精品解析：福建泉州市城东中学2025-2026学年高一下学期月考数学试卷（1）

2025-2026学年高一数学下学期月考卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 若，，则的坐标为（    ）. A. B. C. D. 2. 复数（其中i是虚数单位）的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 在△ABC中，已知a=8，B=45°，C=75°，则b等于（ ） A. 4 B. 4 C. 8 D. 4. 如图有一个直角梯形，则它的水平放置的直观图是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 6. 如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线前往处救援，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，，点E满足，点F满足，且，则（ ） A. B. C. D. 9 8. 在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为2，，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角的余弦值为 D. 向量在上的投影向量为 10. 已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在复平面内对应点位于第三象限 11. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 面积的最小值为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是虚数单位，则___________． 13. 如果单位向量满足6，则__________． 14. 如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角． 16. 已知复数，，是虚数单位． （1）若复数z是纯虚数，求m的值： （2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 17. 在中，角的对边分别是，且满足. （1）求角； （2）设为边上的点，平分，且，若与的面积比，求的长. 18. 的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，，求的面积； （2）若角为钝角，求的取值范围. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期月考卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 若，，则的坐标为（    ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量减法的坐标运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2. 复数（其中i是虚数单位）的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】复数 ，所以的虚部为. 3. 在△ABC中，已知a=8，B=45°，C=75°，则b等于（ ） A. 4 B. 4 C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理求得角,进而利用正弦定理求得. 【详解】∵B=45°，C=75°，∴, ∴, 故选：. 4. 如图有一个直角梯形，则它的水平放置的直观图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出直角梯形的直观图，即可得出合适的选项. 【详解】作出直角梯形的直观图如下图所示： A选项满足要求. 故选：A. 5. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】用正、余弦定理进行边角互化解题即可. 【详解】解：，可得， 由余弦定理可得，整理可得：，即， 所以或，即或 ∴的形状是等腰或直角三角形. 故选：C 6. 如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线前往处救援，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出的值，再利用正弦定理求出的正弦值，然后根据展开即可求解. 【详解】解：如图所示， 在中，， 由余弦定理得，解得， 又由正弦定理得， 由知为锐角，所以， 所以. 故选：B． 7. 如图，在平行四边形中，，点E满足，点F满足，且，则（ ） A. B. C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】用分别表示出，结合已知，可得，然后进行数量积的运算即可得出． 【详解】因为， 所以， 即，解得， 又因为，可知点E为AB的中点， 则， 所以. 故选：D． 8. 在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为2，，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式和同角基本关系式化简条件得，再由正弦定理得，若，利用余弦定理结合已知判断矛盾，所以，即可得解. 【详解】由得， 由正弦定理（为外接圆半径）得，， 因为，所以， 若，由余弦定理得，，所以为锐角， 则，即，由于，，则， 所以，矛盾. 故，即，所以，即， 又因为，，所以（当且仅当时取“＝”号）， 所以的最小值为4. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角的余弦值为 D. 向量在上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量坐标运算求出的坐标，再利用向量坐标运算逐项判断. 【详解】依题意，， 对于A，，因此，A正确； 对于B，，因此，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，向量在上的投影向量为，D正确. 故选：AD 10. 已知复数，为虚数单位，为的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在复平面内对应点位于第三象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用复数乘法运算得，结合各项的描述和复数的性质、几何意义判断各项的正误. 【详解】A选项，由， 若是纯虚数，则，可得，A错； B选项，若，即，可得，B对； C选项，若，则，，故，C对； D选项，若，则，故，对应点坐标为， 在复平面内对应点在第三象限，D对. 故选：BCD 11. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 面积的最小值为 D. 的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】由三角形内角和，根据正弦定理以及二倍角公式，可得A的正误；利用余弦定理整理等式，可得B的正误；由正弦定理可得角与边的等量关系，三角形面积与的函数解析式，利用整体思想，结合正弦函数的单调性，可得CD的正误. 【详解】由，且，则，即， 由正弦定理可得，则，由，则， 即，可得，解得，故A错误； 由，根据余弦定理，则，解得，故B正确； 由，则，， 所以的面积，由， 则 ， ， 由，则，即， 易知当时，取得最大值，为，故C错误； ， ， ， 由，则，即， 可得，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是虚数单位，则___________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据虚数单位的幂次的运算性质，分别计算、、、的值，再将它们相加. 【详解】根据虚数单位的幂次的运算性质得： ， ， ， 故 故答案为：. 13. 如果单位向量满足6，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】因为，所以 ，求得， 所以. 14. 如图，在中，为BC边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线AC相交于点（E，F两点不重合）．若，则的最小值为_______________． 【答案】4 【解析】 【分析】先用表示，代入表达式，结合三点共线可得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】在中，由， 又，所以， 所以 ， 又，所以， 所以 又D，E，F三点共线，且在直线外， 所以有：，且， 所以，， 当且仅当时，等式成立， 所以的最小值为4． 故答案为：4． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设向量的坐标，由模的坐标表示，及向量平行的坐标表示列得关于的方程组，求解可得向量的坐标； （2）由数量积的运算律及向量夹角公式可得. 【小问1详解】 设，由，且， 得 所以或 故或； 【小问2详解】 因为，，且， 所以，即. 所以， 即. 因为夹角，所以与的夹角． 16. 已知复数，，是虚数单位． （1）若复数z是纯虚数，求m的值： （2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）若复数是纯虚数，则其实部为0，且虚部不为0，据此列出方程组即可求出m的值； （2）根据实系数一元二次方程虚根互为共轭求出另外一个根，再利用韦达定理即可求出p，q的值. 【小问1详解】 因为复数是纯虚数，所以. 由，解得或. 当时， ，符合要求； 当时，，不符合要求，舍去， 所以m的值为1； 【小问2详解】 当时，复数， 由题意知复数是关于x的方程的一个根. 因为方程的系数为实数， 所以方程的另外一个根是的共轭复数. 所以由韦达定理可得， 解得. 17. 在中，角的对边分别是，且满足. （1）求角； （2）设为边上的点，平分，且，若与的面积比，求的长. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边化简，再利用余弦定理求出角； （2）方法一：由于平分，通过与的面积比计算出，再在和中使用余弦定理求的长； 方法二：因为平分，又，利用等面积法求得，再利用与的面积比求得，代回中求的长. 【小问1详解】 由题设及正弦定理边角关系可得：， 则， 而，且，则. 【小问2详解】 方法一： 由（1）知，设点到边的距离为， 则点到的边的距离也为， 因为平分，∴， ， 由 ，得， 设，则， 分别在和中由余弦定理得， ， . ∴ ，解得，∴. 方法二： 因为平分，∴， 又因为，且 所以 则，即 ① 由 ，得 所以，代入①式得 由于 ，故解得. 18. 的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，，求的面积； （2）若角为钝角，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正、余弦定理以及三角恒等变换可得，利用余弦定理可得，即可得； （2） 利用正弦定理以及三角恒等变换可得,即可得解； 【小问1详解】 因为， 所以由余弦定理得， 所以由正弦定理得， 又因为， 所以，因为，所以， 因为，所以， 因为，， 所以由余弦定理得， 所以，所以， 所以的面积. 【小问2详解】 因为角为钝角，所以，所以， 因为，所以， 代入得, 因为，所以，即， 所以的取值范围为. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式及正弦定理求解即得. （2）由费马点的定义，利用三角形面积公式及数量积的定义计算即得. （3）由费马点的定义，利用余弦定理及勾股定理建立关系，再利用基本不等式求解即得. 【小问1详解】 在中，1，即， 则，由正弦定理得， 所以直角三角形，即. 【小问2详解】 由（1）知，则的三个角都小于， 由费马点定义知：， 设，，，由得： ，整理得， 所以. 【小问3详解】 由点为的费马点，得， 设，，，，，， 则由，得； 由余弦定理得， ， ， 由，得， 整理得，而，，则， 当且仅当，即时取等号， 又，即有，而，解得， 所以实数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $