专题02 勾股定理重难点七大题型汇编（专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

专题02 勾股定理重难点七大题型汇编 常考题型·精准突破 ◆ 题型1勾股数(树)问题(高频) 1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形的面积是（    ） A．9 B．10 C．47 D．14 2．“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 3．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，，过点P作，且，得；再过点作且，得；又过点作且，得…，依此法继续作下去，得的值为（    ） A． B． C． D． ◆ 题型 2以弦图为背景的计算(重点) 5．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股定理的经典证法之一．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中，，则每个直角三角形的面积为（     ） A．24 B．30 C．36 D．49 6．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 7．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 8．【感知】如图①，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，它巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，下面是小明不完整的证明过程： 解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，图形的总面积可以表示为， 亦可表示为 ， 即可证得，． （1）将小明的证明过程补充完整； （2）若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ； 【探究】如图②，小明将图①的赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，并作出一条辅助线，其他条件没变，请利用这个图形验证勾股定理； 【应用】如图③，在中，，，，是边上的高，直接写出的长． ◆ 题型3勾股定理的应用(高频) 9．如图，是一架长米的梯子，斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子底端点离墙的距离的长为米． (1)此时梯子顶端点离地面的距离是多少米？ (2)若梯子顶端从点下滑至点的距离是米，那么梯子底端将向左滑动的距离是多少米？ 10．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上小亮拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变，其中米，米．回答下列问题： (1)若米，求小亮需向右移动的距离；（结果保留根号） (2)若小亮以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，他能否在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置； (3)在（2）的条件下，若小亮收绳t秒后，小船到F的距离刚好等于所收绳长，求t的值． 11．【综合与实践】 【主题】测量旗杆高度 【素材】某校八年1班“项目式学习小组”要开展“测量旗杆高度”的项目式学习实践．小组成员来到学校升旗礼台前，发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面上（如图①），并多出了一段，经测量，多出的这段长为2米． 【实践探索】 如图②，小组成员站在旗杆左边，将绳子的下端拉开8米，此时，下端刚好接触地面，且绳子处于绷直状态．小组成员据此很快就计算出旗杆的高度． 思考：你是否也能计算出旗杆的高度？请写出你的解答过程． 12．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 13．寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 14．如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 15．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题： (1)求的度数； (2)求出，两点间的距离． 16．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） ◆ 题型 4勾股定理的逆定理应用(高频) 19．如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．，快递投放点C的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求小区A到快递投放点C的距离． (2)在街道l上有另一个快递投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B，D之间的距离． 20．如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，连接，当点恰好在边的垂直平分线上时，求这架无人机向下飞行的距离的长． 21．如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口、，其中，，由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少？ 22．某中学计划实施空地绿化工程，负责人王老师将一块四边形空地绿化费用的预算任务交给了“求知”小组，该小组的同学把“空地绿化的合理预算”作为一项课题研究，利用课余时间完成了实践调查报告． 研究课题 空地绿化的合理预算 研究目的 学会运用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题 测量工具 测角仪、卷尺 研究方式 走访调研、实地勘察测量 研究方案及测量数据 测量示意图： 相关数据及说明： ①在四边形中，； ②多次测量并求取平均值后的相关长度如图所示； ③测量示意图中1cm代表实际距离10m； ④每平方米的绿化费用为60元． 计算结果 …… 请根据调查报告，计算绿化这块空地所需的费用． 17．为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 18．内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为、，公路总长，工程车周边120米范围为噪声影响区域． (1)求的度数； (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (3)若压路工程车行驶速度为每分钟，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ ◆ 题型5最短路径问题(难) 23．如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（     ） A．13cm B． C．8cm D． 24．如图，家用小型长方体保温箱，蚂蚁位于保温箱底部处，它想到箱体顶部点寻找掉落的面包碎屑，它沿长方体的侧面爬行的最短距离是（   ）． A． B． C． D． 25．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 26．如图，在一个长为 ，宽为 的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为 的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是（   ） A． B． C． D． 27．如图，圆柱形水桶的桶高为，底面周长为，在桶内壁离桶底的点A处有一滴污渍，此时，一只小虫正好在桶外壁上，它在离桶上沿，且与污渍A在同一轴截面相对的点B处，则小虫从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为（桶壁厚度不计）（    ） A． B． C． D． 28．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（   ） A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 ◆ 题型6全等三角形与勾股定理探索综合(高频) 29．完成以下问题 (1)问题：如图1，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），连接，过点A作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是 ，位置关系是 ． (2)探索：如图2，当D点为边上一点（不与点B，C重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索线段、、之间满足的等量关系，并证明你的结论； (3)拓展：如图3，在四边形中，，若，，请直接写出线段的长． 30．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： (1)如图①，中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考： 由已知和作图能得到，依据是________．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________； (2)【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，求线段的长； (3)【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段三者之间的等量关系，并证明你的结论． 31．【探究题建立模型】如图1，在四边形中，，称四边形为对角互补四边形．连接，当平分时，可证，请补充以下证明步骤： 证明：如图2，过点A分别作与延长线的垂线，分别交的延长线于点F、E， ∵是的角平分线，且 （角平分线上的点到角两边的距离相等） ， ， ∴______=______（______）（请补充剩余证明） 【应用模型】如图3，在四边形中，，平分，可得的关系，请证明此结论， 【拓展拔高】如图4，在等边中，点D为的中点，E，F分别是边上的点，且，若，则的长为______，的面积为______． 32．已知，，分别在边，上取点，，使，过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点．点，分别是射线，上动点，连接，，． (1)求证：； (2)如图1，当点，分别在线段，上，且时，请求出线段，，之间的等量关系式； (3)如图2，当点，分别在，的延长线上，且时，延长交于点，延长交于点．请猜想线段，，之间的等量关系，并证明你的结论． ◆ 题型7垂美四边形问题(难) 33．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．若，则__________． 34．规定：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解 如图1，在四边形中，对角线，交于点，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究 如图2，四边形是垂美四边形，其对角线，交于点． 猜想：与有什么关系？并证明你的猜想； （3）解决问题 如图3，在中，，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，，连接，，．已知，，求的长． 35．对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O．若，则的值为（    ） A．20 B．16 C．18 D．25 36．我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)[概念理解] 如图1，四边形的对角线与相交于点O，若，试证明四边形为垂美四边形，并求的长度； (2)[性质探索] 如图2，垂美四边形的对角线与相交于点O，猜想与有何关系?并证明你的猜想． (3)[解决问题] 如图3，是长方形的一条对角线，过点A作于E，延长交于点F，，若，求的长度． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，长为的橡皮筋放置在水平的轴上，固定两端和，然后把中点垂直向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了(     ) A． B． C． D． 2．如图，将一根长的吸管放进一个底面直径为，高为的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是（     ） A． B． C． D． 3．如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（   ） A． B． C． D． 4．某长方形零件尺寸（单位：）如图，则两圆孔中心和之间的距离为（） A． B． C． D． 5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 6．如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 8．如图，一只蚂蚁要沿长为，宽为，高为的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为，蚂蚁爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 9．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第2026个图形中正方形的个数为（     ） A．2027 B． C． D． 10．我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 11．如图，和均为等腰直角三角形，，D为的中点，绕点D旋转，连接． (1)如图1，在旋转的过程中，写出和的数量关系是 ； (2)如图2，当点M，N在内且C，M，N三点共线时，写出的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点M，N在外且C，M，N三点共线时，直接写出的数量关系． 12．在中，是上的动点，点在的三边上移动． (1)如图1，当是的中点，点在上，时．若，求的长． (2)如图2，当点在上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处时．若，求的长． (3)如图3，当点在上，时，若，，求证：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理重难点七大题型汇编 常考题型·精准突破 题型1勾股数（树）问题（高频） 题型2以弦图为背景的计算（重点） 题型3勾股定理的应用（高频） 题型4勾股定理的逆定理应用（高频） 题型5最短路径问题（难） 题型6全等三角形与勾股定理探索综合（高频） 题型7垂美四边形问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆ 题型1勾股数(树)问题(高频) 1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形的面积是（    ） A．9 B．10 C．47 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键是理解勾股树的结构特征：每个直角三角形的三条边分别对应三个正方形的边长，且以斜边为边的正方形面积等于以两条直角边为边的正方形面积之和．先利用勾股定理求出中间两个正方形的面积，再求出最大正方形E的面积． 【详解】解：设正方形的面积和为的面积和为，由勾股定理得， ， ， 最大正方形的面积为． 故选：C． 2．“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股树的特征，正方形的面积等于其上方两个分支正方形面积之和，由此求出中间两个正方形的面积及边长，过点作交的延长线于点，证明，得到，，再在中，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 由勾股树性质可知，正方形面积等于其上方两个小正方形面积之和， ∴为边长的正方形面积为，边长；为边长的正方形面积为，边长； ∵图形由正方形和直角三角形构成， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴中，． 3．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出，根据数的变化找出变化规律“”，依此规律即可得出结论． 【详解】∵正方形的边长为，为等腰直角三角形， ∴，， ∴． 观察，发现规律：，，，，， ∴， 当时，， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律 “”是关键． 4．如图，，过点P作，且，得；再过点作且，得；又过点作且，得…，依此法继续作下去，得的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案． 【详解】解：∵OP=1，，， 同理：， ∴， 故选：C ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律． ◆ 题型 2以弦图为背景的计算(重点) 5．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股定理的经典证法之一．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中，，则每个直角三角形的面积为（     ） A．24 B．30 C．36 D．49 【答案】B 【分析】由题意可得，再与已知条件联立，利用完全平方公式即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为． 6．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若正方形的边长为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式，代数式的整体代入求值等知识点． 设八个全等的直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为，得到正方形的面积，根据图形中的几何关系利用完全平方公式得到，，整体代入得到． 【详解】解：设八个全等的直角三角形中每个小直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为， ， 正方形的边长为， ， 正方形的面积为， 正方形的面积为， ． 7．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． 8．【感知】如图①，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，它巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，下面是小明不完整的证明过程： 解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，图形的总面积可以表示为， 亦可表示为 ， 即可证得，． （1）将小明的证明过程补充完整； （2）若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ； 【探究】如图②，小明将图①的赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，并作出一条辅助线，其他条件没变，请利用这个图形验证勾股定理； 【应用】如图③，在中，，，，是边上的高，直接写出的长． 【答案】（1） （2）5； 探究：图形的总面积可以表示为， 亦可表示为， ， ； 应用： 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明和应用、完全平方公式与几何图形的面积等知识点． （1）根据大正方形的面积还可以表示为4个直角三角形与一个小正方形的面积的和，表示出来即可； （2）观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出小正方形的面积； 探究：根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； 应用：设，则，由勾股定理得，，即可得关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，图形的总面积可以表示为， 亦可表示为， 即可证得，． 故答案为：； （2）由可知， ∵大正方形的面积为13， ∴， ∴， ∴小正方形的面积为， 故答案为：5； 探究：略 应用：设，则， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 解得， ∴． ◆ 题型3勾股定理的应用(高频) 9．如图，是一架长米的梯子，斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子底端点离墙的距离的长为米． (1)此时梯子顶端点离地面的距离是多少米？ (2)若梯子顶端从点下滑至点的距离是米，那么梯子底端将向左滑动的距离是多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）使用勾股定理直接计算即可； （2）先求出的长，再使用勾股定理求出，最后求出即可． 【详解】（1）解：在中，（米）； （2）解：（米）， ∵滑动不会改变梯子的长度， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）． 答：梯子底端将向左滑动的距离是米． 10．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上小亮拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变，其中米，米．回答下列问题： (1)若米，求小亮需向右移动的距离；（结果保留根号） (2)若小亮以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，他能否在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置； (3)在（2）的条件下，若小亮收绳t秒后，小船到F的距离刚好等于所收绳长，求t的值． 【答案】(1)米 (2)能 (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）求出20秒小亮收绳的长度，再加上的长度后与的长度比较即可得到结论； （3）根据题意可得米，米，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 在中，由勾股定理得：（米）， 由题意得，（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， ∴米， 答：小亮需向右移动的距离为米． （2）解：∵，， ∴小亮能在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置； （3）解：由题意可得：米，米 在中，由勾股定理可得， 即， 解得， ∴t的值为． 11．【综合与实践】 【主题】测量旗杆高度 【素材】某校八年1班“项目式学习小组”要开展“测量旗杆高度”的项目式学习实践．小组成员来到学校升旗礼台前，发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面上（如图①），并多出了一段，经测量，多出的这段长为2米． 【实践探索】 如图②，小组成员站在旗杆左边，将绳子的下端拉开8米，此时，下端刚好接触地面，且绳子处于绷直状态．小组成员据此很快就计算出旗杆的高度． 思考：你是否也能计算出旗杆的高度？请写出你的解答过程． 【答案】解：设旗杆高度为x米，则绳子长度为米， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 即旗杆的高度为15米． 【分析】设旗杆高度为x米，则绳子长度为米，利用勾股定理解即可． 【详解】略 12．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【答案】(1)米； (2)米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 13．寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 14．如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 【答案】(1)海里 (2)本次航行符合安全标准，理由如下： 如图，过点作于， ∵海里，海里，海里，， ∴， ∴， 解得：， 设海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵航行的平均速度为每小时海里， ∴航行时长小时，满足安全标准． 【分析】（1）根据方位角的定义得出，海里，海里，利用勾股定理求出，即可得出答案； （2）过点作于，利用“等积法”求出，设海里，根据等腰三角形的性质及勾股定理求出海里，进而求出海里，根据时间距离速度，即可求出从到所用时间，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∵港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∴， ∴（海里）， ∴港口到港口的直线距离为海里． （2）解：本次航行符合安全标准，理由略 15．校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题： (1)求的度数； (2)求出，两点间的距离． 【答案】(1) (2)15米 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ； （2）解：米， 在中，由勾股定理得， 米， ，两点间的距离为米． 16．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． ◆ 题型 4勾股定理的逆定理应用(高频) 19．如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．，快递投放点C的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求小区A到快递投放点C的距离． (2)在街道l上有另一个快递投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B，D之间的距离． 【答案】(1)小区A到快递投放点C的距离为 (2)快递投放点B，D之间的距离为 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵小区A在点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 20．如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，连接，当点恰好在边的垂直平分线上时，求这架无人机向下飞行的距离的长． 【答案】(1) (2)这架无人机向下飞行的距离的长为米 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，在中，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是直角三角形，． （2）解：设米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米，米，                         在中，， ，                                 解得， 答：这架无人机向下飞行的距离的长为米． 21．如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口、，其中，，由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少？ 【答案】(1)解：∵，，， ∴，， ∵ ∴ ∴是直角三角形， ∴ ∴从村庄到公路，是距离最近的路； (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，得到，即可说明； （2）利用勾股定理运算出的长，再作比较即可． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴在中，， ∴． 22．某中学计划实施空地绿化工程，负责人王老师将一块四边形空地绿化费用的预算任务交给了“求知”小组，该小组的同学把“空地绿化的合理预算”作为一项课题研究，利用课余时间完成了实践调查报告． 研究课题 空地绿化的合理预算 研究目的 学会运用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题 测量工具 测角仪、卷尺 研究方式 走访调研、实地勘察测量 研究方案及测量数据 测量示意图： 相关数据及说明： ①在四边形中，； ②多次测量并求取平均值后的相关长度如图所示； ③测量示意图中1cm代表实际距离10m； ④每平方米的绿化费用为60元． 计算结果 …… 请根据调查报告，计算绿化这块空地所需的费用． 【答案】元 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，且，利用两个直角三角形面积的和求出四边形的面积，再用面积乘以每平方米的绿化费用即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴是直角三角形，且， ∵图中代表实际距离， ∴，，，， ∴四边形的面积为：， ∴（元）． ∴绿化这块空地所需的费用为元． 17．为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)没有超速，理由： 结合（1）可得小汽车的速度为； ； 这辆小汽车没有超速行驶． 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ； （2）略 18．内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为、，公路总长，工程车周边120米范围为噪声影响区域． (1)求的度数； (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (3)若压路工程车行驶速度为每分钟，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 【答案】(1)； (2)学校会受噪声影响 理由如下：过点作于点， 根据三角形面积公式可得， ； 压路工程车周围以内为受噪声影响区域，且， 学校会受噪声影响； (3)分钟． 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可解答； （2）根据三角形面积公式求得的值，即可解答； （3）在上取一点，使，连接，求得的长即可解答． 【详解】（1）解：点与直线上两点，的距离分别为和，， ，． 是直角三角形，且； （2）略 （3）解：在上取一点，使，连接， ， 当压路工程车在线段上时产生的噪声会影响学校． ， ， 在中， ，． ，（分钟）， 答：压路工程车产生的噪声影响该学校持续的时间为分钟． ◆ 题型5最短路径问题(难) 23．如图，一个圆柱形食品盒高为10cm，底面圆的周长为12cm，点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是（     ） A．13cm B． C．8cm D． 【答案】B 【分析】将圆柱侧面展开，构建直角三角形，确定两直角边的长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将圆柱侧面沿过点的母线展开，如图所示： ∵圆柱底面周长为，高为，点为对侧中点， ∴在展开图中，点到点的水平距离为底面周长的一半，即， 点到底面的垂直距离为高的一半，即， ∴由勾股定理，得蚂蚁爬行的最短路程为 ． 24．如图，家用小型长方体保温箱，蚂蚁位于保温箱底部处，它想到箱体顶部点寻找掉落的面包碎屑，它沿长方体的侧面爬行的最短距离是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三种情况，展开长方体的侧面，分别利用勾股定理求出的长，比较大小即可． 【详解】解：展开长方体的侧面（如图），连接， 由勾股定理得， 图（1）中， 图（2）中， 图（3）中， ， 它沿长方体的侧面爬行的最短距离是10． 25．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 26．如图，在一个长为 ，宽为 的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为 的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理解决最短距离问题，将长方体木块拉伸，结合两点间距离及勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可得，如图所示， ∴， ∴最短路程是：． 27．如图，圆柱形水桶的桶高为，底面周长为，在桶内壁离桶底的点A处有一滴污渍，此时，一只小虫正好在桶外壁上，它在离桶上沿，且与污渍A在同一轴截面相对的点B处，则小虫从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为（桶壁厚度不计）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将水桶侧面展开，作B关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 将水桶侧面展开，作B关于的对称点， 连接，则即为最短距离， 由题意得：，， ∴， ∵底面周长为， ∴， ∴， 所以，小虫从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为． 28．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（   ） A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长为米，柱身高为6米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙长至少为（米）， 故选：A． ◆ 题型6全等三角形与勾股定理探索综合(高频) 29．完成以下问题 (1)问题：如图1，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），连接，过点A作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是 ，位置关系是 ． (2)探索：如图2，当D点为边上一点（不与点B，C重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索线段、、之间满足的等量关系，并证明你的结论； (3)拓展：如图3，在四边形中，，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)结论： 证明：如图，连接， ， ， ， 在和中，， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在 中：， ． (3) 【分析】（1）由 和 得，结合、， 证，得．再由全等得，而，故 ，即 ． （2）连接，由 ，得，结合、，证 ，得 ，．由 为等腰直角三角形得，故，从而．由勾股定理得 ，即． （3）过作，使，通过构造等腰直角三角形，先证，得 ．由 和为等腰直角三角形得，从而．由勾股定理求，再在等腰中求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ． 在和中，， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． （2）略 （3）解：如图，过作，使，连接 、． ， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， 为等腰直角三角形，， ， 在 中，， ， 设 ， 则， ，解得， ． 30．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： (1)如图①，中，若，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考： 由已知和作图能得到，依据是________．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________； (2)【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，求线段的长； (3)【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)8 (3) 解：等量关系为：．         理由如下：延长到点G，使，连接，，如图所示： ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴中，由勾股定理得：， ∴． 【分析】（1）由已知和作图得到，得到，根据三角形三边关系得到； （2）延长到M，使，连接， 根据，推出，根据，推出，得到，，根据，得到，得到； （3）延长到点G，使，连接，，根据线段垂直平分线性质得到，根据，推出，得到，，根据，得到，中，由勾股定理得：，即得． 【详解】（1）由已知和作图得到，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． （2）延长到M，使，连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． （3）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握倍长中线法构造全等三角形，三角形全等的判断和性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形的判断和性质，勾股定理解直角三角形，三角形三边关系，是解决问题的关键． 31．【探究题建立模型】如图1，在四边形中，，称四边形为对角互补四边形．连接，当平分时，可证，请补充以下证明步骤： 证明：如图2，过点A分别作与延长线的垂线，分别交的延长线于点F、E， ∵是的角平分线，且 （角平分线上的点到角两边的距离相等） ， ， ∴______=______（______）（请补充剩余证明） 【应用模型】如图3，在四边形中，，平分，可得的关系，请证明此结论， 【拓展拔高】如图4，在等边中，点D为的中点，E，F分别是边上的点，且，若，则的长为______，的面积为______． 【答案】 探究题建立模型：如图1，在四边形中，，称四边形为对角互补四边形．连结，当平分时，可证，请补充以下证明步骤： 证明：如图2，过点A分别作与延长线的垂线，分别交的延长线于点F、E， ∵是的角平分线，且 （角平分线上的点到角两边的距离相等） ， ， ∴（同角的补角相等） ∴， ∴， ∴ ∴ 应用模型：延长到点E，使得， ∵在四边形中， ∴ ∵， ∴， ∵，平分， ∴由【探究题建立模型】的证明可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 拓展拔高：， 【分析】探究题建立模型：证明，即可得到结论； 应用模型：延长到点E，使得，证明，，得到，则，由即可得到结论； 拓展拔高：连接，作于点H，连接，作于点H，证明，证明是等腰直角三角形，求出，得到，则，解得，求出，，根据三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】略 【应用模型】略 【拓展拔高】连接，作于点H， ∵在等边中，点D为的中点， ∴，， ∴ ∵ ∴， 在中， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， 在中， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：， 【点睛】此题考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，综合性较强，添加合适的辅助线是关键． 32．已知，，分别在边，上取点，，使，过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点．点，分别是射线，上动点，连接，，． (1)求证：； (2)如图1，当点，分别在线段，上，且时，请求出线段，，之间的等量关系式； (3)如图2，当点，分别在，的延长线上，且时，延长交于点，延长交于点．请猜想线段，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) 证明：，， 为等腰直角三角形， ， 又，且， ， ， ， 同理，， 又， 在与中， ， ， ，，， ∴， (2) (3) ．证明如下： 如图2，延长到点，使得，连接． ，， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， 又， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证：， 在中，． 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理等有关知识，通过添加辅助线构造全等三角形，通过证明全等三角形得到线段之间的关系是解题的关键． （1）通过，得到为等腰直角三角形，进而得到，根据过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点，可推出，，最后通过证明 ，可以得出结论； （2）在射线上取点，使，连接，通过证明≌，得到，，再结合，推导证明 ，得到，最后等量代换线段即可求解； （3）延长到点，使得，连接，通过证明 ，得到，，再结合，推导证明 ，得到，根据，等量代换可知，又因为，推出，进而得到，同理可证，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图1， 在射线上取点，使，连接， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又 ． （3）略 ◆ 题型7垂美四边形问题(难) 33．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．若，则__________． 【答案】34 【分析】在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴ ． 34．规定：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解 如图1，在四边形中，对角线，交于点，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究 如图2，四边形是垂美四边形，其对角线，交于点． 猜想：与有什么关系？并证明你的猜想； （3）解决问题 如图3，在中，，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，，连接，，．已知，，求的长． 【答案】（1）是， 理由：，， ， ∴四边形是垂美四边形； （2），理由如下： 四边形是垂美四边形， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ； （3） 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，进而根据垂美四边形的定义即可求证； （）由垂美四边形的定义可得，进而根据勾股定理即可求解； （）设交于点，交于点，由勾股定理得，再根据等腰直角三角形的性质可得，，再证明四边形是垂美四边形，进而根据（）的结论解答即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图，设交于点，交于点， 在中，，， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， 与都是等腰直角三角形， ，，， ， 即， ， ， 又， ， ， ∴四边形是垂美四边形， 由（）得：， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解新定义是解题的关键． 35．对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O．若，则的值为（    ） A．20 B．16 C．18 D．25 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，证明，再由勾股定理得，，然后证明，即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得：，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 36．我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)[概念理解] 如图1，四边形的对角线与相交于点O，若，试证明四边形为垂美四边形，并求的长度； (2)[性质探索] 如图2，垂美四边形的对角线与相交于点O，猜想与有何关系?并证明你的猜想． (3)[解决问题] 如图3，是长方形的一条对角线，过点A作于E，延长交于点F，，若，求的长度． 【答案】(1) 四边形是垂美四边形，理由如下： ∵， ∴， ∵即， ∴为直角三角形， ∴， ∴四边形 是垂美四边形； ∴； (2) 猜想，证明如下： ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理得： ，， ∴； (3) 【分析】题目主要考查勾股定理及其逆定理的应用； （1）直接利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，利用新定义即可判定，再由勾股定理求解即可； （2）先根据垂美四边形的定义可得，再利用勾股定理解答即可； （3）连接，则四边形是垂美四边形，根据题意得出，，利用（2）的结论代入求解即可； 理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． 【详解】（1）解：略； （2）略； （3）如图所示，连接，则四边形是垂美四边形，    ∵，长方形，， ∴，， 由（2）结论得： 即， ∴， 解得：， ∴． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，长为的橡皮筋放置在水平的轴上，固定两端和，然后把中点垂直向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离． 【详解】解：由题意可知：垂直平分， ∴， ∵点是的中点，， ∴， 在中，，； 根据勾股定理，得：； ； 故橡皮筋被拉长了． 2．如图，将一根长的吸管放进一个底面直径为，高为的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算吸管在杯内长度的最小值和最大值，从而确定杯外长度的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设吸管在杯内的长度为，在杯口外的长度为，则， 当吸管竖直放置时，取最小值，此时取最大值； 当吸管倾斜放置，底端与杯底边缘接触，顶端与杯口相对边缘接触时，取最大值，由勾股定理得，此时取最小值； ∴， ∴吸管在杯口外的长度不可能是． 3．如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再用两直角边的和减去斜边的长度即可得出少走的距离． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为． 这是一个直角三角形， 由勾股定理得：． 原路程为， 少走的距离为． 4．某长方形零件尺寸（单位：）如图，则两圆孔中心和之间的距离为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形标注的尺寸，利用减法求出直角三角形的两条直角边和的长度，再利用勾股定理计算斜边的长即可． 【详解】解：由图可知，在中， ，， 根据勾股定理得：． 5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】勾股定理求出梯子的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据线段的和差关系即可得出结果. 【详解】解：由题意和勾股定理，得， ， ∴，即小巷的宽为. 6．如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由勾股定理求得，则，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：在长方形中，，，， 由折叠性质得，， 在中，， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴，解得． 7．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【分析】根据题意确定延长的直角边，利用勾股定理求出“数学风车”叶片的斜边长，再根据周长公式计算即可． 【详解】解：，，， 为较短的直角边， 将较短的直角边向外延长一倍， 延长部分， 新直角三角形的直角边， 在中，由勾股定理得：， “数学风车”的周长为． 8．如图，一只蚂蚁要沿长为，宽为，高为的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为，蚂蚁爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把长方体的侧面展开，分三种情况求出线段的长，进而比较即可求解． 【详解】解：∵两点之间，线段最短， ∴蚂蚁沿着线段爬行时，路径最短， 把长方体的侧面展开，有三种情况： 如图①， ∵ ，， ∴； 如图②， ∵ ，， ∴； 如图③， ∵ ，， ∴； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是． 9．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第2026个图形中正方形的个数为（     ） A．2027 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题图可知，第1个图形有1个正方形， 第2个图形中共有个正方形， 第3个图形中共有个正方形， 第4个图形中共有个正方形， 第5个图形中共有个正方形， …… 第2026个图形中共有个正方形． 10．我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 【答案】(1)证明：由图可得，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴， ∴， ∴． (2)48 (3) 【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形的面积的和，即可求解； （2）设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，，可得，，，即可求解； （3）延长交于点，证明，可得，可得，在中，，，，可得，再证明，可得，，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，， ∴，，， ∴ ． （3）解：如图，延长交于点， ∵正方形的边长为10， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴在中，． 11．如图，和均为等腰直角三角形，，D为的中点，绕点D旋转，连接． (1)如图1，在旋转的过程中，写出和的数量关系是 ； (2)如图2，当点M，N在内且C，M，N三点共线时，写出的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点M，N在外且C，M，N三点共线时，直接写出的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵是等腰三角形， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， 当点C，M，N三点共线时，， ∴； (3) 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质得，再说明，然后根据“边角边”证明，可得； （2）先根据等腰三角形的性质得出，再结合（1）可得 ，进而得出，则此题可证； （3）由（2）知，由（1）知，可得，再根据可得，则此题可证． 【详解】（1）解：连接， ∵和都是等腰直角三角形，，点D为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：理由如下：由（2）知，由（1）知， ∴， 当点C，M，N共线时， ∴， 即． 12．在中，是上的动点，点在的三边上移动． (1)如图1，当是的中点，点在上，时．若，求的长． (2)如图2，当点在上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处时．若，求的长． (3)如图3，当点在上，时，若，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，运用勾股定理得，再结合等面积法列式计算，即可作答． （2）先根据勾股定理得，又因为将沿折叠，点恰好落在边上的点处，得出，运用勾股定理列式计算，即可作答． （3）先过点作，且，根据，，证明，整理得，再运用证明，得出，在中，运用勾股定理列式分析，即可作答． 【详解】（1）解：如图1，连接． 是的中点， ． 由勾股定理，得， ， ． （2）解： 由题意，知 ， ． 设，则． 在中，， ， 解得， ． （3）证明：如图2，过点作，且， 连接，． ，， ． 又 ， ， ， ． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ． 在中，， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理重难点七大题型汇编 常考题型·精准突破 ◆ 题型1勾股数(树)问题(高频) 1． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键是理解勾股树的结构特征：每个直角三角形的三条边分别对应三个正方形的边长，且以斜边为边的正方形面积等于以两条直角边为边的正方形面积之和．先利用勾股定理求出中间两个正方形的面积，再求出最大正方形E的面积． 【详解】解：设正方形的面积和为的面积和为，由勾股定理得， ， ， 最大正方形的面积为． 故选：C． 2． 【答案】D 【分析】根据勾股树的特征，正方形的面积等于其上方两个分支正方形面积之和，由此求出中间两个正方形的面积及边长，过点作交的延长线于点，证明，得到，，再在中，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 由勾股树性质可知，正方形面积等于其上方两个小正方形面积之和， ∴为边长的正方形面积为，边长；为边长的正方形面积为，边长； ∵图形由正方形和直角三角形构成， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴中，． 3． 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出，根据数的变化找出变化规律“”，依此规律即可得出结论． 【详解】∵正方形的边长为，为等腰直角三角形， ∴，， ∴． 观察，发现规律：，，，，， ∴， 当时，， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律 “”是关键． 4． 【答案】C 【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案． 【详解】解：∵OP=1，，， 同理：， ∴， 故选：C ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律． ◆ 题型 2以弦图为背景的计算(重点) 5． 【答案】B 【分析】由题意可得，再与已知条件联立，利用完全平方公式即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为． 6． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式，代数式的整体代入求值等知识点． 设八个全等的直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为，得到正方形的面积，根据图形中的几何关系利用完全平方公式得到，，整体代入得到． 【详解】解：设八个全等的直角三角形中每个小直角三角形的短直角边为，长直角边为，斜边为， ， 正方形的边长为， ， 正方形的面积为， 正方形的面积为， ． 7． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． 8． 【答案】（1） （2）5； 探究：图形的总面积可以表示为， 亦可表示为， ， ； 应用： 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明和应用、完全平方公式与几何图形的面积等知识点． （1）根据大正方形的面积还可以表示为4个直角三角形与一个小正方形的面积的和，表示出来即可； （2）观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出小正方形的面积； 探究：根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； 应用：设，则，由勾股定理得，，即可得关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，图形的总面积可以表示为， 亦可表示为， 即可证得，． 故答案为：； （2）由可知， ∵大正方形的面积为13， ∴， ∴， ∴小正方形的面积为， 故答案为：5； 探究：略 应用：设，则， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 解得， ∴． ◆ 题型3勾股定理的应用(高频) 9． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）使用勾股定理直接计算即可； （2）先求出的长，再使用勾股定理求出，最后求出即可． 【详解】（1）解：在中，（米）； （2）解：（米）， ∵滑动不会改变梯子的长度， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）． 答：梯子底端将向左滑动的距离是米． 10． 【答案】(1)米 (2)能 (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）求出20秒小亮收绳的长度，再加上的长度后与的长度比较即可得到结论； （3）根据题意可得米，米，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 在中，由勾股定理得：（米）， 由题意得，（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， ∴米， 答：小亮需向右移动的距离为米． （2）解：∵，， ∴小亮能在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置； （3）解：由题意可得：米，米 在中，由勾股定理可得， 即， 解得， ∴t的值为． 11． 【答案】解：设旗杆高度为x米，则绳子长度为米， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 即旗杆的高度为15米． 【分析】设旗杆高度为x米，则绳子长度为米，利用勾股定理解即可． 【详解】略 12． 【答案】(1)米； (2)米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 13． 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 14． 【答案】(1)海里 (2)本次航行符合安全标准，理由如下： 如图，过点作于， ∵海里，海里，海里，， ∴， ∴， 解得：， 设海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵航行的平均速度为每小时海里， ∴航行时长小时，满足安全标准． 【分析】（1）根据方位角的定义得出，海里，海里，利用勾股定理求出，即可得出答案； （2）过点作于，利用“等积法”求出，设海里，根据等腰三角形的性质及勾股定理求出海里，进而求出海里，根据时间距离速度，即可求出从到所用时间，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∵港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∴， ∴（海里）， ∴港口到港口的直线距离为海里． （2）解：本次航行符合安全标准，理由略 15． 【答案】(1) (2)15米 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ； （2）解：米， 在中，由勾股定理得， 米， ，两点间的距离为米． 16． 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． ◆ 题型 4勾股定理的逆定理应用(高频) 19． 【答案】(1)小区A到快递投放点C的距离为 (2)快递投放点B，D之间的距离为 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵小区A在点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 20． 【答案】(1) (2)这架无人机向下飞行的距离的长为米 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，在中，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是直角三角形，． （2）解：设米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米，米，                         在中，， ，                                 解得， 答：这架无人机向下飞行的距离的长为米． 21． 【答案】(1)解：∵，，， ∴，， ∵ ∴ ∴是直角三角形， ∴ ∴从村庄到公路，是距离最近的路； (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，得到，即可说明； （2）利用勾股定理运算出的长，再作比较即可． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴在中，， ∴． 22． 【答案】元 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，且，利用两个直角三角形面积的和求出四边形的面积，再用面积乘以每平方米的绿化费用即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴是直角三角形，且， ∵图中代表实际距离， ∴，，，， ∴四边形的面积为：， ∴（元）． ∴绿化这块空地所需的费用为元． 17． 【答案】(1) (2)没有超速，理由： 结合（1）可得小汽车的速度为； ； 这辆小汽车没有超速行驶． 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ； （2）略 18． 【答案】(1)； (2)学校会受噪声影响 理由如下：过点作于点， 根据三角形面积公式可得， ； 压路工程车周围以内为受噪声影响区域，且， 学校会受噪声影响； (3)分钟． 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可解答； （2）根据三角形面积公式求得的值，即可解答； （3）在上取一点，使，连接，求得的长即可解答． 【详解】（1）解：点与直线上两点，的距离分别为和，， ，． 是直角三角形，且； （2）略 （3）解：在上取一点，使，连接， ， 当压路工程车在线段上时产生的噪声会影响学校． ， ， 在中， ，． ，（分钟）， 答：压路工程车产生的噪声影响该学校持续的时间为分钟． ◆ 题型5最短路径问题(难) 23． 【答案】B 【分析】将圆柱侧面展开，构建直角三角形，确定两直角边的长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将圆柱侧面沿过点的母线展开，如图所示： ∵圆柱底面周长为，高为，点为对侧中点， ∴在展开图中，点到点的水平距离为底面周长的一半，即， 点到底面的垂直距离为高的一半，即， ∴由勾股定理，得蚂蚁爬行的最短路程为 ． 24． 【答案】A 【分析】分三种情况，展开长方体的侧面，分别利用勾股定理求出的长，比较大小即可． 【详解】解：展开长方体的侧面（如图），连接， 由勾股定理得， 图（1）中， 图（2）中， 图（3）中， ， 它沿长方体的侧面爬行的最短距离是10． 25． 【答案】C 【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 26． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理解决最短距离问题，将长方体木块拉伸，结合两点间距离及勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可得，如图所示， ∴， ∴最短路程是：． 27． 【答案】D 【分析】将水桶侧面展开，作B关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 将水桶侧面展开，作B关于的对称点， 连接，则即为最短距离， 由题意得：，， ∴， ∵底面周长为， ∴， ∴， 所以，小虫从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为． 28． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长为米，柱身高为6米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙长至少为（米）， 故选：A． ◆ 题型6全等三角形与勾股定理探索综合(高频) 29． 【答案】(1)， (2)结论： 证明：如图，连接， ， ， ， 在和中，， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在 中：， ． (3) 【分析】（1）由 和 得，结合、， 证，得．再由全等得，而，故 ，即 ． （2）连接，由 ，得，结合、，证 ，得 ，．由 为等腰直角三角形得，故，从而．由勾股定理得 ，即． （3）过作，使，通过构造等腰直角三角形，先证，得 ．由 和为等腰直角三角形得，从而．由勾股定理求，再在等腰中求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ． 在和中，， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． （2）略 （3）解：如图，过作，使，连接 、． ， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， 为等腰直角三角形，， ， 在 中，， ， 设 ， 则， ，解得， ． 30． 【答案】(1)； (2)8 (3) 解：等量关系为：．         理由如下：延长到点G，使，连接，，如图所示： ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴中，由勾股定理得：， ∴． 【分析】（1）由已知和作图得到，得到，根据三角形三边关系得到； （2）延长到M，使，连接， 根据，推出，根据，推出，得到，，根据，得到，得到； （3）延长到点G，使，连接，，根据线段垂直平分线性质得到，根据，推出，得到，，根据，得到，中，由勾股定理得：，即得． 【详解】（1）由已知和作图得到，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． （2）延长到M，使，连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． （3）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握倍长中线法构造全等三角形，三角形全等的判断和性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形的判断和性质，勾股定理解直角三角形，三角形三边关系，是解决问题的关键． 31． 【答案】 探究题建立模型：如图1，在四边形中，，称四边形为对角互补四边形．连结，当平分时，可证，请补充以下证明步骤： 证明：如图2，过点A分别作与延长线的垂线，分别交的延长线于点F、E， ∵是的角平分线，且 （角平分线上的点到角两边的距离相等） ， ， ∴（同角的补角相等） ∴， ∴， ∴ ∴ 应用模型：延长到点E，使得， ∵在四边形中， ∴ ∵， ∴， ∵，平分， ∴由【探究题建立模型】的证明可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 拓展拔高：， 【分析】探究题建立模型：证明，即可得到结论； 应用模型：延长到点E，使得，证明，，得到，则，由即可得到结论； 拓展拔高：连接，作于点H，连接，作于点H，证明，证明是等腰直角三角形，求出，得到，则，解得，求出，，根据三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】略 【应用模型】略 【拓展拔高】连接，作于点H， ∵在等边中，点D为的中点， ∴，， ∴ ∵ ∴， 在中， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， 在中， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：， 【点睛】此题考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，综合性较强，添加合适的辅助线是关键． 32． 【答案】(1) 证明：，， 为等腰直角三角形， ， 又，且， ， ， ， 同理，， 又， 在与中， ， ， ，，， ∴， (2) (3) ．证明如下： 如图2，延长到点，使得，连接． ，， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， 又， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证：， 在中，． 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理等有关知识，通过添加辅助线构造全等三角形，通过证明全等三角形得到线段之间的关系是解题的关键． （1）通过，得到为等腰直角三角形，进而得到，根据过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点，可推出，，最后通过证明 ，可以得出结论； （2）在射线上取点，使，连接，通过证明≌，得到，，再结合，推导证明 ，得到，最后等量代换线段即可求解； （3）延长到点，使得，连接，通过证明 ，得到，，再结合，推导证明 ，得到，根据，等量代换可知，又因为，推出，进而得到，同理可证，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图1， 在射线上取点，使，连接， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又 ． （3）略 ◆ 题型7垂美四边形问题(难) 33． 【答案】34 【分析】在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴ ． 34． 【答案】（1）是， 理由：，， ， ∴四边形是垂美四边形； （2），理由如下： 四边形是垂美四边形， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ； （3） 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，进而根据垂美四边形的定义即可求证； （）由垂美四边形的定义可得，进而根据勾股定理即可求解； （）设交于点，交于点，由勾股定理得，再根据等腰直角三角形的性质可得，，再证明四边形是垂美四边形，进而根据（）的结论解答即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图，设交于点，交于点， 在中，，， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， 与都是等腰直角三角形， ，，， ， 即， ， ， 又， ， ， ∴四边形是垂美四边形， 由（）得：， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解新定义是解题的关键． 35． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，证明，再由勾股定理得，，然后证明，即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得：，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 36． 【答案】(1) 四边形是垂美四边形，理由如下： ∵， ∴， ∵即， ∴为直角三角形， ∴， ∴四边形 是垂美四边形； ∴； (2) 猜想，证明如下： ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理得： ，， ∴； (3) 【分析】题目主要考查勾股定理及其逆定理的应用； （1）直接利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，利用新定义即可判定，再由勾股定理求解即可； （2）先根据垂美四边形的定义可得，再利用勾股定理解答即可； （3）连接，则四边形是垂美四边形，根据题意得出，，利用（2）的结论代入求解即可； 理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． 【详解】（1）解：略； （2）略； （3）如图所示，连接，则四边形是垂美四边形，    ∵，长方形，， ∴，， 由（2）结论得： 即， ∴， 解得：， ∴． 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】B 【分析】据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离． 【详解】解：由题意可知：垂直平分， ∴， ∵点是的中点，， ∴， 在中，，； 根据勾股定理，得：； ； 故橡皮筋被拉长了． 2． 【答案】A 【分析】分别计算吸管在杯内长度的最小值和最大值，从而确定杯外长度的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设吸管在杯内的长度为，在杯口外的长度为，则， 当吸管竖直放置时，取最小值，此时取最大值； 当吸管倾斜放置，底端与杯底边缘接触，顶端与杯口相对边缘接触时，取最大值，由勾股定理得，此时取最小值； ∴， ∴吸管在杯口外的长度不可能是． 3． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再用两直角边的和减去斜边的长度即可得出少走的距离． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为． 这是一个直角三角形， 由勾股定理得：． 原路程为， 少走的距离为． 4． 【答案】C 【分析】根据图形标注的尺寸，利用减法求出直角三角形的两条直角边和的长度，再利用勾股定理计算斜边的长即可． 【详解】解：由图可知，在中， ，， 根据勾股定理得：． 5． 【答案】C 【分析】勾股定理求出梯子的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据线段的和差关系即可得出结果. 【详解】解：由题意和勾股定理，得， ， ∴，即小巷的宽为. 6． 【答案】B 【分析】先由勾股定理求得，则，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：在长方形中，，，， 由折叠性质得，， 在中，， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴，解得． 7． 【答案】D 【分析】根据题意确定延长的直角边，利用勾股定理求出“数学风车”叶片的斜边长，再根据周长公式计算即可． 【详解】解：，，， 为较短的直角边， 将较短的直角边向外延长一倍， 延长部分， 新直角三角形的直角边， 在中，由勾股定理得：， “数学风车”的周长为． 8． 【答案】A 【分析】把长方体的侧面展开，分三种情况求出线段的长，进而比较即可求解． 【详解】解：∵两点之间，线段最短， ∴蚂蚁沿着线段爬行时，路径最短， 把长方体的侧面展开，有三种情况： 如图①， ∵ ，， ∴； 如图②， ∵ ，， ∴； 如图③， ∵ ，， ∴； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是． 9． 【答案】C 【详解】解：由题图可知，第1个图形有1个正方形， 第2个图形中共有个正方形， 第3个图形中共有个正方形， 第4个图形中共有个正方形， 第5个图形中共有个正方形， …… 第2026个图形中共有个正方形． 10． 【答案】(1)证明：由图可得，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴， ∴， ∴． (2)48 (3) 【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形的面积的和，即可求解； （2）设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，，可得，，，即可求解； （3）延长交于点，证明，可得，可得，在中，，，，可得，再证明，可得，，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，， ∴，，， ∴ ． （3）解：如图，延长交于点， ∵正方形的边长为10， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴在中，． 11． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵是等腰三角形， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， 当点C，M，N三点共线时，， ∴； (3) 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质得，再说明，然后根据“边角边”证明，可得； （2）先根据等腰三角形的性质得出，再结合（1）可得 ，进而得出，则此题可证； （3）由（2）知，由（1）知，可得，再根据可得，则此题可证． 【详解】（1）解：连接， ∵和都是等腰直角三角形，，点D为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：理由如下：由（2）知，由（1）知， ∴， 当点C，M，N共线时， ∴， 即． 12． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，运用勾股定理得，再结合等面积法列式计算，即可作答． （2）先根据勾股定理得，又因为将沿折叠，点恰好落在边上的点处，得出，运用勾股定理列式计算，即可作答． （3）先过点作，且，根据，，证明，整理得，再运用证明，得出，在中，运用勾股定理列式分析，即可作答． 【详解】（1）解：如图1，连接． 是的中点， ． 由勾股定理，得， ， ． （2）解： 由题意，知 ， ． 设，则． 在中，， ， 解得， ． （3）证明：如图2，过点作，且， 连接，． ，， ． 又 ， ， ， ． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ． 在中，， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $