专题01有理数（期中知识清单）（4知识&9题型&6易错&1方法清单）七年级数学上学期新教材浙教版

该初中数学知识清单系统梳理了有理数单元的核心内容，涵盖分类、数轴、相反数、绝对值、大小比较及易错点六大知识范畴，构建了从概念理解到应用实践的完整学习支架，帮助学生建立清晰的知识脉络。 清单通过“星级标注”和“题型分级”方式呈现知识体系，如将“绝对值几何意义”设为三星难点，并用思维导图串联数轴与绝对值的关系，强化学生的几何直观和逻辑推理能力。特别设计“易错警示卡”和“口诀记忆法”，例如“正负数表示相反意义量”配以“正负对应，零是中性点”的口诀，提升学生辨析能力和记忆效率。教师可据此精准定位教学重难点，学生则能高效自主复习，实现知识内化与能力进阶的双重目标。

专题01 有理数（4知识&9题型&6易错&1方法清单） 【清单01】有理数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： 要点： （1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 【清单02】数轴 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点： （1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 【清单03】相反数 相反数的定义：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点： （1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 【清单04】绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 【题型一】正负数的定义 【例1】在，，，，0中，负数的个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】．（25-26七年级上·全国·期中）下列各数中，既是负数又是分数的是（   ） A． B． C．0 D． 【变式1-2】．下列说法中正确的（   ） A．带有“”号的数是负数 B．表示没有温度 C．0是最小的正数 D．0既不是正数，也不是负数 【变式1-3】．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．一个数前面加上“﹣”号这个数就是负数 B．非负数就是正数 C．正数和负数统称为有理数 D．0既不是正数也不是负数 【题型二】相反意义的量 【例2】．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）下面不具有相反意义的量是（    ） A．前进和后退 B．节约3吨水和浪费2吨水 C．存入800元和支出500元 D．身高增加和体重减少3千克 【变式2-1】．如果把向东走记作，那么表示的实际意义是（    ）． A．向东走 B．向西走 C．向南走 D．向北走 【变式2-2】．（25-26七年级上·云南红河·开学考试）如果盈利500元记作元，那么元表示（   ）． A．支出200元 B．亏损200元 C．结余200元 【变式2-3】．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如果电梯上升5层，记作层，那么电梯下降6层可记作（   ） A．层 B．层 C．层 D．层 【题型三】用数轴上的点表示有理数 【例1】．（22-23七年级上·福建漳州·开学考试）如图，数轴上的点表示的数在和之间的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3-1】．（25-26七年级上·四川广元·开学考试）如果点B表示的数是1，那么点C表示的数是( )；如果点D表示的数是100，那么点A表示的数是( )． 【变式3-2】．（2025七年级上·江苏南通·专题练习）看图填空． （1）如果点B表示的数是，那么点C表示的数是 ． （2）如果点D表示的数是50，那么点A表示的数是 ． 【变式3-3】．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题： （1）点，，表示的数分别为 ， ， ； （2）点，，表示的数的相反数分别为 ， ， ； （3）将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ； （4）将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ． 【题型四】有理数的分类 【例4】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）把下列有理数填在相应的集合内：． 正有理数集合：{___________________}； 负有理数集合：{___________________}； 整数集合：{___________________}； 分数集合：{___________________}． 【变式4-1】．（25-26六年级上·全国·期中）把下列各数填在相应的集合里∶ 3，，，0，，，，，，． (1)正整数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (2)整数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (3)正分数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (4)负分数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (5)非负有理数集合{　　　　　　　　　　　　　　…}． 【变式4-2】．把下列各数分别填在表示它所属的横线上： ；9； ；0； ； ；2000； ．（填写序号） (1)正数：　　　　； (2)负数：　　　　； (3)整数：　　　　； (4)分数：　　　　． 【题型五】相反数 【例5】．（2024·江西吉安·一模）2024的相反数是（ ） A． B．2024 C． D． 【变式5-1】．（2023·山东东营·三模）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】．（24-25七年级上·甘肃酒泉·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】．（2025七年级上·全国·专题练习）若的相反数为9，则的值为 ． 【题型六】求绝对值 【例6】．（2025·广东深圳·模拟预测）的值是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】．（25-26七年级上·黑龙江绥化·开学考试）若，则 ． 【变式6-2】．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）计算： ． 【题型七】绝对值的化简求值 【例7】．已知在数轴上表示的点的大致位置如图所示，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】．（22-23七年级上·全国·期末）点p在数轴上的位置如图所示， 化简： ； 【变式7-2】．（25-26七年级上·北京·开学考试）有理数表示的点在数轴上的位置如下图所示，则化简的结果为 ． 【变式7-3】．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）若，，且，求的值． 【题型八】有理数的大小比较 【例8】．（25-26六年级上·黑龙江绥化·开学考试）比较，，，的大小，下列正确的是（       ） A． B． C． D． 【变式8-1】．给出四个数0，，，2其中最小的数是 （    ） A．0 B． C． D．2 【变式8-2】．（25-26七年级上·全国·期中）比较大小： （填“”“”或 “”）． 【变式8-3】．（25-26六年级上·全国·期中）比较大小∶ ， ．(在横线上填“<”“>”或“=”) 【题型九】利用数轴比较有理数大小 【例9】．（22-23七年级上·全国·期中）在如图所示的数轴上表示下列各数：， ，，3，并用“”号将这些数连接起来． 【变式9-1】．计算： (1)在数轴上表示出：、、0、、； (2)将（1）中各数用“<”连接起来； (3)写出（1）中各数的相反数，并用“<”连接起来． 【变式9-2】．把下列各数在数轴上表示出来，再按大小顺序用“”号连接起来 【题型一】忽略绝对值的非负性导致出错 【例1】．（24-25八年级下·云南丽江·期末）若为任意有理数，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．正数或0 D．负数或0 【变式1-1】．对于任何有理数，下列一定为负数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．若与互为相反数，则 ． 【变式1-3】．当 时，式子有最小值． 【题型二】无法根据点在数轴上的位置判断正负 【例2】．在数轴上表示两数的点如图，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）a，b在数轴上位置如图所示，则a，b，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】．（2024九年级下·山西·专题练习）如图，数轴上点A和点表示的数分别为和，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，，如果，那么该数轴的原点的位置应该在（   ） A．点A的左边 B．点A与点B之间，靠近点A C．点B与点C之间，靠近点B D．点C的右边 【题型三】忘记绝对值的定义，导致绝对值方程少一个解 【例3】．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）若，则 ； 【变式3-1】．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）已知，那么 ． 【变式3-2】．（24-25七年级上·湖南湘西·阶段练习）若，则x的值为 ． 【题型四】无法理解绝对值的几何意义 【例4】．（24-25七年级上·吉林白城·阶段练习）点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是　　，数轴上表示和的两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为　　； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【变式4-1】．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为． (1)如果表示数和3的两点之间的距离是7，则可记为：，那么___________． (2)若数轴上表示数的点位于与3之间，求的值． (3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由 【变式4-2】．（25-26七年级上·全国·阶段练习）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________． 【题型五】不能处理数轴上的动点问题 【例5】．（24-25七年级上·全国·课后作业）数轴上一点A表示的数是3，由点A向右移动2个单位长度到点B，再由点B向左移动9个单位长度到点C，此时点C表示的数是 ． 【变式5-1】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是 ． 【变式5-2】．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)画出数轴，标出A，B，C三点在数轴上的位置，并写出A，B，C三点表示的数； (2)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？ (3)若蚂蚁从点D出发，先向右爬了7个单位长度，再向左爬了4个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点D表示的数． 【变式5-3】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 【题型六】找不到数轴上的规律性运动 【例6】．（25-26七年级上·全国·课后作业）三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 【变式6-1】．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式6-2】．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A、D所对应的数分别为0和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2025次后，数轴上的数2025所对应的点是 ． 【变式6-3】．（24-25七年级上·河南郑州·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是 ． 【题型一】绝对值的化简求值——分类讨论法 【例1】．（第三十届WMO七年级第二套省测复习试卷数学题目）已知是非零有理数，且，求． 【变式1-1】．（2023七年级上·湖南邵阳·竞赛）若 a、b、c为整数，且，求． 【变式1-2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）(1)对于有理数x，y，若，则的值是________． (2)已知，求的值． (3)若a，b，c都是非零有理数，求的值． 学科网（北京）股份有限公11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（4知识&9题型&6易错&1方法清单） 【清单01】有理数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： 要点： （1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 【清单02】数轴 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点： （1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 【清单03】相反数 相反数的定义：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点： （1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 【清单04】绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 【题型一】正负数的定义 【例1】在，，，，0中，负数的个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了负数的定义，熟知比0小的数叫做负数是解题的关键． 需将符号化为最简，即数字前最多只有一个符号时，看是否有负号“” ，如果有“”就是负数，否则是正数. 【详解】解：，，是负数，有3个， 故选：D． 【变式1-1】．（25-26七年级上·全国·期中）下列各数中，既是负数又是分数的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的分类，根据小于0的数为负数，以及分数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、是负数，不是分数，不符合题意； B、既是负数又是分数，符合题意； C、既不是负数也不是分数，不符合题意； D、是分数，不是负数，不符合题意； 故选B． 【变式1-2】．下列说法中正确的（   ） A．带有“”号的数是负数 B．表示没有温度 C．0是最小的正数 D．0既不是正数，也不是负数 【答案】D 【分析】根据所学的相关知识解答即可． 本题考查了有理数的相关知识，熟练掌握知识是解题的关键． 【详解】解：A. 带有“”号的数不一定是负数，错误，不符合题意；     B. 表示温度为0，错误，不符合题意； C. 没有最小的正数，错误，不符合题意；     D. 0既不是正数，也不是负数，正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-3】．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．一个数前面加上“﹣”号这个数就是负数 B．非负数就是正数 C．正数和负数统称为有理数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类的知识，根据负数的定义和有理数的分类判断即可． 【详解】解：A、一个数前面加上“﹣”号这个数就是负数是错误的，故选项A不符合题意， B、非负数就是正数和0，故选项B错误，不符合题意， C、有理数包括正数、0和负数，故选项C错误，不符合题意， D、0既不是正数也不是负数，正确，故选项D符合题意， 故选：D． 【题型二】相反意义的量 【例2】．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）下面不具有相反意义的量是（    ） A．前进和后退 B．节约3吨水和浪费2吨水 C．存入800元和支出500元 D．身高增加和体重减少3千克 【答案】D 【分析】本题考查的是具有相反意义的量的含义．根据两个量是否具有相反意义逐项判定即可． 【详解】解：A、前进和后退是具有相反意义的量，故此选项不符合题意． B、节约3吨水和浪费2吨水是具有相反意义的量，故此选项不符合题意． C、存入800元和支出500元是具有相反意义的量，故此选项不符合题意． D、身高增加和体重减少3千克不是具有相反意义的量，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式2-1】．如果把向东走记作，那么表示的实际意义是（    ）． A．向东走 B．向西走 C．向南走 D．向北走 【答案】B 【分析】本题考查根据正负数表示相反意义的量来求解．先明确正负数表示相反意义的量，再根据向东为正确定向西为负，进而判断的实际意义． 【详解】解：向东走记作， 那么表示向西走， 故选：B． 【变式2-2】．（25-26七年级上·云南红河·开学考试）如果盈利500元记作元，那么元表示（   ）． A．支出200元 B．亏损200元 C．结余200元 【答案】B 【分析】本题考查相反意义的量，盈利记作正，则亏损记作负，由此可解． 【详解】解：如果盈利500元记作元，那么元表示亏损200元， 故选B． 【变式2-3】．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）如果电梯上升5层，记作层，那么电梯下降6层可记作（   ） A．层 B．层 C．层 D．层 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的意义，熟知正负数可以表示相反意义的量是解本题的关键．根据正负数代表相反意义的量，上升记为正，则下降记为负，解答即可． 【详解】解：∵电梯上升层记作层，上升与下降是表示相反意义的量， ∴电梯下降层记为层， 故选：A． 【题型三】用数轴上的点表示有理数 【例1】．（22-23七年级上·福建漳州·开学考试）如图，数轴上的点表示的数在和之间的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查数轴与有理数，根据数轴上的点的位置，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为； 因为， 故数轴上的点表示的数在和之间的是点； 故选C 【变式3-1】．（25-26七年级上·四川广元·开学考试）如果点B表示的数是1，那么点C表示的数是( )；如果点D表示的数是100，那么点A表示的数是( )． 【答案】 2 【分析】本题考查了数轴的认识，根据图示，若点A表示的数是1，数轴上的一个小格表示1，所以点C表示的数是2；若点D表示的数是100，那么数轴上的一个小格表示，点A在0的左侧，则表示的数是． 【详解】解：如果点B表示的数是1， 那么点C表示的数是2； 如果点D表示的数是100，， 那么点A表示． 故答案为：2，． 【变式3-2】．（2025七年级上·江苏南通·专题练习）看图填空． （1）如果点B表示的数是，那么点C表示的数是 ． （2）如果点D表示的数是50，那么点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴表示数，掌握和理解数轴的单位长度是解决此题的关键；根据数轴到原点的距离分析即可得到答案； 【详解】解：根据分析可知： （1）如果点B表示的数是，那么点C表示的数是． （2）如果点D表示的数是50，那么点A表示的数是． 故答案为：，． 【变式3-3】．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题： （1）点，，表示的数分别为 ， ， ； （2）点，，表示的数的相反数分别为 ， ， ； （3）将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ； （4）将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的点，相反数的定义． （1）直接根据数轴作答即可； （2）直接根据相反数的定义作答即可； （3）先求出点所表示的数，再求其相反数即可； （4）先求出点所表示的数，再求其相反数即可． 【详解】（1）点，，表示的数分别为，，； 故答案为：，， （2）点，，表示的数的相反数分别为，，； 故答案为： ，， （3）将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，相反数是； 故答案为： （4）将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，相反数是． 故答案为： 【题型四】有理数的分类 【例4】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）把下列有理数填在相应的集合内：． 正有理数集合：{___________________}； 负有理数集合：{___________________}； 整数集合：{___________________}； 分数集合：{___________________}． 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的分类，可分为正有理数、0、负有理数，也可分为整数和分数（小数）．按照数的类型，将数字填入空格即可． 【详解】解：正有理数集合：； 负有理数集合：； 整数集合：； 分数集合：． 【变式4-1】．（25-26六年级上·全国·期中）把下列各数填在相应的集合里∶ 3，，，0，，，，，，． (1)正整数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (2)整数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (3)正分数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (4)负分数集合{　　　　　　　　　　　　　　　　…}； (5)非负有理数集合{　　　　　　　　　　　　　　…}． 【答案】(1)3， (2)3，，0，， (3)，， (4)， (5)3，，0，，， 【分析】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键； 根据有理数的分类可分别求解（1）（2）（3）（4）（5）． 【详解】（1）正整数集合{3，，…}； （2）整数集合{3，，0，，，…}； （3）正分数集合{，，，…}； （4）负分数集合{，，…}； （5）非负有理数集合{3，，0，，，，…}． 【变式4-2】．把下列各数分别填在表示它所属的横线上： ；9； ；0； ； ；2000； ．（填写序号） (1)正数：　　　　； (2)负数：　　　　； (3)整数：　　　　； (4)分数：　　　　． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的分类及定义，掌握有理数的分类及相关定义是解题的关键． （1）根据正数的定义作答即可； （2）根据负数的定义作答即可； （3）根据整数的定义作答即可； （4）根据分数的定义作答即可． 【详解】（1）解：正数有：②⑥⑦； 故答案为： （2）解：负数有：①③⑤⑧； 故答案为： （3）解：整数有：②④⑤⑦； 故答案为： （4）解：分数有：①③⑥⑧； 故答案为： 【题型五】相反数 【例5】．（2024·江西吉安·一模）2024的相反数是（ ） A． B．2024 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的概念．根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：2024的相反数是． 故选：C． 【变式5-1】．（2023·山东东营·三模）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行作答即可． 【详解】解：依题意，， 则的相反数是， 故选：A． 【变式5-2】．（24-25七年级上·甘肃酒泉·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一个数的相反数，根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：的相反数是． 故选：D． 【变式5-3】．（2025七年级上·全国·专题练习）若的相反数为9，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数，根据题意得到，求解即可，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：的相反数为9， ， 解得：， 故答案为：． 【题型六】求绝对值 【例6】．（2025·广东深圳·模拟预测）的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案． 本题考查了绝对值．解题的关键是熟练掌握绝对值的定义和性质． 【详解】解：． 故选：． 【变式6-1】．（25-26七年级上·黑龙江绥化·开学考试）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值；先化简绝对值，再根据绝对值的几何意义求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）计算： ． 【答案】2025 【分析】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：2025． 【题型七】绝对值的化简求值 【例7】．已知在数轴上表示的点的大致位置如图所示，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上表示的数，根据数轴得出a、b的范围是解题的关键． 根据所给数值在数轴上的位置，判断出a、b的范围，进而对所给代数式的正误进行判断即可． 【详解】解：由数轴可得， A．因为是负数，是正数，且，所以，而不是，故本选项不符合题意； B．因为是负数，是正数，且，所以，而是负数，且绝对值为，与不相等，故本选项不符合题意； C．因为，，所以，而，所以，故本选项不符合题意； D．因为，所以，那么，又因为，，所以，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式7-1】．（22-23七年级上·全国·期末）点p在数轴上的位置如图所示， 化简： ； 【答案】1 【分析】本题主要考查了数轴的几何意义，取绝对值，解题的关键是掌握去绝对值的法则． 先利用数轴确定的取值范围，再利用去绝对值的法则进行计算即可． 【详解】解：根据数轴可得， ∴, 故答案为：1． 【变式7-2】．（25-26七年级上·北京·开学考试）有理数表示的点在数轴上的位置如下图所示，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值化简，数轴，熟练掌握利用数形结合的方法是解答本题的关键． 根据数轴可得：，，然后将所求式子化简，再计算加法即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ， 原式 ． 故答案为：． 【变式7-3】．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）若，，且，求的值． 【答案】7或1 【分析】本题考查了利用绝对值求值，掌握非正数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．由可知，，结合，，即可知道、，从而求得答案． 【详解】解：∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴，， 当，时，； 当，时，， 综上所述，的值为7或1． 【题型八】有理数的大小比较 【例8】．（25-26六年级上·黑龙江绥化·开学考试）比较，，，的大小，下列正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数比较大小、相反数等知识点，掌握负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键． 先根据相反数化简，根据正数大于负数以及负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 【变式8-1】．给出四个数0，，，2其中最小的数是 （    ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了有理数比较大小，绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的化简是解决本题的关键． 比较四个数的大小，需先明确负数比0和正数小，再比较负数绝对值的大小，绝对值大的负数更小，由此比较大小即可． 【详解】解：∵和为负数，0和2为非负数， 可知负数一定小于非负数， 又∵，，且， ∴， ∴四个数0，，，2其中最小的数是． 故选：B ． 【变式8-2】．（25-26七年级上·全国·期中）比较大小： （填“”“”或 “”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小，据此求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】．（25-26六年级上·全国·期中）比较大小∶ ， ．(在横线上填“<”“>”或“=”) 【答案】 > > 【分析】本题主要考查绝对值及有理数的大小比较，熟练掌握绝对值的意义及有理数的大小比较是解题的关键；因此此题可根据“正数大于0和负数，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为＞，＞． 【题型九】利用数轴比较有理数大小 【例9】．（22-23七年级上·全国·期中）在如图所示的数轴上表示下列各数：， ，，3，并用“”号将这些数连接起来． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，熟练掌握数轴上的点表示的数的大小特点是解题的关键． 根据数轴上左边的数小于右边的数，即可解答． 【详解】解：如图， 所以． 【变式9-1】．计算： (1)在数轴上表示出：、、0、、； (2)将（1）中各数用“<”连接起来； (3)写出（1）中各数的相反数，并用“<”连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) (3)相反数见解析， 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，绝对值，根据数轴比较大小，数形结合是解题的关键． （1）根据题意，先化简多重符号，然后在数轴上表示即可； （2）根据（1）中数轴上的点的位置，根据右边的数比左边的数大，用“”连接起来即可； （3）先求得各数的相反数，进而用“<”连接起来． 【详解】（1）解：，， 在数轴上表示如下： （2）由（1）得：； （3）的相反数为1； 的相反数为； 0的相反数为0； 的相反数为； 的相反数为， ∴． 【变式9-2】．把下列各数在数轴上表示出来，再按大小顺序用“”号连接起来 【答案】在数轴上表示见解析； 【分析】本题考查了多重符号的化简、化简绝对值、在数轴上表示有理数、利用数轴比较有理数的大小，掌握数轴的三要素，将有理数准确表示在数轴上是解本题的关键． 将原数进行整理化简，然后表示在数轴上，然后根据数轴上表示左边的数小于右边的数比较大小即可． 【详解】解：，，， 各数在数轴上表示如图所示即为所求： ． 【题型一】忽略绝对值的非负性导致出错 【例1】．（24-25八年级下·云南丽江·期末）若为任意有理数，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．正数或0 D．负数或0 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的性质，根据任意一个数的绝对值是非负数求解即可． 【详解】解：若为任意有理数，则， ∴， 即若为任意有理数，则一定是负数或0， 故选：D． 【变式1-1】．对于任何有理数，下列一定为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负数的定义和相反数、绝对值化简，掌握负数的定义以及绝对值的性质是解答此题的关键．根据负数小于0，可将各项化简，然后再进行判断． 【详解】解：A、，当时，原式不是负数，故A不符合题意； B、，当时，原式不是负数，故B不符合题意； C、，当时，原式不是负数，故C不符合题意； D、∵，∴，原式一定是负数，符合题意， 故选：D． 【变式1-2】．若与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了相反数的定义，非负数的性质，关键是利用非负数的性质求出x与y的值． 利用非负数的性质求出x与y的值，代入所求式子计算即可求出值． 【详解】解：与互为相反数， ， 又，， ，， ，， ． 故答案为：． 【变式1-3】．当 时，式子有最小值． 【答案】2 【分析】根据，得到时，取得最小值，解答即可． 本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据，得到时，取得最小值， 解得， 故答案为：2． 【题型二】无法根据点在数轴上的位置判断正负 【例2】．在数轴上表示两数的点如图，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据数轴判断式子的正负． 先求出两数的取值范围，再逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知： 则，，， 只有C正确， 故选：C． 【变式2-1】．（25-26七年级上·全国·课后作业）a，b在数轴上位置如图所示，则a，b，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上、的位置，确定、的正负性以及绝对值的大小关系，再据此分析、的情况，进而比较大小．本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，熟练掌握数轴上数的大小关系（数轴上右边的数总比左边的数大）是解题的关键． 【详解】解：∵由数轴可知，，且， ∴，，且，， ∴． 故选：D． 【变式2-2】．（2024九年级下·山西·专题练习）如图，数轴上点A和点表示的数分别为和，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用数轴判定代数式的正负，根据数轴确定点的位置成为解题的关键． 根据数轴可得，然后逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可得：， A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项错误，不符合题意； C．，故该选项正确，符合题意； D．，故该选项错误，不符合题意． 故选C． 【变式2-3】．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，，如果，那么该数轴的原点的位置应该在（   ） A．点A的左边 B．点A与点B之间，靠近点A C．点B与点C之间，靠近点B D．点C的右边 【答案】C 【分析】根据可知是中点，再结合，通过分析、、的正负性和到原点距离来确定原点位置．本题主要考查了数轴上的点与绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上点的位置与绝对值的关系是解题的关键． 【详解】解： 点是的中点 点到原点的距离最大，点其次，点最小 原点的位置在点与点之间，且靠近点 故选：． 【题型三】忘记绝对值的定义，导致绝对值方程少一个解 【例3】．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）若，则 ； 【答案】或 【分析】此题考查绝对值，解题关键在于掌握其性质，根据绝对值的性质，正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是，即可作出判断． 【详解】解：， 或 或 故答案为：或 【变式3-1】．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值的意义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3-2】．（24-25七年级上·湖南湘西·阶段练习）若，则x的值为 ． 【答案】或. 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的加减，分类讨论解决问题即可，熟悉相关知识点是解题的关键. 根据绝对值性质分类，当时，当时，当时，再去绝对值计算即可. 【详解】解：当时， 解得：； 当时，，此时方程无解； 当时， 解得：； 故答案为：或. 【题型四】无法理解绝对值的几何意义 【例4】．（24-25七年级上·吉林白城·阶段练习）点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是　　，数轴上表示和的两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为　　； (3)若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)有最小值，最小值为 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，解题的关键是熟练掌握数形结合的解题思想． （1）根据绝对值的几何意义，即可得数轴上两点间的距离； （2）根据绝对值的几何意义，即可得数轴上两点间的距离； （3）根据绝对值的几何意义，当时，取最小值，求与之间的距离即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是：， 数轴上表示和的两点之间的距离是：， 故答案为：，． （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：． （3）解：有最小值， 根据绝对值的几何意义可知，表示：数轴上表示的点到表示与的点的距离之和， ∴当时，取最小值，最小值为， 答：有最小值，最小值为． 【变式4-1】．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为． (1)如果表示数和3的两点之间的距离是7，则可记为：，那么___________． (2)若数轴上表示数的点位于与3之间，求的值． (3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由 【答案】(1)或10 (2)7 (3)时，最小值为7 【分析】本题主要运用绝对值的几何含义，通过数形结合的思想，根据绝对值表示数轴上两点间的距离来求解．涉及绝对值的性质，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．掌握绝对值的几何含义是解题的关键． （1）因为，根据绝对值的性质可得解得或10； （2）因为的点位于与3之间，则，即可解得； （3）通过数形结合的思想，根据绝对值表示数轴上两点间的距离来求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得或10， 故答案为：或10． （2）解：若数轴上表示数的点位于与3之间， 则 故的值为7． （3）解：当时，的值最小， 则， 理由：时，正好是3和两点间的距离． 【变式4-2】．（25-26七年级上·全国·阶段练习）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________． 【答案】(1)，或； (2)，，． 【分析】本题主要考查了有理数数与数轴，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式，难点是分类讨论． （1）根据有理数的减法法则，把减法化成加法进行计算，然后求出绝对值，最后根据绝对值的性质，列出关于的方程，解方程即可； （2）利用绝对值的几何意义和两点间的距离公式，第一、第二问各分三种情况讨论，求出最小值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：或， 故答案为：5，1或； （2）解：可以看作表示的点到1和的距离之和， 当点在与1之间的线段上，即时，； 有最小值，最小值为：； 可以看作表示的点到的距离与到2的距离以及到4的距离之和， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，的最小值为5， 故答案为：4，2，5； 【题型五】不能处理数轴上的动点问题 【例5】．（24-25七年级上·全国·课后作业）数轴上一点A表示的数是3，由点A向右移动2个单位长度到点B，再由点B向左移动9个单位长度到点C，此时点C表示的数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了数轴上点的平移，正确记忆平移规律是解题的关键． 利用A点位置结合平移规律依次求得点B，C表示的数． 【详解】解：点A表示的数是3， 由点A向右移动2个单位长度到点B，点B表示的数是， 由点B向左移动9个单位长度到点C，点C表示的数是． 故答案为：． 【变式5-1】．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点，掌握“右移加，左移减”是解题的关键． 根据平移时坐标的变化规律列式计算即可． 【详解】解：当点A在数轴上向右平移6个单位长度得到点B，则； 当点A在数轴上向左平移6个单位长度得到点B，则． 综上，点B表示的数是1或． 故答案为：1或． 【变式5-2】．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)画出数轴，标出A，B，C三点在数轴上的位置，并写出A，B，C三点表示的数； (2)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？ (3)若蚂蚁从点D出发，先向右爬了7个单位长度，再向左爬了4个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点D表示的数． 【答案】(1)见解析，4，6， (2)向左，4个单位 (3) 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴上的点与数的对应关系． （1）画出数轴并标出A，B，C三点即可求解； （2）根据（1）中所画数轴写出即可； （3）根据正负数在轴上的意义“向右为正，向左为负”来解答． 【详解】（1）如图： A，B，C三点表示的数分别为4，6，； （2）点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了4个单位长度得到的； （3）点D表示的数为． 【变式5-3】．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； 【详解】（1）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； 【题型六】找不到数轴上的规律性运动 【例6】．（25-26七年级上·全国·课后作业）三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了数轴以及数字变化规律，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 根据每次翻转后点的变化规律进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，在翻转的过程中，点对应的数依次为空、空、 故每次翻转为一个循环组 ， 翻转次后，点不在数轴上． 故选：A． 【变式6-1】．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，以及图形类规律探究，根据题意找出规律进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，翻转后数轴上点1，3，5，7，9，11的对应的点分别是A，B，C，D，E，F，根据规律进行判定即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1对应的是A， 数轴上点3对应的是B， 数轴上点5对应的是C， 数轴上点7对应的是D， 数轴上点9对应的是E， 数轴上点11对应的是F， …… 则， 所以连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是E． 故选：C． 【变式6-2】．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A、D所对应的数分别为0和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2025次后，数轴上的数2025所对应的点是 ． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴及有理数在数轴上的表示，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键．根据题意可得出每4次翻转为一个循环组依次循环，用，根据是否整除，可得出数轴上数2025所对应的点的位置． 【详解】解：由题意可知，字母按照B，C，D，A的循环顺序，在数轴上对应着1，2，3，4…等数字，且翻转的次数与数轴上对应的数字相同， ∵， ∴数轴上数2025所对应的点是点B． 故选：B． 【变式6-3】．（24-25七年级上·河南郑州·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是 ． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数字类的规律探索．根据点从1开始，每翻转6次一个循环，利用，根据余数的情况进行判断即可． 【详解】解：由题意，可知，点从1开始，每翻转6次一个循环， ∵， ∴数轴上数所对应的点是； 故答案为：C 【题型一】绝对值的化简求值——分类讨论法 【例1】．（第三十届WMO七年级第二套省测复习试卷数学题目）已知是非零有理数，且，求． 【答案】0或 【分析】本题主要考查化简绝对值，由可知、、中有两个同为正或同为负，然后再分类讨论即可求解． 【详解】解：∵是非零有理数，且， ∴中必为两正一负或一正两负， 不妨设，，，则，，， ∴ ； 再设，，，则，，， ∴ ． 综上，原式的值为0或． 【变式1-1】．（2023七年级上·湖南邵阳·竞赛）若 a、b、c为整数，且，求． 【答案】2 【分析】本题考查化简绝对值．由a、b、c为整数，可得其和差仍为整数，且，所以和必有一个为1，另一个为0，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解： a、b、c为整数，且， ，，或，， ． 当，时，，， ； 当，，时，，， ； ， ． 【变式1-2】．（25-26七年级上·全国·课后作业）(1)对于有理数x，y，若，则的值是________． (2)已知，求的值． (3)若a，b，c都是非零有理数，求的值． 【答案】 ； ； 或或 【分析】本题主要考查绝对值的化简，解题的关键是先确定绝对值内部式子的正负性，进而去掉绝对值，最后化简求出答案. （1）通过，判断是异号的，再根据绝对值的性质去绝对值符号，最后化简得出答案； （2）通过，判断是异号的，再根据绝对值的性质去绝对值符号，最后化简得出答案； （3）通过对的正负性进行分类讨论，再根据绝对值的性质去绝对值符号，最后化简得出答案. 【详解】（1）解：∵，∴一正一负， 则：，和一个为，一个为. ∴原式=. 故答案为：. （2）解：∵，∴和一正一负. 则， ∴. （3）解：①若均为正，则原式=； ②若两正一负，则原式=； ③若两负一正，则原式=； ④若均为负，则原式=. 故答案为或或. 学科网（北京）股份有限公30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $