专题04 有理数的简便计算的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数简便计算七类题型，以“解题通法-题型归纳-压轴挑战”构建系统性方法体系，通过特征分析、方法提炼与变式训练，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心原则提炼|观察结构-选择技巧-化繁为简，先定号再算值|奠定有理数运算基础逻辑，强调符号与结构分析| |题型归纳|7类题型，每类含1例题+3变式|裂项相消（基础/扩展形式）、倒数法（倒数转化）等7种具体方法|从单一技巧到变式应用，构建题型-方法对应链| |压轴挑战|14道综合题|多方法融合（如错位相减与换元结合）|综合应用七类方法，提升复杂问题解决能力|

专题04 有理数的简便计算的七类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、裂项相消法 1 题型二、利用倒数法计算除法 6 题型三、错位相减法 10 题型四、分组法计算 13 题型五、倒序相加法 17 题型六、巧用分配律计算 22 题型七、利用换元法计算 25 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 有理数简便运算是七上有理数章节的核心基础考点，压轴题虽形式各异，但万变不离其宗——核心都是 先观察结构、再选择变形技巧、最终化繁为简。解题贯穿两条底线原则：一是 先定号、再算值（乘除看负号个数奇负偶正，加减看绝对值大小定符号与差值）；二是 先看结构、再下笔——拿到式子先别动笔，先观察有无相反数对、能否提公因式、能否分组凑整、能否拆分相消、能否配对求和，再选对应技巧。所有运算结果，最终都要用 "符号 + 绝对值"两步回归检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、裂项相消法 题型模版 1.特征：裂项相消法是数列求和、分式化简中常用的技巧，核心是将通项公式拆分成两个（或多个）项的差，使得求和时中间项相互抵消，仅保留首尾少数项，从而简化计算。其关键在于 “裂项” 的合理性 —— 拆分后与原项等价，且能形成 “抵消链”。 2.方法：一、基础形式：分式裂项（分母为相邻整数乘积） 最典型的是形如的分式，裂项公式为： = - 原理：右边通分后等于左边，即 - = = 二、扩展形式：分母为相差d的整数乘积 若分母是两个相差为d（d为常数）的整数乘积，即，裂项公式需引入系数 = （ -） 例1请先阅读下列一组内容，然后解答问题： ，，… 计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过观察可得，原式，再计算即可； （2）通过观察可得，原式，再计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 变式1-1观察下列等式： ，，，将以上三个等式相加得： ，计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了裂项相消法． （1）仿照题干计算即可； （2）仿照题干计算即可； （3）仿照题干计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 变式1-2观察下列式子： 第1个式子：． 第2个式子：． 第3个式子：． 第4个式子：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个式子：______． (2)计算：． (3)直接写出的运算结果． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数的运算规律题，合理找出规律是解答的关键． （1）根据规律解答即可； （2）根据规律和运算法则运算即可； （3）根据规律和运算法则运算即可； 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 变式1-3观察下列各式：， （1）根据上述规律写出第5个等式是________； （2）规律应用：计算：； （3）拓展应用：计算：； 【答案】（1）；（2）-；（3）． 【分析】（1）根据已知的前3个等式中数的变化规律即可写出第4，5个等式； （2）根据（1）中的规律把式子变形，中间部分相互抵消，只剩下首项和末项，即可算出答案； （3）根据式子的特点将原式变形为×（），从而可计算得出结果． 【详解】解：（1）根据已知等式可得： 第4个等式为：， 第5个等式为：， … 第n个等式为：， 故答案为：； （2）由（1）中的规律“-”把式子进行变形可得： ； （3） =×（） =×（1-） =． 【点睛】考查了规律型：数字的变化类，此类规律题要分别找到等式左边和右边的规律，寻找不变的量和变化的量，本题中不变的量是分数中的分子1，负号“-”，变化的量是分数中分母，所以要从分母中找到变化的规律，从而找到这个等式的变化规律-． 题型二、利用倒数法计算除法 题型模版 1.特征：适用情况：当直接算a ÷b（比如分数除法）麻烦时（例如约分不方便），可以使用这种方法。 2.方法：先算 “除数 ÷ 被除数”，也就是b÷ a（把原来的除数当被除数，被除数当除数）； 按正常除法规则（转化为乘法，定符号，算绝对值）算出 b ÷ a 的结果； 最后取这个结果的倒数，就是原来a ÷ b的答案。 符号注意：a÷b 和b÷a的符号相同（因为交换被除数和除数后，“同号得正、异号得负” 的结果不变），所以取倒数时，符号不变，只对 “绝对值” 取倒数。 例2阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算及倒数的性质． （1）根据除法没有分配律来判断解法的正误； （2）先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果． 【详解】（1）解：解法一：根据除法的运算法则，除法没有分配律，即， 在解法一中，将错误地运用了分配律，得到，所以解法一错误； 解法二：先求出原式的倒数，再根据倒数的性质求出原式的结果，计算过程正确． 故答案为：一． （2）解：原式的倒数为 ． 所以，原式． 变式2-1阅读下列材料，计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题主要考查了分数的除法，解题的关键是掌握倒数法． （1）根据分数的除法法则进行判断即可； （2）利用倒数法进行求解即可． 【详解】（1）解：解法一错误， 故答案为：一； （2）解：原式的倒数为 所以，原式． 变式2-2（1）计算： （2）请你认真阅读下列材料：计算： 解：因为原式的倒数为 ． 所以原式 根据你对所提供材料的理解，计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先拆项，再利用加法结合律进行简便计算即可； （2）表示出原式的倒数，先将除法转化为乘法，然后利用乘法分配律求出值，进而确定出所求即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式的倒数 ． ∴原式． 题型三、错位相减法 题型模版 1.特征：错位相减法是一种计算有特殊规律的加法算式的简便方法，适合这样的情况：算式里的每个数，都是前一个数乘同一个数得到的（比如后一个数是前一个数的 2 倍、3 倍等）。 2.方法：1.先把原来的加法算式写出来（叫 “原式”）； 2.给 “原式” 的两边都乘那个 “相同的倍数”，得到一个新的算式（叫 “新式”）； 3.把 “新式” 和 “原式” 错开位置（让相同的数对齐），然后用 “新式” 减 “原式”（或 “原式” 减 “新式”，看哪种方便）； 4.减完后会得到一个简单的算式，算出这个算式的结果，再除以（倍数 - 1），就是原来算式的答案。 例3根据以下材料，探索完成任务： 材料一 求的值，可令，则，因此． 材料二 求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般地把记作，读作“的圈次方”． 问题解决 问题 直接写出计算结果：___________； 问题 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：___________；___________．（且为正整数）； 问题 计算：（其中） 【答案】问题：；问题：；；问题： 【分析】本题考查有理数混合运算，理解除方的定义是解题的关键． 问题：根据除方的定义解答即可； 问题：根据除方的定义解答即可； 问题：根据（）的结果进行计算即可； 【详解】解：问题：， 故答案为：； 问题：； ； 故答案为：；； 问题：由（）可知，，，，，， ∵， ∴ ， 设，则， ∴， 即， ∴． 变式3-1求的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的减法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设，则，通过两个式子相减，得到，从而求得答案． 【详解】解：设， 则， 得 ， ， ． 变式3-2观察下列解题过程： 计算：的值 解：设①， 则②， 由②－①，得.即原式 通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算： 【答案】 【分析】利用所给的解答方式进行求解即可． 【详解】解：设①， 则②， 由②①，得． ∴， 即原式． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律和有理数的乘方，解答的关键是理解清楚题目所给的解答方式并灵活运用． 变式3-3观察下列解题过程： 计算：1＋5＋52＋53＋…＋524＋525. 解：设S＝1＋5＋52＋53＋…＋524＋525，① 则5S＝5＋52＋53＋54＋…＋525＋526.② ②－①，得4S＝526－1， 所以S＝. 你能用上述方法计算下面的题吗？ 1＋3＋32＋33＋…＋39＋310. 【答案】. 【详解】试题分析：根据题目提供的求解方法进行计算即可得解． 试题解析：设S＝1＋3＋32＋33＋…＋39＋310， 则3S＝3＋32＋33＋34＋…＋310＋311. 所以3S－S＝311－1，2S＝311－1. 即S＝. 【点睛】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解并掌握求解方法是解题的关键． 题型四、分组法计算 题型模版 1.特征：分组结合法是一种通过合理分组，将复杂运算转化为简单运算的技巧，核心是利用 “分组后每组内的运算更简便”（如凑整、抵消等），适用于有理数加减场景。 有理数加减混合运算：凑整或抵消，当多个数相加时，可将 “互为相反数”“和为整数”“分母相同” 的数分组，简化计算。 2.方法：分组原则：根据项的 “共性”（符号、系数、字母、公式特征）分组，确保每组能简化运算； 灵活调整：若首次分组无效（如无公因式），尝试重新分组（如交换项的顺序）； 目标明确：分组的最终目的是 “降维”—— 将多步运算转化为几步简单运算（如合并、提取、公式应用）。 例4在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组，其和为1，共有1010组，所以结果为+1010. 根据这个思路学生改编了下列几题： （1）计算：① ② （2）蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位…… ①按照这个规律，第1024次爬行后蚂蚁所在位置在原点左侧还是右侧？对应哪个数？ ②按照这个规律，第 次爬行后蚂蚁在数轴上表示751的位置. 【答案】（1）①；②；（2）①第1024次爬行后蚂蚁所在位置在原点左侧，对应-1024，②750. 【分析】（1）①由每两个数为一组、其和为-1，共1010组，据此可得； ②由每两个数为一组、其和为-2，共505组，据此求解可得； （2）①根据题意列出算式：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+……+1021+1022-1023-1024，每四个数为一组、其和为-4，共256组，据此求解可得． ②找到小蚂蚁在正半轴爬行的规律，据此解答即可. 【详解】（1）①=-1×1010=-1010； ②1-3+5-7+……+2017-2019=-2×505=-1010； （2）① = =-4×256 =-1024 所以第1024次爬行后蚂蚁所在位置在原点左侧，对应-1024. ②小蚂蚁在正半轴爬行的规律为：第5次爬行到表示1的位置，第6次爬行到表示1+6=7的位置；第9次爬行到表示1的位置，第10次爬行到表示1+10=11的位置；第13次爬行到表示1的位置，第14次爬行到表示1+14=15的位置，故小蚂蚁爬行第（4n+1）次均在表示1的位置,，749=187×4+1，故第749次爬行到表示1的位置，第750次爬行到表示1+750=751的位置. 故答案为：750 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据例题思路将加数合理分组，从中找到和为固定常数的规律． 变式4-1阅读下列第（1）题中的计算方法，再计算第（2）题中式子的值． （1）﹣+（﹣9）+17+（﹣3） 解：原式=[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+[（+17）+（+）]+[（﹣3）+（﹣）] =[（﹣5）+（﹣9）+（+17）+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）+（+）+（﹣）] =0+（﹣1） =﹣1 上面这种方法叫拆项法．仿照上述方法计算： （2）（﹣2008）+（﹣2007）+4017+（﹣1） 【答案】- 【分析】首先分析（1）的运算方法：将带分数分解为一个整数和一个分数；然后重新组合分组：整数一组，分数一组；再分别计算求值． 【详解】解：原式=（﹣2008）+（﹣）+（﹣2007）+（﹣）+4017++（﹣1）+（﹣）， =（﹣2008﹣2007+4017﹣1）+（﹣﹣+﹣）， =1﹣， =﹣． 【点睛】此题是一个阅读理解题，要求学生首先阅读（1），结合有理数运算的法则，理解拆项法的原理及应用，然后仿照（1）的方法，进行计算． 变式4-2计算： 【答案】 【分析】把带分数的整数部分和分数部分拆开，利用加法交换律和结合律，把整数部分与分数部分分别相加，利用公式“（首项末项）项数”进行简便计算． 【详解】解： ． 变式4-3计算： (1)； (2) 【答案】(1)21 (2)5055 【分析】（1）把代分数的整数部分和分数部分拆开，利用加法交换律和结合律，把整数部分与分数部分分别相加； （2）把带分数的整数部分和分数部分拆开，利用加法交换律和结合律，把整数部分与分数部分分别相加，计算分数部分的和时，利用公式“（首项末项）项数”进行简便计算． 【详解】（1）解：方法： ； 方法2： ； （2）解： ． 题型五、倒序相加法 题型模版 1.特征：倒序相加法是一种简便计算多个数相加的方法。 2.方法：先把原来的加法算式正着写出来，再把这串数倒过来写一遍（得到和原算式相等的新算式），然后把这两个算式相加。这时会发现，两个算式中对应位置的数相加的结果都一样；接着用 “这样的对数” 乘 “每对的和”，得到的是两个算式的总和；最后把这个总和除以 2，就是原来那串数相加的结果。 例5（1）①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（为正整数）表示这个数列的第项，那么 ， ； ②如果欲求的值，可令     ……………① 将①式右边顺序倒置，得    ……………② 由②加上①式，得2 ； ∴ S=_________________； 由结论求； （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（为正整数）表示这个数列的第项，那么 ， ； ②为了求的值，可令，则，因此，所以， 即.     仿照以上推理，计算 【答案】（1）①1，18，n；②，，1540；（2）①2，，；②. 【分析】(1)①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差都为1，从而可得常数为1；根据此规律，如果为正整数)=n，据此即可求得答案； ②观察可得2n(n+1)，从而求得 S；根据上面得到的式子进行计算即可求得的值； (2)①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数2，根据此规律，可得为正整数)=2n，据此即可得答案； ②根据推理进行计算即可求得的值. 【详解】(1)①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是1；根据此规律，如果为正整数)表示这个数列的第项，那么18，n， 故答案为1，18，n； ②令 ，① 将①式右边顺序倒置，得，② ②+①，得2 =n(1+n)， ∴ S=； ==1540， 故答案为，，1540； (2)①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2；根据此规律，如果为正整数)表示这个数列的第项，那么218，2n， 故答案为2，，； ②令， 则，   ，    ， ， 即. 【点睛】本题考查了阅读理解题，根据题目的内容以及问题的求解方法进行求解，正确分析并仿照题目中的解题方法进行求解是解题的关键. 变式5-1计算： 【答案】11106 【分析】本题主要考查了规律数算式运算．探究排布规律，是解决问题的关键． 设原式为S，把式子头尾颠倒与原式相加，得到，提公因数9，化为，得到，即可得到答案（方法不唯一）． 【详解】设， 则， ∴ ． ∴． ∴（方法不唯一）． 变式5-2阅读以下材料： 高斯是近代数学奠基者之一，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面均有开创性贡献．他最出名的故事就是在他十岁时，小学老师出了一道算术难题：“计算？”．这可难为初学算术的学生，但是高斯却在几秒后得出正确的答案，他观察到：，， ，…，这么一来，就等于 ① 个101个相加，从而得 ② ． 根据以上材料，完成下列问题： (1)补全材料中①②所缺的内容； (2)计算：________；（用含n的代数式表示） (3)将若干由1开始的连续自然数写在纸上，然后删去其中一个数，则余下数的平均数为，求删去的这个数是多少？ 【答案】(1)①50；② (2) (3)35 【分析】（1）根据题意可得一共有50个101相加，再根据乘法计算法则求出对应的结果即可； （2）仿照题意分n为奇数和偶数两种情况讨论求解即可； （3）设删去的数为x，一共有n个自然数，则这n个自然数的平均数为，，根据，得到，进而得到，据此求出或或，再讨论n的值，进而求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， …， ， ∴一共有50个101相加， ∴， 故答案为：①50；②； （2）解：当n为偶数时，， ， ， ……， 以此类推，一共有个相加， ∴； 当n为奇数时，同理可知一共有个相加，还要加上， ∴； 综上所述，； （3）解：设删去的数为x，一共有n个自然数， ∴这n个自然数的和为， ∴这n个自然数的平均数为， ∵删去x后的平均数为， ∴， ∵去掉的数是这n个数中的一个， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵n为正整数， ∴或或， 当时，则， 解得，不符合题意； 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得，不符合题意； 综上所述，当时，符合题意； ∴删去的数为35． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数字类的规律探索，有理数的加法和乘法计算，正确理解题意是解题的关键． 题型六、巧用分配律计算 例6阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键； （1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： = = =． 变式6-1用简便方法进行计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 变式6-2计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)． (3)64 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 题型七、利用换元法计算 题型模版 1.特征：用字母（如a、b等）代替运算中反复出现的相同数、代数式或有规律的结构，把复杂的有理数运算转化为关于新变量的简单运算，最后再将新变量换回原来的表达式，得到结果。 2.方法：1.观察识别：找出原式中重复出现的复杂部分（如相同的分数、小数，或有对称结构的式子），确定需要替换的 “整体”。 2.设元替换：用新变量表示这个 “整体”，将原式中的所有对应部分替换为新变量，得到简化后的新算式。 3.简化运算：对新算式进行有理数的加减乘除等运算，得到关于新变量的结果。 4.回代还原：将新变量换回原来的 “整体”，计算出最终结果。 例7计算： 【答案】 【分析】令，，然后利用整式的乘法及加减运算化简求值即可 【详解】解：令，，则． 变式7-1简便计算： ． 【答案】 【分析】根据先将看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．灵活运用乘法分配律进行计算． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得第5个等式：； （2）解： ． 2．问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，． (1)利用规律计算：； (2)问题拓展，求； (3)问题解决： 求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化类，有理数的混合运算，解题关键观察已知条件，找出解题的方法和技巧． （1）把各个加数拆成两个分子是1，分母是原数分母的两个分数相减，然后相邻的两个互为相反数相加即可； （2）把各个算式写成乘以分母中的两个数为分母，分子是1的两个分数的差的形式，然后提取公因数，进行简便计算即可； （3）把各个加数的分母计算后都乘以，再乘以2，然后把每个分数写成两个分数差的形式，再进行计算即可． 【详解】（1）解：依题意， ∵，，，， ∴ ； （2）解： ； （3）解：∵，； ，； ，； …… ， 所以原式 ． 3．阅读材料：求1+2+22+23+…+22020的值． 解：设 S=1+2+22+23+…22020①，①×2得：2S=2+22+23+24+…+22021②， ②﹣①得2S﹣S=22021﹣1，即S=1+2+22+23+…+22020=22021﹣1． 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+25； （2）求1+3+32+33+…+3n的值． (其中n为正整数) 【答案】（1）26﹣1．（2）（3n+1﹣1）， 【分析】（1）直接利用例题方法将原式变形进而得出答案； （2）直接利用例题方法将原式变形进而得出答案． 【详解】解：（1）设S＝1+2+22+23+24+25，① 将等式两边同时乘2得： 2S＝2+22+23+24+25+26 ，② ②﹣①得2S﹣S＝26﹣1， 即S＝26﹣1， ∴1+2+22+23+24+25 ＝26﹣1． （2）设S＝1+3+32+33+34+…+3n ，① 将等式两边同时乘3得： 3S＝3+32+33+34+…+3n+3n+1，② ②﹣①得3S﹣S＝3n+1﹣1， 即S＝（3n+1﹣1）， ∴1+3+32+33+34+…+3n＝（3n+1﹣1）． 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算以及一元一次方程的应用，正确利用例题方法将原式变形是解题关键． 4．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表： 加数m的个数 和S 1 2＝1×2 2 2+4＝6＝2×3 3 2+4+6＝12＝3×4 4 2+4+6+8＝20＝4×5 5 2+4+6+8+10＝30＝5×6 （1）按这个规律，当m＝6时，和S为　 　； （2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：S＝　 　． （3）应用上述公式计算： ①2+4+6+…+100 ②1002+1004+1006+…+1100 ③1+3+5+7+…+99 【答案】（1）；（2）；（3）①；②；③． 【分析】（1）根据规律列出运算式子，计算有理数的乘法即可得； （2）根据表格归纳类推出一般规律即可得； （3）①根据（2）的结论列出运算式子，计算有理数的乘法即可得； ②利用的值减去的值即可得； ③将运算中的每个加数都加上1可变成（3）①的运算式子，再减去50即可得． 【详解】（1）根据规律得：当时，和， 故答案为：42； （2）由表可知，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 归纳类推得：， 故答案为：； （3）①， ， ； ②， ， ， ， ， ； ③， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了有理数加减法与乘法的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 5．观察下列各式，完成下列问题。 已知1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52，…… （1）仿照上例，计算：1+3+5+7+……+99=_______ （2）根据上述规律，请你用自然数n（n≥1）表示一般规律：_______ （3）根据你所总结的规律计算121+123+……+179的值 【答案】（1）2500；（2）；（3）4500． 【分析】（1）仿照例子即可得； （2）根据例子归纳类推出一般规律即可得； （3）先根据规律分别求出和的值，再作差即可得． 【详解】（1）， 故答案为：2500； （2）归纳类推得：， 故答案为：； （3）， ， 则， ， ， ． 【点睛】本题考查了有理数乘方与加法运算的规律型问题，根据已知各式，正确发现一般规律是解题关键． 6．计算． (1) (2) 【答案】(1)8 (2)166680 【分析】（1）先把括号里的分数化成小数，把括号外的分数化为，再根据加法交换律和减法的性质把括号的式子变为进行简算，再进一步计算即可； （2）根据题意，这五个数每个数位上都是有1，2，3，4，5；把个，十，百，千，万单个拿出来都是，然后再根据乘法分配律进行简算，加上即可． 【详解】（1）解： （2）解： 7．计算：． 【答案】 【分析】首先把每个分数分成两个分数的差的形式，然后应用加法结合律求出算式的值是多少即可． 【详解】解：原式 ． 8．计算： 【答案】 【分析】本题考查了带分数的加法运算，计算带分数的和，先分别计算整数部分和分数部分的和，再合并结果，整数部分为5个3相加，分数部分通分后分子相加． 【详解】解：原式 ． 9．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键． （1）先算乘方，乘法，绝对值，最后算加减． （2）设，，原式为，变形得到，再利用抵消法计算； （3）先将小数化为分数、带分数化为假分数，再结合乘法分配律的逆运算逐个计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：设，， 则原式 ； （3）解： ； 10．计算． 【答案】1011 【分析】首先根据规律可得是这一组数中的第个数，把这一组数两两分组可得组，每组数的和都是，所以可得原式，经过计算即可求出结果． 【详解】解：设是第个数， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 第个数是， 解得：， 每两个数分为一组，共有组， ． 11．用灵活而合理的方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)100 (3)1 (4)5050 【分析】本题考查了乘法公式的有理数混合运算，含乘方有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据带分数化为假分数的方法，将算式变为，再将算式变为，根据乘法分配律，将算式变为，然后计算出括号里面的加法，再将除法化为乘法，约分可得，然后将2003拆分为2002＋1，根据乘法分配律，将算式变为，约分可得，再根据带符号搬家，得，然后计算出结果即可； （2）先把带分数化为假分数，除法化为乘法，然后根据积不变性质，将算式变为，然后将化为假分数，再根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； （3）先把382拆分为，然后根据乘法分配律，将算式变为，，加上括号，变为，然后计算出括号里面的减法，最后可得分子和分母都是相同的算式，约分可得结果为1； （4）两个相邻的数的平方差等于这两个数的和，也就是（n为自然数），将算式变为，然后首尾依次相加，将算式变为进行简算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 12．简便计算 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3)1 (4) (5) 【分析】（1）根据，根据分数的拆项公式进行简算即可； （2）先将除法转化为乘法，再逆用乘法分配律进行计算即可； （3）先计算括号里面的，再计算最后计算乘法即可； （4）把原式转化为，再利用乘法分配律进行计算即可； （5）根据先将看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．灵活运用乘法分配律进行计算． 13．阅读例题的计算方法，再用这种方法计算第（1）（2）小题． 例：计算： 解：原式＝ ＝ ＝ 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据提供的方法，拆项计算即可； （2）根据提供的方法，拆项计算即可． 本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 14．先阅读两则材料，然后解决问题： 材料一：【数学家故事】高斯7岁时进入学校学习数学，有一天，他的老师布特纳布置了一道题目，要求学生计算从1加到100的总和．这个问题对于当时的孩子们来说相当困难，但高斯很快就给出了正确答案：．他使用了一种巧妙的方法，展示了非凡的数学天赋．这个方法可以这样理解： 令① 则② ①+②得：， 即． 材料二：对有理数，，定义的计算方式为：当时，；当时，．例如：；． 【解决问题】 (1)填空：_____；_____；_____； (2)已知，且，求的值： (3)设代数式，已知，是数轴上的两个点，分别表示有理数和，且线段的长为4．若数满足关系式，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算，数轴上两点之间的距离，代数式的求值，理解新定义，分类讨论思想的应用是解题的关键； （1）根据新定义直接计算即可； （2）先判断y的范围，再根据新定义化简并整体代入求值即可； （3）根据非负性可得，根据新定义可得，即可求出a，再根据数轴上两点之间的距离求出b，再分类讨论，根据新定义和材料一的求和求解即可． 【详解】（1）解：，，， 故答案为：； （2）解：，且， ， ； （3）解：， ， ， ， 线段的长为4， ， ， 当时， ， 当时， ， 综上所述，M的值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 有理数的简便计算的七类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、裂项相消法 1 题型二、利用倒数法计算除法 3 题型三、错位相减法 5 题型四、分组法计算 6 题型五、倒序相加法 7 题型六、巧用分配律计算 9 题型七、利用换元法计算 9 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 有理数简便运算是七上有理数章节的核心基础考点，压轴题虽形式各异，但万变不离其宗——核心都是 先观察结构、再选择变形技巧、最终化繁为简。解题贯穿两条底线原则：一是 先定号、再算值（乘除看负号个数奇负偶正，加减看绝对值大小定符号与差值）；二是 先看结构、再下笔——拿到式子先别动笔，先观察有无相反数对、能否提公因式、能否分组凑整、能否拆分相消、能否配对求和，再选对应技巧。所有运算结果，最终都要用 "符号 + 绝对值"两步回归检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、裂项相消法 题型模版 1.特征：裂项相消法是数列求和、分式化简中常用的技巧，核心是将通项公式拆分成两个（或多个）项的差，使得求和时中间项相互抵消，仅保留首尾少数项，从而简化计算。其关键在于 “裂项” 的合理性 —— 拆分后与原项等价，且能形成 “抵消链”。 2.方法：一、基础形式：分式裂项（分母为相邻整数乘积） 最典型的是形如的分式，裂项公式为： = - 原理：右边通分后等于左边，即 - = = 二、扩展形式：分母为相差d的整数乘积 若分母是两个相差为d（d为常数）的整数乘积，即，裂项公式需引入系数 = （ -） 例1请先阅读下列一组内容，然后解答问题： ，，… 计算： (1) (2) 变式1-1观察下列等式： ，，，将以上三个等式相加得： ，计算： (1)； (2)； (3)； 变式1-2观察下列式子： 第1个式子：． 第2个式子：． 第3个式子：． 第4个式子：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个式子：______． (2)计算：． (3)直接写出的运算结果． 变式1-3观察下列各式：， （1）根据上述规律写出第5个等式是________； （2）规律应用：计算：； （3）拓展应用：计算：； 题型二、利用倒数法计算除法 题型模版 1.特征：适用情况：当直接算a ÷b（比如分数除法）麻烦时（例如约分不方便），可以使用这种方法。 2.方法：先算 “除数 ÷ 被除数”，也就是b÷ a（把原来的除数当被除数，被除数当除数）； 按正常除法规则（转化为乘法，定符号，算绝对值）算出 b ÷ a 的结果； 最后取这个结果的倒数，就是原来a ÷ b的答案。 符号注意：a÷b 和b÷a的符号相同（因为交换被除数和除数后，“同号得正、异号得负” 的结果不变），所以取倒数时，符号不变，只对 “绝对值” 取倒数。 例2阅读下列材料，计算：． 解法一：原式                ．                           解法二：原式的倒数为 ． 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 变式2-1阅读下列材料，计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 所以，原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法_____错误． (2)请你根据对上述材料的理解，使用上述正确的方法计算：． 变式2-2（1）计算： （2）请你认真阅读下列材料：计算： 解：因为原式的倒数为 ． 所以原式 根据你对所提供材料的理解，计算： 题型三、错位相减法 题型模版 1.特征：错位相减法是一种计算有特殊规律的加法算式的简便方法，适合这样的情况：算式里的每个数，都是前一个数乘同一个数得到的（比如后一个数是前一个数的 2 倍、3 倍等）。 2.方法：1.先把原来的加法算式写出来（叫 “原式”）； 2.给 “原式” 的两边都乘那个 “相同的倍数”，得到一个新的算式（叫 “新式”）； 3.把 “新式” 和 “原式” 错开位置（让相同的数对齐），然后用 “新式” 减 “原式”（或 “原式” 减 “新式”，看哪种方便）； 4.减完后会得到一个简单的算式，算出这个算式的结果，再除以（倍数 - 1），就是原来算式的答案。 例3根据以下材料，探索完成任务： 材料一 求的值，可令，则，因此． 材料二 求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般地把记作，读作“的圈次方”． 问题解决 问题 直接写出计算结果：___________； 问题 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：___________；___________．（且为正整数）； 问题 计算：（其中） 变式3-1求的值． 变式3-2观察下列解题过程： 计算：的值 解：设①， 则②， 由②－①，得.即原式 通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算： 变式3-3观察下列解题过程： 计算：1＋5＋52＋53＋…＋524＋525. 解：设S＝1＋5＋52＋53＋…＋524＋525，① 则5S＝5＋52＋53＋54＋…＋525＋526.② ②－①，得4S＝526－1， 所以S＝. 你能用上述方法计算下面的题吗？ 1＋3＋32＋33＋…＋39＋310. 题型四、分组法计算 题型模版 1.特征：分组结合法是一种通过合理分组，将复杂运算转化为简单运算的技巧，核心是利用 “分组后每组内的运算更简便”（如凑整、抵消等），适用于有理数加减场景。 有理数加减混合运算：凑整或抵消，当多个数相加时，可将 “互为相反数”“和为整数”“分母相同” 的数分组，简化计算。 2.方法：分组原则：根据项的 “共性”（符号、系数、字母、公式特征）分组，确保每组能简化运算； 灵活调整：若首次分组无效（如无公因式），尝试重新分组（如交换项的顺序）； 目标明确：分组的最终目的是 “降维”—— 将多步运算转化为几步简单运算（如合并、提取、公式应用）。 例4在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组，其和为1，共有1010组，所以结果为+1010. 根据这个思路学生改编了下列几题： （1）计算：① ② （2）蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位…… ①按照这个规律，第1024次爬行后蚂蚁所在位置在原点左侧还是右侧？对应哪个数？ ②按照这个规律，第 次爬行后蚂蚁在数轴上表示751的位置. 变式4-1阅读下列第（1）题中的计算方法，再计算第（2）题中式子的值． （1）﹣+（﹣9）+17+（﹣3） 解：原式=[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+[（+17）+（+）]+[（﹣3）+（﹣）] =[（﹣5）+（﹣9）+（+17）+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）+（+）+（﹣）] =0+（﹣1） =﹣1 上面这种方法叫拆项法．仿照上述方法计算： （2）（﹣2008）+（﹣2007）+4017+（﹣1） 变式4-2计算： 变式4-3计算： (1)； (2) 题型五、倒序相加法 题型模版 1.特征：倒序相加法是一种简便计算多个数相加的方法。 2.方法：先把原来的加法算式正着写出来，再把这串数倒过来写一遍（得到和原算式相等的新算式），然后把这两个算式相加。这时会发现，两个算式中对应位置的数相加的结果都一样；接着用 “这样的对数” 乘 “每对的和”，得到的是两个算式的总和；最后把这个总和除以 2，就是原来那串数相加的结果。 例5（1）①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（为正整数）表示这个数列的第项，那么 ， ； ②如果欲求的值，可令     ……………① 将①式右边顺序倒置，得    ……………② 由②加上①式，得2 ； ∴ S=_________________； 由结论求； （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（为正整数）表示这个数列的第项，那么 ， ； ②为了求的值，可令，则，因此，所以， 即.     仿照以上推理，计算 变式5-1计算： 变式5-2阅读以下材料： 高斯是近代数学奠基者之一，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面均有开创性贡献．他最出名的故事就是在他十岁时，小学老师出了一道算术难题：“计算？”．这可难为初学算术的学生，但是高斯却在几秒后得出正确的答案，他观察到：，， ，…，这么一来，就等于 ① 个101个相加，从而得 ② ． 根据以上材料，完成下列问题： (1)补全材料中①②所缺的内容； (2)计算：________；（用含n的代数式表示） (3)将若干由1开始的连续自然数写在纸上，然后删去其中一个数，则余下数的平均数为，求删去的这个数是多少？ 题型六、巧用分配律计算 例6阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 变式6-1用简便方法进行计算： (1)； (2)； (3)． 变式6-2计算： (1) (2) (3) 题型七、利用换元法计算 题型模版 1.特征：用字母（如a、b等）代替运算中反复出现的相同数、代数式或有规律的结构，把复杂的有理数运算转化为关于新变量的简单运算，最后再将新变量换回原来的表达式，得到结果。 2.方法：1.观察识别：找出原式中重复出现的复杂部分（如相同的分数、小数，或有对称结构的式子），确定需要替换的 “整体”。 2.设元替换：用新变量表示这个 “整体”，将原式中的所有对应部分替换为新变量，得到简化后的新算式。 3.简化运算：对新算式进行有理数的加减乘除等运算，得到关于新变量的结果。 4.回代还原：将新变量换回原来的 “整体”，计算出最终结果。 例7计算： 变式7-1简便计算： ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 2．问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：，，，． (1)利用规律计算：； (2)问题拓展，求； (3)问题解决： 求的值． 3．阅读材料：求1+2+22+23+…+22020的值． 解：设 S=1+2+22+23+…22020①，①×2得：2S=2+22+23+24+…+22021②， ②﹣①得2S﹣S=22021﹣1，即S=1+2+22+23+…+22020=22021﹣1． 请你仿照此法计算： （1）1+2+22+23+24+25； （2）求1+3+32+33+…+3n的值． (其中n为正整数) 4．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表： 加数m的个数 和S 1 2＝1×2 2 2+4＝6＝2×3 3 2+4+6＝12＝3×4 4 2+4+6+8＝20＝4×5 5 2+4+6+8+10＝30＝5×6 （1）按这个规律，当m＝6时，和S为　 　； （2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：S＝　 　． （3）应用上述公式计算： ①2+4+6+…+100 ②1002+1004+1006+…+1100 ③1+3+5+7+…+99 5．观察下列各式，完成下列问题。 已知1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52，…… （1）仿照上例，计算：1+3+5+7+……+99=_______ （2）根据上述规律，请你用自然数n（n≥1）表示一般规律：_______ （3）根据你所总结的规律计算121+123+……+179的值 6．计算． (1) (2) 7．计算：． 8．计算： 9．计算： (1)； (2)； (3)． 10．计算． 11．用灵活而合理的方法计算． (1) (2) (3) (4) 12．简便计算 (1) (2) (3) (4) (5) 13．阅读例题的计算方法，再用这种方法计算第（1）（2）小题． 例：计算： 解：原式＝ ＝ ＝ 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 14．先阅读两则材料，然后解决问题： 材料一：【数学家故事】高斯7岁时进入学校学习数学，有一天，他的老师布特纳布置了一道题目，要求学生计算从1加到100的总和．这个问题对于当时的孩子们来说相当困难，但高斯很快就给出了正确答案：．他使用了一种巧妙的方法，展示了非凡的数学天赋．这个方法可以这样理解： 令① 则② ①+②得：， 即． 材料二：对有理数，，定义的计算方式为：当时，；当时，．例如：；． 【解决问题】 (1)填空：_____；_____；_____； (2)已知，且，求的值： (3)设代数式，已知，是数轴上的两个点，分别表示有理数和，且线段的长为4．若数满足关系式，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $