第一章 勾股定理（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 聚焦勾股定理单元，通过赵爽弦图、劳动实践基地等文化与生活情境，分层考查基础计算、综合应用及创新思维，适配初中数学单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股定理计算（第1题）、逆定理（第2题）|结合折叠问题（第3题）、赵爽弦图（第4题）考查几何直观| |填空题|6/18|面积关系（第11题）、弦图参数（第12题）|联系实际（第14题饮料罐吸管长度）体现应用意识| |解答题|9/72|综合应用（第18题四边形面积）、动态问题（第21题动点）|数形结合（第25题代数式最小值）、文化证明（第24题赵爽弦图）发展推理能力|

第一章 勾股定理（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知一个直角三角形的两边长分别为12和13，则第三边长的平方是（     ） A．25 B．5 C．313 D．25或313 2．下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 第3题 第4题 第5题 4．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 5．如图，点在的高上，且和都是等腰直角三角形，若，，则的长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．12 C．24 D．36 7．如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 （    ） A．海里时 B．海里时 C．海里时 D．海里时 第7题 第8题 8．如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 9．如图所示，圆柱底面半径为，高为，点分别是圆柱两底面圆周上的点，且在同一高线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为（   ） A． B． C． D． 第9题 第10题 10．在中，，，，的中垂线交于，交于点，交直线于点，若点为直线上一动点，点为直线上一动点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 第11题 第12题 12．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 13．如图，在中，，，，，，则阴影部分图形的面积为_________． 第13题 第14题 14．如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部长的直吸管如图放置，则在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是______． 15．已知，在中，，点是的中点，于点，连接．如图，若，，则线段的长为___． 第15题 第16题 16．如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． (1)求的长；(2)求四边形的面积． 18．为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 19．如图，有一个由传感器控制的灯，装在门上方的墙上，任何东西只要移至该灯周围米及米以内时，灯就会自动发光． (1)一个身高米的人（即米）走到灯刚好发光的地方，测得此时他距墙米（即米）．根据测量所得数据，计算出传感器离地面的垂直高度； (2)一个身高米的人走到离墙米的地方时，灯是否会发光？ 20．如图1，在四边形中，，取边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，当，，时，求四边形的面积． 21．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 22．解决问题 (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理； (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长为______千米．（只填空） 23．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围半径范围造成噪声污染． (1)证明为直角三角形，并求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 24．我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 25．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 勾股定理（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知一个直角三角形的两边长分别为12和13，则第三边长的平方是（     ） A．25 B．5 C．313 D．25或313 【答案】D 【详解】解：由直角三角形两边长为12和13，未明确两条边是直角边还是斜边，分两种情况讨论： ①当12和13均为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得，第三边长的平方为； ②当13为斜边，12为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得，第三边长的平方为； ∴第三边长的平方是25或313． 2．下列各组数能作为直角三角形的三边长的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项，最长边为， ∵，，， ∴不能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； B选项，最长边为， ∵，，， ∴不能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； C选项，最长边为， ∵，，， ∴不能作为直角三角形的三边长，故不符合题意； D选项，最长边为， ∵， ∴能作为直角三角形的三边长，故符合题意． 3．如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折叠得， 设，则， ， ， ，在中，， ． 4．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【答案】D 【详解】解： 大正方形的边长为，， 直角三角形另一条直角边． ， ， ， ∴在正方形中，， 在直角三角形中，． 5．如图，点在的高上，且和都是等腰直角三角形，若，，则的长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴． 6．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．12 C．24 D．36 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接， ， ， ，，， ， ， ． 7．如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 （    ） A．海里时 B．海里时 C．海里时 D．海里时 【答案】C 【详解】解：如图， 甲的速度是海里时，时间是小时， 海里． ，， ． 海里， 海里． 乙船也用小时， 乙船的速度是40海里时． 8．如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，设，，， ∵，由勾股定理可得，则， 则 ， ， ∴，，即，则， ∴，则，即， ∴． 9．如图所示，圆柱底面半径为，高为，点分别是圆柱两底面圆周上的点，且在同一高线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：圆柱体的展开图如图所示， 最短路线是：， 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，从点沿着3个长方形的对角线运动到的路线最短， ∵底面半径为， ∴底面周长为， 又∵圆柱高为， ∴小长方形的一条边长是：， 即， ， ∴最短为． 故选：A． 10．在中，，，，的中垂线交于，交于点，交直线于点，若点为直线上一动点，点为直线上一动点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，，在上截取， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，即的长，如图， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴的值最小为． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 【答案】7 【详解】解：∵甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23， ∴， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴或（舍去）． 12．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 【答案】3 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为， 每一个直角三角形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴小正方形的面积为， ． 13．如图，在中，，，，，，则阴影部分图形的面积为_________． 【答案】24 【详解】解：中，，，， ， ，， ， 是直角三角形， 阴影部分图形的面积． 14．如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部长的直吸管如图放置，则在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是______． 【答案】 【详解】解：如图，作于点，则， 依题意得，，， 在中，， ∴在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是， 故答案为：． 15．已知，在中，，点是的中点，于点，连接．如图，若，，则线段的长为___． 【答案】 【详解】解：连接，过点作于点，如图， 在中，， ∵是中点， ∴， 由图可得，，， 解得， 在中，， ∵，且， ∴， 解得， 在中，， ∴， 在中，． 16．如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________． 【答案】 【分析】 【详解】解：由折叠的性质可知：，，，，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 即． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在中，，，，点是外一点，连接，，且，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【详解】（1）解：在中，，，，由勾股定理 的长为； 2分 （2）解：在中， ，， ， 4分 又， ， 是直角三角形． ． 6分 18．为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，， ∵，， ∴； 答：至少需要10米的篱笆； 2分 （2）解：∵，，， ，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 4分 ∵， ∴． 答：这块劳动实践基地的总面积为平方米． 6分 19．如图，有一个由传感器控制的灯，装在门上方的墙上，任何东西只要移至该灯周围米及米以内时，灯就会自动发光． (1)一个身高米的人（即米）走到灯刚好发光的地方，测得此时他距墙米（即米）．根据测量所得数据，计算出传感器离地面的垂直高度； (2)一个身高米的人走到离墙米的地方时，灯是否会发光？ 【详解】（1）解：过人的头顶作于， 由题意可知四边形是矩形， ∴，，灯刚好发光时， 在中，根据勾股定理：米， 因此传感器离地面的高度：米； 2分 (2)解：设身高米的人头顶为，此时水平距离米， 垂直距离：米， 在中，根据勾股定理：， 4分 因为， 可得米， 即人到的距离超过米， 因此结论：灯不会发光． 6分 20．如图1，在四边形中，，取边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，当，，时，求四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵是边的中点， ∴， 在和中，， ∴． 2分 （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，， 4分 ∵， ∴， ∴． 6分 21．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 若点运动到的中点，则， 则． 2分 （2）解：由题知， 如图，当时，，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 5分 （3）解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即； 如图②，当为直角时，，， 在中，， 在中，， 即， 解得 ． 故或时，为直角三角形． 8分 22．解决问题 (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理； (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长为______千米．（只填空） 【详解】(1) 证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即； 3分 （2）解：，，， ， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； 5分 （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 8分 23．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围半径范围造成噪声污染． (1)证明为直角三角形，并求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【详解】(1) 证明：由题意可知，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且； 2分 如图1，过点C作于点D， ∴， ∴， 即点C到铁路的距离为； 4分 （2）解：∵， ∴当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染， 如图2，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接、， 则， ∵， ∴， 6分 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为：， 答：当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 8分 24．我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 【详解】(1)证明：由图可得，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴， ∴， ∴． 3分 （2）解：设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，， ∴，，， ∴ ． 6分 （3）解：如图，延长交于点， ∵正方形的边长为10， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 8分 ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 10分 ∴，，， ∴，，， ∴在中，． 12分 25．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 素材一 【提出问题】求代数式的最小值． 素材二 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，这时，问题就转为“在上求点B，使．最小”问题．    素材三 【解答过程】如图2，连接，交于点B，此时．的值最小，将延长至点H，使得，连接．∵，∴在中，，∴，∴的最小值是13．       (1)任务一：【解决问题】代数式的最小值为 ． (2)任务二：【知识运用】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为 ． (3)任务三：思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 【详解】（1）解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，则，， ∴， ∴当三点共线时，最小， 2分 作，则， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； 4分 （2）解：由题意，为总路程， ∵， ∴要求的最小值，只需求得的最小值． 如图1，将点A向上平移得到，连接，，则， ∴， ∴当三点共线时，此时的最小值为． 6分 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D． 由题意，可得，， ∴的最小值为， ∴最短路程为． 8分 （3）如图2，构造，，垂足为D，． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴，解得， ∴x的值为7.2． 12分 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章勾股定理（高效培优单元自测提升卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 3 4 5 6 个 8 10 D D C D A C B A C 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.7 12.3 13.24 14.7cm 12W61 15.13 163 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=24,AB=26,由勾股定理BC2+AC2=AB2 .BC=VAB2-AC2=V262-242=10 .BC的长为l0: 2分 (2)解：在△BCD中， CD=8,BD=6, .CD2+BD2=82+62=100 4分 又BC2=102=100, .CD2+BD2=BC2 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△BCD是直角三角形， …S四边形BDc=S。ABc+SBCD= 10x24+5×6x8=14 6分 18. 【详解】(1)解：如图，连接BD, D B 在RtAABD中，∠A=90°， AD=6,AB=8, :BD=VAD+AB2=6+8=10 答：至少需要10米的篱笆；… .2分 (2)解：：BD=10,BC=24,CD=26」 BD2+BC2=102+242=676CD2=262=676 .BD2+BC2 CD2, ∴.△BCD是直角三角形，∠CBD=90°， 1 SACDBD BC10x24-120 2 :5m=号ABAD=月x6x8=24. 1 2 S四边形BcD=S△MBD+SABCD=24+120=144 答：这块劳动实践基地的总面积为l44平方米.6分 19. 【详解】(1)解：过人的头顶C作CE⊥AB于E, 2/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 由题意可知四边形CDBE是矩形， .CE=BD=4米，EB=CD=1.5米，灯刚好发光时AC=5米， 在Ra4CE中，根据勾股定理，4E=VAC-CE=S-平=3米， 因此传感器A离地面的高度：AB=AE+EB=3+1.5=4.5米：2分 (2)解：设身高2米的人头顶为C',此时水平距离CE'=4.5米， 垂直距离： 米， B AE'=AB-2=4.5-2=2.5 在RtACE'中，根据勾股定理：AC2=AE2+C'E2=2.52+4.52=26.5,4分 因为52=25<26.5， 可得AC>5米， 即人到A的距离超过5米， 因此结论：灯不会发光.… .6分 20. 【详解】(I)证明：AB‖CD, .∠CDE=∠BFE,∠DCE=∠FBE, ,E是边BC的中点， .'CE=BE, 3/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 I∠CDE=∠BFE ∠DCE=∠FBE 在 和 中， △CED'ABEF CE=BE .△CED≌aBEF(AAS) 2分 (2)解：，aCED≌△BEF, DE=EF=4 S.CED=S.BEF SCED+S四边形ABED=S.BEF+S四边形ABED S△ADF=S四边形ABCD AE=3,DE=4,AD=5,32+42=52, .'AE2+DE2=AD2, ∴△AED是直角三角形，AE⊥DF, .4分 DF=DE+EF=2DE=2×4=8, 5m-4E,Df_38=12, 2 2 S四边形ABCD=12 6分 21. 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,AC=3cm, .BC=AB2-AC2=-3=4cm 若点p运动到aC的中点，则BP=BC=2cm, 则f=2÷2=1.2分 (2)解：由题知BP=2tcm, 如图，当BP=AP时，AP=2icm,PC=BC-BP=(4-2)cm 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A PC 在Rt△APC中，AP2=PC2+AC2, :(2y=(4-2}+3 所w总 BP=21=25 m 5分 (3)解：如图O,当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4cm,即t=2; 如图②，当∠BMAP为直角时BP=2cm,CP=(21-4)cm,4C=3cm 在RtACP中，AP=32+(21-4 在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2, 即52+[32+(2-4]=(2 25 解得=8· 25 故，=2或1=8时，。4BP为直角三角形. 8 6 C(P) 图① 图② 22. 【详解】(1) 证明：RtAABE≌RtADEC, ∴∠AEB=∠DCE, ∠A=∠D=90°. 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DEC+∠DCE=90°， ∠DEC+∠AEB=90°，即LBEC=90°， :.S.wc+S.m+S.pc=xcxc+xaxb+xaxb 1 1 c 2 2 2 2+ab, S-(a+b)(a+b)- 1 2+ab, 2+ab=ci a2+b2 2+ab ，即公2+b2=C2；3分 (2)解：AD⊥CD,AD=4,CD=3, .AC=VCD2+AD2=V32+42=5 AB=13,BC=12」 .AC2+BC2=AB2 .∠ACB=90°， 5x12-x3x4=24, 1 .S阴影=SABc-SAcn= 答：阴影部分面积为24；… 5分 (3)解：设4H=x千米，则 H=（14-千米， CH⊥AB ∴.∠CHA=∠CHB=90°， .Rt△AHC,CH2=AC2-AH2 在 中， 在Rt△BHC中，CH=BC2-BH2 4C2-AH2=BC2-BH,即132-=1.52-14-x 整理得，2.8x=1.4, 解得，x=0.5, AH=0.5千米， CH=√AC2-AH=13-03=1.2(千米)， 6/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 答：新修路CH的长为1.2千米.8分 23 【详解】(1) 证明：由题意可知AC=80m,BC=60m,AB=100m, .802+602=1002, .'AC2+BC2=AB2, △ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，2分 如图1，过点C作CD⊥AB于点D, 北 D 图1 .Samwe-AC.BC- 1 CD.AB .CD=4C.BC AB =48m, 即点C到铁路AB的距离为48m;4分 (2)解：.52>48， ,当一列长度为260m的火车以216km/h的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染， 如图2，以点C为圆心，以52m为半径画圆弧，分别交AB于点E、F,连接CE、CF, 则CE=CF=52m, 北 D F B 图2 ,CD⊥AB, .DE=DF,6分 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△CDE中，由勾股定理得： DE=CE2-CD2=20m .'EF 2DE =40m, (260+40)÷1000 ∴.火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为： ×3600=5s, 216 答：当一列长度为260m的火车以216km/h的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染，火车对鸟类巢 穴造成噪声污染的时长为5S。8分 24 【详解】（四证明：由图可得，大正方形的面积可表示为c,也可表示为4×2b+(a-b, 2 .4xob+(a-bY, .c2=2ab+a2-2ab+b2, 公2+b2=c2.3分 (2)解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a,短直角边为b,即AE=BF=ET=a,BE=E=b :S-=(4E+BE=(a+b,S,=EF2=BF2+BE2=a2+b=4=16、S,=MT2=(E7-EMy=(a-b} :.S+S2+S,=(a+b)}2+16+(a-b2 =a2+2ab+b2+16+a2-2ab+b2 =2(a2+b2）+16 =2×16+16 =48 6分 (3)解：如图，延长DH交AG于点E, D H B 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,正方形ABCD的边长为10， .AD=DC=BA=10,∠ADC=∠BAD=90°， 在△ABG和△CDH中， AB=CD AG=CH BG=DH' △ABG≌ACDH(SSS) .∠BAG=∠DCH,.8分 .∠BAG+∠DAE=∠BAD=90°， .∠DCH+∠DAE=90°， ,在△DCH中，CH=8,DH=6,CD=10, .CH2+DH2=82+62=100=102=CD2. .∠CHD=90°， ∴.∠DCH+∠CDH=90°， .∠CDH=∠DAE, .∠CDH+∠ADE=∠ADC=90° .∠DCH=∠ADE. 在△DCH和△ADE中， [∠DCH=∠ADE DC=AD ∠CDH=∠DAE' △DCH≌△ADE(ASA) .10分 .∠DEA=∠CHD=90°，DE=CH=8,AE=DH=6. .∠HEG=180°-∠DEA=90°，EH=DE-DH=8-6=2,EG=AG-AE=8-6=2, :在Rt△EHG中，GH=VEH2+EG2=V22+2=2V2 …12分 25. 【详解】(1)解：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上，AC=3,BC=4-x,BF=x,DF=2,则4B=V4-+3,BD=P+2,CF=4-x+=4, +2+(4-x)+3=BD+4B2 4D :当4，B,D三点共线时，+2+4-+32=AD最小， .2分 作DH⊥AC,则DH=CF=4,CH=DF=2, .AH=AC+CH=5, :AD=V4+5=4团 代数式V+2+4-+3的最小值为④，4分 B (2)解：由题意，AP+P+B为总路程， ..Po=8km ∴要求AP+P№+QB的最小值，只需求得AP+QB的最小值. 如图1，将点4向上平移跳m得到，连接40。A8,则40= AP+OB=40+OBAB 当40 三点共线时，此时40+BO AB 的最小值为 6分 过点B作射线垂直河岸，过点A向右作水平线，两线交于点D 10/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 AD=15km BD=8km 由题意，可得 :42+Bg AB=17km 的最小值为 最短路程为17+8=25km.8分 (3)如图2，构造△ABC,CD1AB,垂足为D,AC=9,BC=12 D B 图2 设CD=x,则4D=V81-,BD=V44-平 :4B=V81-F+V144-r=15 .92+122=152, .∠ACB=90°」 1 0,×9×12=×15x.解得x=72 2 .x的值为7.2. 12分 11/11