15.1.2 线段的垂直平分线同步练习2026—2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础概念到综合应用递进，通过选择、填空、解答及作图题，强化线段垂直平分线性质与判定的理解，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |★☆☆|线段垂直平分线性质与判定|选择填空直接考查定义，如第1题辨析性质，第5题填空性质，夯实基础概念| |★★☆|结合角平分线、垂直平分线的综合计算|几何计算与简单证明，如第9题结合角平分线求线段长，第16题构造垂直平分线证线段关系，发展推理能力| |★★★|尺规作图与多知识点综合证明|尺规作垂直平分线（第17题）及综合证明（第22题结合角平分线与垂直平分线证线段相等），提升几何直观与创新意识|

第十五章 轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线 难度：★☆☆ 1. 下列说法正确的是（ ） A. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 B. 到线段两端点距离相等的点在线段上 C. 线段的垂直平分线是一条线段 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离不一定相等 2. 如图，已知AC=5 cm，AD=9 cm，BE是线段CD的垂直平分线，则△ABC的周长是（ ） A. 4 cm B. 9 cm C. 14 cm D. 23 cm 3. 到线段AB两端点距离相等的点的集合是（ ） A. 线段AB的垂直平分线 B. 线段AB C. 线段AB的中点 D. 过线段AB中点的直线 4. 用尺规作线段AB的垂直平分线，其依据是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 5. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离______。 6. 到线段两端点距离相等的点，在______。 7. 如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，连接CD交OP于点E。则下列结论中一定成立的是______（填序号）。 ① PC = PD ② OC = OD ③ OP垂直平分CD ④ OE = CD 8. 若点P到线段AB两端点的距离相等，则点P在______。 难度：★★☆ 9. 如图，在△ABC中，∠A=90°，ED垂直平分BC，CE平分∠ACB，CE=6，ED=4，则AB的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 10. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF交AD于点G，则下列结论正确的是（ ） A. AD垂直平分EF B. EF垂直平分AD C. AD = EF D. DE = EF 11. 下列条件中，能判定点P在线段AB的垂直平分线上的是（ ） A. PA=PB B. PA>PB C. PA<PB D. 点P在直线AB上 12. 如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N。若BC=15，AB=5，则AM的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 13. 如图，在△ABC中，∠ABC=75°，点D是AC的中点，OD⊥AC，OA=OB，则∠AOD的度数为（ ） A. 15° B. 30° C. 75° D. 150° 14. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=10，AC=7，则△ACE的周长为______。 15. 如图，线段AB，BC的垂直平分线l₁，l₂相交于点O，若∠1=30°，则∠AOC=______。 16. 如图，CD是△ABC的高，∠B=25°，∠A=50°。求证：BD=AD+AC。 难度：★★★ 17. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=7. (1) 用尺规作BC边的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E；(保留作图痕迹，不写作法) (2) 连接BD，求△ABD的周长。 18. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，连接BE。若BE平分∠ABC，且∠A=60°，求∠CED的度数。 19. 如图，已知△ABC的三条内角平分线相交于点I，三边的垂直平分线相交于点O。若∠BOC=120°，求∠BIC的度数。 20. 如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE。求证：OE垂直平分BD。 21. 如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB=20，AC=6，求BE的长。 22. 如图，△ABC中，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线DE交于点D，DG⊥AB，DH⊥AC，垂足为点G，H。 (1) 求证：BG = CH； (2) 若AB = 15，AC = 7，求BG的长。 参考答案 1. A 解析：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，A正确；B错误，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；C错误，线段的垂直平分线是一条直线；D错误，距离一定相等。 2. C 解析：因为BE是线段CD的垂直平分线，所以BC=BD。又因为A、B、D三点共线， 所以AB+BD=AD=9 cm。所以△ABC的周长=AC+AB+BC=AC+AB+BD=AC+AD=5+9=14 cm。 3. A 解析：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以集合是线段AB的垂直平分线。 4. A 解析：用尺规作线段AB的垂直平分线时，通过作弧得到到A、B距离相等的点，依据SSS构造全等三角形。 5. 相等 解析：线段垂直平分线的性质。 6. 线段的垂直平分线上 解析：线段垂直平分线的判定。 7. ①②③ 解析： ∵ 点P在∠AOB的角平分线上，且PC⊥OA，PD⊥OB， ∴ PC = PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），①正确。 在Rt△OPC和Rt△OPD中： OP = OP（公共斜边）， PC = PD（已证）， ∴ Rt△OPC ≌ Rt△OPD（HL）， ∴ OC = OD，②正确。 由△OPC ≌ △OPD可知，∠OPC = ∠OPD，且PC = PD， ∴ OP是线段CD的垂直平分线， 即OP垂直平分CD，③正确。 但OE与CD之间没有必然的相等关系，④不一定成立。 8. 线段AB的垂直平分线上 解析：线段垂直平分线的判定。 9. D 解析：∵ ED垂直平分BC， ∴ EB = EC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。 ∵ EC = 6， ∴ EB = 6。 ∵ CE平分∠ACB，ED⊥BC，∠A=90°（即EA⊥AC）， ∴ 点E到AC的距离等于点E到BC的距离。 ∴ EA = ED（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∵ ED = 4， ∴ EA = 4。 由图可知，AB = AE + EB， ∴ AB = 4 + 6 = 10。 10. A 解析： ∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 在Rt△ADE和Rt△ADF中： AD = AD（公共斜边）， DE = DF（已证）， ∴ Rt△ADE ≌ Rt△ADF（HL）， ∴ AE = AF。 ∴ 点A在线段EF的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）。 又 ∵ DE = DF， ∴ 点D也在线段EF的垂直平分线上。 ∴ 直线AD是线段EF的垂直平分线， 即 AD垂直平分EF。 11. A 解析：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 12. D 解析：∵ BD平分∠ABC，DM⊥BA，DN⊥BC， ∴ DM = DN。 在Rt△DMB和Rt△DNB中， ∠MBD = ∠NBD，∠DMB = ∠DNB = 90°，BD = BD， ∴ Rt△DMB ≌ Rt△DNB（AAS）， ∴ BM = BN。 ∵ DE是AC的垂直平分线，点D在DE上， ∴ DA = DC。 在Rt△DMA和Rt△DNC中， DA = DC，DM = DN， ∴ Rt△DMA ≌ Rt△DNC（HL）， ∴ AM = CN。 由图可知，BM = AB + AM，BN = BC - CN。 ∵ BM = BN，AM = CN， ∴ AB + AM = BC - AM， ∴ 2AM = BC - AB = 15 - 5 = 10， ∴ AM = 5。 13. C 14.17 解析： ∵ 点E在AB的垂直平分线上， ∴ EA = EB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。 ∴ △ACE的周长 = AC + CE + EA = AC + CE + EB = AC + BC = 7 + 10 = 17。 15. 180° 16. 在DB上截取DE=AD，连接CE。 ∵ CD⊥AB， ∴ CD垂直平分AE， ∴ CA=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， ∴ ∠CEA=∠A=50°（等边对等角）。 ∵ ∠CEA是△CEB的外角， ∴ ∠ECB=∠CEA-∠B=50°-25°=25°， ∴ ∠ECB=∠B， ∴ CE=EB（等角对等边）。 ∴ CA=CE=EB（等量代换）。 ∴ BD=DE+EB=AD+AC。 17. (1) 尺规作图如下。 (2) 解析： ∵ DE是BC边的垂直平分线， ∴ BD = CD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。 ∴ △ABD的周长 = AB + AD + BD = AB + AD + CD = AB + AC。 ∵ AB = 5，AC = 10， ∴ △ABD的周长 = 5 + 10 = 15。 18. ∵ DE是BC的垂直平分线， ∴ EB = EC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， ∴ ∠EBC = ∠ECB。 ∵ BE平分∠ABC， ∴ ∠ABE = ∠EBC。 设∠EBC = ∠ECB = x，则∠ABE = x，∠ABC = 2x。 在△ABC中，∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°， 即 60° + 2x + x = 180°， 3x = 120°， x = 40°。 ∴ ∠ECB = 40°。 ∵ DE⊥BC， ∴ ∠CDE = 90°。 在△CDE中， ∠CED = 180° − ∠CDE − ∠DCE = 180° − 90° − 40° = 50°。 19. ∵ 点O是△ABC三边的垂直平分线的交点， ∴ OA = OB = OC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。 在△AOB中，∵ OA = OB，∴ ∠OAB = ∠OBA。 在△AOC中，∵ OA = OC，∴ ∠OAC = ∠OCA。 ∴ ∠A = ∠OAB + ∠OAC。 又∵ ∠BOC = 360° − ∠AOB − ∠AOC = 360° − (180° − 2∠OAB) − (180° − 2∠OAC) = 2(∠OAB + ∠OAC) = 2∠A。 已知 ∠BOC = 120°， ∴ 2∠A = 120°，∴ ∠A = 60°。 第二步：求∠BIC的度数 在△ABC中，∠ABC + ∠ACB = 180° − ∠A = 180° − 60° = 120°。 ∵ 点I是△ABC三条内角平分线的交点， ∴ BI平分∠ABC，CI平分∠ACB。 ∴ ∠IBC + ∠ICB = ∠ABC + ∠ACB = (∠ABC + ∠ACB) = × 120° = 60°。 在△BIC中， ∠BIC = 180° − (∠IBC + ∠ICB) = 180° − 60° = 120°。 20. 证明：易证△AOB≌△COD（ASA）， ∴OB=OD，∴点O在线段BD的垂直平分线上， ∵BE=DE，∴点E在线段BD的垂直平分线上，∴OE垂直平分BD. 21. 连接DC、DB。 ∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE = DF。 在Rt△DAF和Rt△DAE中， AF = AE（可由全等或勾股定理得出，此处由HL证△DAF≌△DAE）， ∴ AE = AF。 ∵ 点D在BC的垂直平分线上， ∴ DB = DC。 在Rt△DFC和Rt△DEB中， DF = DE，DB = DC， ∴ Rt△DFC ≌ Rt△DEB（HL）， ∴ CF = BE。 由图可知，F在AC的延长线上， ∴ AF = AC + CF = AC + BE。 又∵ AE = AF， ∴ AE = AC + BE。 而 AB = AE + BE = (AC + BE) + BE = AC + 2BE， ∴ BE = (AB − AC) = × (20 − 6) = 7。 22. （1）证明： ∵ AD平分∠BAC，DG⊥AB，DH⊥AC， ∴ DG = DH（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∵ DE是BC的垂直平分线， ∴ DB = DC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。 在Rt△DGB和Rt△DHC中： DB = DC（已证）， DG = DH（已证）， ∴ Rt△DGB ≌ Rt△DHC（HL）， ∴ BG = CH（全等三角形的对应边相等）。 （2）解： 由（1）可知，BG = CH。 在Rt△DGA和Rt△DHA中： AD = AD（公共斜边）， DG = DH（已证）， ∴ Rt△DGA ≌ Rt△DHA（HL）， ∴ AG = AH。 由图可知，AG = AB − BG，AH = AC + CH（点H在AC的延长线上）。 ∵ AG = AH， ∴ AB − BG = AC + CH。 又 ∵ CH = BG， ∴ AB − BG = AC + BG， ∴ 2BG = AB − AC。 已知 AB = 15，AC = 7， ∴ 2BG = 15 − 7 = 8， ∴ BG = 4。 学科网（北京）股份有限公司 $