第一章 有理数（五大考点+五大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材浙教版七年级上册

该初中数学第一章“有理数”知识清单系统梳理了有理数的基础概念与应用，涵盖从自然数到有理数的概念拓展、数轴三要素及应用、相反数与绝对值的定义性质、有理数大小比较方法，搭建从概念理解到性质应用再到综合辨析的递进式学习支架。 清单采用“知识点系统梳理+易错点专项突破”双模块设计，知识点按定义、分类、性质三级呈现，如有理数两种分类方式对比培养抽象能力。易错点标注“本章最高频易错”等提示，绝对值性质强调“结果非负”及“双解问题”，结合数轴几何直观。配套“对点训练”和综合练习，如相反数化简题、绝对值最小值问题发展推理意识，满足差异化学习需求，教师可用于课堂检测，学生自主复习高效便捷。

第一章 有理数 知识点一・从自然数到有理数 1. 自然数：0,1,2,3……，用于计数、排序、测量。 2. 正数：大于 0 的数，前面 “+” 可省略；负数：小于 0 的数，前面带 “−”。 3. 相反意义的量：用正负数表示，如上升为正，下降为负。 4. 有理数定义：整数和分数统称为有理数。 5. 有理数两种分类 ①按定义分：整数（正整数、0、负整数）；分数（正分数、负分数） ②按正负分：正有理数、0、负有理数 备注：有限小数、无限循环小数属于分数，是有理数；π 不是有理数 知识点二・数轴 1. 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 2. 有理数和数轴：任何有理数都可以用数轴上一个点来表示，但数轴上的点不一定是有理数。 3. 数轴性质：数轴上右边的数总比左边的数大。 知识点三・相反数 1. 定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0 的相反数是 0。 2. 几何意义：数轴上互为相反数的两个点，位于原点两侧，到原点距离相等。 3. 化简：-a表示a的相反数。 知识点四・绝对值 1. 定义：数轴上一个数对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。 2. 代数法则： 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。 3. 性质：|a|≥0，绝对值一定是非负数。 知识点五・有理数大小比较 1. 数轴比较法：右边＞左边。 2. 正负比较：正数＞0＞负数。 3. 两个负数比较：绝对值大的反而小。 易错点1·有理数概念与分类 易错提醒 1.0 既不是正数，也不是负数，0是整数。 2.有限小数、无限循环小数属于分数，是有理数;无限不循环小数(如 π)不是有理数。 3.“非负整数”包含 0 和正整数，容易漏掉 0。 【对点训练】1．在，0，， ， ，中，有理数的个数有（    ） A．3个 B．6个 C．5个 D．4个 【对点训练】2．下列说法正确的是（     ） A．正数和负数统称为有理数 B．整数分为正整数和负整数 C．0是整数也是有理数 D．小数都是分数 【对点训练】3．把下列各数分别填在相应的集合内． －17、 25%、－4.7、 、3.14 、0、、 、2017、 －19 正数集：__________________________ 负数集：__________________________ 分数集：_________________________ 有理数集：________________________ 易错点2·数轴相关误区 易错提醒 1.画数轴必须同时具备原点、正方向、单位长度三要素。 2.数轴上的点不全是有理数，只能说所有有理数都可以在数轴上表示, 【对点训练】1．如图所示数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【对点训练】2．如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【对点训练】3．如图，点、点在一条不完整的数轴上，点在点的左边，且点与点到原点的距离相等，若点表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 易错点3·相反数与多重符号化简 易错提醒 1.相反数只看符号，数字不变;0 的相反数是 0。 2.多重符号化简:负号个数，奇负偶正。 【对点训练】1．的相反数是（     ） A． B． C． D． 【对点训练】2．下列各数中，与互为相反数的是（     ）． A．3 B． C． D． 【对点训练】3．有下列各数：，，，，．其中，正数的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 易错点4·绝对值概念（本章最高频易错） 易错提醒 1.绝对值是距离，结果一定≥0，不可能负数。 2.已知 æ = a(a > 0)，x有两个解，互为相反数，极易漏解。 3.去掉绝对值符号，先要判断绝对值内部式子正负，不能直接去掉符号。 【对点训练】1．若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 【对点训练】2．数轴上到原点的距离等于的点表示的有理数是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【对点训练】3．已知是有理数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【对点训练】4．阅读：表示4与1的差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与的差的绝对值，也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)_________，_________； (2)利用数轴找出所有符合条件的整数，使得； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数，使得． 易错点5·有理数大小比较 易错提醒 两个负数比较，绝对值越大，数反而越小，经常直接拿绝对值大小当作原数大小。 【对点训练】1．比较大小：_____． 【对点训练】2．比较大小：_____， _____ ．（填、或） 【对点训练】3．数轴上表示的点到原点的距离是（     ） A． B． C． D． 1．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．在下列各数中，比小的数是（     ）． A． B． C． D． 3．实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（     ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C．1.5 D．1.6 5．___________． 6．数轴上点到原点的距离是3，点到原点的距离是4，则线段________． 7．小明不慎将墨水滴在数轴上，则被墨迹盖住部分的整数的个数为______个． 8．绝对值不大于1的整数有____________． 9．比较大小：________．(填“”“”或“”) 10．数轴上有 A、B、C 三个点，点A在点B的左边相距2018个单位，且它们表示的数互为相反数，点A、C相距10个单位，则点 C 表示的数为______． 11．把下列各数填入相应的括号内：，，，0，，，，， 正数集： 整数集： 负分数集： 有理数集： 12．阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A、B两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是______；数轴上表示x与2的两点之间的距离是______； (2)若，求m的值； (3)当x在1和之间时，若代数式的最小值是5，请直接写出a的值． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 知识点一・从自然数到有理数 1. 自然数：0,1,2,3……，用于计数、排序、测量。 2. 正数：大于 0 的数，前面 “+” 可省略；负数：小于 0 的数，前面带 “−”。 3. 相反意义的量：用正负数表示，如上升为正，下降为负。 4. 有理数定义：整数和分数统称为有理数。 5. 有理数两种分类 ①按定义分：整数（正整数、0、负整数）；分数（正分数、负分数） ②按正负分：正有理数、0、负有理数 备注：有限小数、无限循环小数属于分数，是有理数；π 不是有理数 知识点二・数轴 1. 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 2. 有理数和数轴：任何有理数都可以用数轴上一个点来表示，但数轴上的点不一定是有理数。 3. 数轴性质：数轴上右边的数总比左边的数大。 知识点三・相反数 1. 定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0 的相反数是 0。 2. 几何意义：数轴上互为相反数的两个点，位于原点两侧，到原点距离相等。 3. 化简：-a表示a的相反数。 知识点四・绝对值 1. 定义：数轴上一个数对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。 2. 代数法则： 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。 3. 性质：|a|≥0，绝对值一定是非负数。 知识点五・有理数大小比较 1. 数轴比较法：右边＞左边。 2. 正负比较：正数＞0＞负数。 3. 两个负数比较：绝对值大的反而小。 易错点1·有理数概念与分类 易错提醒 1.0 既不是正数，也不是负数，0是整数。 2.有限小数、无限循环小数属于分数，是有理数;无限不循环小数(如 π)不是有理数。 3.“非负整数”包含 0 和正整数，容易漏掉 0。 【对点训练】1．在，0，， ， ，中，有理数的个数有（    ） A．3个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的定义，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，逐一判断每个数是否属于有理数即可． 【详解】解：∵是无限不循环小数，不是有理数； 0，， ， 都是有理数， 是无限不循环小数，不是有理数， ∴有理数有4个． 故选：D． 【对点训练】2．下列说法正确的是（     ） A．正数和负数统称为有理数 B．整数分为正整数和负整数 C．0是整数也是有理数 D．小数都是分数 【答案】C 【分析】明确有理数定义、整数分类及小数与分数的关系，逐一判断选项． 【详解】解：选项A，整数和分数统称为有理数，是有理数但既不是正数也不是负数，且正数、负数中包含无理数，故A错误； 选项B，整数分为正整数、和负整数，故B错误； 选项C，是整数也是有理数，故C正确； 选项D，有限小数和无限循环小数是分数，无限不循环小数不是分数，故D错误． 【对点训练】3．把下列各数分别填在相应的集合内． －17、 25%、－4.7、 、3.14 、0、、 、2017、 －19 正数集：__________________________ 负数集：__________________________ 分数集：_________________________ 有理数集：________________________ 【答案】 【分析】根据正数、负数、分数、有理数的定义，对给出的数逐一分类即可. 【详解】解：大于的数是正数，正数集为； 小于的数是负数，负数集为； 分数包括正分数和负分数，有限小数、无限循环小数和百分数都属于分数，分数集为； 整数和分数统称为有理数，本题给出的所有数都为有理数，有理数集为. 易错点2·数轴相关误区 易错提醒 1.画数轴必须同时具备原点、正方向、单位长度三要素。 2.数轴上的点不全是有理数，只能说所有有理数都可以在数轴上表示, 【对点训练】1．如图所示数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴的画法，数轴有三要素：单位长度，正方向和原点，据此逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，只有D选项中的数轴表示正确，符合题意， 故选：D． 【对点训练】2．如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴可得，被方块遮挡住的点表示的数在和0之间，由此即可得解． 【详解】解：由题意得，手掌遮挡住的数大于且小于0， 四个选项中只有B选项中的数符合题意． 【对点训练】3．如图，点、点在一条不完整的数轴上，点在点的左边，且点与点到原点的距离相等，若点表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由于点在点的左边，且点与点到原点的距离相等， 故可知，点与点对应的数互为相反数， ∵表示的数是3， ∴表示的数是． 易错点3·相反数与多重符号化简 易错提醒 1.相反数只看符号，数字不变;0 的相反数是 0。 2.多重符号化简:负号个数，奇负偶正。 【对点训练】1．的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是． 【对点训练】2．下列各数中，与互为相反数的是（     ）． A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 的相反数是． 【对点训练】3．有下列各数：，，，，．其中，正数的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】化简各数，根据正数的定义选出即可． 【详解】解： 为负数. ，为正数. ，为正数. ，为负数. ，为正数. 其中，正数的个数是． 易错点4·绝对值概念（本章最高频易错） 易错提醒 1.绝对值是距离，结果一定≥0，不可能负数。 2.已知 æ = a(a > 0)，x有两个解，互为相反数，极易漏解。 3.去掉绝对值符号，先要判断绝对值内部式子正负，不能直接去掉符号。 【对点训练】1．若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 【答案】A 【分析】本题考查绝对值与相反数的定义，根据绝对值的性质分情况讨论，即可判断符合条件的数． 【详解】解：设这个数为，根据题意得． ∵当时，，不满足； 当时，，的相反数是，满足； 当时，，满足条件； ∴这个数是负数或． 【对点训练】2．数轴上到原点的距离等于的点表示的有理数是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】数轴上一个点到原点的距离等于该点所表示数的绝对值.，根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：设数轴上该点表示的数为， 由题意可得：， 由绝对值的意义可得：或， 因此符合条件的有理数是或． 【对点训练】3．已知是有理数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上一个动点到两定点的距离之和求解． 【详解】解：表示数轴上有理数对应的点到表示的点的距离，表示数轴上有理数对应的点到表示的点的距离，当对应的点在与之间（含端点）时，距离和最小，最小值为． 【对点训练】4．阅读：表示4与1的差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与的差的绝对值，也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)_________，_________； (2)利用数轴找出所有符合条件的整数，使得； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1)5；7 (2)2或 (3)，，，，， 【分析】结合数轴，利用绝对值的几何含义求解各小问即可． 【详解】（1）解：，； （2）因为， 所以表示在数轴上表示数与的两点之间的距离等于5， 因此整数的值为2或； （3）因为， 所以表示在数轴上表示数的点分别与表示数，的两点之间的距离之和， 因此所有符合条件的整数的值为，，，，， 易错点5·有理数大小比较 易错提醒 两个负数比较，绝对值越大，数反而越小，经常直接拿绝对值大小当作原数大小。 【对点训练】1．比较大小：_____． 【答案】 【分析】先对两个数进行化简，再根据两个负数比较大小的法则，通过比较绝对值的大小得到最终结果． 【详解】解：，， 计算两个数的绝对值：，， ，即， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得， 即． 【对点训练】2．比较大小：_____， _____ ．（填、或） 【答案】 【详解】解：比较与， ，， 因为，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小， 所以； 比较与， ，， 将与通分，，， 因为，根据正数比较大小，数值大的数更大， 所以． 【对点训练】3．数轴上表示的点到原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：数轴上表示的点到原点的距离为． 1．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】先化简，再判断各选项第二个数是否为其相反数． 【详解】解：， 选项：，不符合要求； 选项：，不符合要求； 选项：，与互为相反数，符合要求； 选项：，不符合要求． 2．在下列各数中，比小的数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较．根据“负数比较大小，绝对值大的反而小”，即可判断得到答案． 【详解】解：∵，， ∴排除， ∵，，， ∴，． 3．实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，在原点左侧，在原点右侧 ， ， ，故选项A、C错误，选项B正确； 由图可知，到原点的距离大于到原点的距离 ， ，故选项D错误． 4．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C．1.5 D．1.6 【答案】A 【详解】解：由数轴可知，点位于和之间， ∴ ∵，而，，， ∴ 点表示的数可能是． 5．___________． 【答案】 【分析】根据多重符号化简法则，判断负号的个数，利用“奇负偶正”的口诀得出结果． 【详解】解：在中一共有个负号，个正号， ∴． 6．数轴上点到原点的距离是3，点到原点的距离是4，则线段________． 【答案】或 【分析】根据点到原点的距离得到A、B对应数的所有可能，再分同侧、异侧两种情况计算线段的长度． 【详解】解： 点到原点的距离是3，点到原点的距离是4， 点表示的数为或，点表示的数为或， 当A、B两点在原点同侧时：， 当A、B两点在原点异侧时：， 线段的长为或． 7．小明不慎将墨水滴在数轴上，则被墨迹盖住部分的整数的个数为______个． 【答案】 【分析】利用数轴确定整数的个数． 【详解】解：和之间的整数为共4个， 和之间的整数为共3个， ∴被墨迹盖住部分的整数的个数为（个）． 8．绝对值不大于1的整数有____________． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，明确绝对值不大于1即为绝对值小于或等于1，找出该范围内的所有整数即可． 【详解】解：设这个整数为，根据题意可得： ， 去绝对值得， 又因为是整数，因此满足条件的整数为． 9．比较大小：________．(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，涉及相反数与绝对值的化简，先化简两个数，再根据两个负数比较大小，绝对值越大的负数越小的规则进行比较即可． 【详解】解：先化简两个数，． 计算两个数的绝对值，． 因为，可得， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得，即． 10．数轴上有 A、B、C 三个点，点A在点B的左边相距2018个单位，且它们表示的数互为相反数，点A、C相距10个单位，则点 C 表示的数为______． 【答案】或 【分析】根据已知条件：点A在点B的左边相距2018个单位且它们表示的数互为相反数，就可求出点 A 的坐标，再根据点A、C的距离为10，分两种情况讨论：点C在点A的左边时；点C在点A的右边时，分别求出点C表示的数． 【详解】解：∵点A在点B的左边相距2018个单位且它们表示的数互为相反数， ∴点A表示的数为：， 当点C在点A 的左边时，且点A、C相距10个单位 ∴点C表示的数为：； 当点C在点A的右边时，且点A、C相距10个单位 ∴点C表示的数为：； ∴点C表示的数为：或． 11．把下列各数填入相应的括号内：，，，0，，，，， 正数集： 整数集： 负分数集： 有理数集： 【答案】正数集：，，，，； 整数集：，，； 负分数集：，； 有理数集：，，，，，，， 【分析】先将有些数进行化简，再按照有理数的分类进行分类即可． 【详解】解：， 正数集：，，，， 整数集：，， 负分数集：， 有理数集：，，，，，，， 12．阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A、B两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是______；数轴上表示x与2的两点之间的距离是______； (2)若，求m的值； (3)当x在1和之间时，若代数式的最小值是5，请直接写出a的值． 【答案】(1)5； (2)或 (3)或4 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，两点之间的距离，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据两点之间的距离公式和绝对值的几何意义求解即可； （2）根据绝对值的几何意义进行求解即可； （3）根据绝对值的几何意义及两点之间线段最短可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是； 数轴上表示x与2的两点之间的距离是； 故答案为：5；； （2）解：当时，表示到2的距离是3， ∴或， ∴或； （3）解：∵的最小值是5，x在1和之间， ∴根据绝对值的几何意义及两点之间线段最短可得， 或， 解得或4． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $