第2章有理数的运算典例剖析+跟踪训练-2026-2027学年人教版 数学七年级上册

**基本信息** 以“典例剖析-方法提炼-跟踪训练”为框架，系统整合有理数运算的法则应用、技巧迁移与实际建模，突出运算能力与应用意识培养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例剖析|3道（含混合运算、实际应用、新定义）|运算法则（先乘方再算乘除最后算加减）、拆项法（乘法分配律）、基准数法（正负数意义）|从基础运算（加减乘除）到实际情境建模（跳绳成绩、快递分拣），再到新定义问题（相对关系值），形成“法则-技巧-应用”递进逻辑| |跟踪训练|18道（8选择+6填空+4解答）|科学记数法、绝对值性质、相反数与倒数应用|覆盖概念辨析（绝对值、乘方符号）、运算强化（混合运算）、跨情境应用（历史数据、温度差），强化知识网络构建与数学思维迁移|

第2章有理数的运算典例剖析+跟踪训练-2026-2027学年数学七年级上册人教版（2024） 典例剖析 1．（2025秋•清苑区期末）计算： （1）27﹣18+（﹣7）﹣32； （2）． 【思路剖析】（1）根据有理数的加减法法则进行计算即可； （2）先算乘方再算乘除最后算加减即可． 【解答】解：（1）原式＝27﹣18﹣7﹣32 ＝27﹣7﹣18﹣32 ＝20﹣50 ＝﹣30； （2）原式＝16÷（﹣8）﹣2 ＝﹣2﹣2 ＝﹣4． 【画龙点睛】本题考查了有理数的混合运算，关键是熟练应用运算法则进行计算． 2．（2025秋•庐阳区校级期末）合肥市第四十五中学为了增强学生身体素质，增强校园体育文化氛围，举行了1分钟单人跳绳比赛，若以200个为基准，超过为正，不足为负，前8名孩子的成绩记录如下：25，18，6，3，﹣2，﹣6，﹣8，﹣12． （1）求第一名比第8名同学多跳了多少个？ （2）求这8名孩子平均每个孩子每分钟跳多少个？ 【思路剖析】（1）先算出第一名和第八名的实际跳绳数，再相减得到两人的数量差； （2）先计算8名孩子的跳绳成绩总和，再结合基准数求出总跳绳数，然后除以人数得到平均数． 【解答】解：（1）第1名的实际跳绳数为200+25＝225个，第8名的实际跳绳数为200﹣12＝188个． 则第1名比第8名同学多跳了225﹣188＝37（个）． 答：37个． （2）先计算8名孩子的跳绳成绩总和，再结合基准数求出总跳绳数，然后除以人数可得： 25+18+6+3﹣2﹣6﹣8﹣12＝24， 前8名孩子的基准总个数为200×8＝1600（个）， 则总跳绳数为1600+24＝1624（个）， 故8名孩子平均跳绳数为（个）． 答：203个． 【画龙点睛】本题考查正负数的实际意义，有理数的加减运算，理解基准数是解题关键． 3．（2025秋•清苑区期末）学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算．看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． （1）淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是C ． A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．加法结合律 （2）请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 【思路剖析】（1）根据乘法对加法的分配律进行求解即可； （2）利用拆项法和乘法对加法的分配律，进行计算即可． 【解答】解：（1）她们运用的运算律是乘法对加法的分配律， 故选：C； （2）原式 ＝﹣1300+2 ＝﹣1298． 【画龙点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法运算律，解题的关键是掌握以上运算法则． 跟踪训练 一．选择题（共8小题） 1．（2026•槐荫区一模）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的九三阅兵中，受阅官兵总人数约为12000人．数据“12000”用科学记数法表示为（　　） A．1.2×103 B．12×103 C．0.12×105 D．1.2×104 2．（2026•南山区校级一模）小明家的冰箱冷藏室温度是4℃，冷冻室的温度是﹣12℃，则他家的冰箱冷藏室比冷冻室温度高（　　） A．8℃ B．16℃ C．﹣8℃ D．﹣16℃ 3．（2026•河北区一模）﹣32的结果等于（　　） A．9 B．﹣9 C．﹣1 D．﹣6 4．（2026•泽州县模拟）下列数中与﹣2互为倒数的是（　　） A．﹣2 B． C． D．2 5．（2025秋•岳阳县期末）我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为（+1）+（﹣2）＝﹣1，由此推算图2可列的算式为（　　） A．（﹣6）+（+8）＝2 B．（+6）+（﹣8）＝﹣2 C．（﹣6）﹣（+8）＝﹣14 D．（+6）﹣（﹣8）＝14 6．（2025秋•越秀区期末）有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论： ①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 7．（2025秋•博兴县期末）下列说法不正确的是（　　） A．一个数的绝对值一定不小于它本身 B．互为相反数的两个数的绝对值相等 C．任何数的绝对值都不是负数 D．任何有理数的绝对值都是正数 8．（2025秋•兰溪市期末）下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（　　） A．23和32 B．﹣33和（﹣3）3 C．﹣22和（﹣2）2 D．﹣|﹣2|和|﹣2| 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•启东市期末）节约是一种传统美德，节约也是一种智慧，据不完全统计，全国每年浪费粮食总量折合粮食可养活约350000000人，用科学记数法表示为 　 　 ． 10．（2025秋•武汉期末）近似数3.14精确到　 　 位． 11．（2025秋•岑溪市期末）计算56÷（﹣14）＝　 　 ． 12．（2025秋•成华区期末）若a与b互为相反数，c与d互为倒数，则2026（a+b）﹣cd＝　 　 ． 13．（2025秋•成华区期末）若有理数a，b满足：|b﹣4|+（a+3）2＝0，则ab＝ 　 　 ． 14．（2025秋•玉溪期末）对于有理数a，b，规定a⊕b＝a﹣2b，则5⊕（﹣3）的值为　 　 ． 三．解答题（共4小题） 15．（2025秋•冷水江市期末）计算： （1）； （2）（﹣2）3÷4﹣（﹣1）2021+|﹣6|． 16．（2025秋•高陵区期末）已知|a|＝5，|b|＝3，且ab＞0，a+b＜0，求a+b的值． 17．（2025秋•射洪市校级月考）对于有理数a，b，n，d，若|a﹣n|+|b﹣n|＝d，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“相对关系值”为3． （1）﹣4和3关于1的“相对关系值”为　 　 ； （2）若a和2关于1的“相对关系值”为5，求a的值； （3）若a0和a1关于1的“相对关系值”为1．则a0+a1的最大值为　 　 ． 18．（2025秋•伊犁州期末）快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．每台分拣机器人每小时可以分拣1.8万件包裹，大大提高了分拣效率．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入．如表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量记为正，未达计划量记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（万件） +4 ﹣3 ﹣4 +5 ﹣1 +8 ﹣6 （1）该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期　 　 ，最少的一天是星期　 　 ，最多的一天比最少的一天多分拣　 　 万件包裹． （2）该仓库本周实际一共分拣包裹多少万件（列式并计算）？ 第2章有理数的运算典例剖析+跟踪训练-2026-2027学年数学七年级上册人教版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2026•槐荫区一模）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的九三阅兵中，受阅官兵总人数约为12000人．数据“12000”用科学记数法表示为（　　） A．1.2×103 B．12×103 C．0.12×105 D．1.2×104 【解答】解：12000＝1.2×104． 故选：D． 2．（2026•南山区校级一模）小明家的冰箱冷藏室温度是4℃，冷冻室的温度是﹣12℃，则他家的冰箱冷藏室比冷冻室温度高（　　） A．8℃ B．16℃ C．﹣8℃ D．﹣16℃ 【解答】解：4﹣（﹣12） ＝4+12 ＝16（℃）， 故选：B． 3．（2026•河北区一模）﹣32的结果等于（　　） A．9 B．﹣9 C．﹣1 D．﹣6 【解答】解：原式＝﹣3×3＝﹣9， 故选：B． 4．（2026•泽州县模拟）下列数中与﹣2互为倒数的是（　　） A．﹣2 B． C． D．2 【解答】解：﹣2互为倒数的是， 故选：B． 5．（2025秋•岳阳县期末）我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图1可列式计算为（+1）+（﹣2）＝﹣1，由此推算图2可列的算式为（　　） A．（﹣6）+（+8）＝2 B．（+6）+（﹣8）＝﹣2 C．（﹣6）﹣（+8）＝﹣14 D．（+6）﹣（﹣8）＝14 【解答】解：6个小棍正放表示6，8个小棍斜放表示﹣8， 因此图2可列的算式为（+6）+（﹣8）＝﹣2， 故选：B． 6．（2025秋•越秀区期末）有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论： ①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【解答】解：根据图示，可得a＜0，b＞0，|a|＜b， ∴①b﹣a＞0，故正确； ②|a|＜|b|，故正确； ③a+b＞0，故正确； ④0，故错误． ∴正确的是①②③． 故选：B． 7．（2025秋•博兴县期末）下列说法不正确的是（　　） A．一个数的绝对值一定不小于它本身 B．互为相反数的两个数的绝对值相等 C．任何数的绝对值都不是负数 D．任何有理数的绝对值都是正数 【解答】解：A、一个数的绝对值一定不小于它本身，正确，故本选项错误； B、互为相反数的两个数的绝对值相等，正确，故本选项错误； C、任何数的绝对值都不是负数，正确，故本选项错误； D、任何有理数的绝对值都是正数，错误，0的绝对值是0，0既不是正数也不是负数，故本选项正确． 故选：D． 8．（2025秋•兰溪市期末）下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（　　） A．23和32 B．﹣33和（﹣3）3 C．﹣22和（﹣2）2 D．﹣|﹣2|和|﹣2| 【解答】解：A．23＝8，32＝9， ∴23≠32，故此选项不符合题意； B．﹣33＝﹣27，（﹣3）3＝﹣27， ∴﹣33＝（﹣3）3，故此选项符合题意； C．﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4， ∴﹣22≠（﹣2）2，故此选项不符合题意； D．﹣|﹣2|＝﹣2，|﹣2|＝2， ∴﹣|﹣2|≠|﹣2|，故此选项不符合题意； 故选：B． 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•启东市期末）节约是一种传统美德，节约也是一种智慧，据不完全统计，全国每年浪费粮食总量折合粮食可养活约350000000人，用科学记数法表示为 　3.5×108 ． 【解答】解：350000000＝3.5×108． 故答案为：3.5×108． 10．（2025秋•武汉期末）近似数3.14精确到　百分　 位． 【解答】解：根据精确度的概念，知近似数3.14精确到了百分位． 故答案为百分． 11．（2025秋•岑溪市期末）计算56÷（﹣14）＝　﹣4　 ． 【解答】解：56÷（﹣14）． 故答案为：﹣4． 12．（2025秋•成华区期末）若a与b互为相反数，c与d互为倒数，则2026（a+b）﹣cd＝　﹣1　 ． 【解答】解：∵a和b互为相反数，c和d互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1， ∴2026（a+b）﹣cd＝2026×0﹣1＝﹣1． 故答案为：﹣1． 13．（2025秋•成华区期末）若有理数a，b满足：|b﹣4|+（a+3）2＝0，则ab＝ 　﹣12　 ． 【解答】解：∵|b﹣4|+（a+3）2＝0， ∴b﹣4＝0，a+3＝0， ∴a＝﹣3，b＝4， ∴ab＝﹣3×4＝﹣12． 故答案为：﹣12． 14．（2025秋•玉溪期末）对于有理数a，b，规定a⊕b＝a﹣2b，则5⊕（﹣3）的值为　11　 ． 【解答】解：∵a⊕b＝a﹣2b， ∴5⊕（﹣3） ＝5﹣2×（﹣3） ＝5+6 ＝11， 故答案为：11． 三．解答题（共4小题） 15．（2025秋•冷水江市期末）计算： （1）； （2）（﹣2）3÷4﹣（﹣1）2021+|﹣6|． 【解答】解：（1）原式 ＝4﹣12+10 ＝2； （2）原式＝﹣8÷4﹣（﹣1）+6 ＝﹣2+1+6 ＝5． 16．（2025秋•高陵区期末）已知|a|＝5，|b|＝3，且ab＞0，a+b＜0，求a+b的值． 【解答】解：∵|b|＝3，|a|＝5， ∴b＝±3，a＝±5， ∵a+b＜0，ab＞0， ∴b＝﹣3，a＝﹣5， ∴a+b＝（﹣5）+（﹣3）＝﹣8． 17．（2025秋•射洪市校级月考）对于有理数a，b，n，d，若|a﹣n|+|b﹣n|＝d，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“相对关系值”为3． （1）﹣4和3关于1的“相对关系值”为　7　 ； （2）若a和2关于1的“相对关系值”为5，求a的值； （3）若a0和a1关于1的“相对关系值”为1．则a0+a1的最大值为　3　 ． 【解答】解：（1）由题知，|﹣4﹣1|+|3﹣1|＝|﹣5|+|2|＝5+2＝7， ∴﹣4和3关于1的“相对关系值”为7． 故答案为：7； （2）根据“相对关系值”的定义可知，|a﹣1|+|2﹣1|＝5， 当a＜1时，去绝对值，得1﹣a+1＝5， 即2﹣a＝5， 解得a＝﹣3， 当a＞1时，则a﹣1+1＝5， 解得a＝5， 故a的值为﹣3或5； （3）根据“相对关系值”的定义可知，|a0﹣1|+|a1﹣1|＝1， 分四种情况： 当a0≥1，a1≥1时，a0﹣1+a1﹣1＝1，则a0+a1＝3； 当a0≥1，a1＜1时，a0﹣1+1﹣a1＝1，则a0﹣a1＝1， 得到a0+a1＝1+2a1＜3； 当a0＜1，a1≥1时，1﹣a0+a1﹣1＝1则a1﹣a0＝1 得到a0+a1＝1+2a0＜3； 当a0＜1，a1＜1时，1﹣a0+1﹣a1＝1，则a0+a1＝1＜3， 由此可知a0+a1的最大值为3． 故答案为：3． 18．（2025秋•伊犁州期末）快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．每台分拣机器人每小时可以分拣1.8万件包裹，大大提高了分拣效率．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入．如表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量记为正，未达计划量记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（万件） +4 ﹣3 ﹣4 +5 ﹣1 +8 ﹣6 （1）该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期　六　 ，最少的一天是星期　日　 ，最多的一天比最少的一天多分拣　14　 万件包裹． （2）该仓库本周实际一共分拣包裹多少万件（列式并计算）？ 【解答】解：（1）根据正负数的意义求解可知： 这些数字中，8是最大的，﹣6是最小的， 故该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期六，最少的一天是星期日， 8﹣（﹣6）＝14， 故答案为：六；日；14． （2）先求总的增减，再求总和可得： 20×7+4﹣3﹣4+5﹣1+8﹣6＝143（万件）， 答：该仓库本周实际一共分拣包裹143万件． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $