精品解析：福建省龙岩市某校2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

2028届高一下数学第一次月考 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为纯虚数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 3. 设，是两个非零向量，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 5. 是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，为正多边形的顶点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 在中，，分别为，边上的点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 中，内角的对边分别为，且，则的形状为（ ） A. 直角三角形或等腰三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 设锐角的三个内角的对边分别为 且，，则周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数，，下列说法正确的是（ ） A. 若纯虚数，则 B. 若为实数，则， C. 若，则或 D. 若，则m的取值范围是 10. 对于，有如下判断，其中正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，则是钝角三角形 11. 图为温岭的标志性景观-石夫人，“峰以形名，头挽发髻，延颈削肩，神奇秀丽”．某兴趣小组测绘山峰数据：于山脚处测得峰顶的仰角为，从出发选择地平面方向使得，前进至点恰使，测得前进距离．若峰顶在所在地平面垂直投影点为，山坳处有一个憩息点，观测峰顶的仰角为，在地平面投影点落在上，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 从点观测峰顶的仰角为，则 D. 从点观测点的仰角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知非零向量满足，则___________. 13. 在我国国旗的正五角星图形中有许多黄金分割点，如图所示的正五角星几何图形中，是顶角为的等腰三角形，，为线段上的两个黄金分割点，则有据此计算___________. 14. 已知点是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且．若存在，使得与垂直，且，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知一平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，，. （1）求的模长. （2）求第四个顶点的坐标 16. 如图，在中，分别是，的中点，，为与的交点. （1）若，求的值 （2）求证：三点共线. 17. 已知向量，，点P在x轴上. （1）使最小，求P点坐标 （2）若∠APB为钝角，求P横坐标的取值范围 18. 某地棚户区改造建筑平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为圆面，该圆面的内接四边形是原棚户区建筑用地，测量可知边界万米，万米，万米. （1）请计算原棚户区建筑用地的面积及的长； （2）因地理条件的限制，边界不能更改，而边界可以调整，为了提高棚户区建筑用地的利用率，请在圆弧上设计一点，使得棚户区改造后的新建筑用地的面积最大，并求出最大值. 19. 在锐角三角形中，，． （1）设，试用表示的周长，并确定的取值范围； （2）如图，设为的外角平分线的交点，为与延长线的交点． （ⅰ）用正弦定理证明：； （ⅱ）设，分别为与同向共线的单位向量，且，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高一下数学第一次月考 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为纯虚数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据复数的特征求，再根据复数的几何意义求解. 【详解】复数为纯虚数，则，则， 所以， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B 2. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 【答案】C 【解析】 【分析】结合向量的线性运算，逐项判断向量共线得解. 【详解】对A，因为，则、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，则、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，则、、三点共线，则C正确； 对D，，因为，则、、三点不共线. 故选：C． 3. 设，是两个非零向量，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的意义，向量的夹角公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由， 又， 所以当且仅当时，成立． 充分性：由，得或，则不一定成立，所以充分性不成立； 必要性：由，得，则，所以必要性成立． 所以“”是“”成立的必要不充分条件． 故选：B． 4. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用面积公式和余弦定理进行计算可得． 【详解】由题可知， 所以， 由余弦定理， 所以． ， ． 5. 是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，为正多边形的顶点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】运用数量积定义计算即可. 【详解】如图所示， 连接，，由对称性可知，， 取的中点，则，， 又因为正六边形的边长为1，所以， 所以， 故选：B． 6. 在中，，分别为，边上的点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 可设，然后根据向量减法、加法的几何意义，以及向量的数乘运算即可得出，从而根据平面向量基本定理即可得出，解出即可． 【详解】解：如图， 设，且，则： ， ， ，解得， 故选：A． 【点睛】本题主要考查向量加法和减法的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题． 7. 中，内角的对边分别为，且，则的形状为（ ） A. 直角三角形或等腰三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【详解】因为，由正弦定理得 ， ，或， 又、、为三角形内角，故或，为直角三角形或等腰三角形. 8. 设锐角的三个内角的对边分别为 且，，则周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为△为锐角三角形，所以，，，即，，，所以，；又因为，所以，又因为，所以；由，即，所以，令，则，又因为函数在上单调递增，所以函数值域为， 故选C 点睛：本题解题关键是利用正弦定理实现边角的转化得到周长关于角的函数关系，借助二次函数的单调性求最值，易错点是限制角的取值范围. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数，，下列说法正确的是（ ） A. 若纯虚数，则 B. 若为实数，则， C. 若，则或 D. 若，则m的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的相关概念，列出相应的等式或方程，求得参数，即可判断答案. 【详解】对于A，复数是纯虚数，则，A正确； 对于B，若为实数，则，则，，B正确； 对于C，若，则，则， 解得或，C正确； 对于D，若，则，且，则，D错误， 故选：ABC 10. 对于，有如下判断，其中正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，则是钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦函数单调性判断A；利用正弦定理推理判断B；利用余弦定理计算判断C；利用正余弦定理计算判断D. 【详解】对于A，在中，由，得，为等腰三角形，A正确； 对于B，在中，，得，由正弦定理得，B正确； 对于C，在中，由余弦定理得，只有一解，C错误； 对于D，在中，由及正弦定理得， 由余弦定理得，则C为钝角，是钝角三角形，D正确． 故选：ABD 11. 图为温岭的标志性景观-石夫人，“峰以形名，头挽发髻，延颈削肩，神奇秀丽”．某兴趣小组测绘山峰数据：于山脚处测得峰顶的仰角为，从出发选择地平面方向使得，前进至点恰使，测得前进距离．若峰顶在所在地平面垂直投影点为，山坳处有一个憩息点，观测峰顶的仰角为，在地平面投影点落在上，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 从点观测峰顶的仰角为，则 D. 从点观测点的仰角为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先求出，即可求出，从而判断A，过点作交于点，求出，即可判断B，利用锐角三角函数判断C，利用余弦定理求出，即可判断D. 【详解】对于A：依题意，，且， 所以，则， 因为峰顶在所在地平面垂直投影点为，即平面，平面，所以， 所以，故A正确； 对于B：因为在地平面投影点落在上，即平面，且平面， 所以，过点作交于点，则，， 又，，所以， 因为山坳处有一个憩息点，观测峰顶的仰角为，即， 所以， 则，故B正确； 对于C：因为从点观测峰顶的仰角为，则， 所以，则，故C错误； 对于D：因为，平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以， ， 所以，所以， 所以从点观测点的仰角为，则，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知非零向量满足，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量减法的三角形法则得三角形为等边三角形，根据等边三角形的几何特征进行计算即可. 【详解】如图当时，为等边三角形， 则为线段的长度， 所以. 故答案为：. 13. 在我国国旗的正五角星图形中有许多黄金分割点，如图所示的正五角星几何图形中，是顶角为的等腰三角形，，为线段上的两个黄金分割点，则有据此计算___________. 【答案】#### 【解析】 【详解】依题意，，中，，而则， 由正弦定理得，即，， 于是得，所以. 14. 已知点是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且．若存在，使得与垂直，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据向量线性运算可得，设，则，由向量垂直的坐标表示可构造方程，结合二次函数最值求法可求得，由可求得最小值. 【详解】设在直线上，又是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，，； 设，，则，， ， 不妨设在的左侧，，则， 与垂直，， 即有解，， ，即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量模长最值的求解问题，解题关键是能够将问题转化为求解与变量有关的函数最值的求解问题，从而根据向量的线性运算和向量垂直的坐标表示求得的范围，结合函数最值求法可求得结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知一平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，，. （1）求的模长. （2）求第四个顶点的坐标 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据向量模长的坐标公式进行求解. （2）设坐标，分三种平行四边形情况，利用平行四边形对边向量相等列方程组求解. 【小问1详解】 由题意可得， 根据模长公式可得：. 【小问2详解】 设点的坐标为，当平行四边形为时， ，所以，化简可得：， 解得，所以坐标为， 当平行四边形为时，， 所以，化简可得：,解得， 所以坐标为，当平行四边形为时，， 所以，化简可得：， 解得，所以坐标为， 综上，点的坐标为或或. 16. 如图，在中，分别是，的中点，，为与的交点. （1）若，求的值 （2）求证：三点共线. 【答案】（1） （2），设，， 则， 又， ，解得，则， ， ，即三点共线. 【解析】 【分析】（1）设，，再用向量，为基底表示，，，再由向量的线性运算列方程组求解； （2）设，，由，，用，表示，列方程组求出，从而可得，进而证得结论． 【小问1详解】 设，， 因为在中，E，H分别是的中点，， 所以， ， ， 又， ，解得． 【小问2详解】 略 17. 已知向量，，点P在x轴上. （1）使最小，求P点坐标 （2）若∠APB为钝角，求P横坐标的取值范围 【答案】（1）；（2）的横坐标的范围是． 【解析】 【分析】（1）设，可得、含有的坐标形式，由向量数量积的坐标运算公式得，结合二次函数的图象与性质，可得当时取得最小值1，得到本题答案； （2）若为钝角，即有，且有，不共线．设，求得向量，的坐标，由向量的数量积的坐标表示和向量共线的坐标表示，解不等式即可得到所求范围． 【详解】解：（1）设点的坐标为， 可得，． 因此． 二次函数，当时取得最小值为． 当时，取得最小值，此时； （2）若为钝角，即有，且有，不共线． 设，即有，， 则，解得． 由，共线，可得，解得 则有的横坐标的范围是． 【点睛】本题给出向量，的坐标，求在轴上一点，使有最小值以及为钝角，着重考查了向量数量积的坐标运算公式和二次函数的性质等知识，同时考查向量的夹角为钝角的条件，属于中档题． 18. 某地棚户区改造建筑平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为圆面，该圆面的内接四边形是原棚户区建筑用地，测量可知边界万米，万米，万米. （1）请计算原棚户区建筑用地的面积及的长； （2）因地理条件的限制，边界不能更改，而边界可以调整，为了提高棚户区建筑用地的利用率，请在圆弧上设计一点，使得棚户区改造后的新建筑用地的面积最大，并求出最大值. 【答案】(1) 万米. 万平方米. (2) 所求面积的最大值为万平方米，此时点为弧ABC的中点. 【解析】 【详解】试题分析：(1)利用圆内接四边形得到对角互补，再利用余弦定理求出相关边长，再利用三角形的面积公式和分割法进行求解 ；(2)利用余弦定理和基本不等式进行求解． 试题解析：(1)根据题意知，四边形ABCD内接于圆，∴∠ABC＋∠ADC＝180°. 在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC， 即AC2＝42＋62－2×4×6×cos∠ABC. 在△ADC中，由余弦定理，得 AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC，即AC2＝42＋22－2×4×2×cos∠ADC. 又cos∠ABC＝－cos∠ADC， ∴cos∠ABC＝，AC2＝28，即AC＝2万米， 又∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝. ∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×4×6×sin＋×2×4×sin＝8 (平方万米)． (2)由题意知，S四边形APCD＝S△ADC＋S△APC， 且S△ADC＝AD·CD·sin＝2 (平方万米)． 设AP＝x，CP＝y，则S△APC＝xysin＝xy. 在△APC中，由余弦定理，得AC2＝x2＋y2－2xy·cos＝x2＋y2－xy＝28， 又x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy， 当且仅当x＝y时取等号，∴xy≤28. ∴S四边形APCD＝2＋xy≤2＋×28＝9 (平方万米)， 故所求面积的最大值为9平方万米，此时点P为弧ABC的中点． 19. 在锐角三角形中，，． （1）设，试用表示的周长，并确定的取值范围； （2）如图，设为的外角平分线的交点，为与延长线的交点． （ⅰ）用正弦定理证明：； （ⅱ）设，分别为与同向共线的单位向量，且，求实数的取值范围． 【答案】（1），其中 （2） （ⅰ）在中，由正弦定理得，即； 在中，由正弦定理得，即； 因为， 所以，所以. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理，结合为锐角三角形，求出的取值范围，再利用正弦定理求出的解析式即可． （2）（ⅰ）在、中，结合互补的两角正弦函数值，利用正弦定理即可证明；（ⅱ）根据，，三点共线，求出的解析式，再结合（ⅰ）中结论，利用三角函数的图象与性质，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 在中，因为，，所以， 因为为锐角三角形，所以且，解得， 在中，由正弦定理得， 所以 ， 所以的周长为，其中． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）依题意，， 因为，，三点共线，所以，所以①， 由（ⅰ）知，，所以，代入①整理得，； 又由（1）知， ； 又，所以， 所以，所以， 即的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：第一问关键是利用正弦定理及三角恒等变换公式表示出三角形的周长，第二问关键是由平面向量共线定理得到，从而得到，再结合（ⅰ）（1）的结论转化为的三角函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $