专题01 数轴中动点的七大题型（专项训练）数学新教材浙教版七年级上册

**基本信息** 聚焦数轴动点问题，通过七大题型系统覆盖单动点分类讨论与规律探究、双动点运动、折叠对称、实际应用（年龄差）、新定义及多动点综合，构建从基础到复杂情境的解题逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|29题|按动点数量（单/双/多）、运动形式（规律/折叠）、应用场景（年龄差/新定义）分类，突出分类讨论、数形结合|从单点静态表示到多点动态变化，逐步渗透距离公式、对称性质、方程思想| |综合攻坚·知能拔高|13题|融合多知识点，提升动态几何与代数推理综合能力|整合七大题型方法，强化复杂情境下的数学抽象与逻辑推理|

专题01 数轴中动点的七大题型 常考题型·精准突破 题型1 单动点问题(分类讨论) 题型2 单动点问题(变化规律) 题型3 双动点问题 题型4 动点中的折叠问题 题型5 利用数轴上动点解决年龄差问题 题型6 新定义问题 题型7 多个动点问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆ 题型 1·单动点问题(分类讨论) 1．点为数轴上的一点，动点从点出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点．若点表示的数是，则点表示的数是__________． 2．点A为数轴上的一点，动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B．若点B到原点的距离为5个单位长度，则点A表示的数是___________． 3．已知数轴上点表示的数与点表示的数互为相反数，且两点之间的距离为10，点在点的左侧，为数轴上一动点．若点到点的距离为6，则点到点的距离为______． 4．如图，数轴上点A，B表示的数分别是，10，C是线段上的一个动点，以C为圆心，为半径画弧交数轴于点D．若，则点C表示的数是_______． 5．数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知点，表示的数分别为，3，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为_______． ◆题型 2·单动点问题(变化规律) 6．如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，重复此操作，则该动点运动到第秒时所对应的数是____． 7．如图，一动点的初始位置位于数轴上的原点，现对该动点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至点，第2次从点向左移动3个单位长度至点，第3次从点向右移动6个单位长度至点，第4次从点向左移动9个单位长度至点，依此类推，移动20次后该动点在数轴上表示的数为________  ． 8．如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 9．边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字10时停止运动，此时与数字10重合的是点___________ ◆题型 3·双动点问题 10．如图，数轴上点A、B所表示的数分别为、4．有P、Q两点分别从A、B两点出发同时以2个单位长度每秒的速度在数轴上同向运动，M、N分别是与的中点，当运动时间为4秒时，M、N两点之间的距离是________． 11．【知识引导】在数轴上，两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，例：点表示的数为2，点表示的数为，则点M，N之间的距离为． 【实际应用】如图，在一条数轴上，从左往右的点A，B，C表示的数分别是． (1)点到原点的距离是__________，A，C两点之间的距离是__________； (2)已知点和点之间的距离是2，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，t秒后，求点表示的数是多少？（用含t的式子表示） (3)已知点在点的左侧，和点的距离是2个单位长度，一动点从点出发，沿数轴运动，下表是小俊记录的点运动的情况（沿数轴向右运动记为正，向左运动记为负，例如“”表示向左运动2个单位长度，“”表示向右运动4个单位长度），在第几次运动后点与点的距离最远，此时点表示的数是多少？ 第1次 第2次 第3次 第4次 12．如图，已知数轴的单位长度为1，DE的长度为1个单位长度． (1)如果点A，B表示的数是互为相反数，A点表示的数是______，B点表示的数是______，C点表示的数是______． (2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． (3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 13．如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 14．如下图，A，B为数轴上的两个点，点A表示的数为，点B表示的数为90． (1)请写出与A，B两点距离相等的点M表示的数． (2)一只电子蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．经过多长时间，这两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度？ ◆题型 4·动点中的折叠问题 15．在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若折叠后的点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ）    A． B．2 C． D．3 16．如图，一条数轴上有A、B、C三点，其中点A，B表示的数分别是，98，现以C为折点，将数轴向右折叠．若折叠后点A落在了点处，并且点在点B的右边，与B的距离为32个单位长度，则点C表示的数是________．        17．小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为______． 18．在数轴上，点A对应的有理数为a，点B对应的有理数为b，点C对应的有理数为c，且，点C向左移动2个单位长度到达A点，再向右移动7个单位长度到达点B．若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则与点C重合的点表示的数是______． 19．根据下面给出的数轴，解答下面的问题：    (1)请根据图中，两点的位置，分别写出它们所表示的有理数，：______，：______； (2)在数轴上与点的距离为2的点所表示的数是______； (3)若经过折叠，点与表示数的点重合，则点与表示数______的点重合； (4)若数轴上，两点之间的距离为2022（点在点的左侧），且点，经过（3）中的折叠方式折叠后重合，求，两点表示的数． ◆题型5·利用数轴上动点解决年龄差问题. 20．如图，数轴上依次排列着四个点A、B、C、D，且A、B间的距离与C、D间的距离相等，点A表示的数是x．    (1)【问题提出】如图①，若A、B间的距离为4，且B、C两点到原点的距离相等，则 ①点B表示的数为______（用含x的代数式表示）； ②点C表示的数为______（用含x的代数式表示）；    (2)【类比解决】一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．” ①请在图③的数轴上大致标出现在小明的年龄数对应的点M以及他爷爷的年龄数对应的点N；    ②爷爷现在的年龄是多少岁？ 21．如图所示，数轴上依次排列着四个点，且间的距离与间的距离相等，点A表示的数是． 【问题提出】 （1）如图1，若间的距离为4，且两点到原点的距离相等，则： ①点表示的数为______（用含的代数式表示） ②点C表示的数为______（用含的代数式表示） 【初步思考】 （2）如图2，若间的距离为4，点都以每秒5个单位长度的速度沿数轴同时向右运动，当点B与C重合时，点D表示的数为，求点A运动的时间（用含的代数式表示） 【类比解决】 （3）一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了”，图3的数轴上大致标出了现在小明的年龄数对应的点以及他爷爷的年龄数对应的点，请你计算小明及爷爷现在的年龄分别是多少岁？ 22．（1）如图，把一根长度为的木棒放置在一条数轴上（数轴的个单位长度为）．木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒在数轴上水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；当它的右端移动到点时，则它的左端在数轴上所对应的数为，由此可得到木棒的长为 ． （2）借助上述方法请你运用“数轴”这个工具帮助小明解决下列问题：一天，小明去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经115岁，是老寿星了，哈哈！”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？请求出爷爷和小明现在的年龄． 23．数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础，如图，现有一木棍紧贴着数轴放置，左端点A与表示的点重合，右端点B与原点重合． (1)如图1，将木棍沿着数轴负方向平移使得点B与表示的点重合，则平移后的点A表示的数为 ；将木棍沿着数轴正方向平移使得点A与原点重合，则平移后的点B表示的数为 ． (2)如图2，M是木棍上任意一点，是木棍按照（1）沿着数轴负方向平移后的对应点，是木棍按照（1）沿着数轴正方向平移后的对应点，设对应的有理数为，对应的有理数为，则 ． (3)小明问爷爷现在的年龄是多少，爷爷说：“我像你这么大时，你还有40年才出生；等你到我这个年纪时，我已经110岁高龄了．”问小明和爷爷现在的年龄各是多少？ ◆题型 6·新定义问题 24．在数轴上，点表示的数是4，点表示的数是0，点表示的数是．定义：点在线段上，如果线段的长度有最大值，则称为点与线段的“闭距离”．例如：，当点与点重合时，．若，则的值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 25．用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则______． 26．a为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，．根据这种运算，则的值为________． 27．我们给出如下定义：数轴上给出不重合的两点、，若数轴上存在一点，且点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“雅中点”．根据上述定义，解答下列问题： (1)若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“雅中点”，则点表示的数为______； (2)若数轴上点与点的“雅中点”表示的数为2，、两点的距离为9（点在点的左侧），求点和点表示的数； (3)已知数轴上点、、表示的数分别是，，，点在点、之间运动（点可与点、重合）．设点表示的数为，且点为点与点的“雅中点”，求可取的整数． 28．定义：已知点，，为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：． 应用： 如图有一条数轴，、、为数轴上三点，分别对应，，． (1)①、两点之间的距离是__________； ②求的值； (2)若点在数轴上且，求点表示的数； (3)若点是数轴上一点，且，直接写出点表示的数． ◆题型 7·多个动点问题 29．在数轴上点A在原点的左侧，点C在原点的右侧，点A距离原点2个单位长度，点C距离原点7个单位长度，点B表示的数是最小的正整数， (1)点A、B、C表示的数分别是：________，________，________； (2)点A与点B之间的距离为________，点A与点C之间的距离为________，点B与点C之间的距离为________； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，t秒钟过后，用含t的代数式分别表示点A与点B之间的距离，点A与点C之间的距离以及点B与点C之间的距离； (4)在（3）的条件下，若点B与点C之间的距离用BC表示，点A与点B之间的距离用AB表示，则的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由：若不变，请求其值． 30．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 31．如图，在数轴上点A，B，C表示的数分别为﹣2，1，6，点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC． （1）则AB＝ 　 　，BC＝ 　 　，AC＝ 　 　． （2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变求其值． 综合攻坚·知能拔高 1．数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（    ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上点A，B，O表示的数分别是，动点P，Q同时从点A，B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 4．点，点，点在同一数轴上，点表示的数是，点表示的数是6，以点为折点，将数轴向右对折，点落到点处，若，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 5．在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是和6，点C为A、B之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，若A的对应点落在点C的右侧，且，则C点表示的数是（　　） A．1 B． C．1或-7 D．1或 6．数轴上点M表示有理数，将点M向右平移2个单位长度到达点N，点E到点N的距离为4，则点E表示的有理数为（　　） A．5 B．5或 C．或 D．4或 7．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2021次，蚂蚁最后在数轴上对应的数是（    ） A．1011 B． C．505 D． 8．在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，点从A出发，以每秒个单位长度的速度向运动，到达后立即返回，当______秒时，点到点A的距离是个单位长度． 9．数轴上，点M和P的距离记为，点A和P的距离记为．给出如下定义：若不小于，且不大于，则称点A是点P关于点M的捕获点．已知：如图，点O为原点，点N表示的数是2，点B表示的数是4，点C表示的数是5．例如：若点A表示3，则，，不小于，不大于．故点A是点O关于点N的捕获点． （1）若点A是点O关于点N的捕获点，则点A所表示数的最大值为：______． （2）若点A表示的数为a，点A既是点O关于点N的捕获点，还是点C关于点B的捕获点，写出a的取值范围：______． 10．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 11．【教材呈现】2024年北师大版七年级上册教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点，表示的数分别是，． （1）当，分别取下列值时，求，两点间的距离． ，；，；，． （2）用，表示，两点间的距离． 阅读以上内容，回答下面的问题： 【归纳概括】 （1）数轴上表示数3与6的两点之间的距离是________，数轴上表示数与6的两点之间的距离是________； （2）用，表示，两点之间的距离是________； 【解决问题】 （3）的含义是数轴上表示数与________的两点之间的距离，的含义是数轴上表示数与________的两点之间的距离； （4）请你在以下的数轴上表示和3两数的位置，当表示数的点在与3之间移动时，可以发现的值总是一个固定的值，这个值是________； （5）若动点，分别从和3同时出发，沿数轴向左运动，已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）．点表示的数为________，点表示的数为________． 12．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是0，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为2，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的3倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 13．已知A，B，P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，则称P是的“k倍点”，记作．例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为，点B表示的数为1，则P是的“2倍点”，记作． 如图，A，B，P为数轴上三点，回答下面问题： (1)______； (2)若点C在数轴上，且，则点C表示的数为______； (3)若D是数轴上一点，且，求点D所表示的数． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数轴中动点的七大题型 常考题型·精准突破 题型1 单动点问题(分类讨论) 题型2 单动点问题(变化规律) 题型3 双动点问题 题型4 动点中的折叠问题 题型5 利用数轴上动点解决年龄差问题 题型6 新定义问题 题型7 多个动点问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆ 题型 1·单动点问题(分类讨论) 1．点为数轴上的一点，动点从点出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点．若点表示的数是，则点表示的数是__________． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据数轴上的点的移动规则“左移减，右移加”进行求解即可． 【详解】解：∵动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B，点表示的数是， ∴点表示的数为； 故答案为：． 2．点A为数轴上的一点，动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B．若点B到原点的距离为5个单位长度，则点A表示的数是___________． 【答案】3或 【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据数轴上的点的移动规则，左移减，右移加，分在原点的左侧和右侧两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点B与原点的距离是5个单位长度， ∴点表示的数为或， ∵动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B， ∴点表示的数为或； 故答案为：3或． 3．已知数轴上点表示的数与点表示的数互为相反数，且两点之间的距离为10，点在点的左侧，为数轴上一动点．若点到点的距离为6，则点到点的距离为______． 【答案】16或4 【分析】先根据互为相反数且距离为10，确定表示的数，再分点在点左侧和右侧两种情况，计算点到点的距离． 【详解】解：点表示的数与点表示的数互为相反数，且两点之间的距离为10，点在点左侧， 点表示的数为，点表示的数为5． 点到点的距离为6， 当点在点左边时，点表示的数为，此时点到点的距离为16； 当点在点右边时，点表示的数为1，此时点到点的距离为4． 综上所述，点到点的距离为16或4． 故答案为：16或4 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，掌握分情况讨论点的位置，根据数轴上两点间距离公式计算是解题的关键． 4．如图，数轴上点A，B表示的数分别是，10，C是线段上的一个动点，以C为圆心，为半径画弧交数轴于点D．若，则点C表示的数是_______． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，数轴表示有理数，根据题意得到，以及，再结合分两种情况①当点D在点B左侧时，②当点D在点B右侧时，讨论求解，即可解题． 【详解】解：数轴上点A，B表示的数分别是，10， ， 由题可知， ， ①当点D在点B左侧时， ， ， ， 则点C表示的数是， ②当点D在点B右侧时， ， ， ， 则点C表示的数是， 综上所述，点C表示的数是或； 故答案为：或． 5．数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知点，表示的数分别为，3，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为_______． 【答案】0或9或 【分析】根据中点到其它两点之间的距离相等，分点分别为其它两个点的中点，三种情况进行求解即可．掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 【详解】解：①当点为点，的中点时，点表示的数为； ②当点为点，的中点时，点表示的数为； ③当点为点，的中点时，点表示的数为； 综上：点表示的数为0或9或； 故答案为：0或9或． ◆题型 2·单动点问题(变化规律) 6．如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，重复此操作，则该动点运动到第秒时所对应的数是____． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，找到动点的运动规律是解题的关键． 根据移动的方向、速度和规律进行计算找出运动的规律即可求解， 【详解】解：第个秒，即第一次向左运动秒，向右运动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第二次向左运动秒，向右运动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第三次向左运动秒，向右运动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第四次向左运动秒，向右运动秒后，这个点所对应的数为， ， ∵， 即第次秒后，再向左移动秒，此时这个点所对应的数为， ∴运动到第秒时，所对应的数为， 故答案为：． 7．如图，一动点的初始位置位于数轴上的原点，现对该动点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至点，第2次从点向左移动3个单位长度至点，第3次从点向右移动6个单位长度至点，第4次从点向左移动9个单位长度至点，依此类推，移动20次后该动点在数轴上表示的数为________  ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，数的规律探究．根据数轴上点的坐标变化和平移规律(左减右加)，分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律(相邻两数都相差3)，写出表达式就可解决问题． 【详解】解：由题意可得：移动次后该点对应的数为(为正数)； 移动次后该点对应的数为(为负数)， 移动次后该点对应的数为(为正数)， 移动次后该点对应的数为(为负数)， 移动次后该点对应的数为(为正数)， ∴移动奇数次后该点所表示的数为； 移动偶数次后该点所表示的数为． ∴移动20次后该点所表示的数为． 故答案为：． 8．如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离．先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2026次跳动的点表示的数，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为． ∴点与点O的距离是：． 故答案为：． 9．边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字10时停止运动，此时与数字10重合的是点___________ 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的规律探究问题，由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环，据此解答即可求解，找出变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环， ∵， ∴与数字重合的点， 故答案为： ． ◆题型 3·双动点问题 10．如图，数轴上点A、B所表示的数分别为、4．有P、Q两点分别从A、B两点出发同时以2个单位长度每秒的速度在数轴上同向运动，M、N分别是与的中点，当运动时间为4秒时，M、N两点之间的距离是________． 【答案】6 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，线段的中点，根据题意利用分类讨论思想解题是关键． 分点P，Q同时向右，同时向左两种情况，结合数轴上两点间的距离和线段中点的定义计算求解． 【详解】解：①当点P，Q同时向右运动时， 当运动时间为4秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵、分别是与的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴、两点之间的距离是； ②当点P，Q同时向左运动时， 当运动时间为4秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵、分别是与的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴、两点之间的距离是； 故答案为： 6． 11．【知识引导】在数轴上，两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，例：点表示的数为2，点表示的数为，则点M，N之间的距离为． 【实际应用】如图，在一条数轴上，从左往右的点A，B，C表示的数分别是． (1)点到原点的距离是__________，A，C两点之间的距离是__________； (2)已知点和点之间的距离是2，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，t秒后，求点表示的数是多少？（用含t的式子表示） (3)已知点在点的左侧，和点的距离是2个单位长度，一动点从点出发，沿数轴运动，下表是小俊记录的点运动的情况（沿数轴向右运动记为正，向左运动记为负，例如“”表示向左运动2个单位长度，“”表示向右运动4个单位长度），在第几次运动后点与点的距离最远，此时点表示的数是多少？ 第1次 第2次 第3次 第4次 【答案】(1)； (2)向右运动，秒后点表示的数为；向左运动，秒后点表示的数为 (3)在第4次运动后，点与点之间的距离最远，此时点表示的数是 【分析】本题考查数轴上的动点问题，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键． （1）两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，由此计算即可； （2）先求出点表示的数，再根据点的运动方向及速度即可求解； （3）先求出点表示的数，再计算出每次运动后点表示的数，进而计算出点与点的距离，即可求解． 【详解】（1）点到原点的距离是，、两点之间的距离是， 故答案为：，； （2）解：∵点和点之间的距离是， ∴点表示的数是， ∵动点P从点B出发，速度为2单位每秒， ∴分两种情况：若向右运动，秒后表示的数为， 若向左运动，秒后表示的数为； （3）解：∵点在点的左侧，和点的距离是个单位长度， ∴点表示的数是． ∴第1次运动后点表示的数， 则此时点与点的距离：； 第2次运动后点表示的数是， 此时点与点的距离：； 第3次运动后点表示的数是， 此时点与点的距离：； 第4次运动后点表示的数是， 此时点与点的距离：． ∵， ∴在第4次运动后，点与点之间的距离最远，此时点表示的数是． 12．如图，已知数轴的单位长度为1，DE的长度为1个单位长度． (1)如果点A，B表示的数是互为相反数，A点表示的数是______，B点表示的数是______，C点表示的数是______． (2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． (3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 【答案】(1) (2)或1 (3)4秒 【分析】本题考查了相反数、数轴及两点间的距离、数轴上的动点问题，解题的关键是利用数形结合的思想及分类讨论的思想进行求解． （1）、互为相反数，，得到、分别表示，从而确定原点位置，即而得出表示的数； （2）分两种情况进行讨论，当点在点左边时，当点在点的右边时； （3）、E表示绝对值相等，则到原点距离相等，从而确定出原点位置，根据追及问题即可求得点P追上点Q所用时间． 【详解】（1）解：∵A、B互为相反数，且， 所以A表示－1，B表示1， 所以C表示的数为5． （2）解：因为A为原点表示O，E在点A点左侧距离2个单位，所以E点表示的数是－2， 因为，所以当F点在E点左侧，点F表示的数是； 当F点在E点右侧，点F点表示的数是， 所以点F表示的数或1． （3）解：因为B、E表示的数的绝对值相等，即互为相反数，可确定原点为点A，则点B表示的数为2，点C表示的数为6， 所以点P追上点Q所用时间为， 答：运动4秒后，点P可以追上点Q． 13．如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； 【详解】（1）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； 14．如下图，A，B为数轴上的两个点，点A表示的数为，点B表示的数为90． (1)请写出与A，B两点距离相等的点M表示的数． (2)一只电子蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．经过多长时间，这两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度？ 【答案】(1)与A，B两点距离相等的点M表示的数为40 (2)经过或，这两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离． （1）根据中点公式列式计算，即可得答案； （2）分类讨论，两只蚂蚁相遇前相距35个单位长度和两只蚂蚁相遇后继续运动而相距35个单位长度，由此列式计算即可． 【详解】（1）解：点A在原点左侧，距原点10个单位长度，点B在原点右侧，距原点90个单位长度， 故A、B两点之间的距离为个单位长度， ， 由题图可知，与A，B两点距离相等的点M表示的数为40． （2）当相遇前，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时，； 当相遇后，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时，． 综上所述，经过或，这两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度． ◆题型 4·动点中的折叠问题 15．在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若折叠后的点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴和数轴上两点间的距离，图1中的长度13，图2中的，用就是的长度，用两点之间的距离公式得出点C表示的数． 【详解】解：图1：， 图2：，    ， 点C表示的数是：， 故选：C． 16．如图，一条数轴上有A、B、C三点，其中点A，B表示的数分别是，98，现以C为折点，将数轴向右折叠．若折叠后点A落在了点处，并且点在点B的右边，与B的距离为32个单位长度，则点C表示的数是________．        【答案】 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离问题，设点所表示的数为，则，点在点右侧，分别求出表示的数，根据，列出关于的方程，解出方程即可． 【详解】解：设点所表示的数为，则， ∵，点表示的数为98，并且点在点B的右边， ∴点表示的数为， 根据折叠得，， ， 解得，， 故答案为： ． 17．小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点的中点计算公式，先根据题意求出折叠点为，再由数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，得到点A在折叠点的左边，且到折叠点的距离为5，据此利用数轴上两点距离计算公式即可求出答案． 【详解】解：∵折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合， ∴折叠点为， ∵数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合， ∴点A在折叠点的左边，且到折叠点的距离为5， ∴点A表示的数为， 故答案为：． 18．在数轴上，点A对应的有理数为a，点B对应的有理数为b，点C对应的有理数为c，且，点C向左移动2个单位长度到达A点，再向右移动7个单位长度到达点B．若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则与点C重合的点表示的数是______． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴．根据各点的数值，移动情况、折叠性质求值即可． 【详解】解：点C对应的有理数为c，， 点C向左移动2个单位长度到达A点，则A点表示的数为， 再向右移动7个单位长度到达点B，则点B表示的数为4， 将数轴折叠，使得点A与点B重合，与点C重合的点记， 则， 点B表示的数为4，则点表示的数为2． 故答案为：2． 19．根据下面给出的数轴，解答下面的问题：    (1)请根据图中，两点的位置，分别写出它们所表示的有理数，：______，：______； (2)在数轴上与点的距离为2的点所表示的数是______； (3)若经过折叠，点与表示数的点重合，则点与表示数______的点重合； (4)若数轴上，两点之间的距离为2022（点在点的左侧），且点，经过（3）中的折叠方式折叠后重合，求，两点表示的数． 【答案】(1)1， (2)或3 (3)2 (4)表示的数是，点表示的数为1010 【分析】（1）数轴上可以直接看出：1，：； （2）利用与点的距离为2的点有两个，一个向左，一个向右，可得答案； （3）找到对称中心即可得答案； （4）由题意知对称中心为，以及，两点间的距离为2022，即可得，两点间的位置． 【详解】（1）数轴上可以直接看出：1，：； 故答案为：1，； （2）利用与点的距离为2的点有两个，一个向左，一个向右， 点的距离为2的点所表示的数：，， 故答案为：或3； （3）∵经过折叠，点与表示数的点重合， ∴两点的对称中心为， ∴点与表示数2的点重合， 故答案为：2； （4）∵折叠后，点与表示数的点重合，且点表示的数为1， ∴． ∴，即折叠点表示的数为． ∵，，点在点的左侧， ∴点表示的数是，点表示的数为1010． 【点睛】本题考查了数轴有关的知识，解题的关键在于要考虑周全，特别要注意折叠重合中的性质利用． ◆题型5·利用数轴上动点解决年龄差问题. 20．如图，数轴上依次排列着四个点A、B、C、D，且A、B间的距离与C、D间的距离相等，点A表示的数是x．    (1)【问题提出】如图①，若A、B间的距离为4，且B、C两点到原点的距离相等，则 ①点B表示的数为______（用含x的代数式表示）； ②点C表示的数为______（用含x的代数式表示）；    (2)【类比解决】一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．” ①请在图③的数轴上大致标出现在小明的年龄数对应的点M以及他爷爷的年龄数对应的点N；    ②爷爷现在的年龄是多少岁？ 【答案】(1)①；② (2) ①点M和点N的位置如图所示：    ②爷爷现在65岁 【分析】本题考查了数轴上两点时间的距离，相反数，列代数式．熟练掌握两点之间短距离的表示方法是解题的关键． （1）①根据A、B间的距离为4，点A表示的数是x，即可得出点B表示的数；②根据B、C两点到原点的距离相等，得出点B表示的数和点C表示的数互为相反数，即可解答； （2）①根据题意得出，则点M和点N为数轴上和120之间的三等分点，即可解答；②先求出小明和爷爷的年龄差，即可解答． 【详解】（1）解：①∵A、B间的距离为4，点A表示的数是x， ∴点B表示的数为， 故答案为∶ ； ②∵B、C两点到原点的距离相等， ∴点B表示的数和点C表示的数互为相反数， ∵点B表示的数为时， ∴点C表示的数为， 故答案为：； （2）解：①爷爷现在的年龄和小明现在年龄差为， 当爷爷像小明这么大时，小明年龄为，则年龄差为， 当小明像爷爷这么大时，爷爷120岁，则年龄差为， ∵小明和爷爷年龄差不变， ∴， 即点M到点N的距离等于点M到的距离等于点N到120的距离， ∴点M和点N为数轴上和120之间的三等分点 ②有①可知，小明和爷爷的年龄差为（岁）， ∴爷爷现在的年龄为（岁）． 21．如图所示，数轴上依次排列着四个点，且间的距离与间的距离相等，点A表示的数是． 【问题提出】 （1）如图1，若间的距离为4，且两点到原点的距离相等，则： ①点表示的数为______（用含的代数式表示） ②点C表示的数为______（用含的代数式表示） 【初步思考】 （2）如图2，若间的距离为4，点都以每秒5个单位长度的速度沿数轴同时向右运动，当点B与C重合时，点D表示的数为，求点A运动的时间（用含的代数式表示） 【类比解决】 （3）一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了”，图3的数轴上大致标出了现在小明的年龄数对应的点以及他爷爷的年龄数对应的点，请你计算小明及爷爷现在的年龄分别是多少岁？ 【答案】（1）①；②； （2）点运动的时间为秒； （3）如图， 爷爷的年龄为：65岁，小明的年龄为10岁． 【分析】本题主要考查了列代数式，以及用数轴解决实际问题，解决问题的关键是弄清题意，根据题意画出图示，找到题目中的等量关系． （1）①点表示的数为； ②由、两点到原点的距离相等，可得点表示的数为； （2）求出表示的数为，，故点运动的时间为秒； （3）根据题意画出图形，求出爷爷和小明的年龄差为55（岁），即可得爷爷的年龄为：（岁），小明的年龄为：（岁）． 【详解】解：（1）①点表示的数为； 故答案为：； ②、两点到原点的距离相等， ∴点表示的数为； 故答案为：； （2）点表示的数为， 表示的数为， ， ∴点运动的时间为秒； （3）爷爷和小明的年龄差为：（岁）， ∴爷爷的年龄为：（岁）， ∴小明的年龄为：（岁）． 22．（1）如图，把一根长度为的木棒放置在一条数轴上（数轴的个单位长度为）．木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒在数轴上水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；当它的右端移动到点时，则它的左端在数轴上所对应的数为，由此可得到木棒的长为 ． （2）借助上述方法请你运用“数轴”这个工具帮助小明解决下列问题：一天，小明去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经115岁，是老寿星了，哈哈！”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？请求出爷爷和小明现在的年龄． 【答案】（1）（2）小明的年龄为岁，爷爷的年龄为岁 【分析】本题考查数轴的应用，灵活运用数轴的几何意义是解题关键． （1）将木棒两次移动的距离转化为数轴上从到的总跨度，再根据该跨度等于倍木棒长度，从而计算出木棒长； （2）将年龄变化转化为数轴上从到的总跨度，该跨度等于倍年龄差，先求出年龄差，再据此算出小明和爷爷的年龄． 【详解】（1）解：根据题意可知，数轴上到，到，到距离相等，且都等于木棒长度， 故． 答：木棒的长为． （2）解：设点表示小明的年龄，点表示爷爷年龄，两人的年龄差为岁， 根据题意可得，当向左移动，点对应的数为， 当向右移动，点对应的数为， 故两人的年龄差为（岁）， 则点对应数即小明的年龄为（岁）， 点对应数即爷爷的年龄为（岁）． 答：小明的年龄为岁，爷爷的年龄为岁． 23．数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础，如图，现有一木棍紧贴着数轴放置，左端点A与表示的点重合，右端点B与原点重合． (1)如图1，将木棍沿着数轴负方向平移使得点B与表示的点重合，则平移后的点A表示的数为 ；将木棍沿着数轴正方向平移使得点A与原点重合，则平移后的点B表示的数为 ． (2)如图2，M是木棍上任意一点，是木棍按照（1）沿着数轴负方向平移后的对应点，是木棍按照（1）沿着数轴正方向平移后的对应点，设对应的有理数为，对应的有理数为，则 ． (3)小明问爷爷现在的年龄是多少，爷爷说：“我像你这么大时，你还有40年才出生；等你到我这个年纪时，我已经110岁高龄了．”问小明和爷爷现在的年龄各是多少？ 【答案】(1)； (2)6 (3)爷爷现在的年龄是60岁，小明现在的年龄10岁． 【分析】本题考查了数轴和数轴上两点间的距离，对数轴和数轴上两点间距离公式的概念的正确理解是解题的关键． （1）求得，由题意即可求出点、点所表示的数； （2）由（1），据此结合木棒的长，求得；；据此求解即可； （3）借助数轴，把小明与爷爷的年龄差看作木棒，把爷爷比小明大看作点移动到点，此时点所对应的数为，接下来可把小明比爷爷大时看作点移动到点，此时点所对应的数为110，据此可求出爷爷比小明大的岁数，进而可知爷爷和小明的年龄． 【详解】（1）解：由题意得， 将木棍沿着数轴负方向平移使得点B与表示的点重合，则平移后的点A表示的数为；将木棍沿着数轴正方向平移使得点A与原点重合，则平移后的点B表示的数为； 故答案为：；； （2）解：设M对应的数为， 由题意得；； ∴， 故答案为：6； （3）解：由图可知，把小明与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷是小明现在年龄时看作当点移动到点时，此时点所对应的数位， 当点移动到点时，此时点所对应的数为110， 爷爷比小明大（岁， 爷爷的年龄为（岁， 小明的年龄为（岁， 答：爷爷现在的年龄是60岁，小明现在的年龄10岁． ◆题型 6·新定义问题 24．在数轴上，点表示的数是4，点表示的数是0，点表示的数是．定义：点在线段上，如果线段的长度有最大值，则称为点与线段的“闭距离”．例如：，当点与点重合时，．若，则的值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点的距离；当点与点重合时，取得最大值． 【详解】解：若，则当点与点重合时，取得最大值， 故选：D． 25．用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，相反数的定义，根据新定义可得，，进而即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， 故答案为：． 26．a为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，．根据这种运算，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据的规定进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： 27．我们给出如下定义：数轴上给出不重合的两点、，若数轴上存在一点，且点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“雅中点”．根据上述定义，解答下列问题： (1)若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“雅中点”，则点表示的数为______； (2)若数轴上点与点的“雅中点”表示的数为2，、两点的距离为9（点在点的左侧），求点和点表示的数； (3)已知数轴上点、、表示的数分别是，，，点在点、之间运动（点可与点、重合）．设点表示的数为，且点为点与点的“雅中点”，求可取的整数． 【答案】(1) (2)点表示的数为，点表示的数为， (3)或． 【分析】本题考查两点间的距离，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义得到点到点，点的距离均为，根据两点间的距离进行求解即可； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为； （2）依题意，得点到点，点的距离均为， 因为点表示的数为2，点在点的左侧， 所以点表示的数为， 点表示的数为， （3）根据题意知，当点运动到点处时，如图1， 则点表示的数为， 此时取得最小值，为， 当点运动到点处时，如图2， 则点表示的数为， 此时取得最大值，为， 所以可取的整数为或． 28．定义：已知点，，为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：． 应用： 如图有一条数轴，、、为数轴上三点，分别对应，，． (1)①、两点之间的距离是__________； ②求的值； (2)若点在数轴上且，求点表示的数； (3)若点是数轴上一点，且，直接写出点表示的数． 【答案】(1)①8；②4； (2)2 (3)3或11 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，理解题中定义和分类讨论是解答的关键． （1）①根据两点之间的距离即可求解；②根据新定义，求得即可求解； （2）根据新定义得到点C为的中点，进而求解即可； （3）根据新定义分两种情况：点D在线段上和点D在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）解：①∵、、为数轴上三点，分别对应，，． ∴、两点之间的距离是， 故答案为：8； ②由数轴知， ∴，则； （2）解：∵点C在数轴上且， ∴，则点C为的中点， ∴点C表示的数为； （3）解：因为D是数轴上一点，且，所以． 因为点A表示的数为，点B表示的数为5，所以． 当点D在点A，B之间时，点D表示的数为； 当点D在点B的右边时，点D表示的数为． 所以点D表示的数为3或11． ◆题型 7·多个动点问题 29．在数轴上点A在原点的左侧，点C在原点的右侧，点A距离原点2个单位长度，点C距离原点7个单位长度，点B表示的数是最小的正整数， (1)点A、B、C表示的数分别是：________，________，________； (2)点A与点B之间的距离为________，点A与点C之间的距离为________，点B与点C之间的距离为________； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，t秒钟过后，用含t的代数式分别表示点A与点B之间的距离，点A与点C之间的距离以及点B与点C之间的距离； (4)在（3）的条件下，若点B与点C之间的距离用BC表示，点A与点B之间的距离用AB表示，则的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由：若不变，请求其值． 【答案】(1)-2，1，7； (2)3，9，6； (3)点A与点B之间的距离为3t+3，点A与点C之间的距离为5t+9，点B与点C之间的距离为2t+6； (4)不变，12． 【分析】本题考查数轴、列代数式，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据题意，直接写出点A、B、C表示的数即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （3）用含t的代数式写出点A、B、C表示的数，再分别表示出这三个点两两之间的距离即可； （4）将和分别代入并化简，根据其结果是否含有t即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，得点A、B、C表示的数分别是：，1，7． 故答案为：，1，7． （2）解：点A与点B之间的距离为，点A与点C之间的距离为，点B与点C之间的距离为． 故答案为：3，9，6． （3）解：t秒钟后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴t秒后，点A与B之间的距离为，点A与C之间的距离为，点B与C之间的距离为． （4）解：∵， ∴， ∴的值不随着时间t的变化而改变，其值为12． 30．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)的值不会随着t的变化而变化，定值是2 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．正确的表示数轴上两点之间的距离是解题的关键． （1）由，可知在之间，则，，即，计算求解即可； （2）由题意知，，即，计算求解即可； （3）由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，根据，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴在之间，则，， ∴， 解得，， ∴x的值为1． （2）解：由题意知，， ∵， ∴，即，或， 解得或． （3）解：的值不会随着t的变化而变化； 由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不会随着t的变化而变化，定值是2． 31．如图，在数轴上点A，B，C表示的数分别为﹣2，1，6，点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC． （1）则AB＝ 　 　，BC＝ 　 　，AC＝ 　 　． （2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变求其值． 【答案】（1）3，5，8；（2）BC−AB的值不变，理由见解析． 【分析】（1）根据点A、B、C在数轴上的位置，写出AB、BC、AC的长度； （2）求出BC和AB的值，然后求出BC−AB的值，判断即可； 【详解】解：（1）由图可得，AB＝3，BC＝5，AC＝8， 故答案为：3，5，8； （2）BC−AB的值不变． 设运动时间为t秒， 则BC−AB ＝[6＋5t−（1＋2t）]−[1＋2t−（−2−t）] ＝6＋5t−1−2t−1−2t−2−t ＝2， 故BC−AB的值不会随着时间t的变化而改变； 【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是能求出两点间的距离． 综合攻坚·知能拔高 1．数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出对应数轴上9个单位长度，结合刻度尺上对应长度为，求出数轴1个单位长度对应刻度尺长度，即可解答． 【详解】解：∵数轴上点A表示，点C表示， ∴，即对应数轴上9个单位长度． ∵刻度尺上对应长度为， ∴数轴1个单位长度对应刻度尺长度为：， ∵原点到点A的距离为个单位长度， ∴原点对应的刻度为：． 2．如图，数轴上点A，B，O表示的数分别是，动点P，Q同时从点A，B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设P，Q运动秒，写出P，Q点表示的数，计算，比较即可选出答案． 【详解】解：设P，Q运动秒， 则点表示的数为：， 点表示的数为：， ∴， ∴， ∴． 3．如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】分别求出能与点重合的点在数轴上所对应的数字，归纳一般规律即可． 【详解】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， ∵， ∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 4．点，点，点在同一数轴上，点表示的数是，点表示的数是6，以点为折点，将数轴向右对折，点落到点处，若，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的折叠问题与两点间距离的计算，解题的关键是利用折叠的对称性，结合的条件分情况讨论点的位置． 【详解】解：设点表示的数为，点表示的数为，由折叠的对称性可知，点与点关于点对称， 所以，即． 已知点表示的数是，且， 则，即． 分两种情况： 情况一：，解得． 情况二：，解得． 因此，点表示的数为或． 故选：D． 5．在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是和6，点C为A、B之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，若A的对应点落在点C的右侧，且，则C点表示的数是（　　） A．1 B． C．1或-7 D．1或 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离. 设点C表示的数为x，根据点A表示的数为，点B表示的数为6，得到，，根据，或，分类讨论即可． 【详解】解：设点C表示的数为x，由条件可知，， ∵， ∴，即，解得； 或，即，解得． 故选：D． 6．数轴上点M表示有理数，将点M向右平移2个单位长度到达点N，点E到点N的距离为4，则点E表示的有理数为（　　） A．5 B．5或 C．或 D．4或 【答案】D 【分析】根据右加，得到N表示的是为，转化为到原点距离为4，求这样的数即可． 【详解】解：因为点M表示有理数， 所以点M向右平移2个单位长度到达点N表示的数为， 所以点E到原点的距离为4， 故点E表示的数为4或， 故选D． 【点睛】本题考查了数轴上点的平移，两点间的距离问题，熟练掌握左减右加的平移规律是解题的关键． 7．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2021次，蚂蚁最后在数轴上对应的数是（    ） A．1011 B． C．505 D． 【答案】A 【分析】先得到前四次蚂蚁到达的位置，依此类推得到一般性规律，即可得到结果． 【详解】解：蚂蚁第一次到达的位置为1， 蚂蚁第二次到达的位置为-1， 蚂蚁第三次到达的位置为2， 蚂蚁第四次到达的位置为-2， …… 依此类推，第2n-1次到达n， 第2n次到达-n， 故第2021次到达1011． 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点间的距离，弄清题中的规律是解本题的关键． 8．在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，点从A出发，以每秒个单位长度的速度向运动，到达后立即返回，当______秒时，点到点A的距离是个单位长度． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上动点问题，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键．先求出距离，分从A到B点和从B点返回两种情况解答，利用距离除以速度等于时间求解即可． 【详解】解：∵点A表示的数为，点表示的数为， ∴， 点从A出发到达恰好距离A点个单位长度运动，用时秒， ∴， 到达后立即返回，再走个单位长度距离A点个单位长度，用时秒， 此时． 故答案为：或． 9．数轴上，点M和P的距离记为，点A和P的距离记为．给出如下定义：若不小于，且不大于，则称点A是点P关于点M的捕获点．已知：如图，点O为原点，点N表示的数是2，点B表示的数是4，点C表示的数是5．例如：若点A表示3，则，，不小于，不大于．故点A是点O关于点N的捕获点． （1）若点A是点O关于点N的捕获点，则点A所表示数的最大值为：______． （2）若点A表示的数为a，点A既是点O关于点N的捕获点，还是点C关于点B的捕获点，写出a的取值范围：______． 【答案】 4 【分析】本题考查了新定义，数轴上的点表示有理数，关键是新定义的阅读理解要准确． （1）根据捕获点的定义求点A所表示数的取值范围，得到最大值． （2）点A既是点O关于点N的捕获点，还是点C关于点B的捕获点，找到两个范围，取公共部分即可． 【详解】解：点A是点O关于点N的捕获点， ， ， ， ∴点A所表示数的最大值为：4． 故答案为：4． （2）∵点A是点C关于点B的捕获点， ， ， ， 点表示的数是5， 或． 点是点关于点的捕获点， ， ， ， 或， ． 故答案为：． 10．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】(1)4 (2)64岁 【分析】（1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求出一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车 ，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】（1）解：如图1， 由题意可知，三个火车的长为， 则一个火车的长为； （2）解：同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 1．【教材呈现】2024年北师大版七年级上册教材中有以下内容： 【联系拓广】 数轴上任意两点，表示的数分别是，． （1）当，分别取下列值时，求，两点间的距离． ，；，；，． （2）用，表示，两点间的距离． 阅读以上内容，回答下面的问题： 【归纳概括】 （1）数轴上表示数3与6的两点之间的距离是________，数轴上表示数与6的两点之间的距离是________； （2）用，表示，两点之间的距离是________； 【解决问题】 （3）的含义是数轴上表示数与________的两点之间的距离，的含义是数轴上表示数与________的两点之间的距离； （4）请你在以下的数轴上表示和3两数的位置，当表示数的点在与3之间移动时，可以发现的值总是一个固定的值，这个值是________； （5）若动点，分别从和3同时出发，沿数轴向左运动，已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）．点表示的数为________，点表示的数为________． 【答案】（1），； （2）； （3），； （4）如图， ； （5）①； 【分析】（1）根据数轴两点距离，用较大的数减去较小的数，即可解答； （2）根据绝对值的意义，即可求解； （3）根据绝对值的意义，即可求解； （4）根据表示到与的距离和，即可求解； （5）根据题意列出代数式即可求解． 【详解】解：（1）数轴上表示数3与6的两点之间的距离是，数轴上表示数与6的两点之间的距离是； 故答案为：，． （2）用，表示，两点之间的距离是， 故答案为：． （3）的含义是数轴上表示数与的两点之间的距离，的含义是数轴上表示数与的两点之间的距离； 故答案为：，． （4）表示到与的距离和，数的点在与3之间移动时， 故答案为：． （5）依题意，秒时，点表示的数为；点表示的数为 故答案为：；． 【点睛】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，绝对值的意义，列代数式．用有理数表示数轴上的点．利用分类讨论和数形结合的思想是解答本题的关键． 12．如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是0，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为2，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的3倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 【答案】(1)5 (2)6 (3)①当点P表示的数为1时，；②当点P表示的数为5时， (4)点P表示的数为：，此时；点P表示的数为：，此时 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）由题意可求出点表示的数为或，进而即可求出的值； （4）分两种情况讨论，当在之间时和当在点的左边时，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为0， ∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴， 故答案为：5； （2）解：∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴，即P在线段上， ∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3共6个， 故答案为：6； （3）解：∵点P到点B的距离为2， ∴点P表示的数为1或5， ①当点P表示的数为1时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为， 此时； ②当点P表示的数为5时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为， 此时； （4）解：①当P在之间时，， 点P表示的数为：， 此时； ②当P在点A左边时，，， 点P表示的数为：， 此时． 综上所述，点P表示的数为：，此时；点P表示的数为：，此时． 13．已知A，B，P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，则称P是的“k倍点”，记作．例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为，点B表示的数为1，则P是的“2倍点”，记作． 如图，A，B，P为数轴上三点，回答下面问题： (1)______； (2)若点C在数轴上，且，则点C表示的数为______； (3)若D是数轴上一点，且，求点D所表示的数． 【答案】(1)4 (2)2 (3)3或11． 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，理解题中定义和分类讨论是解答的关键． （1）根据新定义，求得即可求解； （2）根据新定义得到点C为的中点，进而求解即可； （3）根据新定义分两种情况：点D在线段上和点D在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）解：由数轴知，， ∴，则， 故答案为：4； （2）解：∵点C在数轴上且， ∴，则点C为的中点， ∴点C表示的数为， 故答案为：2； （3）解：因为D是数轴上一点，且，所以． 因为点A表示的数为，点B表示的数为5，所以． 当点D在点A，B之间时，点D表示的数为； 当点D在点B的右边时，点D表示的数为． 所以点D表示的数为3或11． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数轴中动点的七大题型 常考题型·精准突破 题型1 单动点问题(分类讨论) 题型2 单动点问题(变化规律) 题型3 双动点问题 题型4 动点中的折叠问题 题型5 利用数轴上动点解决年龄差问题 题型6 新定义问题 题型7 多个动点问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆ 题型 1·单动点问题(分类讨论) 1． 【答案】 【详解】解：∵动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B，点表示的数是， ∴点表示的数为； 故答案为：． 2． 【答案】3或 【详解】解：∵点B与原点的距离是5个单位长度， ∴点表示的数为或， ∵动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B， ∴点表示的数为或； 故答案为：3或． 3． 【答案】16或4 【详解】解：点表示的数与点表示的数互为相反数，且两点之间的距离为10，点在点左侧， 点表示的数为，点表示的数为5． 点到点的距离为6， 当点在点左边时，点表示的数为，此时点到点的距离为16； 当点在点右边时，点表示的数为1，此时点到点的距离为4． 综上所述，点到点的距离为16或4． 故答案为：16或4 4． 【答案】或 【详解】解：数轴上点A，B表示的数分别是，10， ， 由题可知， ， ①当点D在点B左侧时， ， ， ， 则点C表示的数是， ②当点D在点B右侧时， ， ， ， 则点C表示的数是， 综上所述，点C表示的数是或； 故答案为：或． 5． 【答案】0或9或 【详解】解：①当点为点，的中点时，点表示的数为； ②当点为点，的中点时，点表示的数为； ③当点为点，的中点时，点表示的数为； 综上：点表示的数为0或9或； 故答案为：0或9或． ◆题型 2·单动点问题(变化规律) 6． 【答案】 【详解】解：第个秒，即第一次向左运动秒，向右运动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第二次向左运动秒，向右运动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第三次向左运动秒，向右运动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第四次向左运动秒，向右运动秒后，这个点所对应的数为， ， ∵， 即第次秒后，再向左移动秒，此时这个点所对应的数为， ∴运动到第秒时，所对应的数为， 故答案为：． 7． 【答案】 【详解】解：由题意可得：移动次后该点对应的数为(为正数)； 移动次后该点对应的数为(为负数)， 移动次后该点对应的数为(为正数)， 移动次后该点对应的数为(为负数)， 移动次后该点对应的数为(为正数)， ∴移动奇数次后该点所表示的数为； 移动偶数次后该点所表示的数为． ∴移动20次后该点所表示的数为． 故答案为：． 8． 【答案】 【详解】解：由题意可得， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为． ∴点与点O的距离是：． 故答案为：． 9． 【答案】 【详解】解：由图可知正方形滚动一圈为个单位一个循环， ∵， ∴与数字重合的点， 故答案为： ． ◆题型 3·双动点问题 10． 【答案】6 【详解】解：①当点P，Q同时向右运动时， 当运动时间为4秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵、分别是与的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴、两点之间的距离是； ②当点P，Q同时向左运动时， 当运动时间为4秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵、分别是与的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴、两点之间的距离是； 故答案为： 6． 11． 【答案】(1)； (2)向右运动，秒后点表示的数为；向左运动，秒后点表示的数为 (3)在第4次运动后，点与点之间的距离最远，此时点表示的数是 【详解】（1）点到原点的距离是，、两点之间的距离是， 故答案为：，； （2）解：∵点和点之间的距离是， ∴点表示的数是， ∵动点P从点B出发，速度为2单位每秒， ∴分两种情况：若向右运动，秒后表示的数为， 若向左运动，秒后表示的数为； （3）解：∵点在点的左侧，和点的距离是个单位长度， ∴点表示的数是． ∴第1次运动后点表示的数， 则此时点与点的距离：； 第2次运动后点表示的数是， 此时点与点的距离：； 第3次运动后点表示的数是， 此时点与点的距离：； 第4次运动后点表示的数是， 此时点与点的距离：． ∵， ∴在第4次运动后，点与点之间的距离最远，此时点表示的数是． 12． 【答案】(1) (2)或1 (3)4秒 【详解】（1）解：∵A、B互为相反数，且， 所以A表示－1，B表示1， 所以C表示的数为5． （2）解：因为A为原点表示O，E在点A点左侧距离2个单位，所以E点表示的数是－2， 因为，所以当F点在E点左侧，点F表示的数是； 当F点在E点右侧，点F点表示的数是， 所以点F表示的数或1． （3）解：因为B、E表示的数的绝对值相等，即互为相反数，可确定原点为点A，则点B表示的数为2，点C表示的数为6， 所以点P追上点Q所用时间为， 答：运动4秒后，点P可以追上点Q． 13． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； 14． 【详解】（1）解：点A在原点左侧，距原点10个单位长度，点B在原点右侧，距原点90个单位长度， 故A、B两点之间的距离为个单位长度， ， 由题图可知，与A，B两点距离相等的点M表示的数为40． （2）当相遇前，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时，； 当相遇后，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时，． 综上所述，经过或，这两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度． ◆题型 4·动点中的折叠问题 15． 【答案】C 【详解】解：图1：， 图2：，    ， 点C表示的数是：， 故选：C． 16． 【答案】 【详解】解：设点所表示的数为，则， ∵，点表示的数为98，并且点在点B的右边， ∴点表示的数为， 根据折叠得，， ， 解得，， 故答案为： ． 17． 【答案】 【详解】解：∵折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合， ∴折叠点为， ∵数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合， ∴点A在折叠点的左边，且到折叠点的距离为5， ∴点A表示的数为， 故答案为：． 18． 【答案】2 【详解】解：点C对应的有理数为c，， 点C向左移动2个单位长度到达A点，则A点表示的数为， 再向右移动7个单位长度到达点B，则点B表示的数为4， 将数轴折叠，使得点A与点B重合，与点C重合的点记， 则， 点B表示的数为4，则点表示的数为2． 故答案为：2． 19． 【详解】（1）数轴上可以直接看出：1，：； 故答案为：1，； （2）利用与点的距离为2的点有两个，一个向左，一个向右， 点的距离为2的点所表示的数：，， 故答案为：或3； （3）∵经过折叠，点与表示数的点重合， ∴两点的对称中心为， ∴点与表示数2的点重合， 故答案为：2； （4）∵折叠后，点与表示数的点重合，且点表示的数为1， ∴． ∴，即折叠点表示的数为． ∵，，点在点的左侧， ∴点表示的数是，点表示的数为1010． ◆题型5·利用数轴上动点解决年龄差问题. 20． 【详解】（1）解：①∵A、B间的距离为4，点A表示的数是x， ∴点B表示的数为， 故答案为∶ ； ②∵B、C两点到原点的距离相等， ∴点B表示的数和点C表示的数互为相反数， ∵点B表示的数为时， ∴点C表示的数为， 故答案为：； （2）解：①爷爷现在的年龄和小明现在年龄差为， 当爷爷像小明这么大时，小明年龄为，则年龄差为， 当小明像爷爷这么大时，爷爷120岁，则年龄差为， ∵小明和爷爷年龄差不变， ∴， 即点M到点N的距离等于点M到的距离等于点N到120的距离， ∴点M和点N为数轴上和120之间的三等分点 ②有①可知，小明和爷爷的年龄差为（岁）， ∴爷爷现在的年龄为（岁）． 21． 【详解】解：（1）①点表示的数为； 故答案为：； ②、两点到原点的距离相等， ∴点表示的数为； 故答案为：； （2）点表示的数为， 表示的数为， ， ∴点运动的时间为秒； （3）爷爷和小明的年龄差为：（岁）， ∴爷爷的年龄为：（岁）， ∴小明的年龄为：（岁）． 22． 【详解】（1）解：根据题意可知，数轴上到，到，到距离相等，且都等于木棒长度， 故． 答：木棒的长为． （2）解：设点表示小明的年龄，点表示爷爷年龄，两人的年龄差为岁， 根据题意可得，当向左移动，点对应的数为， 当向右移动，点对应的数为， 故两人的年龄差为（岁）， 则点对应数即小明的年龄为（岁）， 点对应数即爷爷的年龄为（岁）． 答：小明的年龄为岁，爷爷的年龄为岁． 23． 【详解】（1）解：由题意得， 将木棍沿着数轴负方向平移使得点B与表示的点重合，则平移后的点A表示的数为；将木棍沿着数轴正方向平移使得点A与原点重合，则平移后的点B表示的数为； 故答案为：；； （2）解：设M对应的数为， 由题意得；； ∴， 故答案为：6； （3）解：由图可知，把小明与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷是小明现在年龄时看作当点移动到点时，此时点所对应的数位， 当点移动到点时，此时点所对应的数为110， 爷爷比小明大（岁， 爷爷的年龄为（岁， 小明的年龄为（岁， 答：爷爷现在的年龄是60岁，小明现在的年龄10岁． ◆题型 6·新定义问题 24． 【答案】D 【详解】解：若，则当点与点重合时，取得最大值， 故选：D． 25． 【答案】 【详解】解：由题意得，，， ∴， 故答案为：． 26． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为： 27． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为； （2）依题意，得点到点，点的距离均为， 因为点表示的数为2，点在点的左侧， 所以点表示的数为， 点表示的数为， （3）根据题意知，当点运动到点处时，如图1， 则点表示的数为， 此时取得最小值，为， 当点运动到点处时，如图2， 则点表示的数为， 此时取得最大值，为， 所以可取的整数为或． 28． 【详解】（1）解：①∵、、为数轴上三点，分别对应，，． ∴、两点之间的距离是， 故答案为：8； ②由数轴知， ∴，则； （2）解：∵点C在数轴上且， ∴，则点C为的中点， ∴点C表示的数为； （3）解：因为D是数轴上一点，且，所以． 因为点A表示的数为，点B表示的数为5，所以． 当点D在点A，B之间时，点D表示的数为； 当点D在点B的右边时，点D表示的数为． 所以点D表示的数为3或11． ◆题型 7·多个动点问题 29． 【详解】（1）解：根据题意，得点A、B、C表示的数分别是：，1，7． 故答案为：，1，7． （2）解：点A与点B之间的距离为，点A与点C之间的距离为，点B与点C之间的距离为． 故答案为：3，9，6． （3）解：t秒钟后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴t秒后，点A与B之间的距离为，点A与C之间的距离为，点B与C之间的距离为． （4）解：∵， ∴， ∴的值不随着时间t的变化而改变，其值为12． 30． 【详解】（1）解：∵， ∴在之间，则，， ∴， 解得，， ∴x的值为1． （2）解：由题意知，， ∵， ∴，即，或， 解得或． （3）解：的值不会随着t的变化而变化； 由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不会随着t的变化而变化，定值是2． 31． 【详解】解：（1）由图可得，AB＝3，BC＝5，AC＝8， 故答案为：3，5，8； （2）BC−AB的值不变． 设运动时间为t秒， 则BC−AB ＝[6＋5t−（1＋2t）]−[1＋2t−（−2−t）] ＝6＋5t−1−2t−1−2t−2−t ＝2， 故BC−AB的值不会随着时间t的变化而改变； 【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是能求出两点间的距离． 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】A 【详解】解：∵数轴上点A表示，点C表示， ∴，即对应数轴上9个单位长度． ∵刻度尺上对应长度为， ∴数轴1个单位长度对应刻度尺长度为：， ∵原点到点A的距离为个单位长度， ∴原点对应的刻度为：． 2． 【答案】A 【详解】解：设P，Q运动秒， 则点表示的数为：， 点表示的数为：， ∴， ∴， ∴． 3． 【答案】C 【详解】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， ∵， ∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 4． 【答案】D 【详解】解：设点表示的数为，点表示的数为，由折叠的对称性可知，点与点关于点对称， 所以，即． 已知点表示的数是，且， 则，即． 分两种情况： 情况一：，解得． 情况二：，解得． 因此，点表示的数为或． 故选：D． 5． 【答案】D 【详解】解：设点C表示的数为x，由条件可知，， ∵， ∴，即，解得； 或，即，解得． 故选：D． 6． 【答案】D 【详解】解：因为点M表示有理数， 所以点M向右平移2个单位长度到达点N表示的数为， 所以点E到原点的距离为4， 故点E表示的数为4或， 故选D． 【点睛】本题考查了数轴上点的平移，两点间的距离问题，熟练掌握左减右加的平移规律是解题的关键． 7． 【答案】A 【详解】解：蚂蚁第一次到达的位置为1， 蚂蚁第二次到达的位置为-1， 蚂蚁第三次到达的位置为2， 蚂蚁第四次到达的位置为-2， …… 依此类推，第2n-1次到达n， 第2n次到达-n， 故第2021次到达1011． 故选：A． 8． 【答案】或 【详解】解：∵点A表示的数为，点表示的数为， ∴， 点从A出发到达恰好距离A点个单位长度运动，用时秒， ∴， 到达后立即返回，再走个单位长度距离A点个单位长度，用时秒， 此时． 故答案为：或． 9． 【详解】解：点A是点O关于点N的捕获点， ， ， ， ∴点A所表示数的最大值为：4． 故答案为：4． （2）∵点A是点C关于点B的捕获点， ， ， ， 点表示的数是5， 或． 点是点关于点的捕获点， ， ， ， 或， ． 故答案为：． 10． 【详解】（1）解：如图1， 由题意可知，三个火车的长为， 则一个火车的长为； （2）解：同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 11． 【详解】解：（1）数轴上表示数3与6的两点之间的距离是，数轴上表示数与6的两点之间的距离是； 故答案为：，． （2）用，表示，两点之间的距离是， 故答案为：． （3）的含义是数轴上表示数与的两点之间的距离，的含义是数轴上表示数与的两点之间的距离； 故答案为：，． （4）表示到与的距离和，数的点在与3之间移动时， 故答案为：． （5）依题意，秒时，点表示的数为；点表示的数为 故答案为：；． 12． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为0， ∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴， 故答案为：5； （2）解：∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴，即P在线段上， ∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3共6个， 故答案为：6； （3）解：∵点P到点B的距离为2， ∴点P表示的数为1或5， ①当点P表示的数为1时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为， 此时； ②当点P表示的数为5时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为， 此时； （4）解：①当P在之间时，， 点P表示的数为：， 此时； ②当P在点A左边时，，， 点P表示的数为：， 此时． 综上所述，点P表示的数为：，此时；点P表示的数为：，此时． 13． 【详解】（1）解：由数轴知，， ∴，则， 故答案为：4； （2）解：∵点C在数轴上且， ∴，则点C为的中点， ∴点C表示的数为， 故答案为：2； （3）解：因为D是数轴上一点，且，所以． 因为点A表示的数为，点B表示的数为5，所以． 当点D在点A，B之间时，点D表示的数为； 当点D在点B的右边时，点D表示的数为． 所以点D表示的数为3或11． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $