第2章 特殊三角形（知识清单）数学浙教版2024八年级上册

第2章 特殊三角形 一、轴对称图形与图形的轴对称 1.轴对称图形的定义：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够 互相重合 ，那么这个图形叫做 轴对称图形 ．这条直线叫做 对称轴 . 2.轴对称是一个图形的性质，一个图形的对称轴是一条 直线 ，不是线段或射线； 3.轴对称图形至少有一条对称轴，但是可以不止一条对称轴，如圆的对称轴有 无数条 ，每条直径所在的直线均是圆的对称轴。 4.轴对称图形的性质：对称轴 垂直平分 连结两个对称点的线段 5.图形的轴对称定义：由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴. 6.图形的轴对称性质：成轴对称的两个图形是 全等 图形.图形成轴对称是两个图形的位置关系. 二、等腰三角形 1．等腰三角形定义：有 两边 相等的三角形叫做等腰三角形。 2．等边三角形定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形是特殊的 等腰三角形 ；等腰三角形的对称轴有 1条或3条 ． 3．等腰三角形的性质定理： 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等，简称 等边对等角 。 性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形 三线合一 ． 4.等边三角形三个角都等于 60° ，三边均存在“三线合一”． 5.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简称 等角对等边 . 6.等腰三角形判定的其他方法： ①定义法：有两条边长相等的三角形叫做等腰三角形； ②“三线合一”的逆应用： 当三角形一边上的高线和这边的 中线 重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 当三角形一内角的 平分线 与这个角对边的高线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 7.等边三角形的判定定理 ①定义法：三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个叫是 60° 的等腰三角形是等边三角形 ③ 底边与腰 相等的等腰三角形是等边三角形 ④有两个角是 60° 的三角形是等边三角形 三、逆命题和逆定理 1.互逆命题：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做 互逆命题 ；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 2.逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是 真命题 ，那么就叫它是原定理的 逆定理 ；这两个定理叫做互逆定理。 3.线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的 垂直平分线 上。 四、直角三角形 1．直角三角形的定义：有一个角是 直角 的三角形叫做直角三角形 2．直角三角形的性质： （1）直角三角形两锐角 互余 （2）直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 （3）30°角所对的直角边等于 斜边的一半 3．直角三角形的判定定理： 有两个角 互余 的三角形是直角三角形 4.判定直角三角形的其他方法： （1）定义法； （2）一边上的中线等于这边长的 一半 的三角形可以证的是直角三角形； （3）勾股定理的 逆定理 ； 5.勾股定理：直角三角形两条直角边的 平方和 等于斜边的 平方 ； 如图则有：在Rt△ABC中， a2+b2=c2 . 6.勾股定理的逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 如图：若 a2+b2=c2 ，则有△ABC为直角三角形，∠C=90° 7.在使用勾股定理的逆定理时，先确定数据符合a2+b2=c2，再得AC2+BC2=AB2，最后再写△ABC为直角三角形 8.直角三角形全等的判定方法——HL 斜边和一条直角边 对应相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”） 9.使用HL证明两个直角三角形全等的一般格式： 例：如图，已知直角△ABC与直角△DEF中，∠C=∠E=90° AC=DE，AB=DF，求证：Rt△ABC≌Rt△DEF 证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中 ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 10.角平分线的性质定理的逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的 角平分线上 . 一、轴对称图形与图形的轴对称 1.轴对称图形的性质 错误：不能通过轴对称图形的性质转化等量关系，比如通过找到对称轴两边对应的边长来判断边长相等。 注意：轴对称图形对称轴两边对应边相等，对应角相等，对应的图形全等，因此对应的图形的面积和周长也相等。 例1 如图，将沿翻折，使点落在点处，过点作交于点，若，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．根据折叠的性质和平行线的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵将沿翻折，使点A落在点处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2.画图形的轴对称图 错误：在画图形的轴对称图时，不按照对称轴的要求去画。 注意：画已知图形的轴对称图，要注意原图形的位置，并确认对称轴的位置，才能画出对应点，形成对应图形。 例2 （25-26七年级上·全国·课后作业）如图，三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的； (2)请画出关于轴对称的； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】本题考查作图—轴对称变换、坐标与图形、三角形面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）作出点关于轴对称的，再顺次连接即可； （2）作出点关于轴对称的，再顺次连接即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图：即为所作： （2）解：如上图，即为所求； （3）解：的面积：． 3.图形的轴对称的性质 错误：已知条件明确了某点、某线关于对称轴对称的对应点和线的，不能根据性质进行等量代换，获得对称轴另一侧的有用条件。 注意：图形的轴对称，对称轴两边的图形全等，因此对应边、角也相等；对称轴是连结对应点的线段的垂直平分线。 例3 如图，已知，D为内一点，且，若点D关于的对称点分别记作点E，F，连接，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及三角形的面积，熟知轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质得出及，再结合三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：如图所示， ∵点D关于的对称点分别记作点E，F， ∴， 又∵， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 4.“将军饮马”作图 错误：作图时没有正确作已知点关于“河”的对称点 注意：“将军饮马”问题在作图时，一定要正确作已知点A关于“河”的对称点A’，正确步骤是作垂线并延长一倍。然后将该点与“河”对岸的另一个点B相连。 例4 （24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)作出关于直线对称的（要求A与与与相对应）； (2)求的面积 (3)在直线上找一点，使得的和最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，依次连接即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （3）连接交直线l于点P，连接，则，故，根据两点之间线段最短可得此时最小，即点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：； （3）解：如图，点P即为所求． 二、等腰三角形 1.等腰三角形两腰相等相关的分类讨论 错误：题目没有明确等腰三角形哪两边是腰的，没有进行分类讨论。 注意：在题目未明确等腰三角形哪两边是腰时，要进行任意两边可能相等的分类讨论。尤其，在根据已知两点，找第三点与其组成等腰三角形的，就更要有分类讨论的意识。 （在直线a上找一点P使得△ABP是等腰三角形；AB可能是腰，也可能是底） 例5 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，结合三角形的三边关系分情况讨论是解题的关键． 分腰长为2和腰长为5两种情况，分别确定三边，然后再根据三角形的三边关系判断，最后再求周长即可。 【详解】解：①当等腰三角形的腰长为2时，底边长为5， ∵， ∴不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为5时，底边长为2， ∵， ∴能构成三角形； ∴等腰三角形的周长． 综上所述：等腰三角形的周长为12. 故答案为：12． 2.等腰三角形两底角相等的运用 错误：在已知等腰三角形的前提下，没有将“两底角相等”的已知条件运用起来 注意：在已知三角形是等腰三角形时，要第一时间将两底角相等标注在图形中，作为重要的推论。 例6 如图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是 ．    【答案】10°或80°或20°或140° 【分析】分三种情形：，，分别求解即可解决问题． 【详解】解：如图，    在中，， ①当时，，， ②当时，， ③当时，， 综上所述，满足条件的的值为或或或． 3.等腰三角形两角相等相关的分类讨论 错误：和“腰相等”所犯的错误一样，忘记分类讨论 注意：在题目未明确等腰三角形哪两边是腰时，要进行任意两角可能相等的分类讨论。 例7 等腰三角形一个外角为，则它的顶角为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，利用平角定义，分的角是底角的外角和顶角的外角两种情况进行计算即可解答． 【详解】解：①当的角是底角的外角时，则底角度数为， 则它的顶角为； ②当的角是顶角的外角时，则顶角度数为； 综上，这个等腰三角形的顶角为或． 故选：D． 4.注意等边三角形的三个角都是60° 错误：在已知等边三角形的前提下，没有将“三个角都是60°”的已知条件运用起来 注意：在已知三角形是等边三角形时，要第一时间将三个内角都是60°标注在图形中，作为重要的推论。 例8 如图，是等边三角形，点、、分别在、、上，若，，则 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，先由等边三角形的性质得到，再由三角形外角的性质证明，据此利用三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 5.“三线合一”在计算中的运用 错误：在等腰三角形中，不能将底边上的中线、高线和顶角的角平分线联系成一条线段，典型的比如已知顶角的角平分线，则不能推出这条线段平分了底边，并与底边垂直。这样的话，两条线段的位置关系，以及底边上的数量关系相关的已知条件就没有了。 注意：等腰三角形中，底边上的中线、高线和顶角的角平分线要联系到一起，已知其中任何一个条件，就要能推导出另外两个条件，这在计算中非常重要。 例9 如图，在等腰中，，于点，，两动点分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 【答案】度或 【分析】依据题意，连接，先证明，得到，从而推出当、、三点共线且时最小，即此时最小，过点作于点，交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，，，同理可得，则，利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴，， 又∵是公共边， ∴， ∴， ∴， ∴当、、三点共线且时最小，即此时最小，过点作于点，交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，的度数为， 故答案为：． 6.“三线合一”在证明中的运用 错误：与“5”类似，如果不能在三者之间作相互推到，就没有办法在证明中找到捷径。 注意：在有等腰三角形的作图环境中，如果证明与角有关，要注意底边上的中线或者高线也是顶角的角平分线；如果要证明垂直，就可能需要通过证明底边上的中线，或者顶角的角平分线来证明这条线段与底边垂直；如果是证明线段长的相互关系，那么可以通过证明顶角的角平分线，底边上的高线来证明底边被均分。 已知：AB=AC 点D是BC中点。 结论：①AD⊥BC;②AD平分∠BAC 已知：AB=AC AD⊥BC 结论：①AD平分∠BAC;②点D是BC中点。 已知：AB=AC AD平分∠BAC 结论：①AD⊥BC;②点D是BC中点。 7.用两边或两角相等证明三角形是等腰三角形 错误：证明两边相等的方法不只有计算得到两条边的长，对其他方法证明两边长相等却没有掌握。 注意：出了直接已知两边长相等，如果已知条件给的是线段长，可以通过计算得到两边长相等，如果给的是角度数的已知条件，则可以通过计算得到两个角相等；如果给的条件是有关边或者角的等量关系的，那么需要通过几何证明解决问题，如通过线段或角的等量代换得到两边/两角相等，如通过两边所在三角形全等得到对应边相等。 例10 如图，在△ABC中，AM=CM，AD=CD，DM//BC，判断△CMB的形状，并说明理由． 【答案】△CMB是等腰三角形，理由见解析 【分析】由等腰三角形的三线合一的性质可得∠AMD=∠CMD，再根据平行线的性质可得∠AMD=∠B，∠CMD=∠MCB，再根据等量代换可得∠B=∠MCB，根据等角对等边可得MC=MB，进而得到△CMB是等腰三角形． 【详解】在△AMC中，∵AM=CM，AD=CD，（已知）， ∴∠AMD=∠CMD（等腰三角形三线合一）， ∵DM∥BC（ 已知）， ∴∠AMD=∠B（两直线平行，同位角相等），∠CMD=∠MCB（两直线平行，内错角相等）， ∴∠B=∠MCB（等量代换）， ∴MC=MB（等角对等边）， 即△CMB是等腰三角形． 8.证明三角形是等边三角形 错误：在证明一个三角形是等边三角形时没有调理，证明等边三角形不能一蹴而就。 注意：（1）一般情况下，要证明一个三角形是等边三角形，可以通过先证明它是等腰三角形，然后再添加一个条件证明是等边三角形，具体如下： ①已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，且∠A=60°（或∠B=60°）； ②已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，且AB=BC； （2）也可以直接通过三边相等或者有两个角是60°证明三角形是等边三角形，这需要已知条件给出明确的较多的信息。 例11 如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形性质得，进而依据“”判定和全等得，由此得，据此即可得出结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形． 9.确认“如果”和“那么”来写一个命题的逆命题 错误：规范的如果...那么...描述的命题能够写逆命题，但简短的如“对顶角相等”就不会组织语言 注意：学会扩句，从结论出发反过来描述，先确认结论，在描述已知条件。如“对顶角相等”，结论是角相等，条件是对顶角，将其具体化就是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，其逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”。 例12 说出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假． (1)两个全等三角形的面积相等． (2)如果，那么，． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）其逆命题是如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等. 显然是假命题． （2）逆命题是如果，，那么，是真命题． 本题考查了逆命题，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键． 【详解】（1）逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等． 判断：逆命题是假命题． （2）逆命题：如果，，那么． 判断：逆命题是真命题． 10.用“三线合一”证明三角形是等腰三角形 错误：在证明三角形是等腰三角形时忽视用三角形“三线合一”的性质定理的逆定理证明。 注意：当已知三角形一边边上的中线、高线和对角的角平分线这三个条件中的两个时，可以证明这个三角形是等腰三角形。 已知：①AD⊥BC;②AD平分∠BAC 结论：AB=AC， 点D是BC中点。 已知：①AD平分∠BAC;②点D是BC中点。 结论：AB=AC，AD⊥BC 已知：①AD⊥BC;②点D是BC中点 结论：AB=AC AD平分∠BAC。 例13 如图所示，△ABC和△ADE其中一点重合，且AD正好经过BC中点P，而点C也正好是边DE的中点。已知∠BAD=∠DAC=∠CAE=25°，连结BD.A B C D E P （1）证明∠ABD是直角； （2）求∠CBD的度数。 【答案】（1）见解析 （2）25° 【分析】本题主要考查用“三线合一”的逆定理证明三角形是等腰三角形，同时考查了全等的证明和全等三角形的性质，等腰三角形的性质。 本题第（1）小题中，结合中点P和中点C，以及角平分线AP和AC可以分别证明△ABC和△ADE均为等腰三角形，通过等腰三角形腰相等的性质可以得到△ABD≌△ACE，再根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ACE=90°； 第（2）小题中，要求∠CBD的度数，只要求出∠ABC的度数即可，在已知顶角∠BAC=25°+25°=50°的情况下，结合等腰三角形的性质马上可以求出∠ABC的度数，进而求解。 【详解】（1）证明：点P是BC的中点，所以PB=PC，因为∠BAD=∠DAC 所以△ABC是等腰三角形，所以AB=AC； 同理△ADE也是等腰三角形,所以AD=AE，AC⊥DE，即∠ACE=90°. 在△ABD与△ACE中， , 所以△ABD≌△ACE（SAS） 所以∠ABD=∠ACE=90°，∠ABD是直角。 （2）等腰△ABC中，∠BAC=25°+25°=50°，所以∠ABC=（180°－50°）÷2=65°，所以∠CBD=90°-65°=25°。 三、直角三角形 1.直角三角形相关的求角问题 错误：对直角三角形的性质不熟悉，求角时不能使用性质得到相关条件。 注意：直角三角形的性质中，两锐角互余可以快速求出直角三角形内角；斜边中线定理则可以获得两个等腰三角形，再结合等腰三角形的性质求角。 例14 等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为，则顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键．分这个三角形为锐角三角形和钝角三角形，再利用三角形内角和定理和可求得顶角的度数． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图①， 高与右边腰成夹角，由三角形内角和为可得，顶角为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图②， 此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为， 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为，所以三角形的顶角为， 所以该等腰三角形的顶角为或， 故选：D． 例15 （24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，以为斜边作等腰直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质，根据直角三角形的性质求出，分与在斜边的两侧、同侧两种情况计算，得到答案．掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 当与在斜边的两侧时，， ， 当与在斜边的同侧时，， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 2.斜边中线定理在计算中的运用 错误：斜边中线定理为我们带来很多等量关系，不能作出有关推论的，在求角问题和求边问题中会导致条件不足。 注意：斜边中线定理说明：斜边上的中线是斜边的一半，那么斜边上的中线将直角三角形分为两个等腰三角形。如下图所示，CD是Rt△ABC斜边上的中线，那么CD=AD=BD=AB，所以△DBC与△DAC都是等腰三角形，即有：∠B=∠BCD；∠A=∠ACD。 例16 （24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，， 垂直平分，分别交 、 于点D、E，平分，， ，则 的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，中垂线的性质，等腰三角形的性质，根据中垂线的性质，得到，含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3.斜边中线定理在证明中的运用 错误：斜边中线定理为我们带来很多等量关系，不能作出有关推论的，在几何证明过程中中会导致条件不足。 注意：在“2”我们知道了，斜边中线将直角三角形分成了两个等腰三角形，同时对于特殊的直角三角形还有更多的结论： ①如果直角三角形中有一个角是30°，那么30°所对的边是斜边的一半（如图，只要证明△BCD是等边三角形即可得证），即BC=AB. 30° ②如果直角三角形中有一个角是45°，那么直角三角形是等腰直角三角形，且斜边中线将其分成了两个全等的小等腰直角三角形，且该直角三角形直角边与斜边比为1：. 45° C B A D 例17 如图，中，平分，于F，D为中点，请说明的理由． 【答案】见解析 【分析】根据在直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半得，，，根据角的平分线的定义知，则，再根据内错角相等两直线平行得出结论． 【详解】解：∵， ∴ ∵点D是边上的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 例 如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据垂直平分得，再根据，得，由此即可得出结论； （2）先根据垂直平分得出．再证明，然后根据等边三角形与直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ，， ， 为等边三角形； （2）解：，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴在直角中，， ∴， ∴. 4.用“勾股定理”时注意分类讨论 错误：在使用“勾股定理”计算直角三角形的边长时，没有明确已知边是直角边还是斜边，导致列式错误，尤其的，如果没有指明，不进行讨论。 注意：使用勾股定理计算直角三角形的边长时，一先确认已知边长和所求是直角边还是斜边，如果没有明确则进行分类讨论；然后再结合勾股定理进行计算。 例18 中，，，高，则 【答案】14或4 【分析】本题考查了勾股定理在三角形中的应用，解题的关键是考虑高的位置（在三角形内部或外部），分情况计算的长度． 利用勾股定理分别在和中求出和的长度；分在内部和外部两种情况，计算的长度（内部时外部时． 【详解】解：∵是的高， ∴ 和均为直角三角形，． 在中，由勾股定理得： 即 解得（负值舍去）． 在中，由勾股定理得： 即 解得（负值舍去）． 分两种情况讨论： ①当在内部时， ②当在外部时，． 故答案为：或． 5.用方程思想构建“勾股定理”等量关系，并求解 错误：只会直接用勾股定理列计算式求线段长，不会通过设未知数列方程求线段长。 注意：直接告知两边求直角三角形第三条边长的，可以直接进行计算；但如果只告知了一条边长的，那么就需要再增加其他的已知条件才行，典型的比如告诉你另外两条边长的和，或者倍数关系，这时候只要设未知的其中一条边为x，另一条边就能用x表示，然后用勾股定理的等式列方程计算即可。这列题目最典型出现在折叠问题中。 例19 （24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿DE翻折，点C落在上的点F处， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 6.用“勾股定理”证明三角形是直角三角形 错误：只知道用直角三角形的定义或简单性质证明三角形是直角三角形，不知道结合勾股定理证明三角形是直角三角形。 注意：“勾股定理”的逆定理成立，即，如果三角形的三边a，b，c满足a²+b²=c²，那么三角形是直角三角形，且c是斜边，c所对的角是直角。 例20 如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，先计算，，，再进一步解答即可． 【详解】解：设小正方形边长为1，连接，由勾股定理可得： ，，， ∴且， ∴是等腰直角三角形，． 故答案为： 例21 如图，在四边形中，，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)直角三角形；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算，解题的关键是通过勾股定理求出的长度，再利用逆定理判断 的形状，进而计算四边形的面积． （1）在中，由勾股定理求出的长度；通过计算与的关系，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形； （2）将四边形的面积转化为和的面积之和，分别计算两个三角形的面积后相加． 【详解】（1）是直角三角形． 理由：， ， ， 是直角三角形． （2）由（1）可知，， ． 7.“HL”可以证明两个直角三角形全等 错误：混淆SAS和HL证明两个直角三角形全等的区别。 注意：两个直角三角形一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等，是“HL”证明两个直角三角形全等，但不是所有的直角三角形的全等都是用“HL”为依据证明的，比如若已知直角三角形两直角边分别对应相等，是根据“SAS”证明两个直角三角形全等。 例22 如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 故选：D． 1．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，，若要直接依据“”判定，则还需要补充的一个条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．用“”判定，只需要满足斜边和直角边对应相等的两直角三角形全等即可． 【详解】解：添加条件：， ∵ 在和中， ， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）下列命题的逆命题不成立的是（   ） A．两条直线平行，同位角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．平行四边形的对角线互相平分 D．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 【答案】B 【分析】本题考查了命题与逆命题，真命题与假命题的判定，掌握平行线及平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质是解题的关键．根据平行线及平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质进行判定即可求解． 【详解】解：A、“两条直线平行，同位角相等”的逆命题为“同位角相等，两条直线平行”，是真命题，不符合题意； B、“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“两个三角形对应角相等，则两个三角形全等”，逆命题是假命题，符合题意； C、“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，是真命题，不符合题意； D、“在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的逆命题为“在角的内部，角平分线上的点到角两边的距离相等”，是真命题，不符合题意； 故选：B ． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是等腰三角形，，，平分，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，根据得为等腰三角形，进而得，再根据角平分线定义得，则，进而得为等腰三角形，再通过计算得出，则为等腰三角形，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， 综上所述：图中共有3个等腰三角形． 故选：C． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）如图网格中每个小正方形边长为1，以A为圆心，长为半径画弧，交网格线于点（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理， 先连接，根据题意可知，再根据勾股定理可得答案. 【详解】解：连接，根据题意可知， 根据勾股定理，得. 故选：A. 5．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，相交于点．当时，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和平行线的性质，求出的度数是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，再由平行线的性质得，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得的度数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．（19-20八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在等边三角形中，D是边上的中点，延长到点E，使，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键． 根据等边三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求解得到的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，与关于直线对称，连接，，，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的是（　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，故①正确， ∵和关于直线对称， 点与点关于直线对称的对称点， ∴，故②正确； ∵和关于直线对称， ∴线段被直线垂直平分， ∴直线垂直平分，故③正确； ∵和关于直线对称， ∴线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③． 故选：A． 8．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，梯子斜靠在墙面上，，，当梯子的顶端 A 沿方向下滑时，梯足 B 沿方向滑动，则x 与y的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设，利用梯子下滑过程中的长度保持不变，建立a，x，y的等式，然后进行判断即可． 【详解】解：设， 由勾股定理得： ， ∴， 化简得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，中，，，D为中点，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线性质，可得，从而利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形的外角进行计算即可解答． 【详解】解：，，，为中点， ， ， ， 故答案为：． 10．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）如图，在中，和的角平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，等量代换得，根据等角对等边的性质可得，同理可得，然后求出的周长，代入数据即可得解． 【详解】解：∵平分，平分 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为： ∵ ∴的周长为：． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，已知，点，，，…在射线ON上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角的性质，图形规律问题，掌握探究的方法再确定规律是解题的关键． 根据，是等边三角形，确定，依次计算，，，确定规律再计算即可． 【详解】解：∵，△是等边三角形，， ∴，，， 同理可得，，， ∴， ∴的周长为； 故答案为：． 12．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，等边三角形中，于点D，点E、F分别是上的动点，沿所在直线折叠，使点C落在上的点处，当是直角三角形时，的值为 ． 【答案】或 【分析】设，则，当时，；当时，，解答即可． 本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解方程，分母有理化，熟练掌握性质和解方程是解题的关键． 【详解】解：∵等边三角形中，于点D， ∴， ， 根据折叠的性质，得， 设，则， 当时， ∴ ∴ ∴， 解得； 当时， ∴ ∴， 解得； 综上所述，当是直角三角形时，的值为或． 13．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出，使它与关于直线l对称； (2)在直线l上找一点P，使得最小； (3)的面积为__________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)5 【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键； （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接，交直线于点，则点即为所求． （3）利用矩形减去三个三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，连接，交直线于点，连接， 此时最小， 则点即为所求． （3）解：的面积为． 故答案为：5． 14．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 【答案】(1)12米 (2)7米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，根据勾股定理列方程求解即可； （2）先根据勾股定理求出，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米， 由题意知：米，， 在中， ， ， 解得：， 答：旗杆的高度12米； （2）解：由（1）知，米，则米， 米， 米， 答：珍珍应从A处向东走7米． 15．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点是等边内一点，是外的一点，已知，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求的度数； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）先利用全等三角形的性质得出，再根据证得结论成立； （2）先等边三角形的性质得出，再求出，然后利用全等三角形的性质求得，从而可求得，进而求得； （3）先利用等腰三角形的性质求得，从而可求得，，进而求得，再分、、三种情况，分别求得． 【详解】（1）证明：， ． ， 是等边三角形； （2）是等边三角形， ． ． ， ， ， ； （3）是等边三角形， ． ， ， ， ． ①当时，， ． ②当时，， ． ③当时，， ． 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 16．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）综合与探究．【问题呈现】（1）如图①，在 和中，，，，连接，，试探究和的数量关系为 ； 【类比探究】（2）如图②，若和均为等边三角形，且点，，在同一直线上，求的度数； 【拓展运用】（3）如图③，若和均为等腰直角三角形，，且点，，在同一直线上，与交于点，当恰好平分时，试探究与之间的数量关系，请写出证明过程． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明； （2）根据等边三角形的性质可得，即可推导，由（1）可知，根据全等三角形的性质可得，由即可确定的度数； （3）根据等腰直角三角形的性质，易得，再结合平分，可得，，进而确定，可推导；然后证明，可得，结合，即可证明． 【详解】解：（1）．证明如下： ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）∵为等边三角形， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴； （3）∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 2 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 特殊三角形 一、轴对称图形与图形的轴对称 1.轴对称图形的定义：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够 ，那么这个图形叫做 ．这条直线叫做 . 2.轴对称是一个图形的性质，一个图形的对称轴是一条 ，不是线段或射线； 3.轴对称图形至少有一条对称轴，但是可以不止一条对称轴，如圆的对称轴有 ，每条直径所在的直线均是圆的对称轴。 4.轴对称图形的性质：对称轴 连结两个对称点的线段 5.图形的轴对称定义：由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴. 6.图形的轴对称性质：成轴对称的两个图形是 图形.图形成轴对称是两个图形的位置关系. 二、等腰三角形 1．等腰三角形定义：有 相等的三角形叫做等腰三角形。 2．等边三角形定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形是特殊的 ；等腰三角形的对称轴有 ． 3．等腰三角形的性质定理： 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等，简称 。 性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形 ． 4.等边三角形三个角都等于 ，三边均存在“三线合一”． 5.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简称 . 6.等腰三角形判定的其他方法： ①定义法：有两条边长相等的三角形叫做等腰三角形； ②“三线合一”的逆应用： 当三角形一边上的高线和这边的 重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 当三角形一内角的 与这个角对边的高线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 7.等边三角形的判定定理 ①定义法：三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个叫是 的等腰三角形是等边三角形 ③ 相等的等腰三角形是等边三角形 ④有两个角是 的三角形是等边三角形 三、逆命题和逆定理 1.互逆命题：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做 ；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。 2.逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是 ，那么就叫它是原定理的 ；这两个定理叫做互逆定理。 3.线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的 上。 四、直角三角形 1．直角三角形的定义：有一个角是 的三角形叫做直角三角形 2．直角三角形的性质： （1）直角三角形两锐角 （2）直角三角形斜边上的中线等于 （3）30°角所对的直角边等于 3．直角三角形的判定定理： 有两个角 的三角形是直角三角形 4.判定直角三角形的其他方法： （1）定义法； （2）一边上的中线等于这边长的 的三角形可以证的是直角三角形； （3）勾股定理的 ； 5.勾股定理：直角三角形两条直角边的 等于斜边的 ； 如图则有：在Rt△ABC中， . 6.勾股定理的逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 如图：若 ，则有△ABC为直角三角形，∠C=90° 7.在使用勾股定理的逆定理时，先确定数据符合a2+b2=c2，再得AC2+BC2=AB2，最后再写△ABC为直角三角形 8.直角三角形全等的判定方法——HL 对应相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”） 9.使用HL证明两个直角三角形全等的一般格式： 例：如图，已知直角△ABC与直角△DEF中，∠C=∠E=90° AC=DE，AB=DF，求证：Rt△ABC≌Rt△DEF 证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中 ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 10.角平分线的性质定理的逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的 . 一、轴对称图形与图形的轴对称 1.轴对称图形的性质 错误：不能通过轴对称图形的性质转化等量关系，比如通过找到对称轴两边对应的边长来判断边长相等。 注意：轴对称图形对称轴两边对应边相等，对应角相等，对应的图形全等，因此对应的图形的面积和周长也相等。 例1 如图，将沿翻折，使点落在点处，过点作交于点，若，，则的度数为 ． 2.画图形的轴对称图 错误：在画图形的轴对称图时，不按照对称轴的要求去画。 注意：画已知图形的轴对称图，要注意原图形的位置，并确认对称轴的位置，才能画出对应点，形成对应图形。 例2 （25-26七年级上·全国·课后作业）如图，三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的； (2)请画出关于轴对称的； (3)求的面积． 3.图形的轴对称的性质 错误：已知条件明确了某点、某线关于对称轴对称的对应点和线的，不能根据性质进行等量代换，获得对称轴另一侧的有用条件。 注意：图形的轴对称，对称轴两边的图形全等，因此对应边、角也相等；对称轴是连结对应点的线段的垂直平分线。 例3 如图，已知，D为内一点，且，若点D关于的对称点分别记作点E，F，连接，则的面积为 ． 4.“将军饮马”作图 错误：作图时没有正确作已知点关于“河”的对称点 注意：“将军饮马”问题在作图时，一定要正确作已知点A关于“河”的对称点A’，正确步骤是作垂线并延长一倍。然后将该点与“河”对岸的另一个点B相连。 例4 （24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)作出关于直线对称的（要求A与与与相对应）； (2)求的面积 (3)在直线上找一点，使得的和最小．（保留作图痕迹） 二、等腰三角形 1.等腰三角形两腰相等相关的分类讨论 错误：题目没有明确等腰三角形哪两边是腰的，没有进行分类讨论。 注意：在题目未明确等腰三角形哪两边是腰时，要进行任意两边可能相等的分类讨论。尤其，在根据已知两点，找第三点与其组成等腰三角形的，就更要有分类讨论的意识。 （在直线a上找一点P使得△ABP是等腰三角形；AB可能是腰，也可能是底） 例5 若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为 ． 2.等腰三角形两底角相等的运用 错误：在已知等腰三角形的前提下，没有将“两底角相等”的已知条件运用起来 注意：在已知三角形是等腰三角形时，要第一时间将两底角相等标注在图形中，作为重要的推论。 例6 如图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是 ．    3.等腰三角形两角相等相关的分类讨论 错误：和“腰相等”所犯的错误一样，忘记分类讨论 注意：在题目未明确等腰三角形哪两边是腰时，要进行任意两角可能相等的分类讨论。 例7 等腰三角形一个外角为，则它的顶角为（   ） A． B． C． D．或 4.注意等边三角形的三个角都是60° 错误：在已知等边三角形的前提下，没有将“三个角都是60°”的已知条件运用起来 注意：在已知三角形是等边三角形时，要第一时间将三个内角都是60°标注在图形中，作为重要的推论。 例8 如图所示，是等边三角形，点、、分别在、、上，若，，则 度． 5.“三线合一”在计算中的运用 错误：在等腰三角形中，不能将底边上的中线、高线和顶角的角平分线联系成一条线段，典型的比如已知顶角的角平分线，则不能推出这条线段平分了底边，并与底边垂直。这样的话，两条线段的位置关系，以及底边上的数量关系相关的已知条件就没有了。 注意：等腰三角形中，底边上的中线、高线和顶角的角平分线要联系到一起，已知其中任何一个条件，就要能推导出另外两个条件，这在计算中非常重要。 例9 如图，在等腰中，，于点，，两动点分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 6.“三线合一”在证明中的运用 错误：与“5”类似，如果不能在三者之间作相互推到，就没有办法在证明中找到捷径。 注意：在有等腰三角形的作图环境中，如果证明与角有关，要注意底边上的中线或者高线也是顶角的角平分线；如果要证明垂直，就可能需要通过证明底边上的中线，或者顶角的角平分线来证明这条线段与底边垂直；如果是证明线段长的相互关系，那么可以通过证明顶角的角平分线，底边上的高线来证明底边被均分。 已知：AB=AC 点D是BC中点。 结论：①AD⊥BC;②AD平分∠BAC 已知：AB=AC AD⊥BC 结论：①AD平分∠BAC;②点D是BC中点。 已知：AB=AC AD平分∠BAC 结论：①AD⊥BC;②点D是BC中点。 7.用两边或两角相等证明三角形是等腰三角形 错误：证明两边相等的方法不只有计算得到两条边的长，对其他方法证明两边长相等却没有掌握。 注意：出了直接已知两边长相等，如果已知条件给的是线段长，可以通过计算得到两边长相等，如果给的是角度数的已知条件，则可以通过计算得到两个角相等；如果给的条件是有关边或者角的等量关系的，那么需要通过几何证明解决问题，如通过线段或角的等量代换得到两边/两角相等，如通过两边所在三角形全等得到对应边相等。 例10 如图，在△ABC中，AM=CM，AD=CD，DM//BC，判断△CMB的形状，并说明理由． 8.证明三角形是等边三角形 错误：在证明一个三角形是等边三角形时没有调理，证明等边三角形不能一蹴而就。 注意：（1）一般情况下，要证明一个三角形是等边三角形，可以通过先证明它是等腰三角形，然后再添加一个条件证明是等边三角形，具体如下： ①已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，且∠A=60°（或∠B=60°）； ②已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，且AB=BC； （2）也可以直接通过三边相等或者有两个角是60°证明三角形是等边三角形，这需要已知条件给出明确的较多的信息。 例11 如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，，求证：是等边三角形． 9.确认“如果”和“那么”来写一个命题的逆命题 错误：规范的如果...那么...描述的命题能够写逆命题，但简短的如“对顶角相等”就不会组织语言 注意：学会扩句，从结论出发反过来描述，先确认结论，在描述已知条件。如“对顶角相等”，结论是角相等，条件是对顶角，将其具体化就是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，其逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”。 例12 说出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假． (1)两个全等三角形的面积相等． (2)如果，那么，． 10.用“三线合一”证明三角形是等腰三角形 错误：在证明三角形是等腰三角形时忽视用三角形“三线合一”的性质定理的逆定理证明。 注意：当已知三角形一边边上的中线、高线和对角的角平分线这三个条件中的两个时，可以证明这个三角形是等腰三角形。 已知：①AD⊥BC;②AD平分∠BAC 结论：AB=AC， 点D是BC中点。 已知：①AD平分∠BAC;②点D是BC中点。 结论：AB=AC，AD⊥BC 已知：①AD⊥BC;②点D是BC中点 结论：AB=AC AD平分∠BAC。 例13 如图所示，△ABC和△ADE其中一点重合，且AD正好经过BC中点P，而点C也正好是边DE的中点。已知∠BAD=∠DAC=∠CAE=25°，连结BD.A B C D E P （1）证明∠ABD是直角； （2）求∠CBD的度数。 三、直角三角形 1.直角三角形相关的求角问题 错误：对直角三角形的性质不熟悉，求角时不能使用性质得到相关条件。 注意：直角三角形的性质中，两锐角互余可以快速求出直角三角形内角；斜边中线定理则可以获得两个等腰三角形，再结合等腰三角形的性质求角。 例14 等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为，则顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 例15 （24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，以为斜边作等腰直角三角形，则的度数为 ． 2.斜边中线定理在计算中的运用 错误：斜边中线定理为我们带来很多等量关系，不能作出有关推论的，在求角问题和求边问题中会导致条件不足。 注意：斜边中线定理说明：斜边上的中线是斜边的一半，那么斜边上的中线将直角三角形分为两个等腰三角形。如下图所示，CD是Rt△ABC斜边上的中线，那么CD=AD=BD=AB，所以△DBC与△DAC都是等腰三角形，即有：∠B=∠BCD；∠A=∠ACD。 例16 （24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，， 垂直平分，分别交 、 于点D、E，平分，， ，则 的长为 ． 3.斜边中线定理在证明中的运用 错误：斜边中线定理为我们带来很多等量关系，不能作出有关推论的，在几何证明过程中中会导致条件不足。 注意：在“2”我们知道了，斜边中线将直角三角形分成了两个等腰三角形，同时对于特殊的直角三角形还有更多的结论： ①如果直角三角形中有一个角是30°，那么30°所对的边是斜边的一半（如图，只要证明△BCD是等边三角形即可得证），即BC=AB. 30° ②如果直角三角形中有一个角是45°，那么直角三角形是等腰直角三角形，且斜边中线将其分成了两个全等的小等腰直角三角形，且该直角三角形直角边与斜边比为1：. 45° C B A D 例17 如图，中，平分，于F，D为中点，请说明的理由． 例 如图，在中，垂直平分，垂足为D，过点D作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点E，． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 4.用“勾股定理”时注意分类讨论 错误：在使用“勾股定理”计算直角三角形的边长时，没有明确已知边是直角边还是斜边，导致列式错误，尤其的，如果没有指明，不进行讨论。 注意：使用勾股定理计算直角三角形的边长时，一先确认已知边长和所求是直角边还是斜边，如果没有明确则进行分类讨论；然后再结合勾股定理进行计算。 例18 中，，，高，则 5.用方程思想构建“勾股定理”等量关系，并求解 错误：只会直接用勾股定理列计算式求线段长，不会通过设未知数列方程求线段长。 注意：直接告知两边求直角三角形第三条边长的，可以直接进行计算；但如果只告知了一条边长的，那么就需要再增加其他的已知条件才行，典型的比如告诉你另外两条边长的和，或者倍数关系，这时候只要设未知的其中一条边为x，另一条边就能用x表示，然后用勾股定理的等式列方程计算即可。这列题目最典型出现在折叠问题中。 例19 （24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 6.用“勾股定理”证明三角形是直角三角形 错误：只知道用直角三角形的定义或简单性质证明三角形是直角三角形，不知道结合勾股定理证明三角形是直角三角形。 注意：“勾股定理”的逆定理成立，即，如果三角形的三边a，b，c满足a²+b²=c²，那么三角形是直角三角形，且c是斜边，c所对的角是直角。 例20 如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为 ． 例21 如图，在四边形中，，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 7.“HL”可以证明两个直角三角形全等 错误：混淆SAS和HL证明两个直角三角形全等的区别。 注意：两个直角三角形一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等，是“HL”证明两个直角三角形全等，但不是所有的直角三角形的全等都是用“HL”为依据证明的，比如若已知直角三角形两直角边分别对应相等，是根据“SAS”证明两个直角三角形全等。 例22 如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，，若要直接依据“”判定，则还需要补充的一个条件是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）下列命题的逆命题不成立的是（   ） A．两条直线平行，同位角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．平行四边形的对角线互相平分 D．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是等腰三角形，，，平分，则图中等腰三角形的个数为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）如图网格中每个小正方形边长为1，以A为圆心，长为半径画弧，交网格线于点（   ） A． B． C．2 D． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，相交于点．当时，则的大小是（   ） A． B． C． D． 6．（19-20八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在等边三角形中，D是边上的中点，延长到点E，使，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，与关于直线对称，连接，，，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的是（　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 8．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，梯子斜靠在墙面上，，，当梯子的顶端 A 沿方向下滑时，梯足 B 沿方向滑动，则x 与y的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 9．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，中，，，D为中点，则的大小为 ． 10．（21-22七年级下·湖南娄底·期末）如图，在中，和的角平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，则的周长为 ． 11．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，已知，点，，，…在射线ON上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的周长为 ． 12．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，等边三角形中，于点D，点E、F分别是上的动点，沿所在直线折叠，使点C落在上的点处，当是直角三角形时，的值为 ． 13．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出，使它与关于直线l对称； (2)在直线l上找一点P，使得最小； (3)的面积为__________． 14．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 15．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点是等边内一点，是外的一点，已知，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求的度数； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 16．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）综合与探究．【问题呈现】（1）如图①，在 和中，，，，连接，，试探究和的数量关系为 ； 【类比探究】（2）如图②，若和均为等边三角形，且点，，在同一直线上，求的度数； 【拓展运用】（3）如图③，若和均为等腰直角三角形，，且点，，在同一直线上，与交于点，当恰好平分时，试探究与之间的数量关系，请写出证明过程． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $