第1讲定义域、值域讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数概念、定义域求法、分段函数及值域求法等核心考点，按“概念本质-方法技巧-综合应用”逻辑架构组织内容，通过考点梳理（如函数三要素辨析）、方法指导（如抽象函数定义域“括号整体进范围”）、真题训练（例题与变式题结合）等环节，帮助学生构建知识网络，突破定义域值域难点。 讲义突出分层教学与方法体系化特色，如分段函数采用“分段归类，逐段处理”口诀培养数学思维，值域求法整合观察法、配方法等7类技巧训练数学语言表达，设置基础到综合不同难度练习确保复习实效，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第1讲 定义域·值域 函数的概念、分段函数与值域求法 一、函数的概念 1. 函数的三要素. 一个函数由定义域、对应法则、值域三个要素确定,其中值域由前两者派生.判断两个函数是否为同一函数,只看两件事:定义域是否相同、对应法则是否相同,与用什么字母表示无关.例如 与 是同一函数;而 与 不是——前者的值域非负,对应法则不同. 2. 值域与定义域的关系. 值域是”能取到的函数值”的集合——既不能多,也不能漏.反过来,“给了值域反查定义域”是本类题的典型套路:先解方程 = 该值,再看定义域是解集的哪些非空子集. 例1（单选·★★☆☆☆） 已知函数的定义域，值域，则满足条件的定义域有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、求定义域 1. 具体函数的定义域. 三条铁律:分母不为零;偶次根号下非负;对数真数大于零、底数大于零且不等于 .多条限制取交集;结果是区间或区间并集,端点开闭逐一核对. 2. 抽象函数的定义域. 已知 的定义域为 ,求 的定义域,方法是“括号整体进范围”:令 ,解出 .若外层还有分母等结构,再加上额外限制. 3. 定义域是后续一切运算的前提. 化简、换元、消项都必须在定义域内进行——第 4 节求值域时会反复用到这一点. 例2（填空·★★☆☆☆） 函数的定义域为__________. 例3（填空·★★★☆☆） 已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为_______． 三、分段函数 1. 分段函数是一个函数. 它在自变量的不同范围内用不同法则,图象是几段曲线拼在一起.处理口诀:分段归类,逐段处理——求值时代入对应段;画图时逐段画;讨论最值时逐段算值域再拼接. 2. 自递推段. 形如 ()的段自己不含表达式,像”传送带”:求值时自变量每步减 ,直到走进有表达式的段;反过来,若已知 在某段有表达式,也能推出整条”传送带”上的值. 3. 分段解方程与比较大小. 解 :逐段假设、逐段求解、解出后必须回验是否落在该段,增根必舍;比较大小时按自变量的位置分段讨论,同段用单调性,异段先找分界或代入特殊值. 4. 分段含参. 参数可能出现在表达式里,也可能藏在分段点里.基本套路:先让每一段各自”规矩起来”——单调、有最值,再讨论接缝处的拼接:最小值/最大值存不存在,取决于两段值域的相对位置. 例4（填空·★★☆☆☆） 已知函数，则 = ___________. 例5（单选·★★☆☆☆） 设函数，若，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 例6（单选·★★☆☆☆） 已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例7（填空·★★★☆☆） 已知函数的最小值为，则 = ____________． 变式1（填空·★★☆☆☆） 已知函数，则 = __________． 变式2（填空·★★☆☆☆） 已知函数，则 = ________． 变式3（填空·★★★☆☆） 已知函数，则 = ________. 变式4（单选·★★★☆☆） 已知函数若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式5（单选·★★★☆☆） 已知函数若关于的方程在区间内有2027个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式6（填空·★★★☆☆） 已知函数，若存在实数、b、，满足且，则 = _____． 四、值域的求法 1. 先定义域,后值域. 求值域必须先求定义域:化简(如对数运算)、换元(如根式代换)都必须在定义域内进行,定义域一变,值域就变.这是本节最重要的一条纪律. 2. 常用方法与适用场景. ①观察法:结构简单,如 借助 ;②配方法:二次型,注意开口方向与对称轴是否在区间内;③换元法:含 时令 ,含 时可令 ,关键是写出新元的范围;④分离常数法:分母含 的线性式;⑤基本不等式:对勾函数 ,注意”一正二定三相等”;⑥单调性法:先证单调再算端点;⑦图象与几何意义:斜率型 、距离型 . 3. 含参与”存在最值”型. 形如”函数有最小值,求参数”的问题:分段算出各段值域,再讨论拼接——最小值是否存在,取决于”下界”是取得到(闭)还是取不到(开).端点的开闭差一个括号,结论就完全不同. 4. 奇偶性与值域. 奇函数图象关于原点对称,值域关于原点对称;偶函数值域关于 轴”对称取值”.已知一半区间的解析式,另一半直接对称过来,再并上特殊点(如 ). 例8（单选·★★☆☆☆） 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 例9（单选·★★☆☆☆） 若函数的定义域为，则此函数的值域为（ ） A. B. C. D. 例10（填空·★★☆☆☆） 函数的值域为______. 例11（单选·★★★☆☆） 已知函数的值域是，则 = （ ） A. 1 B. C. D. 2 变式7（单选·★★☆☆☆） 已知函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式8（单选·★★★☆☆） 已知函数为增函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 变式9（单选·★★☆☆☆） 定义在上的奇函数，当时，，则的值域为（ ） A. B. C. D. 变式10（填空·★★★★☆） 已知，若存在实数，满足有且仅有三个不同的实数使得下列关于的方程在等于时均无解．则的取值范围是___________． 变式11（填空·★★★★☆） 已知函数，若，则的单减区间是______；若的值域是，则实数的取值范围是______. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 定义域·值域 函数的概念、分段函数与值域求法 一、函数的概念 1. 函数的三要素. 一个函数由定义域、对应法则、值域三个要素确定,其中值域由前两者派生.判断两个函数是否为同一函数,只看两件事:定义域是否相同、对应法则是否相同,与用什么字母表示无关.例如 与 是同一函数;而 与 不是——前者的值域非负,对应法则不同. 2. 值域与定义域的关系. 值域是”能取到的函数值”的集合——既不能多,也不能漏.反过来,“给了值域反查定义域”是本类题的典型套路:先解方程 = 该值,再看定义域是解集的哪些非空子集. 【通法】判断同一函数:只查定义域与对应法则,不管表示字母. 【通法】由值域反查定义域:解 = 值,定义域取解集的非空子集,逐一枚举. 例1（单选·★★☆☆☆） 已知函数的定义域，值域，则满足条件的定义域有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【切入点】值域只有一个数 ,说明定义域里每个数的函数值都是 ,反过来问: 的解有几个? 由 得 ,即只有 和 这两个数的函数值是 .要使值域恰为 ,定义域 只能由 组成,且不能为空集.于是 可以是 、、,共 个.故选 C. 【通法】“由值域反查定义域”类问题,先解方程 = 值域中的值,再看定义域是这些解的非空子集,一一枚举,不重不漏. 【答案】C 二、求定义域 1. 具体函数的定义域. 三条铁律:分母不为零;偶次根号下非负;对数真数大于零、底数大于零且不等于 .多条限制取交集;结果是区间或区间并集,端点开闭逐一核对. 2. 抽象函数的定义域. 已知 的定义域为 ,求 的定义域,方法是“括号整体进范围”:令 ,解出 .若外层还有分母等结构,再加上额外限制. 3. 定义域是后续一切运算的前提. 化简、换元、消项都必须在定义域内进行——第 4 节求值域时会反复用到这一点. 【通法】求定义域:分母非零、根下非负、真数为正,多条件取交集. 【通法】抽象函数:“括号整体进范围”,外加分母等自身限制. 例2（填空·★★☆☆☆） 函数的定义域为__________. 【切入点】看到”对数函数”,第一反应是真数必须大于零,于是问题转化为解一个二次不等式. 由题意,,即 ,两根为 和 ,大于零取两边,解得 或 . 故定义域为 . 【易错】对数型函数求定义域,除了真数大于零,还要检查底数:本题底数 且 ,无需额外限制;但若底数含参数,必须一并考虑.另外化成 后,不要两边除以 ——除以字母必须讨论符号,直接用”大于取两边”最稳. 【答案】 例3（填空·★★★☆☆） 已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为_______． 【切入点】抽象函数的定义域,指的是自变量 本身的取值范围.已知 中 ,那么 里”括号内的整体”也要落在这个范围里. 第一步:由 ,解得 . 第二步:分母 ,即 . 两个条件同时满足,取交集得 . 【易错】两个坑:一是只写 忘了挖去 (分母为零);二是把 当成 的范围反解错了方向. 【答案】 三、分段函数 1. 分段函数是一个函数. 它在自变量的不同范围内用不同法则,图象是几段曲线拼在一起.处理口诀:分段归类,逐段处理——求值时代入对应段;画图时逐段画;讨论最值时逐段算值域再拼接. 2. 自递推段. 形如 ()的段自己不含表达式,像”传送带”:求值时自变量每步减 ,直到走进有表达式的段;反过来,若已知 在某段有表达式,也能推出整条”传送带”上的值. 3. 分段解方程与比较大小. 解 :逐段假设、逐段求解、解出后必须回验是否落在该段,增根必舍;比较大小时按自变量的位置分段讨论,同段用单调性,异段先找分界或代入特殊值. 4. 分段含参. 参数可能出现在表达式里,也可能藏在分段点里.基本套路:先让每一段各自”规矩起来”——单调、有最值,再讨论接缝处的拼接:最小值/最大值存不存在,取决于两段值域的相对位置. 【通法】分段函数:分段归类、逐段处理;自递推段沿”传送带”走到能算的段. 【通法】分段解方程:逐段假设、逐段检验,增根必舍. 【通法】分段含参:先分段算值域,再讨论拼接处”取得到/取不到”. 例4（填空·★★☆☆☆） 已知函数，则 = ___________. 【切入点】求 ,而 落在 这一段,代不进去,只能顺着”自递推”往里走:,直到自变量落进能直接计算的段. 因为 ,所以 ;又 ,所以 ;而 ,代入第一段: 故 . 【通法】自递推型分段函数( 这种),求值就像”传送带”:自变量每走一步减 ,直到走进有表达式的区间.写清楚每一步落段,不要跳步. 【答案】 例5（单选·★★☆☆☆） 设函数，若，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【切入点】要求 ,得先知道这里的 是多少,所以先解方程 .解分段方程的标准动作:逐段假设,逐段检验. 若 :,得 ,指数函数值恒正,无解,舍去; 若 :,即 ,得 ,满足 ,保留. 于是 .因为 ,代入第一段:.故选 D. 【易错】求出 后,题目要的是 而不是 ——审题时把”求什么”圈出来.另外 落在哪一段?本题分段点是 归第一段,别想当然. 【答案】D 例6（单选·★★☆☆☆） 已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】“有最小值”意味着两段图象拼起来,最低点是”够得着”的.分别看两段的值域,再讨论拼接. 当 时,,当且仅当 时取到最小值 ,即这一段值域为 . 当 时, 是减函数, 时 且取不到,故这一段值域为 . 要使整个函数有最小值,分两种情况: ① 若 :第一段值域 ,两段合起来最小值仍是 (在 处取到); ② 若 :两段都能取到 与 之间的值,这些值都比 小,却永远取不到下界 ,整个函数只有下界没有最小值. 综上,,故选 D. 【关键】讨论的枢纽是 与 的大小: 是对勾段的最小值, 是直线段的”下界(取不到)“.两者比一比,最小值存不存在就一目了然. 【答案】D 例7（填空·★★★☆☆） 已知函数的最小值为，则 = ____________． 【切入点】“最小值为 ”——两段都可能贡献最小值,逐段讨论,注意第二段是含参二次函数,要盯住对称轴 与区间 的位置关系. 第一段():. 当 时, 落在段内, 的最小值为 ; 当 时,段内 恒成立但 取不到, 只有下界 ,取不到. 第二段():,开口向上,对称轴 . 当 时,对称轴在区间内,最小值 ; 当 时,对称轴在区间右侧,最小值在 处取得,为 . 分两大类: ① :第二段最小值 ,第一段下界 (取不到).要最小值为 ,由 得 ,结合 取 .检验: 时第二段最小值为 ✓,第一段下界 ✓,成立; ② :两段都能取到最小值,整个函数的最小值为 .逐一令其为 :由 得 ,此时 ,两段同时取到 ✓. 综上,. 【答案】 变式1（填空·★★☆☆☆） 已知函数，则 = __________． 解: 落在 段,; 落在 段,.故 . 【答案】 变式2（填空·★★☆☆☆） 已知函数，则 = ________． 解:,故 ;又 ,故 ;而 ,代入第一段 .故 . 【答案】 变式3（填空·★★★☆☆） 已知函数，则 = ________. 解: 时 ,自变量每步减 . 一直是偶数:.而 ,代入第一段 .故 . 【答案】 变式4（单选·★★★☆☆） 已知函数若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】分段比较大小,逐段假设 的位置,同段用单调性、异段找分界;先画草图(图 1-2). 图象分三段: 上 ,由 降到 ; 上 ,由 升到 ; 上 ,由 降到 . 逐段讨论 : ① :两点都在 段,该段递减,自变量小者函数值大,恒成立; ② :再分两小段.若 ,条件化为 ,即 ,整理得 ,解得 ,故 ;若 ,右边在递增段且数值更大,不成立; ③ :两点都在 段,该段递减,恒成立. 综上,,故选 D. 【答案】D 变式5（单选·★★★☆☆） 已知函数若关于的方程在区间内有2027个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】方程的根是 ,直接讨论很困难;把 看成整体 ,先研究”方程 的根 “各对应多少个 . 先看 的取值结构:当 时 ,且 时趋于 ,故这一段值域为 ,每个值恰取到一次;当 时 ,即以 为周期重复 段的取值,故 内的每个值在 上被取到 次( 对应 ,),而小于 的 只对应 个 . 要方程恰有 个根,只能是:一个 根落在 (贡献 个 ),另一个 根小于 (贡献 个 ). 设 ,开口向上,两根 .结合二次函数图象: 即 且 ,解得 .故选 B. 【答案】B 变式6（填空·★★★☆☆） 已知函数，若存在实数、b、，满足且，则 = _____． 【切入点】 相等,而 又成等差.先想清楚: 能不能互不相同? 时, 在 上由 增到 ,在 上由 减到趋于 ——同一个函数值最多对应两个不同的自变量.若 互不相同,就要三个自变量取同一函数值,矛盾.故三者中必有两个相等,由 知相等的只能相邻,且必为一负一正. 设 ,即 ,代入 得 ,故 .记 ,则 . 由 得 .左边递增、右边递减,交点唯一,试算 :左边与右边同时取到 ,恰好相等. 于是 ,,,. 【答案】 四、值域的求法 1. 先定义域,后值域. 求值域必须先求定义域:化简(如对数运算)、换元(如根式代换)都必须在定义域内进行,定义域一变,值域就变.这是本节最重要的一条纪律. 2. 常用方法与适用场景. ①观察法:结构简单,如 借助 ;②配方法:二次型,注意开口方向与对称轴是否在区间内;③换元法:含 时令 ,含 时可令 ,关键是写出新元的范围;④分离常数法:分母含 的线性式;⑤基本不等式:对勾函数 ,注意”一正二定三相等”;⑥单调性法:先证单调再算端点;⑦图象与几何意义:斜率型 、距离型 . 3. 含参与”存在最值”型. 形如”函数有最小值,求参数”的问题:分段算出各段值域,再讨论拼接——最小值是否存在,取决于”下界”是取得到(闭)还是取不到(开).端点的开闭差一个括号,结论就完全不同. 4. 奇偶性与值域. 奇函数图象关于原点对称,值域关于原点对称;偶函数值域关于 轴”对称取值”.已知一半区间的解析式,另一半直接对称过来,再并上特殊点(如 ). 【通法】求值域先求定义域:化简、换元都必须在定义域内进行. 【通法】值域工具箱:观察、配方、换元、分离常数、基本不等式、单调性、图象与几何意义,按结构对号入座. 【通法】复合函数值域:中间变量取值 → 逐段求值域 → 取并集,端点开闭跟定义域走. 【通法】“有最值”“值域为 R”等含参问题:分段算值域,再讨论拼接处的”取得到/取不到”. 例8（单选·★★☆☆☆） 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【易错】这道题最大的陷阱:拿到就套 化简,却忘了化简之前必须先求定义域.真数 与 都要满足. 先求定义域: 得 或 ; 得 .取交集得 . 在 的前提下化简: 由 得 ,所以 ,即值域为 .故选 C. 【关键】若不先求定义域,直接化成 ,会误以为 取遍一切正数、值域为 .对比选项 A 与 C,差距全在定义域这一步. 【答案】C 例9（单选·★★☆☆☆） 若函数的定义域为，则此函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【切入点】复合 的值域,把 看成整体 :先算 在给定定义域上的取值范围,再看 的范围. 当 时,,故 ,此时 ; 当 时,,故 ,此时 . 两段并起来,值域为 ,故选 B. 【通法】“给定定义域求值域”的复合函数,按定义域分段 → 中间变量取值 → 逐段求值域 → 取并集四步走.端点开闭要跟着定义域走:本题 取得到,所以 取得到, 就写闭的. 【答案】B 例10（填空·★★☆☆☆） 函数的值域为______. 【切入点】 的值域是 ,这是指数函数的”常识”;把 看成整体,再取倒数即可. 因为 ,所以 ,且 取不到 . 于是 ,且当 时 (取不到),当 时 (取不到). 故值域为 . 【易错】两头都是开区间: 严格大于零,所以 取不到;分母趋于无穷,所以 也取不到.一个括号都不能错. 【答案】 例11（单选·★★★☆☆） 已知函数的值域是，则 = （ ） A. 1 B. C. D. 2 【切入点】式子里有 ,它是一单位圆的上半圆上的点的纵坐标;而分式 的几何意义是两点连线斜率.于是问题变成:半圆上的动点与定点连线的斜率范围. 定义域:由 得 .设动点 在半圆 上,定点 ,则 表示直线 的斜率. 当直线 与半圆相切时,斜率取到最值:设直线为 ,即 ,由圆心到切线距离等于半径: 检验切点: 时切点为 ,在下半圆,不合题意舍去; 时切点为 ,在上半圆,保留. 再看两个端点:半圆右端点 处斜率为 ;左端点 处斜率为 .如图 1-1,当 从右端点沿上半圆逆时针转到切点时,斜率从 连续增大到 . 故值域为 ,.故选 A. 【易错】切线解出的 与 不能照单全收——切点 在下半圆,不在定义域内,必须舍去.斜率范围还要与两个端点的斜率比大小,合起来才是值域. 【答案】A 变式7（单选·★★☆☆☆） 已知函数的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】值域为 ,先看”天生”能覆盖哪一部分: 时 单调递增,值域为 ,所以 段必须负责 . 时 是一次函数: 若 ,斜率 ,函数递增, 时趋于 , 时趋于 ,值域为 .要覆盖 ,需 ,即 ,得 ; 若 ,该段恒为 ,不含负数,不合题意; 若 ,斜率为负,值域为 ,也不含负数,不合题意. 综上,,故选 C. 【答案】C 变式8（单选·★★★☆☆） 已知函数为增函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【切入点】整体是”增函数”,两段各自要递增,且接缝处左边段的上端不能高于右边段的下端. 第二段 是对勾函数,在 上递减、 上递增,最小值 在 处取得.要使它在 上递增,需 . 第一段 递增,在 时趋于 ;第二段在 处的值为 .接缝不”跳高”需要 由 知 ,两边同乘 得 ,即 ,解得 或 .结合 ,得 . 故 的最小值为 ,选 C. 【答案】C 变式9（单选·★★☆☆☆） 定义在上的奇函数，当时，，则的值域为（ ） A. B. C. D. 解: 时 ,当 时 ,故 ,得 ,且 (否则 得 ,不在 内). 时,由奇函数 ,其值域与 段关于原点对称,也为 ;又 . 综上,值域为 ,选 D. 【答案】D 变式10（填空·★★★★☆） 已知，若存在实数，满足有且仅有三个不同的实数使得下列关于的方程在等于时均无解．则的取值范围是___________． 【切入点】方程 中,未知数是 ,参数是 .先解出 (),方程有解当且仅当右边的值落在 的值域 内.特别地, 时左边为 、右边为 ,永远无解—— 天然是一个”无解”的 . 记 ,分三段研究: ① :,,在 处取得最大值 ,两侧各自单调,故 时此段贡献 个 , 时贡献 个, 时贡献 个; ② :,单调递减,从 降到 ,故 时贡献 个 , 时贡献 个; ③ :,在 处取最小值 后递增,故 时贡献 个 , 时贡献 个. “有且仅有三个无解的 ”: 天然占一个,还需 恰有 个解. 当 时:① 段贡献 个,加 共 个 ✓; 当 时:① 段至多 个,② ③ 段共 个,合计至多 个 ✗; 当 时:② 段 个加 ③ 段 个,共 个,加 共 个 ✓. 故 . 【答案】 变式11（填空·★★★★☆） 已知函数，若，则的单减区间是______；若的值域是，则实数的取值范围是______. 解:第一空, 时 (),对称轴 ,开口向上,减区间为 ;第二段 ()递减,减区间为 .注意:分段函数的单调区间之间不能用 相连. 第二空:第一段 在 上,当 时其最小值为 (在 处,需 ),最大值在 或 处取得;第二段 在 上的值域为 (需 ,否则越过 值域无界). 要整体值域恰为 :下界 要求 ;上界 要求第一段在 处取到 (自动满足)且 ,即 ;第二段要求 且 ,即 . 综上 . 【答案】,; 学科网（北京）股份有限公司 $