专题04 利用勾股定理解决折叠问题的五种模型（高效培优专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以勾股定理为核心，系统划分长方形与直角三角形折叠的五种模型，通过分层典例构建从单一到复合折叠问题的解题逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |长方形折叠外模型|6题|顶点折叠至对角线或边外|折叠性质→对应边等→勾股定理列方程| |长方形折叠内模型|6题|顶点折叠至图形内部或对角线|轴对称性质→全等关系→方程求解| |直角三角形顶点重合模型|6题|两顶点重合形成轴对称|中垂线性质→勾股定理求折痕长| |直角三角形顶点落边上模型|6题|顶点折叠至对边|折叠后直角三角形构造→方程思想| |直角三角形双折叠模型|4题|两次折叠形成复合图形|多次轴对称→多等量关系综合应用|

专题04 利用勾股定理解决折叠问题的五种模型 题型一 长方形中折叠中折叠到图形外模型 题型二 长方形中折叠中折叠到图形内模型 题型三 直角三角形中折叠后顶点重合模型 题型四 直角三角形中折叠后顶点落在一边上模型 题型五 直角三角形中双折叠模型 题型一：长方形中折叠中折叠到图形外模型 1．B 【分析】根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 2．3 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠，解题的关键是熟练掌握折叠的不变性． 由折叠可得，，在中，由勾股定理求出，设，则，然后在中，运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， ∴ 设，则 ∴在中，由勾股定理得， 解得， ∴， 故答案为：． 3． 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠．根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 4．(1)证明：由折叠，可知． ∵且， ∴． 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形． (2)2． 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理以及勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由折叠得，结合故，即可作答． （2）由折叠，可知．得证三点共线．再，则，结合勾股定理列式，再代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠，可知． ∵， ∴， ∴三点共线． 设，则， ∵， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即． 解得． 即线段的长为2． 5．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了折叠与勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得，在中根据含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理求得，进而根据三角形面积公式计算即可； （2）根据折叠的性质可得，设 在中，根据勾股定理建立方程，求得，进而根据三角形面积公式计算，由计算得出结果即可； （3）根据折叠的性质可得△CGF≌△OGF，可得，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，求得，进而根据计算得出结果即可； 【详解】（1）四边形ABCD是长方形，， ， ， ， ， ． （2）由题意可知，， ∴， 又∵将沿折叠，点D的对称点恰好点O， ∴， ∴， ∴， 设则， 在中，根据勾股定理得， ∴ 解得x＝2． ∴ ∴四边形ABFE的面积是； （3）由(2)知， ∴ ∵将沿折叠，点C的对称点恰好为点O， ∴ ∴， ∴， 设，则 ∵， 在中， 解得 即 ∴ ∴四边形BEFG的面积是． 6．(1)15 (2)4 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确根据勾股定理建立方程是解题的关键． （1）根据题意在中，由勾股定理可求得的长； （2）利用折叠的性质，设，则，．在直角中，利用勾股定理构造方程可求得的值． 【详解】（1）解：由题意可知：，， 在中，； （2）由折叠可知：，，． 设，则，． 在中，，则，解得：． 即：． 题型二：长方形中折叠中折叠到图形内模型 7．C 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的判定和性质，根据折叠的性质，得到，平行线的性质，推出，进而得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：C 8．3 【分析】由折叠得，，设，则，，利用勾股定理求出，得到，然后等量代换得到，得到，即可求解． 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴，， 由折叠得，， ∵点是的中点， ∴， ∴设，则，， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了勾股定理和折叠问题，等角对等边，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 9．10 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题． 设，由折叠可知，结合勾股定理建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设， ， 由折叠可知， ∵四边形是长方形，， ， ， 解得：， 的长为10． 10．(1) 是等腰三角形；理由如下： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵沿折叠得， ∴， ∴， ∴．∴ 是等腰三角形． (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据折叠得出，从而证明，根据等角对等边，即可证明结论； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案； （3）根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， 设， 由（1）知，则， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 即． （3）解：． 11．(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 12．(1) 解：为等腰三角形，理由如下： ∵长方形纸片沿线段折叠， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． (2) (3) 如图，点即为所求： (4) 【分析】（1）利用长方形对边平行的性质得到，结合折叠的性质得到，通过等量代换得出，进而判定三角形为等腰三角形； （2）根据等腰三角形的边长关系，结合三角形面积公式，分析出最小时面积最小，进而计算即可； （3）以为圆心，的长为半径作弧交于点，连接、，则是等边三角形； （4）分别画出取得最大值与最小值的示意图，再利用翻折的性质以及勾股定理求出的最大值与最小值，两者相加即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∵的面积， ∴当最小，即最小时，的面积取得最小值， ∴当时，的面积的最小值． 故答案为：． （3）解：由折叠可得，， 由作图可得，， ∴， ∴是等边三角形； （4）解：当点与点重合，点与点重合时，有最大值， 由翻折的性质得，， ∵长方形纸片， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的最大值为； 当点与点重合，点与点重合时，有最小值， 由翻折的性质得，， ∵长方形纸片， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为； ∴最大值与最小值的和为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定、尺规作图、等边三角形的判定、勾股定理与翻折问题，熟练掌握相关知识点，根据题意准确画出图形是解题的关键． 题型三：直角三角形中折叠后顶点重合模型 13．D 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，也考查了勾股定理，综合运用这些知识点是解题关键． 由勾股定理求解，由对折可得，设 则， 利用勾股定理求解，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解： 由折叠可得： 设 则 故选：D． 14． 【分析】由折叠可知，是的垂直平分线，设 ，则 ，在 中，，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】设 ， 将三角形沿直线折叠，点与点 重合， ． ，， ， ， 在中，，即， 解得． 15． 【分析】本题考查了翻折变换的性质及勾股定理，根据勾股定理可得的值，再根据翻折的性质，可得，设，，利用勾股定理列出方程求解x的值即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴在中，由勾股定理得，， 由折叠的性质知，， 设， 则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得． ∴的长为． 16．(1) (2) 【分析】（1）由折叠性质得，结合三角形内角和定理即可求解； （2）由折叠性质得，设，则，结合勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：由折叠性质得， 中，， 即， 又，， ， 故答案为：； （2）解：由折叠性质得， 设，则， 中，， 即， 解得， 即． 【点睛】本题考查的知识点是折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握折叠性质． 17.【答案】(1) (2) 【分析】（1）由折叠性质得，结合三角形内角和定理即可求解； （2）由折叠性质得，设，则，结合勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：由折叠性质得， 中，， 即， 又，， ， 故答案为：； （2）解：由折叠性质得， 设，则， 中，， 即， 解得， 即． 【点睛】本题考查的知识点是折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握折叠性质． 18.【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形面积的求解，熟练掌握解决翻折图形的方法为解题关键． （1）先根据勾股定理求出的长，再有折叠性质得到：，设，再由勾股定理求出x的值，进而求出最后结果； （2）由勾股定理求出的长，再由三角形面积公式求出结果． 【详解】（1）解：，，， ， 根据翻折可得：， 设，根据图形翻折可得：， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 解得：， ； （2）解：在中，， ． 题型四：直角三角形中折叠后顶点落在一边上模型 19．B 【分析】根据折叠得出，，，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果即可． 【详解】解：在中，，，，根据题意得： ，，， 则， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 20． 【分析】利用勾股定理求出，设，则，在中，利用勾股定理解出x的值即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质得：，，， 设，则，，， ∵在中，， 即， 解得：， 即． 21． 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设    ，则，根据求出得到的长，再根据三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴ 图中阴影部分的面积是． 22．(1) (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理可得，利用等面积法计算得出，再由折叠的性质即可得出结果； （2）作交于点，交于点，由角平分线的性质定理可得，，证明为等腰直角三角形，得出，由，计算得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果； （3）由勾股定理可得，由中线的性质可得，，，作，交于点，由三角形面积公式计算得出，则，由折叠的性质可得，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的高线， ∴， ∴， ∵对纸片进行折叠，使点与上的点重合， ∴； （2）解：如图：作交于点，交于点， ， ∵为的角平分线， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的中线， ∴，， 如图，作，交于点， ， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理、三角形中线的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23．(1) (2) 证明：如图，连接交于点， 沿折叠得， ，，垂直平分， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ； (3)①，理由如下： 如图，过点作交延长线于点，连接， ，即， ， ，， 为的中点． ， ， ，， ， ， ，，， ， ， 在中，， ； 【分析】（1）由算术平方根和绝对值的非负性可求得、的值，再根据勾股定理求解即可； （2）由折叠可知，，垂直平分，根据中点的性质结合等边对等角，得到，进而得到，再根据平行线的性质即可得证； （3）过点作交延长线于点，连接，证明，得到，，证明，得到，在中，根据勾股定理得到，然后等量代换即可得解；过点作、，利用是中点的性质，结合全等三角形得到线段的等量关系，设未知数并结合勾股定理、第①问的结论列方程求解． 【详解】（1）解：，满足，，， ，， ，， 在中，， ； （2）略 （3）解：①略 如图所示，过点作交延长线于点，过点作于，过点作于，连接， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴， ， ， ，， ，， ，， ，， 设，则， 在中，， 即，解得， ， ， 设，则， 由知，， 又， ， 即，解得， ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根与绝对值的非负性、勾股定理、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理，结合图形构造全等三角形并运用方程思想是解题的关键． 24．(1) (2)，． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算可得，作于点，连接，利用等积法求得，利用勾股定理求得，再利用等积即可求解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∴． 作于点，连接， ∵点落在直角边的中点上， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴． 题型五：直角三角形中双折叠模型 25．C 【分析】先根据折叠得到，，，，然后根据直角三角形的两个锐角互余以及折叠的性质，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠性质得：，，，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 26． 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可知，根据折叠的性质可知；根据折叠的性质可知，，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，， ， 由折叠可知，， ； 在中，，，， ， 由折叠可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：； 27．6 【分析】本题考查了三角形的折叠问题和勾股定理，求出是直角三角形是解题的关键．根据折叠的性质，可知，，，，利用三角形内角和等于，得到，从而可以在中利用勾股定理求出的长，进而求出答案． 【详解】解：由折叠可知，，，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得， ， ． 28．(1) (2) (3) 【分析】（1）由折叠可得，，，再根据，即可得出； （2）在中，根据勾股定理可得； （3）设，则，根据勾股定理可得，即，求得，即可得出． 【详解】（1）由折叠可得，，， 又∵， ∴， ∴， 即； （2）由折叠可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； （3）结合（2），设，则， ∵在中，， 在中，， ∴， 即， 解得 ∴． 【点睛】本题主要考查折叠的性质及勾股定理的应用，掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 利用勾股定理解决折叠问题的五种模型 题型一 长方形中折叠中折叠到图形外模型 题型二 长方形中折叠中折叠到图形内模型 题型三 直角三角形中折叠后顶点重合模型 题型四 直角三角形中折叠后顶点落在一边上模型 题型五 直角三角形中双折叠模型 题型一：长方形中折叠中折叠到图形外模型 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 2．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，在长方形中，，，沿过点A的折痕折叠长方形，使点D落在边上，折痕与边交于点E，则的长为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠，解题的关键是熟练掌握折叠的不变性． 由折叠可得，，在中，由勾股定理求出，设，则，然后在中，运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， ∴ 设，则 ∴在中，由勾股定理得， 解得， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在长方形中，，将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点F处，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠．根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在长方形中，，，为上的点，将沿折叠，使点落在长方形纳的点处．连接，已知． (1)求证：为直角三角形； (2)求线段的长． 【答案】(1)证明：由折叠，可知． ∵且， ∴． 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形． (2)2． 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理以及勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由折叠得，结合故，即可作答． （2）由折叠，可知．得证三点共线．再，则，结合勾股定理列式，再代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠，可知． ∵， ∴， ∴三点共线． 设，则， ∵， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即． 解得． 即线段的长为2． 5．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，长方形中，点是上的一点，将沿折叠后得到，且点在长方形内部．已知． (1)如图1，若，求的长． (2)如图2，延长交于，连接，将沿折叠，当点的对称点恰好为点时，求四边形的面积． (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，将沿折叠，当点的对称点恰好为点时，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了折叠与勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得，在中根据含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理求得，进而根据三角形面积公式计算即可； （2）根据折叠的性质可得，设 在中，根据勾股定理建立方程，求得，进而根据三角形面积公式计算，由计算得出结果即可； （3）根据折叠的性质可得△CGF≌△OGF，可得，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，求得，进而根据计算得出结果即可； 【详解】（1）四边形ABCD是长方形，， ， ， ， ， ． （2）由题意可知，， ∴， 又∵将沿折叠，点D的对称点恰好点O， ∴， ∴， ∴， 设则， 在中，根据勾股定理得， ∴ 解得x＝2． ∴ ∴四边形ABFE的面积是； （3）由(2)知， ∴ ∵将沿折叠，点C的对称点恰好为点O， ∴ ∴， ∴， 设，则 ∵， 在中， 解得 即 ∴ ∴四边形BEFG的面积是． 6．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在长方形中，，． (1)求对角线的长； (2)点E是线段上的一点，把沿着直线折叠点D恰好落在线段上，点F重合，求线段的长． 【答案】(1)15 (2)4 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确根据勾股定理建立方程是解题的关键． （1）根据题意在中，由勾股定理可求得的长； （2）利用折叠的性质，设，则，．在直角中，利用勾股定理构造方程可求得的值． 【详解】（1）解：由题意可知：，， 在中，； （2）由折叠可知：，，． 设，则，． 在中，，则，解得：． 即：． 题型二：长方形中折叠中折叠到图形内模型 7．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在长方形中，点在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的判定和性质，根据折叠的性质，得到，平行线的性质，推出，进而得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：C 8．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在长方形中，，，将长方形沿线段折叠到如图的位置，使得点C与线段的中点重合，则的长为_________． 【答案】3 【分析】由折叠得，，设，则，，利用勾股定理求出，得到，然后等量代换得到，得到，即可求解． 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴，， 由折叠得，， ∵点是的中点， ∴， ∴设，则，， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了勾股定理和折叠问题，等角对等边，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 9．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题． 设，由折叠可知，结合勾股定理建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设， ， 由折叠可知， ∵四边形是长方形，， ， ， 解得：， 的长为10． 10．（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图，在长方形中，，，将该长方形沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长； (3)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 是等腰三角形；理由如下： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵沿折叠得， ∴， ∴， ∴．∴ 是等腰三角形． (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据折叠得出，从而证明，根据等角对等边，即可证明结论； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案； （3）根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， 设， 由（1）知，则， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 即． （3）解：． 11．（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 12．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长方形纸片进行折纸探究活动． 如图①，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图②）． (1)试探究重叠部分的形状，并说明理由； (2)若，，请直接写出面积的最小值为______． (3)把长方形纸片对折，折痕为，请你仅用圆规在图③的折痕上找一点，使得为等边三角形．（保留作图痕迹，不写作法）． (4)如图④，若，，在边上找一点，在边上找一点，将沿翻折得．设与边交于点，当点、位置发生变化时，点的位置也跟着变化，试求整个变化过程中最大值与最小值的和． 【答案】(1) 解：为等腰三角形，理由如下： ∵长方形纸片沿线段折叠， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． (2) (3) 如图，点即为所求： (4) 【分析】（1）利用长方形对边平行的性质得到，结合折叠的性质得到，通过等量代换得出，进而判定三角形为等腰三角形； （2）根据等腰三角形的边长关系，结合三角形面积公式，分析出最小时面积最小，进而计算即可； （3）以为圆心，的长为半径作弧交于点，连接、，则是等边三角形； （4）分别画出取得最大值与最小值的示意图，再利用翻折的性质以及勾股定理求出的最大值与最小值，两者相加即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∵的面积， ∴当最小，即最小时，的面积取得最小值， ∴当时，的面积的最小值． 故答案为：． （3）解：由折叠可得，， 由作图可得，， ∴， ∴是等边三角形； （4）解：当点与点重合，点与点重合时，有最大值， 由翻折的性质得，， ∵长方形纸片， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的最大值为； 当点与点重合，点与点重合时，有最小值， 由翻折的性质得，， ∵长方形纸片， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为； ∴最大值与最小值的和为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定、尺规作图、等边三角形的判定、勾股定理与翻折问题，熟练掌握相关知识点，根据题意准确画出图形是解题的关键． 题型三：直角三角形中折叠后顶点重合模型 13．（24-25八年级上·全国·期中）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图折叠，使点A与点B重合，则折痕的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，也考查了勾股定理，综合运用这些知识点是解题关键． 由勾股定理求解，由对折可得，设 则， 利用勾股定理求解，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解： 由折叠可得： 设 则 故选：D． 14．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，，，将三角形沿直线折叠，使点B与点A重合，则的长为________． 【答案】 【分析】由折叠可知，是的垂直平分线，设 ，则 ，在 中，，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】设 ， 将三角形沿直线折叠，点与点 重合， ． ，， ， ， 在中，，即， 解得． 15．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质及勾股定理，根据勾股定理可得的值，再根据翻折的性质，可得，设，，利用勾股定理列出方程求解x的值即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴在中，由勾股定理得，， 由折叠的性质知，， 设， 则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得． ∴的长为． 16．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合： (1)若，则的度数为_____； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由折叠性质得，结合三角形内角和定理即可求解； （2）由折叠性质得，设，则，结合勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：由折叠性质得， 中，， 即， 又，， ， 故答案为：； （2）解：由折叠性质得， 设，则， 中，， 即， 解得， 即． 【点睛】本题考查的知识点是折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握折叠性质． 17．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合： (1)若，则的度数为_____； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由折叠性质得，结合三角形内角和定理即可求解； （2）由折叠性质得，设，则，结合勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：由折叠性质得， 中，， 即， 又，， ， 故答案为：； （2）解：由折叠性质得， 设，则， 中，， 即， 解得， 即． 【点睛】本题考查的知识点是折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握折叠性质． 18．（25-26八年级上·广东佛山·月考）如图，是一张纸片，，，，先将其折叠，使点与点重合，折痕是， (1)求的长； (2)求重叠部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形面积的求解，熟练掌握解决翻折图形的方法为解题关键． （1）先根据勾股定理求出的长，再有折叠性质得到：，设，再由勾股定理求出x的值，进而求出最后结果； （2）由勾股定理求出的长，再由三角形面积公式求出结果． 【详解】（1）解：，，， ， 根据翻折可得：， 设，根据图形翻折可得：， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 解得：， ； （2）解：在中，， ． 题型四：直角三角形中折叠后顶点落在一边上模型 19．（2026·黑龙江佳木斯·三模）在中，，，，，点D在上，将沿对折，点C刚好落在上的E点，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠得出，，，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果即可． 【详解】解：在中，，，，根据题意得： ，，， 则， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 20．（25-26八年级下·湖北荆门·期中）如图，在中，，，，把沿折叠，使点B落在边上的点D处，则______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，设，则，在中，利用勾股定理解出x的值即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质得：，，， 设，则，，， ∵在中，， 即， 解得：， 即． 21．（25-26八年级下·四川自贡·阶段检测）如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，求图中阴影部分的面积 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设    ，则，根据求出得到的长，再根据三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴ 图中阴影部分的面积是． 22．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理可得，利用等面积法计算得出，再由折叠的性质即可得出结果； （2）作交于点，交于点，由角平分线的性质定理可得，，证明为等腰直角三角形，得出，由，计算得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果； （3）由勾股定理可得，由中线的性质可得，，，作，交于点，由三角形面积公式计算得出，则，由折叠的性质可得，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的高线， ∴， ∴， ∵对纸片进行折叠，使点与上的点重合， ∴； （2）解：如图：作交于点，交于点， ， ∵为的角平分线， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的中线， ∴，， 如图，作，交于点， ， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理、三角形中线的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) 证明：如图，连接交于点， 沿折叠得， ，，垂直平分， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ； (3)①，理由如下： 如图，过点作交延长线于点，连接， ，即， ， ，， 为的中点． ， ， ，， ， ， ，，， ， ， 在中，， ； 【分析】（1）由算术平方根和绝对值的非负性可求得、的值，再根据勾股定理求解即可； （2）由折叠可知，，垂直平分，根据中点的性质结合等边对等角，得到，进而得到，再根据平行线的性质即可得证； （3）过点作交延长线于点，连接，证明，得到，，证明，得到，在中，根据勾股定理得到，然后等量代换即可得解；过点作、，利用是中点的性质，结合全等三角形得到线段的等量关系，设未知数并结合勾股定理、第①问的结论列方程求解． 【详解】（1）解：，满足，，， ，， ，， 在中，， ； （2）略 （3）解：①略 如图所示，过点作交延长线于点，过点作于，过点作于，连接， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴， ， ， ，， ，， ，， ，， 设，则， 在中，， 即，解得， ， ， 设，则， 由知，， 又， ， 即，解得， ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根与绝对值的非负性、勾股定理、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理，结合图形构造全等三角形并运用方程思想是解题的关键． 24．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 【答案】(1) (2)，． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算可得，作于点，连接，利用等积法求得，利用勾股定理求得，再利用等积即可求解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∴． 作于点，连接， ∵点落在直角边的中点上， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴． 题型五：直角三角形中双折叠模型 25．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】先根据折叠得到，，，，然后根据直角三角形的两个锐角互余以及折叠的性质，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠性质得：，，，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 26．（25-26八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则_____；的长为_____． 【答案】 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可知，根据折叠的性质可知；根据折叠的性质可知，，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，， ， 由折叠可知，， ； 在中，，，， ， 由折叠可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：； 27．（24-25八年级下·河南商丘·阶段检测）如图，在中，，．沿直线将三角形折叠，使点A落在边上的点处；再将三角形沿直线折叠，使点与点重合，若折痕与相交于点，，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的折叠问题和勾股定理，求出是直角三角形是解题的关键．根据折叠的性质，可知，，，，利用三角形内角和等于，得到，从而可以在中利用勾股定理求出的长，进而求出答案． 【详解】解：由折叠可知，，，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得， ， ． 28．（22-23八年级上·福建三明·期末）如图，在中，，点E，F在边上，将边沿翻折，使点A落在上的D点处，再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处． (1)求的度数； (2)若，，求线段的长； (3)在（2）的条件下，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由折叠可得，，，再根据，即可得出； （2）在中，根据勾股定理可得； （3）设，则，根据勾股定理可得，即，求得，即可得出． 【详解】（1）由折叠可得，，， 又∵， ∴， ∴， 即； （2）由折叠可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； （3）结合（2），设，则， ∵在中，， 在中，， ∴， 即， 解得 ∴． 【点睛】本题主要考查折叠的性质及勾股定理的应用，掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 利用勾股定理解决折叠问题的五种模型 题型一 长方形中折叠中折叠到图形外模型 题型二 长方形中折叠中折叠到图形内模型 题型三 直角三角形中折叠后顶点重合模型 题型四 直角三角形中折叠后顶点落在一边上模型 题型五 直角三角形中双折叠模型 题型一：长方形中折叠中折叠到图形外模型 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 2．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，在长方形中，，，沿过点A的折痕折叠长方形，使点D落在边上，折痕与边交于点E，则的长为______． 3．（23-24八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在长方形中，，将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点F处，求的长． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在长方形中，，，为上的点，将沿折叠，使点落在长方形纳的点处．连接，已知． (1)求证：为直角三角形； (2)求线段的长． 5．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，长方形中，点是上的一点，将沿折叠后得到，且点在长方形内部．已知． (1)如图1，若，求的长． (2)如图2，延长交于，连接，将沿折叠，当点的对称点恰好为点时，求四边形的面积． (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，将沿折叠，当点的对称点恰好为点时，求四边形的面积． 6．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在长方形中，，． (1)求对角线的长； (2)点E是线段上的一点，把沿着直线折叠点D恰好落在线段上，点F重合，求线段的长． 题型二：长方形中折叠中折叠到图形内模型 7．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在长方形中，点在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 8．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在长方形中，，，将长方形沿线段折叠到如图的位置，使得点C与线段的中点重合，则的长为_________． 9．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，求的长． 10．（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图，在长方形中，，，将该长方形沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长； (3)求图中阴影部分的面积． 11．（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 12．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长方形纸片进行折纸探究活动． 如图①，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图②）． (1)试探究重叠部分的形状，并说明理由； (2)若，，请直接写出面积的最小值为______． (3)把长方形纸片对折，折痕为，请你仅用圆规在图③的折痕上找一点，使得为等边三角形．（保留作图痕迹，不写作法）． (4)如图④，若，，在边上找一点，在边上找一点，将沿翻折得．设与边交于点，当点、位置发生变化时，点的位置也跟着变化，试求整个变化过程中最大值与最小值的和． 题型三：直角三角形中折叠后顶点重合模型 13．（24-25八年级上·全国·期中）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图折叠，使点A与点B重合，则折痕的长是（　　） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在中，，，，将三角形沿直线折叠，使点B与点A重合，则的长为________． 15．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长． 16．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合： (1)若，则的度数为_____； (2)若，，求的长． 17．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合： (1)若，则的度数为_____； (2)若，，求的长． 18．（25-26八年级上·广东佛山·月考）如图，是一张纸片，，，，先将其折叠，使点与点重合，折痕是， (1)求的长； (2)求重叠部分的面积． 题型四：直角三角形中折叠后顶点落在一边上模型 19．（2026·黑龙江佳木斯·三模）在中，，，，，点D在上，将沿对折，点C刚好落在上的E点，则的长（     ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级下·湖北荆门·期中）如图，在中，，，，把沿折叠，使点B落在边上的点D处，则______． 21．（25-26八年级下·四川自贡·阶段检测）如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，求图中阴影部分的面积 22．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 23．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 24．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 题型五：直角三角形中双折叠模型 25．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 26．（25-26八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则_____；的长为_____． 27．（24-25八年级下·河南商丘·阶段检测）如图，在中，，．沿直线将三角形折叠，使点A落在边上的点处；再将三角形沿直线折叠，使点与点重合，若折痕与相交于点，，求的长． 28．（22-23八年级上·福建三明·期末）如图，在中，，点E，F在边上，将边沿翻折，使点A落在上的D点处，再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处． (1)求的度数； (2)若，，求线段的长； (3)在（2）的条件下，求的面积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $