第3章代数式典例剖析+跟踪训练-2026-2027学年人教版 数学七年级上册

**基本信息** 以“典例剖析+跟踪训练”为框架，聚焦代数式核心素养，系统整合列代数式、整体思想及新定义应用，形成“方法提炼-知识迁移-综合应用”的三阶训练体系。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例剖析|3题|列代数式规则、新定义问题转化、整体思想（代数式变形与整体代入）|从实际问题抽象代数式到新定义应用，再到数学思想提炼，构建“概念-应用-思想”逻辑链| |跟踪训练|19题|正反比例判断、代数式书写规范、整体代入求值|覆盖代数式表示、求值、实际应用等核心知识点，题型分层对应典例方法，强化知识迁移|

第3章代数式典例剖析+跟踪训练-2026-2027学年数学七年级上册人教版（2024） 典例剖析 1．（2025秋•红古区期末）某商店出售羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价120元，羽毛球每筒定价20元，促销期间有两种付费方式：A．买1副羽毛球拍赠送1筒羽毛球；B．羽毛球拍和羽毛球都按定价的九折付费．某球队打算在该商店购买6副羽毛球拍和x（x＞6）筒羽毛球． （1）用含x的代数式表示出球队按两种方式付费分别需付的金额． （2）当x＝35时，按哪种方式付费更划算？ 【思路剖析】（1）根据题意列得代数式即可； （2）将x＝35分别代入（1）中所列代数式运算后比较大小即可． 【解答】解：（1）按A方式付费需付：120×6+20（x﹣6）＝（20x+600）元， 按B方式付费需付：0.9×（120×6+20x）＝（18x+648）元； （2）当x＝35时， 按A方式付费需付：20×35+600＝1300（元）， 按B方式付费需付：18×35+648＝1278（元）， 因为1278＜1300， 所以按B方式付费更划算． 【画龙点睛】本题考查列代数式及代数式求值，结合已知条件列得正确的代数式是解题的关键． 2．（2025秋•道外区期末）阅读材料：若数对（m，n）使等式mn＝m2﹣2n+2成立，那么定义数对（m，n）为“关联”数对；例如：222﹣22，所以，m＝2，n就是一对“关联”数对，记作（2，）．根据材料内容解答下列问题： （1）判断（，）是不是“关联”数对，说明理由； （2）若（﹣1，a）是一对“关联”数对，求代数式a2﹣4a+4的值． 【思路剖析】（1）利用“关联”数对的定义解答即可； （2）利用“关联”数对的定义解答即可． 【解答】解：（1）（，）是“关联”数对．理由： ∵（），1， ∴（）， ∴（，）是“关联”数对． （2）∵（﹣1，a）是一对“关联”数对， ∴（﹣1）2﹣2a+2＝﹣a， ∴a＝3， ∴a2﹣4a+4＝9﹣12+4＝1． 【画龙点睛】本题主要考查了求代数式的值，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． 3．（2025秋•朝阳区校级期末）整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的思路剖析和改造，把某些式子看成一个整体进行处理． （1）若x2+x＝1，则x2+x+5＝　6　 ； （2）若代数式x2+x+1的值为5，求代数式﹣2x2﹣2x+3的值； （3）若x2+2xy＝﹣2，xy﹣y2＝4，求代数式3x2+5xy+y2的值． 【思路剖析】（1）将x2+x＝1整体代入x2+x+5进行求解； （2）先将﹣2x2﹣2x+3变形为﹣2（x2+x+1）+5，再将x2+x+1＝5整体代入求解； （3）先将代数式3x2+5xy+y2变形为3（x2+2xy）﹣（xy﹣y2），再将x2+2xy＝﹣2，xy﹣y2＝4整体代入进行求解． 【解答】解：（1）∵x2+x＝1， ∴x2+x+5＝1+5＝6， 故答案为：6； （2）∵﹣2x2﹣2x+3 ＝﹣2（x2+x+1）+2+3 ＝﹣2（x2+x+1）+5， ∴当x2+x+1＝5时， 原式＝﹣2×5+5 ＝﹣10+5 ＝﹣5； （3）∵3x2+5xy+y2 ＝3x2+6xy﹣xy+y2 ＝3（x2+2xy）﹣（xy﹣y2）， ∴当x2+2xy＝﹣2，xy﹣y2＝4时， 原式＝3×（﹣2）﹣4 ＝﹣6﹣4 ＝﹣10． 【画龙点睛】此题考查了代数式的求值能力，关键是能准确理解并运用整体思想进行求解． 跟踪训练 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•东莞市校级期末）甲地到乙地的路程一定，行驶速度和行驶时间的关系（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 2．（2025秋•海门区期末）数a与3的和的2倍，可列代数式为（　　） A．2（a+3） B．2a+3 C．3a+2 D．3（a+2） 3．（2025秋•六盘水期末）一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，这个两位数用含有字母的式子表示是（　　） A．ab B．10a+b C．10b+a D．10（a+b） 4．（2025秋•澄迈县期末）已知2x﹣y＝﹣3，则6﹣4x+2y的值是（　　） A．0 B．3 C．﹣9 D．12 5．（2025秋•绥江县期末）若b，c互为相反数，|a|＝2，则a﹣2（b+c）的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0 6．（2025秋•黔南州期末）按如图所示的程序计算，当输入x的值为2时，则输出的结果为（　　） A．10 B．11 C．56 D．112 7．（2025秋•山西校级期末）研学期间小明跟同学在某餐厅吃饭，如图所示的是此餐厅的菜单，征求所有同学意见后他们一共点了16份意大利面、x杯饮料、y份沙拉，则他们点A餐（　　） A餐：1份意大利面 B餐：1份意大利面+1杯饮料 C餐：1份意大利面+1杯饮料+1份沙拉 A．（16﹣x）份 B．（16﹣y）份 C．（16﹣x+y）份 D．（16﹣x﹣y）份 8．（2025秋•福田区期末）在校园安全建设中，需对校园井盖（如图1）周边做防滑彩绘，井盖是半径为r的圆，彩绘外边界是边长为a的正方形（如图2），用含a，r的代数式表示防滑彩绘（阴影部分）的面积为（　　） A．a2 B．πr2 C．a2﹣πr2 D．a2+πr2 9．（2025秋•南开区期末）小明在超市买回若干个相同的纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起．如图①，3个纸杯的高度为10cm；如图②，5个纸杯的高度为14cm．若把n个这样的纸杯叠放在一起，则高度为（　　） A．（2n+4）cm B．（2n+3）cm C．（n+10）cm D．（n+8）cm 10．（2025秋•府谷县期末）已知a，b互为倒数，x、y互为相反数，n的绝对值是2，m是最大的负整数，则代数式的值为（　　） A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．7 二．填空题（共5小题） 11．（2025秋•大祥区校级期末）下列式子中，①；②；③xy÷6；④2x×y符合代数式书写的是　 　 ． 12．（2025秋•武威期末）一个长方形周长为24，若该长方形一边用x表示，则长方形的面积可以表示为　 　 ． 13．（2025秋•秦都区校级期末）已知m+3n＝2，则2m+6n+1的值为　 　 ． 14．（2025秋•大理州期末）若|a﹣1|+|b+3|＝0，则a+b＝　 　 ． 15．（2025秋•旬阳市期末）某农户通过电商销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过电商售出x个布老虎，则他的利润增加了　 　 元．（用含x的代数式表示） 三．解答题（共4小题） 16．（2025秋•中山区期末）某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为am，半圆形弯道的直径为bm． （1）这条跑道的周长为　 　 m（用含a，b的代数式表示）； （2）当a＝50m，b＝30m时，求这条跑道的周长．（π取3.14，结果取整数） 17．（2025秋•惠来县期末）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知：a2+2a＝1，则代数式2a2+4a+4＝2（a2+2a）+4＝2×1+4＝6．请你根据以上材料解答以下问题： （1）若x2﹣4x＝1，则2x2﹣8x﹣1＝ 　 　 ； （2）当x2+2x﹣2＝0，求3﹣4x﹣2x2的值； （3）当x＝1时，代数式ax5+bx3+cx﹣3＝7．当x＝﹣1时，代数式ax5+bx3+cx﹣3的值是多少？ 18．（2025秋•绥化校级期末）某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元．商场决定在国庆节期间开展促销活动，活动期间向顾客提供两种优惠方案． 方案一：买一套西装送一条领带． 方案二：西装和领带都按定价的90%付款． 现某顾客要到商场购买西装20套，领带x条（x＞20）． （1）若顾客按方案一购买，需付款　 　 元；若顾客按方案二购买，需付款　 　 元（用含x的式子表示）． （2）当x＝30时，请通过计算说明此时按哪种方案购买更划算． （3）当x＝30时，你能给出一种更省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算此方案需要付款多少元． 19．（2025秋•前郭县期末）观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答下列问题： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … ﹣2x+4 … 8 6 4 2 a … 3x﹣5 … ﹣11 ﹣8 ﹣5 ﹣2 b … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知a＝　 　 ；b＝　 　 ； 【总结规律】 （2）表中﹣2x+4的值的变化规律：x的值每增加1，﹣2x+4的值就减少2，类似地，3x﹣5的值的变化规律：　 　 ； 【问题解决】 （2）请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小5，且当x＝0时，代数式的值为6． 第3章代数式典例剖析+跟踪训练-2026-2027学年数学七年级上册人教版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•东莞市校级期末）甲地到乙地的路程一定，行驶速度和行驶时间的关系（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 【解答】解：∵由题意可得：行驶速度和行驶时间的乘积为定值， 即行驶速度和行驶时间的关系成反比例． 故选：B． 2．（2025秋•海门区期末）数a与3的和的2倍，可列代数式为（　　） A．2（a+3） B．2a+3 C．3a+2 D．3（a+2） 【解答】解：数a与3的和的2倍，可列代数式为2（a+3）． 故选：A． 3．（2025秋•六盘水期末）一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，这个两位数用含有字母的式子表示是（　　） A．ab B．10a+b C．10b+a D．10（a+b） 【解答】解：根据十位数字10a；个位数字b可知： 十位数字a表示a个十，即10a；个位数字b表示b个一，即为b， ∴这个两位数为10a+b． 故选：B． 4．（2025秋•澄迈县期末）已知2x﹣y＝﹣3，则6﹣4x+2y的值是（　　） A．0 B．3 C．﹣9 D．12 【解答】解：∵6﹣4x+2y＝﹣4x+2y+6， ∴当2x﹣y＝﹣3时，原式＝﹣4x+2y+6＝﹣2（2x﹣y）+6＝﹣2×（﹣3）+6＝12． 故选：D． 5．（2025秋•绥江县期末）若b，c互为相反数，|a|＝2，则a﹣2（b+c）的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0 【解答】解：∵b，c互为相反数，|a|＝2， ∴a＝±2，b+c＝0， ∴a﹣2（b+c）＝﹣2﹣0＝﹣2或a﹣2（b+c）＝2﹣0＝2， ∴若b，c互为相反数，|a|＝2，则a﹣2（b+c）的值是2或﹣2， 故选：C． 6．（2025秋•黔南州期末）按如图所示的程序计算，当输入x的值为2时，则输出的结果为（　　） A．10 B．11 C．56 D．112 【解答】解：当x＝2时，5x+1＝5×2+1＝11， 11＜50； 当x＝11时，5x+1＝5×11+1＝56， 56＞50， ∴输出结果为56． 故选：C． 7．（2025秋•山西校级期末）研学期间小明跟同学在某餐厅吃饭，如图所示的是此餐厅的菜单，征求所有同学意见后他们一共点了16份意大利面、x杯饮料、y份沙拉，则他们点A餐（　　） A餐：1份意大利面 B餐：1份意大利面+1杯饮料 C餐：1份意大利面+1杯饮料+1份沙拉 A．（16﹣x）份 B．（16﹣y）份 C．（16﹣x+y）份 D．（16﹣x﹣y）份 【解答】解：根据点的饮料能确定在B和C餐中点了x份意大利面可知： x杯饮料，则在B和C餐中点了x份意大利面． ∴点A餐为（16﹣x）份． 故选：A． 8．（2025秋•福田区期末）在校园安全建设中，需对校园井盖（如图1）周边做防滑彩绘，井盖是半径为r的圆，彩绘外边界是边长为a的正方形（如图2），用含a，r的代数式表示防滑彩绘（阴影部分）的面积为（　　） A．a2 B．πr2 C．a2﹣πr2 D．a2+πr2 【解答】解：圆的面积为：πr2， 正方形的面积为：a2， ∴阴影部分的面积为a2﹣πr2， 故选：C． 9．（2025秋•南开区期末）小明在超市买回若干个相同的纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起．如图①，3个纸杯的高度为10cm；如图②，5个纸杯的高度为14cm．若把n个这样的纸杯叠放在一起，则高度为（　　） A．（2n+4）cm B．（2n+3）cm C．（n+10）cm D．（n+8）cm 【解答】解：由题意可得：每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高：（14﹣10）÷（5﹣3）＝2cm， ∴把n个这样的纸杯叠放在一起，其高度为：10+（n﹣3）×2＝（2n+4）cm． 故选：A． 10．（2025秋•府谷县期末）已知a，b互为倒数，x、y互为相反数，n的绝对值是2，m是最大的负整数，则代数式的值为（　　） A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．7 【解答】解：由题意可得： ∴ab＝1，x+y＝0，m＝﹣1，n＝±2， ∴n2＝4． 代入代数式， 得． 故选C． 二．填空题（共5小题） 11．（2025秋•大祥区校级期末）下列式子中，①；②；③xy÷6；④2x×y符合代数式书写的是　①　 ． 【解答】解：根据代数式书写要求逐项分析判断如下： ①符合代数式书写，符合题意； ②原表达式不符合代数式书写，应写成，不符合题意； ③原表达式不符合代数式书写，应写成，不符合题意； ④原表达式不符合代数式书写，应写成2xy，不符合题意； 故答案为：①． 12．（2025秋•武威期末）一个长方形周长为24，若该长方形一边用x表示，则长方形的面积可以表示为x（12﹣x）　 ． 【解答】解：∵长方形周长为24，一边长为x， ∴另一边长为， ∴若该长方形一边用x表示，则长方形面积为x（12﹣x）． 故答案为：x（12﹣x）． 13．（2025秋•秦都区校级期末）已知m+3n＝2，则2m+6n+1的值为　5　 ． 【解答】解：当m+3n＝2时，原式＝2（m+3n）+1＝2×2+1＝5． 故答案为：5． 14．（2025秋•大理州期末）若|a﹣1|+|b+3|＝0，则a+b＝　﹣2　 ． 【解答】解：∵|a﹣1|≥0，|b+3|≥0，|a﹣1|+|b+3|＝0， ∴a﹣1＝0，b+3＝0， ∴a＝1，b＝﹣3， ∴a+b＝1﹣3＝﹣2， 故答案为：﹣2． 15．（2025秋•旬阳市期末）某农户通过电商销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过电商售出x个布老虎，则他的利润增加了　60x 元．（用含x的代数式表示） 【解答】解：（80﹣20）x＝60x（元）， 故答案为：60x． 三．解答题（共4小题） 16．（2025秋•中山区期末）某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为am，半圆形弯道的直径为bm． （1）这条跑道的周长为　（2a+πb）　 m（用含a，b的代数式表示）； （2）当a＝50m，b＝30m时，求这条跑道的周长．（π取3.14，结果取整数） 【解答】解：（1）根据周长为两条a边长加上一个直径为b的周长可得：（2a+πb）m， 故答案为：（2a+πb）； （2）当a＝50m，b＝30m，π取3.14时， 2a+πb ＝2×50+3.14×30 ＝100+94.2 ≈194（m）． 答：这条跑道的周长为194m． 17．（2025秋•惠来县期末）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知：a2+2a＝1，则代数式2a2+4a+4＝2（a2+2a）+4＝2×1+4＝6．请你根据以上材料解答以下问题： （1）若x2﹣4x＝1，则2x2﹣8x﹣1＝ 　1　 ； （2）当x2+2x﹣2＝0，求3﹣4x﹣2x2的值； （3）当x＝1时，代数式ax5+bx3+cx﹣3＝7．当x＝﹣1时，代数式ax5+bx3+cx﹣3的值是多少？ 【解答】解：（1）2x2﹣8x﹣1＝ 2（x2﹣4x）﹣1． 当x2﹣4x＝1时， 原式＝2×1﹣1＝2﹣1＝1． 故答案为：1． （2）3﹣4x﹣2x2 ＝3﹣2（x2+2x）． 当x2+2x﹣2＝0，即x2+2x＝2时， 原式＝3﹣2×2＝3﹣4＝﹣1． （3）∵当x＝1时，代数式ax2+bx3+cx﹣3＝7． ∴a+b+c＝10． 当x＝﹣1时，代数式ax5+bx3+cx﹣3 ＝﹣a﹣b﹣c﹣3 ＝﹣（a+b+c）﹣3． 当a+b+c＝10时， 原式＝﹣10﹣3＝﹣13． 18．（2025秋•绥化校级期末）某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元．商场决定在国庆节期间开展促销活动，活动期间向顾客提供两种优惠方案． 方案一：买一套西装送一条领带． 方案二：西装和领带都按定价的90%付款． 现某顾客要到商场购买西装20套，领带x条（x＞20）． （1）若顾客按方案一购买，需付款　（200x+16000）　 元；若顾客按方案二购买，需付款　（180x+18000）　 元（用含x的式子表示）． （2）当x＝30时，请通过计算说明此时按哪种方案购买更划算． （3）当x＝30时，你能给出一种更省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算此方案需要付款多少元． 【解答】解：（1）根据两种方案的优惠方法，列出代数式可得： 若顾客按方案一购买，需付款1000×20+200（x﹣20）＝200x+16000（元）， 若顾客按方案二购买，需付款（1000×20+200x）×90%＝180x+18000（元）， 故答案为：（200x+16000），（180x+18000）； （2）按方案一购买，需付款200x+16000＝22000（元）， 按方案二购买，需付款180×30+18000＝23400（元）， ∵22000＜23400， ∴当x＝30时，按方案一购买更划算； （3）30﹣20＝10（条）， 先按方案一购买20套西装赠20条领带，再按方案二购买10条领带， 需要付款1000×20+200×10×90%＝21800（元）， ∴更省钱的方案为先按方案一购买20套西装赠20条领带，再按方案二购买10条领带，方案需要付款21800元． 19．（2025秋•前郭县期末）观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答下列问题： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … ﹣2x+4 … 8 6 4 2 a … 3x﹣5 … ﹣11 ﹣8 ﹣5 ﹣2 b … 【初步感知】 （1）根据表中信息可知a＝　0　 ；b＝　1　 ； 【总结规律】 （2）表中﹣2x+4的值的变化规律：x的值每增加1，﹣2x+4的值就减少2，类似地，3x﹣5的值的变化规律：x的值每增加1，3x﹣5的值就增加3　 ； 【问题解决】 （2）请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小5，且当x＝0时，代数式的值为6． 【解答】解：（1）当x＝2时， ﹣2x+4＝﹣×2+4＝0， ∴a＝0； 当x＝2时， 3x﹣5＝3×2﹣5＝1， ∴b＝1； 故答案为：0；1； （2）观察表格中的数据，当x的值每增加1，3x﹣5的值就增加3， 故答案为：当x的值每增加1，3x﹣5的值就增加3． （3）∵x的值每增加1，代数式的值就减小5， ∴所求代数式中x的系数为负数，且是5的倍数， ∵当x＝0时，代数式的值为6， ∴所求代数式的常数项为6． ∴所求代数式为：﹣5x+6（答案不唯一）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $