单调递减区间为_____． 7．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数 (1)求函数的单调递增区间； (2)若对任意恒成立，求的取值范围． 题型05已知复合函数的单调性求参数 1．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·重庆·期末）函数在上单调递增，则的范围为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东聊城·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·湖南岳阳·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·湖北·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 题型06求指对型复合函数的值域与最值 1．（25-26高一上·陕西西安·期末）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·三模）若是奇函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D．,2] 4．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）函数的值域为______． 5．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）函数的值域为___________. 6．（25-26高一上·河北石家庄·期末）函数的值域是_____. 7．（25-26高一上·上海·期末）函数，的最小值为_________． 8．（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的值域是_____． 9．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）已知，且，且. (1)求的值及的定义域； (2)求在上的值域. 题型07由指对型复合函数的值域与最值求参数 1．已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的值域为，的值域为，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 3．（25-26高一上·贵州黔南·期末）若函数的最小值为，则实数的取值范围为__________. 4．若函数的值域为，则a的取值范围是______. 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________． 6．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围； (3)若函数的值域为，求实数的值． 题型08指对型复合函数的奇偶性 1．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知函数（为自然对数的底数），则下列说法中不正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上递增 C．只有极大值 D．只有极小值 2．（2026高一·全国·专题练习）已知函数为奇函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域为 3．（2026·陕西·三模）已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）若将函数的图象向右平移1个单位后关于原点对称，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（26-27高二上·山西晋中·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C．的值域为 D．是偶函数 6．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知函数为奇函数，则___________． 7．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）设，则___________． 题型09 与指对型复合函数有关的不等式问题 1．（2026高三·全国·专题练习）若实数x满足不等式，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，则关于的不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 3．已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·广东东莞·阶段检测）不等式的解集（用区间表示）________________． 5．（25-26高二下·天津津南·期末）已知函数 . (1)证明函数为奇函数； (2)解关于的不等式 . 题型10 指对型复合函数的零点问题 1．（2026·广东深圳·模拟预测）已知，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北黄冈·二模）已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高二下·山西运城·期末）关于函数，则下列选项正确的是（    ） A．图象关于直线对称 B．在单调递增 C．的值域为 D．有两个零点 5．（多选）（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．6个零点之和是6 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·新疆喀什·期末）函数的零点为（   ） A．5 B．5或 C． D． 4．（2026·海南儋州·一模）若函数的零点为1，2，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）是函数在区间上单调递增的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 6．已知函数的最大值为2027，则的值为（    ） A． B． C．1 D．或 二、多选题 7．（26-27高三·全国·一轮复习）下列函数中符合在定义域上是单调递增的奇函数的是（　　） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．若，则的值域为 C．的图象关于直线对称 D．若，则的单调递减区间是 9．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）下列说法正确的是（ ） A．函数的最小值为 B．函数的单调递减区间为 C．函数恒有意义，则实数的取值范围是 D．函数（且）在区间上单调递增，则实数取值范围为 三、填空题 10．（第03讲幂函数与二次函数（复习讲义）（全国通用）-2）函数的单调递增区间为___________. 11．（2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间为_______________． 12．（25-26高一下·福建莆田·期末）已知函数，，则________． 四、解答题 13．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数，其中． (1)讨论函数的奇偶性； (2)当时，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 14．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最大值为0，最小值为．求a的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 指数、对数型复合函数问题 常考题型·精准突破 题型01指对型复合函数的定义域 题型02指对型复合函数的图像（重） 题型03指对型复合函数过定点 题型04判断指对型复合函数的单调性（重） 题型05已知复合函数的单调性求参数（高频） 题型06求指对型复合函数的值域与最值 题型07由指对型复合函数的值域与最值求参数 题型08指对型复合函数的奇偶性（难） 题型09 与指对型复合函数有关的不等式问题 题型10 指对型复合函数的零点问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 题型01指对型复合函数的定义域 1．（25-26高一下·四川泸州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，解得，故函数的定义域为. 2．（25-26高一上·河南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别分析函数和的定义域限制，列不等式组求解即可． 【详解】由，解得． 故选：D． 3．（2026高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由函数的定义域求复合函数的定义域，再结合对数函数的性质可得. 【详解】因为函数的定义域为，在函数中，要使函数有意义， 则，即，解得，所以函数的定义域为. 4．（25-26高二下·上海奉贤·期末）函数的定义域是______. 【答案】（或） 【详解】，解得，则此函数的定义域为或. 5．（25-26高一下·云南昭通·阶段检测）若函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用对数函数的性质转化为恒成立问题，再建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以在上恒成立， 当时，，解得，不合题意； 当时，则，解得． 综上实数的取值范围为． 6．（25-26高一下·上海宝山·期末）函数的定义域为______． 【答案】 【详解】要使函数有意义， 则，即，即， 解得， 所以函数的定义域为. 7．（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负及零指数幂的底数不为零得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数， 则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 8．（25-26高一上·天津·阶段检测）函数 的定义域是___________ . 【答案】 【分析】要使函数有意义，须使，解不等式可得函数 的定义域. 【详解】要使函数有意义，须使. 所以. 因为函数是减函数，所以，所以. 所以函数 的定义域是. 故答案为：. 题型02指对型复合函数的图像 1．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据排除C，判断函数的奇偶性可排除D；再根据时，可排除A. 【详解】由，可得，排除C， 则， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除D； 当时，，则，排除A，则B符合题意. 故选：B 2．（25-26高一上·上海浦东新·期末）函数的图像大致为（   ）. A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的值域判断即可. 【详解】因为，所以， 又为增函数，所以，即， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 3．（25-26高一上·四川成都·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，再结合特殊值，即可判断. 【详解】由，可得，即函数的定义域为且，关于原点对称， 由，可知函数为奇函数，故排除B、D； 又因为，故排除A. 故选：C. 4．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的大致图象为（） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】通过函数的定义域、对称性和单调性即可求解，得到答案. 【详解】由可知，，函数图象关于直线对称，B、C错误. 因为外层函数是减函数，内层函数在上单调递减，在上单调递增. 根据“同增异减”原则，函数在上单调递增，在上单调递减，A错误，D正确. 故选：D 5．（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）函数（其中是自然对数的底数）的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及特殊点的函数值确定正确答案. 【详解】对于函数， 由，解得， 所以的定义域为， ， 所以是奇函数，图象关于原点对称，所以D选项错误. ，由于， 所以，所以C选项错误. ，所以B选项错误. 故选：A 题型03指对型复合函数过定点 1．（25-26高一上·浙江杭州·期末）函数（且）的图象过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数定点计算求解. 【详解】因为，所以函数的图象过定点. 故选：A. 2．（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数的图象恒过定点A，且A点在直线上，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据指数函数的图象恒过点可求出点A的坐标，代入直线方程可得到的关系式，根据基本不等式中“1”的妙用可得解. 【详解】因为函数的图象恒过定点，所以. 又A点在直线上，所以，即， 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为2. 3．（25-26高一下·浙江·开学考试）函数（且）的图象过定点，若正数，，满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据对数函数性质求出定点确定、的值，再将式子变形，最后利用乘1法结合基本不等式求最值. 【详解】对于对数函数 ， 令，解得 ， 此时，因此函数过定点， 得 ，由条件 可得： ，即 ， 由 ，代入得： 利用1的代换结合基本不等式： 当且仅当成立时，等号成立， 结合 ，得 ，满足正数条件， 所以 . 所以当时，取最小值，最小值为. 4．（25-26高一上·广东肇庆·期末）已知且，若函数的图像经过定点，函数的图像恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用指数函数、对数函数图象恒过定点问题求出定点坐标即可. 【详解】依题意，当，即时，恒有，因此点， 当时，恒有，因此点，所以. 故选：B. 5．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为______. 【答案】 【分析】根据指数函数恒过定点可得. 【详解】因为且，， 所以函数（，且）的图象恒过定点. 所以点P的坐标为. 6．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）已知实数且，则的图象恒过的定点为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用对数函数图象恒过定点求解即得. 【详解】对任意且，恒成立， 所以的图象恒过定点. 故答案为： 题型04判断指对型复合函数的单调性 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 是指数函数，且在上单调递增， 是二次函数，图象开口向下，对称轴为，且在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，的单调递增区间为．. 2．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的定义域，根据复合函数单调性的求法，结合二次函数、对数函数的性质，即可得答案. 【详解】由题意得，令，解得或， 的定义域为， 设，， 根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又因为在为增函数， 根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为. 3．（24-25高一上·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确复合函数的构成，根据同增异减确定单调区间. 【详解】函数由和复合而成， 因为，其单调递减区间是，单调递增区间是； 而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性知的单调递减区间是. 4．（2026·广西·模拟预测）设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】C 【详解】由，得， 则函数的定义域为，排除AB； 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 则函数在上单调递增，C正确，D错误. 5．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的定义域、单调性以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】函数有意义，则，解得. 令，开口向下，对称轴为. 则函数在上单调递增，在上单调递减. 函数关于是单调递减，根据复合函数"同增异减"，要求原函数的增区间，等价于求内层 的减区间， 即. 6．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）函数的单调递减区间为_____． 【答案】 【分析】结合复合函数“同增异减”的单调性规则，先求定义域再推导内层函数的对应单调区间即可 【详解】由题意可知，整理得， 解得定义域为，令， 由于底数，因此外层函数在上单调递减， 要使复合函数单调递减，需内层函数在定义域内单调递增， 是开口向下的二次函数，对称轴为，其单调递增区间为， 将该区间与定义域取交集，得， 因此函数的单调递减区间为. 7．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数 (1)求函数的单调递增区间； (2)若对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据对数的运算法则，对进行化简整理，利用换元法，结合二次函数的性质及复合函数单调性，即可得答案. （2）根据已知定义域结合对数函数值域化简，再构造函数应用单调性得出最值进而得出参数范围. 【详解】（1）由题意 ， 令， 则为开口向上，对称轴为的抛物线， 又因为在上单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，解得， 所以根据复合函数单调性得函数的单调递增区间为. （2）因为对任意恒成立，且， 所以，化简得恒成立， 令， 则在上单调递增， 所以，即得， 又因为恒成立，所以，所以. 所以的取值范围为． 题型05已知复合函数的单调性求参数 1．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，则， 解得. 综上，. 2．（25-26高二下·重庆·期末）函数在上单调递增，则的范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合复合函数增减性和二次函数单调性及对数函数真数的定义域列出不等式组，即可求解 【详解】要使在上单调递增， 因为外层函数在上单调递增， 所以只需求内层函数在上单调递增， 又因为内层函数是二次函数，开口向上，其对称轴为， 所以，解得 根据函数定义域有，结合单调区间等价于对所有恒成立，即 综上，取两个条件的交集，得. 3．（2026·山东聊城·一模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 因为在区间上单调递增，且为减函数， 由复合函数单调性知在上单调递减， 则有解得， 故的取值范围是， 故选：B． 4．（25-26高二下·湖南岳阳·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，函数的外层函数为， 又，则外层函数为单调递减函数. ∵ 函数在区间上单调递增， ∴ 内层函数在区间上单调递减，且在上恒成立. ∵ 是开口向上的二次函数，对称轴为， ∴ 要满足在上单调递减，需，解得. ∵ 在上单调递减，∴ 时，， 要满足在上恒成立，需，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 5．（25-26高一下·湖北·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用复合函数单调性结合对数函数单调性列式计算求解参数. 【详解】∵在上单调递减，∴在上单调递增，∴. 题型06求指对型复合函数的值域与最值 1．（25-26高一上·陕西西安·期末）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用换元法，令，令，逐步求出该复合函数的值域即可. 【详解】令，令， 由二次函数的性质可知，当时，二次函数在上单调递减， 在上单调递增，故， 又易知在上单调递减，故， 即函数的值域为. 故选：A. 2．（2026·重庆·三模）若是奇函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，再结合不等式的运算求解值域即可. 【详解】函数的定义域为， 由是奇函数即， 所以，解得， 则， 因为且，所以，，则， 即，可得， 所以函数的值域为． 3．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D．,2] 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出的值域，再借助二次函数求出的值域，最后利用指数函数单调性求解即得. 【详解】由可得， 函数在上单调递增，， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：B 4．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）函数的值域为______． 【答案】 【分析】根据指数复合函数值域计算求解. 【详解】因为， ，当时取最小值0． 所以值域为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）函数的值域为___________. 【答案】 【分析】利用换元法，令，求出的范围，再求的范围即可得到答案. 【详解】函数的定义域为， 令，则， 则， 所以函数的值域为. 故答案为：. 6．（25-26高一上·河北石家庄·期末）函数的值域是_____. 【答案】 【分析】先分析真数的取值范围，再确定对数函数的值域即可； 【详解】因为函数，则， 所以， 即函数的值域是. 故答案为：. 7．（25-26高一上·上海·期末）函数，的最小值为_________． 【答案】 【分析】利用换元法结合对数运算、对数函数性质、二次函数性质求值即可. 【详解】设，则. . 函数是开口向上的二次函数，对称轴为. 所以. 故答案为：. 8．（25-26高一上·上海普陀·期末）函数的值域是_____． 【答案】 【分析】根据复合函数值域求解即可求得结果. 【详解】易知函数的定义域为， 且， 所以，即. 因此函数的值域为. 故答案为： 9．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）已知，且，且. (1)求的值及的定义域； (2)求在上的值域. 【答案】(1)， (2). 【分析】（1）代入计算求参，再根据真数为正可求函数的定义域； （2）根据对数复合函数的单调性，再根据单调性结合定义域计算得出值域. 【详解】（1），即，则. 由题意得解得，故的定义域为. （2）， 令，设， 的对称轴：， 在上单调递增，在上单调递减. 在单调递减， 由复合函数可知：时，单调递减，时，单调递增. ， 在上的值域为. 题型07由指对型复合函数的值域与最值求参数 1．已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知即有解，且无最大值，分为，，三种情况讨论求解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，，则有解， 当时，有最大值，则有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，无最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 2．已知函数的值域为，的值域为，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】由已知可得函数的值域为，从而可得的值，的最小值为9，从而可得的值，即可得解． 【详解】因为函数的值域为， 所以函数的值域为， 所以，解得， 因为的值域为,， 所以的最小值为9，所以， 解得， 所以． 故选：A． 3．（25-26高一上·贵州黔南·期末）若函数的最小值为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】设，依题意得的最小值为，根据的取值分成，和三类情况分析函数的单调性，求出其最小值后验证即得参数范围. 【详解】令，则得的最小值为. 当，即时，函数在上为增函数， ，满足题意； 当，即时，函数在上为减函数，在上为增函数. ①当，即时，函数在上为增函数， ，满足题意； ②当，即时， .令，解得，不满足题意. 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 4．若函数的值域为，则a的取值范围是______. 【答案】 【分析】对分类讨论可知，只有当且函数的值域包含时满足题意，由此即可列出不等式组求解. 【详解】若，则，不满足题意； 若，则， 当，即时，的值域为，满足题意. 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由函数的值域为，知能取到所有正实数.分析和两种情况，可得实数的取值范围. 【详解】因为函数的值域为，所以能取到所有正实数. 若，则.当时，能取到所有正实数，满足题意； 若，要使能取到所有正实数，须使，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 6．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围； (3)若函数的值域为，求实数的值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由给定条件可得不等式的解集为R，再由求解即得. （2）由函数的值域为R，结合对数函数性质可得函数的值域包含，再利用二次函数性质列式求解. （3）由函数的值域为，结合对数函数性质可得函数的值域为，再求出二次函数值域列式求解. 【详解】（1）由函数的定义域为R，得不等式的解集为R， 则，解得， 所以a的取值范围为. （2）由函数的值域为R，得函数的值域包含集合， 因此，解得：或. 所以实数a的取值范围是. （3）由函数的值域为，得函数的值域为， 而，因此，解得， 所以实数的值是. 题型08指对型复合函数的奇偶性 1．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知函数（为自然对数的底数），则下列说法中不正确的是（    ） A．是偶函数 B．在上递增 C．只有极大值 D．只有极小值 【答案】C 【详解】已知函数，其定义域为，关于原点对称． 因为，所以是偶函数，选项A正确； 对求导，． 令，即， 则，即，解得． 当时，，，所以， 则在上递增，选项B正确； 由上述分析可知，当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 根据极值的定义可知，是的极小值点，所以只有极小值，无极大值， 选项C错误，选项D正确． 2．（2026高一·全国·专题练习）已知函数为奇函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域为 【答案】C 【分析】对A，由，即可求解；对B，根据函数为奇函数，由即可求解；对C，利用指数函数的单调性求解；对D，由时，，得到，再由是奇函数即可求解． 【详解】对于A，由，解得，所以的定义域为，故A正确； 对于B，因为函数是定义域为的奇函数，所以， 即，解得， 当时，，， 则符合题意，所以B正确； 对于C，当时，，且在上递增，则在上递减， 所以在上递减，又是奇函数， 则的单调递减区间为和，故C错误， 对于D，由选项B可知，，当时，，则， 所以，又是奇函数，当时，， 所以的值域，故D正确． 3．（2026·陕西·三模）已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性及单调性，结合题设可得，然后利用基本不等式“1”的代换求解最值即可. 【详解】由，， 则，故是定义在上的奇函数， 由，得， 由为增函数，知是增函数， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是. 4．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）若将函数的图象向右平移1个单位后关于原点对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将函数的图象向右平移1个单位后得到函数， 由题可知图象关于原点对称，所以为奇函数， 所以，即， 所以，即， 所以， 解得（因为，舍去），或，或（因为，舍去），或， 所以. 5．（多选）（26-27高二上·山西晋中·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．在上单调递增 C．的值域为 D．是偶函数 【答案】ABC 【分析】利用函数奇偶性的定义可以直接判断奇偶性，再把化简成利用复合函数单调性的判断方法可以判断单调性，最后利用指数函数的性质结合不等式的性质可以求值域，逐项判断即可. 【详解】定义域为,，符合奇函数定义，故A对，D不对. ， 已知在上单调递增，那么在上单调递减， 所以在上单调递增，故B对. ，因为，所以，由此可得， 即的值域为，故C对. 6．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知函数为奇函数，则___________． 【答案】 【分析】由奇函数的定义得到，化简后利用指数函数的一一对应关系求出参数，再验证所得参数满足题意． 【详解】因为为奇函数，所以对任意都有． 由函数解析式， 因此，当时，．取，得． 指数函数在上单调递增，所以，即． 验证：当时，， 所以满足题意． 7．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）设，则___________． 【答案】2 【详解】注意到， 因此． 题型09 与指对型复合函数有关的不等式问题 1．（2026高三·全国·专题练习）若实数x满足不等式，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，利用其单调性解不等式求参数范围. 【详解】由，得， 构造函数，即 因为、是R上的增函数，则是R上的增函数， 所以，整理得，解得或， 即的取值范围是. 2．已知函数，则关于的不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数， 得， 即，所以的图象关于直线对称， 设，则， 因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以由，可得，即. 所以，整理得，解得或． 故关于的不等式的解集为. 3．已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定函数为偶函数，再利用导数可确定在上单调递增，进而求解不等式. 【详解】由，解得或，函数的定义域为，关于原点对称， 又，则函数为偶函数， 当时，，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 则，而，因此，函数在上单调递增， 不等式， 即，解得或， 所以使不等式成立的的取值范围是. 4．（25-26高三上·广东东莞·阶段检测）不等式的解集（用区间表示）________________． 【答案】 【详解】需满足：， 解得或，解得，因此， 由于，则 由于函数在上单调递增， 因此上述不等式等价于：， 整理得，解得或， 结合，得， 即得不等式的解集为. 5．（25-26高二下·天津津南·期末）已知函数 . (1)证明函数为奇函数； (2)解关于的不等式 . 【答案】(1)证明：因为 由题意可得 恒成立，所以函数 的定义域为. 又 所以函数是定义在上的奇函数. (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义证明即可. （2）根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）略 （2）由题意，即，也即， 整理得. 因为，所以，所以可化为，即. 又在定义域上单调递增，所以 ， 解得. 所以的取值范围为. 题型10 指对型复合函数的零点问题 1．（2026·广东深圳·模拟预测）已知，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得的零点为，再由对数函数性质判断即可. 【详解】令的值即的零点． 而，即，， 而，所以， 所以函数的零点就是，． 要比较与的大小，等价于比较2与的大小，等价于比较与大小， 显然，，． 2．（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，将原函数化为二次函数，问题转化为 在正半轴上有两个不同实根，利用二次函数根的分布，由判别式、韦达定理建立不等式组求解即可． 【详解】设，则原函数化为， 令 ，则 有两个零点等价于方程 在 上有两个不同的实数解， 二次函数 开口向上，对称轴为 ，要使其在 上有两个零点，需满足，解得， 因此实数 的取值范围为 . 3．（2026·湖北黄冈·二模）已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数有两个零点，则方程有两个实根， 即有两个实根，即直线与函数的图象有两个交点. 结合函数的图象，可得， 所以的取值范围是. 4．（多选）（25-26高二下·山西运城·期末）关于函数，则下列选项正确的是（    ） A．图象关于直线对称 B．在单调递增 C．的值域为 D．有两个零点 【答案】AD 【分析】先得到函数定义域为，由，即可得到图象关于直线对称，即可验证A项；令内层函数， 时，单调递减，根据复合函数“同增异减”得到在单调递减，即可验证B项；先由复合函数的单调性原则得到函数的单调性，即可验证C项；令，解得，即可验证D项. 【详解】函数 需满足，即定义域为， 由对数的运算法则得到， 对于A项，因为， 所以，即图象关于直线对称，故A正确； 对于B项，令内层函数，开口向下，对称轴， 时，单调递增，时，单调递减， 因为外层函数在单调递增， 所以根据复合函数的单调性得到在单调递减，故B错误； 对于C项，根据复合函数的单调性得到在单调递增， 所以当时，函数有最大值， 又因为当或时，函数，， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D项，令，即，得到， 整理得到，解得， 所以函数有两个零点，故D正确. 5．（多选）（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．6个零点之和是6 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用函数的图象变换，得到函数的图象关于直线对称，令，得到关于的方程，结合二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数的图象，经过轴翻折变换，可得函数的图象， 再向右平移1个单位，可得的图象， 最终经过轴翻折变换，可得的图象，如图所示， 则函数的图象关于直线对称，令， 因为函数最小的零点为，且， 故当时，方程有4个零点， 所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则或， 由，可得或， 设的四个根从小到大依次为， 由函数的图象关于直线对称，可得， 所以的所有零点之和是6，故D正确； 关于的方程的两个实数根为和， 由韦达定理，得，，所以， 所以B，C正确，A错误. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性和单调性逐一分析选项即可. 【详解】选项A，在中，，因为，所以函数是偶函数，不符合题意，A错误； 选项B，在中，，因为，所以函数是奇函数， 因为函数和均在R上单调递减，所以函数在定义域R上单调递减，不符合题意，B错误； 选项C，在中，,因为，所以函数是偶函数，不符合题意，C错误； 选项D，在中，由，得解得，即定义域为，关于坐标原点对称， 因为，所以，所以函数是奇函数， 因为，所以函数在定义域上单调递增，符合题意，D正确． 2．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域是. 3．（25-26高一上·新疆喀什·期末）函数的零点为（   ） A．5 B．5或 C． D． 【答案】A 【分析】由方程求解零点. 【详解】由， 得，所以， 解得， 所以的零点为， 故选：A. 4．（2026·海南儋州·一模）若函数的零点为1，2，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的零点为1，2， 所以，. 所以不等式可化为. 所以所求不等式的解集为. 所以选项D正确. 5．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）是函数在区间上单调递增的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】先由复合函数单调性得出内层二次函数需单调递减且恒大于0的条件，从而得到函数递增的充要条件为 ；再将此范围与题干条件 比较，通过判断两者之间的推出关系确定条件类型． 【详解】设，则， 因为在定义域内单调递减，要使在上单调递增，需在上单调递减且恒大于0， 二次函数的图象开口向上，对称轴为，因为在上单调递减，所以， 又因为对任意恒成立，所以，即，解得， 因此，函数在区间上单调递增的充要条件为， 若，显然，所以必要性成立； 但不能保证，所以充分性不成立； 所以，“”是函数在上单调递增的必要不充分条件． 6．已知函数的最大值为2027，则的值为（    ） A． B． C．1 D．或 【答案】A 【详解】令， 因为单调递减， 又因为函数的最大值为2027， 则的最小值为， 所以，且当时有， 即得，解得或， 所以. 二、多选题 7．（26-27高三·全国·一轮复习）下列函数中符合在定义域上是单调递增的奇函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数奇偶性的定义及函数增减性分别判断即可． 【详解】对于A，的定义域为R，， 所以为奇函数，又与均在R上单调递增， 故在R上单调递增，故A正确； 对于B，在定义域上单调递增，且是非奇非偶函数，故B错误； 对于C，对函数，由得函数的定义域为，关于原点对称， ，所以函数为奇函数， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为函数的定义域为，该函数在其定义域上不具有单调性，故D错误． 8．（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．若，则的值域为 C．的图象关于直线对称 D．若，则的单调递减区间是 【答案】ACD 【分析】由对数型复合函数的性质，结合二次函数性质、复合函数“同增异减”规则、函数对称性判定方法逐一分析选项即可. 【详解】选项A：当时，对数真数需满足，因式分解得， 解得或，即定义域为，A正确； 选项B：当时，真数，为增函数， 故，值域为，不是，B错误； 选项C：， ， 即，故图象关于直线对称，C正确； 选项D：当时，定义域为， 内层函数在上单调递减，外层单调递增， 由复合函数“同增异减”规则，得的单调递减区间为，D正确. 9．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）下列说法正确的是（ ） A．函数的最小值为 B．函数的单调递减区间为 C．函数恒有意义，则实数的取值范围是 D．函数（且）在区间上单调递增，则实数取值范围为 【答案】BC 【分析】根据二次函数以及指数函数的单调性求解选项A.根据复合函数的单调性求解选项B.根据对数函数的定义域以及二次函数判别式求解选项C.根据对数函数以及一次函数的单调性，复合求解选项D. 【详解】选项A.设指数部分，则，函数是减函数，因此当取最大值时，取最小值. 最小值为，错误. 选项B.. 内层二次函数开口向下，对称轴，因此在上单调递减； 外层是增函数，的单调递减区间为，正确. 选项C.函数恒有意义等价于，对任意恒成立. 当时，真数为，恒成立； 当时，二次函数恒正需满足，解得. 综上，，正确. 选项D.内层函数是增函数，由复合函数单调性，外层也需递增，故； 要保证真数在上恒正：对所有成立，递增， 故最小值趋近于. 因此，错误. 三、填空题 10．（第03讲幂函数与二次函数（复习讲义）（全国通用）-2）函数的单调递增区间为___________. 【答案】 【分析】应用换元法结合对数函数单调性及复合函数单调法则计算判断求解. 【详解】令，，则在上递减. 在上递减，在上递增， 根据复合函数单调性“同增异减”原则， 当时，由，得， 所以函数的单调递增区间是. 11．（2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间为_______________． 【答案】和 【分析】使用对数型复合函数的单调性求解. 【详解】令，解得， 函数的定义域为， 令，当和时，是减函数， 当和时，是增函数， 因为是减函数， 所以的递增区间为和. 12．（25-26高一下·福建莆田·期末）已知函数，，则________． 【答案】 【分析】先化简原函数判断单调性，反解出关于的表达式，将转化为关于的函数，结合二次函数的最值性质即可求出最小值. 【详解】，因为在上单调递增，所以是上的单调递增函数，值域为. 由，设，则，结合值域得， 由，整理得，解得， 所以，同理可得 设， 令，由得，最大值为， 则是关于的减函数，当取最大值时，最小， . 四、解答题 13．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数，其中． (1)讨论函数的奇偶性； (2)当时，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，为偶函数；当时，为奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数； (2) 【分析】（1）应用奇函数及偶函数的定义计算，再应用特殊值法计算判断； （2）应用换元法计算，再结合指数函数及二次函数值域计算求解. 【详解】（1）因为的定义域为，所以， 当时，，为偶函数， 当时，，为奇函数， 当时，则， ，从而， 所以既不是奇函数也不是偶函数． （2）当时，，存在，使得成立， 化简可得，即在上有解， 令，因为，所以，即在上有解， ，因为， 所以实数的取值范围为． 14．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最大值为0，最小值为．求a的值． 【答案】 【分析】根据对数基本运算，化简函数，利用换元将函数改为二次函数形式，讨论a范围，求解即可. 【详解】因为，， 故函数， 令，则， 根据函数最大值为0，最小值为，可以得到， 最小值在时取得，此时， 最大值在或时取得，此时或， 当时，，即 因为时取得最小值，故不符合题意，故， 当时，，此时，最大值在区间端点处取得， 若在取得，则或，解得或， 当时，则，此时不在区间内，故不符合题意， 当时，则，此时在区间内，故符合题意， 若在取得，则或，解得或， 当时，则，此时不在区间内，故不符合题意， 当时，则，此时在区间内，故符合题意， 综上所述，. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $