精品解析：福建龙岩市上杭县第一中学2025-2026学年第二学期3月月考试题高一数学

2025-2026学年第二学期3月月考试题 高一数学 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. 为纯虚数 D. 的共轭复数为 2. 在三角形中，角对应的边分别为，若，，，则＝（　　　） A. B. C. D. 3. 已知，为共线向量，且，，则（ ） A. B. C. 40 D. 4. 在中，为边上的中线，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则等于（　　） A. 10 B. C. 3 D. 6. 已知向量，则（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 1或者2 7. 在中，角所对的边分别为，，，则外接圆的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知所在平面内点，且满足，则=（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数为纯虚数，则 D. 10. 如图，在中，是的三等分点，则（     ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若 11. 的内角的对边分别为，则下列说法不正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则符合条件的有两个 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若，则______ 13. 已知，则__________． 14. 若，则__________. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知复数，i为虚数单位． （1）当z是纯虚数时，求m的值； （2）当时，求z的模． 16. 已知，． （1）若，，且、、三点共线，求的值 （2）当为何值时，有与垂直 17. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的边．已知，，． （1）求b，c的值； （2）求的值． 18. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若，求面积的最大值. 19. 如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里；当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里. （1）求乙船的速度； （2）若乙船在处的航行速度提高到每小时海里，甲船的航行速度不变，试问甲、乙两船是否会相遇，若相遇，则求出甲船从处到相遇所用的时间；若不相遇，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期3月月考试题 高一数学 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. 为纯虚数 D. 的共轭复数为 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算整理已知复数，再由虚部的定义，模长计算方式与共轭复数定义分别判定即可. 【详解】由题意得． 对于A，由得复数的虚部为，所以A不正确． 对于B，，所以B不正确． 对于C，由于，所以为纯虚数，所以C正确． 对于D,的共轭复数为，所以D不正确． 故选：C 【点睛】本题考查复数的除法运算，还考查了虚部的定义，求复数的模与共轭复数，属于基础题. 2. 在三角形中，角对应的边分别为，若，，，则＝（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由于为钝角，所以只有一解.由正弦定理得：，选D. 考点：解三角形. 3. 已知，为共线向量，且，，则（ ） A. B. C. 40 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示及模的公式求解即可. 【详解】∵，为共线向量，∴，即， ∴，. 故选：A. 4. 在中，为边上的中线，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案. 【详解】 因为，所以 由已知可得，， 所以，， 所以，. 故选：A. 5. 已知，则等于（　　） A. 10 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解. 【详解】由向量，可得， 所以. 故选：B. 6. 已知向量，则（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 1或者2 【答案】D 【解析】 【分析】求出坐标，再根据列方程求解. 【详解】由已知， 又， 所以， 解得1或者2 故选：D. 7. 在中，角所对的边分别为，，，则外接圆的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理可得，然后利用正弦定理可得，即求. 【详解】因为，所以， 由余弦定理得，， 所以， 设外接圆的半径为，由正统定理得，， 所以， 所以外接圆的面积是. 故选：B. 8. 已知所在平面内点，且满足，则=（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则作出图像，求出两个三角形的高之比，即可求解. 【详解】 令，，根据向量的加法的平行四边形法则， 作出如图所示平行四边形，作于，于， 由，所以，为的高，等于的高， 所以. 故选：D 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数为纯虚数，则 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的运算可得A,C,D的正误，根据复数虚部的概念可知B的正误. 【详解】因为，A正确； 复数的虚部为，B不正确； 若，则，，C不正确； 设，所以， ，D正确. 故选：AD. 10. 如图，在中，是的三等分点，则（     ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若 【答案】ABD 【解析】 【分析】将作为基底，利用向量的线性运算表示目标向量逐一计算即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为，所以， ， 又， 所以，故B正确； 对于C，，， 故， 又， 所以，故，故C错误； 对于D，， 而， 代入得， 得，故选项D正确， 故选：ABD. 11. 的内角的对边分别为，则下列说法不正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则符合条件的有两个 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A和B根据选项的条件，利用正、余弦定理逐一分析判断即可得出结果；对于选项C，利用辅角公式，得出，从而得出或，即可求解；对于选项D，根据条件，利用判断三角形解的个数的方法即可求解. 【详解】对于选项A，因为，则有，由正弦定理得， 得到，所以， 得到，所以选项A正确； 对于选项B，，由正弦定理得，即， 又因为，所以，即为锐角，但判断不的范围，所以选项B错误； 对于选项C，由，得到， 则有，得到或，所以选项C错误； 对于选项D，因，所以，又，所以符合条件的只有1个，所以选项D错误， 故选：BCD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】先计算两个复数的差，再根据复数模的计算公式求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 13. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量运算得，进而得，再根据向量模的关系求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以，所以， 所以 故答案为： 14. 若，则__________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】发现两个角度互余的关系，再利用“互余角的诱导公式”，将未知的余弦值转化为已知的正弦值，从而直接得出结果. 【详解】首先观察角度关系：题目已知，所以； 再根据诱导公式，代入： 则： 最后代入已知条件：得 故答案为：. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知复数，i为虚数单位． （1）当z是纯虚数时，求m的值； （2）当时，求z的模． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解； （2）根据模长公式即得. 【小问1详解】 由z是纯虚数，有， 解得； 【小问2详解】 当时，， 所以. 16. 已知，． （1）若，，且、、三点共线，求的值 （2）当为何值时，有与垂直 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出、的坐标，由、、三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值； （2）依题意可得，根据数量积的坐标表示计算可得． 【小问1详解】 ，， ，， ，，三点共线， 与共线， ，解得； 【小问2详解】 ，， 与垂直， ，解得． 17. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的边．已知，，． （1）求b，c的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件利用余弦定理再结合可求出b，c的值， （2），得，再由正弦定理求出，由同角三角函数的关系求出，然后利用两角差的正弦公式可求得答案 【小问1详解】 由余弦定理， 得．因为，所以，解得，． 【小问2详解】 由，得． 由正弦定理得． 在中，因为B是钝角，所以A为锐角，所以． 故． 18. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，将边化为角，根据三角函数值，即可求解； （2）根据（1）的结果，写出余弦定理，再结合基本不等式和三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理，得， 又，所以， 即. 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得， 所以. 由基本不等式知， 于是. 当且仅当时等号成立. 所以的面积， 当且仅当时，面积取得最大值. 19. 如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里；当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里. （1）求乙船的速度； （2）若乙船在处的航行速度提高到每小时海里，甲船的航行速度不变，试问甲、乙两船是否会相遇，若相遇，则求出甲船从处到相遇所用的时间；若不相遇，请说明理由. 【答案】（1）海里/小时；（2）相遇，小时. 【解析】 【分析】（1）连接，分析出为等边三角形，可求得的值，利用余弦定理可求得，进而可求得乙船的速度； （2）分别延长、交于点，计算出、，计算出、，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）连接，由题意可得，，， 因为，，故为等边三角形， 所以，， 在中，，，， 由余弦定理可得，故， 所以乙船的速度为（海里/小时）； （2）分别延长、交于点， 由（1）得，所以. 故，则， 所以. 则在中，，， 由正弦定理可得，故， 因为，， 所以两船会相遇，且甲船从到相遇所用时间为小时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $