第4章 第24讲 第1课时 三角函数的定义域、值域与单调性(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数的定义域、值域与单调性核心考点，依据课程标准构建“五点法作图—性质梳理—考点突破”的逻辑体系，通过教材梳理微课、自测诊断、考点探究（自主练透+师生共研+多维探究）等环节，结合真题讲解与方法总结，帮助学生系统掌握三角函数性质的应用规律。 讲义以“一题多变”“溯源教材”为特色，创新采用“问题情境—模型转化—规律提炼”教学策略，如在单调性求解中通过整体代换法结合基本三角函数单调区间，培养学生的数学思维与逻辑推理能力。设置分层练习（基础自测、能力提升、真题演练）和即时反馈机制，确保学生高效突破难点，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第24讲　三角函数的图象与性质 第1课时　三角函数的定义域、值域与单调性 【课程标准】　1.借助单位圆能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．　2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在［0，2π］上，正切函数在上的性质(如单调性、奇偶性、最大(小)值、图象与x轴交点等)． 1.用五点(画图)法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈［0，2π］的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈［0，2π］的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x≠kπ＋} 值域 ［－1，1］ ［－1，1］ R 续表 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调递增区间 ［2kπ－，2kπ＋］ ［2kπ－π，2kπ］ (kπ－，kπ＋) 单调递减区间 ［2kπ＋，2kπ＋］ ［2kπ，2kπ＋π］ 对称中心 (kπ，0) (kπ＋，0) (，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 学生用书⬇第99页 ［微提醒］　正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan x无单调递减区间；y＝tan x在整个定义域内不单调． ［常用结论］ 1.对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期． 2.奇偶性 (1)若函数y＝Asin (ωx＋φ)(x∈R)是奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)． (2)若函数y＝Acos (ωx＋φ)(x∈R)是奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)． (3)若y＝Atan (ωx＋φ)为奇函数，则φ＝(k∈Z)． 【自测诊断】 1.(多选)下列命题是假命题的是(　　) A．余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴 B．正切函数y＝tan x在定义域内是增函数 C．已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1 D．y＝sin |x|是偶函数 答案：ABC 2.(链接北师必修二P65A组T4)函数f(x)＝tan(2x－)的定义域是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由2x－＋kπ，k∈Z，可得x≠π＋kπ，k∈Z．故选D． 3.(链接北师必修二P32例3)函数y＝sin，x∈的单调增区间是(　　) A．　　 B． C．　　 D． 答案：C 解析：依题意，得y＝sin＝－sin.令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.所以函数y＝sin的单调增区间是(k∈Z).因为x∈，所以令k＝0，则得函数y＝sin，x∈的单调增区间是.故选C． 4.(链接北师必修二P73A组T7)已知函数f(x)＝2cos，则函数f(x)在上的值域为(　　) A．　　 B． C．　　 D． 答案：B 解析：因为x∈．故选B． 考点一　三角函数的定义域 自主练透 1.函数f(x)＝－3tan的定义域是(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由正切函数的定义域，令＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠2kπ＋，所以函数f(x)＝－3tan(＋)的定义域是.故选C． 2.函数y＝的定义域是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：依题意，得tan≥0，所以kπ≤x－＋kπ，k∈Z，所以kπ＋＋kπ，k∈Z，所以函数的定义域是．故选B． 3.在内，函数f(x)＝＋ln(sin x－)的定义域是(　　) A．　　 B． C．　　 D． 答案：C 解析：依题意，得 所以≤x＜内，函数f(x)的定义域是．故选C． 学生用书⬇第100页 4.函数y＝的定义域是　　． 答案： 解析： 要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.在同一平面直角坐标系中画出y＝sin x和y＝cos x在［0，2π］上的图象，如图所示．在［0，2π］内，满足sin x＝cos x的x的值为，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域是． 三角函数的定义域的求法 1.借助三角函数线、三角函数图象(或数轴)确定． 2.求较复杂的三角函数的定义域问题，先列出不等式(组)分别求解，再利用数轴或三角函数线求交集． ［注意］　解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．　　 考点二　三角函数的值域(最值) 师生共研 (1)(一题多变)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝sin x－cos x在［0，π］上的最大值为　　　　． 答案：2 解析：依题意，知f(x) ＝sin x－)，当x∈［0，π］时，x－，2］，故f(x)在［0，π］上的最大值为2. ［变式探究］数智赋能辅助 1.(变条件)已知函数f(x)＝3sin的最小正周期为π，则f(x)在区间上的最小值为　　　． 答案： 解析：因为函数f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，所以ω＝2，即f(x)＝3sin，当x∈时，2x＋∈，所以当2x＋＝，即x＝－时，f(x)min＝3sin＝. 2.(变条件)已知函数f(x)＝4sin＋1的定义域是［0，m］，值域为［－1，5］，则m的最大值为　　． 答案： 解析：因为x∈[0，m]，所以2x－∈［－，2m－］.因为f(x)的值域为[－1，5]，所以≤2m－≤，解得≤m≤，所以m的最大值为. (2)(一题多变)函数f(x)＝cos 2x－4cos x的值域为(　　) A．(－∞，－3］　　 B．［5，＋∞) C．［－3，5］　　 D．［－5，3］ 答案：C 解析：由f(x)＝2cos 2x－4cos x－1，令t＝cos x∈＝2t2－4t－1.由g．故选C． ［变式探究］数智赋能辅助 1.(变条件)函数f(x)＝3cos 2x－4cos x＋1，x∈［，］，当x＝　　　时，f(x)最小且最小值为　　． 答案：　－ 解析：令t＝cos x，x∈，所以t∈［－，］，y＝3t2－4t＋1＝3－.因为y＝3(t－)2－，在t∈上是减函数，所以当t＝，即x＝时，ymin＝3×－4×＋1＝－. 2.(变条件)函数f(x)＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为　　　　． 答案： 解析：设t＝sin x－cos x，则－≤t≤，t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，则sin xcos x＝，所以y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－－.所以函数的值域为. 【教师备选】　函数f(x)＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈［0，π］，则函数f(x)的值域为　　　　． 答案：［－1，1］ 解析：设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，即sin xcos x＝(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1.所以函数的值域为［－1，1］． 求三角函数的值域(最值)的三种类型及解题思路 1.形如y＝asin ωx＋bcos ωx＋c的三角函数化为y＝Asin (ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)． 2.形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可换元，先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．　　 3.形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 考点三　三角函数的单调性 多维探究 角度1　求三角函数的单调区间(高考超重点) (1)(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin单调递增的区间是(　　) A．　　 B． C．　　 D． (2)(2022·北京卷)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　) A．f(x)在上单调递减 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 答案：(1)A　(2)C 解析：(1)令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－≤x≤.因为⫋，所以函数f(x)在区间单调递增.故选A． (2)根据题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x.对于A，因为x∈，所以2x∈(－π，－)，所以函数f(x)在上单调递增，故A不正确；对于B，因为x∈，所以2x∈，所以函数f(x)在上不单调，故B不正确；对于C，因为x∈，所以2x∈，所以函数f(x)在上单调递减，故C正确；对于D，因为x∈，所以2x∈，所以函数f(x)在上不单调，故D不正确.故选C． 【溯源教材12】 溯源 (北师必修二P74T10)求下列函数的单调区间： (1)y＝3cos； (2)y＝sin． (北师必修二P38T1(3))函数y＝2cos x，当x∈时，(　　) A．在区间上单调递增，在区间［－，］上单调递减 B．在区间上单调递增，在区间［，π］上单调递减 C．在区间［0，π］上单调递增，在区间，上分别单调递减 D．在区间，上分别单调递增，在区间［0，π］上单调递减 透视 高考试题与课本习题在核心考点与解题方法上高度相似，具体体现在：函数形式一致，解题方法相同，核心步骤重合；高考题是课本习题的题型移植与参数改编，本质是课本方法的直接应用 学生用书⬇第101页 预测 函数f(x)＝sin的单调递减区间是　　　　　　． 答案：［kπ－，kπ＋］，k∈Z 解析：f(x)＝sin)的单调递增区间，由2kπ－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z．故函数f(x)的单调递减区间是［kπ－，kπ＋］，k∈Z． 角度2　利用单调性比较大小 (1)已知a＝，b＝2cos 233°－，c＝cos 31°－sin 31°，则实数a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜c＜b　　 B．c＜a＜b C．a＞c＞b　　 D．a＞b＞c (2)(2026·河南开封模拟)已知函数f(x)＝2cos(x＋)，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c　　 B．a＞c＞b C．c＞a＞b　　 D．b＞a＞c 答案：(1)D　(2)A 解析：(1)因为a＝＝sin 59°，b＝2cos 233°－＝cos 66°＝sin 24°，c＝(sin 45°cos 31°－cos 45°sin 31°)＝sin 14°.因为sin 14°＜sin 24°＜sin 59°，所以a＞b＞C．故选D． (2)由2kπ≤x＋≤2kπ＋π，k∈Z得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间是［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z)，所以f(x)在上单调递减，所以f＞f＞f，即a＞b＞C．故选A． 角度3　根据单调性求参数 (1)若函数f(x)＝tan x在区间(－，)(a＞0)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　) A．　　 B． C．　　 D． (2)(2026·重庆江北区模拟)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0≤φ＜2π)的图象关于x＝对称，且f(x)在上单调递增，则φ＝(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 答案：(1)C　(2)C 解析：(1)因为f(x)＝tan x在(－，)上是增函数，依题意，该函数在区间(－，)(a＞0)上是增函数，则有解得a≤.又因为a＞0，故0＜a≤.故选C． (2)由于f(x)的图象关于x＝对称，所以f()＝sin＝±1，＋φ＝kπ＋，φ＝kπ－，k∈Z.因为0≤φ＜2π，所以φ＝或φ＝.若φ＝，则2x＋∈，所以f(x)＝sin(2x＋)在上单调递减，不合题意；若φ＝，则2x＋∈，所以f(x)＝sin在(，)上单调递增，符合题意.故选C． 1.已知三角函数解析式求单调区间的方法 (1)代换法：第一步：将比较复杂的三角函数化简为“一角一函数”的形式，如y＝Asin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)；第二步：利用整体思想，视“ωx＋φ”为一个角，根据基本三角函数(y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x)的单调性列不等式求解． (2)图象法：画出三角函数的图象，利用图象求函数的单调区间． ［注意］　如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．同时切莫忘记考虑函数自身的定义域． 2.比较三角函数值的大小，首先看是否可以直接利用三角函数在某个单调区间上的单调性比较大小，若不能，则利用周期性进行转化求解． 3.已知三角函数单调性求参数的两种方法 一是求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；二是由所给区间求出整体角ωx＋φ的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．　　 对点练1.函数y＝|cos x|的一个单调递增区间是(　　) A．［－，］　　 B．［0，π］ C．［π，］　　 D．［，2π］ 答案：D 解析：将y＝cos x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方及x轴上的部分不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．由图象可知，D选项符合题意． 【教师备选】　设函数f(x)＝cos，则f(x)在上的单调递减区间是(　　) A．　　 B． C．　　 D． 答案：D 解析：由已知f(x)＝cos，令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，则kπ＋≤x≤kπ＋．故选D． 对点练2.若f(x)＝cos x－sin x在［－a，a］上单调递减，则实数a的最大值为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D．π 答案：A 解析：f(x)＝cos x－sin x＝，根据题意得a＞0.因为f(x)＝．故选A． 对点练3.(2026·江苏南京模拟)已知α∈，x＝ ，y＝，z＝sin αcos α，则x，y，z的大小关系是(　　) A．y＜x＜z　　 B．z＜x＜y C．x＜y＜z　　 D．z＜y＜x 答案：B 解析：因为α∈，所以0＜sin α＜＜cos α＜1，所以0＜sin αcos α＜sin α．所以y＝t是t的减函数，所以sin α＜＜＜1.y＝，x＞0是增函数，所以＜．所以z＜x＜y．故选B． 学科网（北京）股份有限公司 $