15.1.2 线段的垂直平分线同步练习2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本同步练习围绕“线段的垂直平分线”，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养几何直观、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|概念与性质直接应用|选择题考逆命题判断、尺规作图步骤，填空题直接应用垂直平分线性质，夯实基础| |中档|性质综合应用与作图|填空题结合坐标系求交点、周长计算，解答题涉及实际情境作图，提升空间观念| |提升|复杂推理与实际问题|解答题含综合证明、取值范围探究，如证明垂直平分线判定、猜想线段关系，发展推理能力与模型意识|

15.1.2 线段的垂直平分线 同步练习 一、选择题： 1.下列命题的逆命题是假命题的是(    ) A. 对顶角相等 B. 若，则 C. 两直线平行，同位角相等 D. 若，则 2.如图，已知线段，利用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，步骤如下：分别以点，为圆心，为半径作弧，两弧相交于点，；作直线，直线就是线段的垂直平分线．则的值可能是  (    ) A. B. C. D. 3.如图，中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是(    ) A. B. C. D. 4.如图，直线与线段交于点，点在直线上，且，则下列结论中，正确的有(    ) 点在线段的垂直平分线上． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.如图，有，，三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在(    ) A. ，两内角的平分线的交点处 B. ，两边高线的交点处 C. ，两边中线的交点处 D. ，两边垂直平分线的交点处 6.如图，在中，点在边上，连接，且，，直线是边的垂直平分线若点在直线上运动，连接，，则周长的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 7.如图，是的垂直平分线，垂足为．           ，          ，          ． 若，，则          ，          ． 8.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题为          ，该逆命题是          命题填“真”或“假”． 9.如图，的边的垂直平分线交于点，连接若，，则           ． 10.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，若点到点，，的距离相等，则点的坐标为          ． 11.如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，已知的周长为，则的长为          ． 12.如图，在中，的垂直平分线交于点，若的周长为，，则边的长的取值范围为          ． 三、解答题： 13.如图，在中，边，的垂直平分线相交于点． 求证． 14.如图，下列每组的两个图形成轴对称，请画出它们的对称轴． 15.如图，在四边形中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，且． 求证：点一定在的垂直平分线上． 16.如图，在平面直角坐标系中，点，点 只用直尺没有刻度和圆规，求作一个点，使点同时满足下列两个条件要求保留作图痕迹，不必写出作法点到，两点的距离相等点到轴和轴的距离相等． 在作出点后，写出点的坐标． 17.如图，，求证：． 18.如图，电信部门要在区域内修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条高速公路，的距离也必须相等，则发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 19.如图，已知，，垂足分别为，，与交于点，，是的中点，连接． 求证： ； 线段所在的直线是线段的垂直平分线． 20.如图，在中，边的垂直平分线与的平分线交于点，，交的延长线于点，于点． 求证： 猜想线段，，的数量关系，并进行证明． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $15.1.2线段的垂直平分线同步练习 一、选择题： 1.下列命题的逆命题是假命题的是() A.对顶角相等 B.若x=±1，则x2=1 C.两直线平行，同位角相等 D.若x=0,则x2=0 2.如图，已知线段AB=6,利用无刻度的直尺和圆规作AB的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A,B为圆 心，b为半径作弧，两弧相交于点C,D;②作直线CD,直线CD就是线段AB的垂直平分线.则b的值可能是() XD A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，△ABC中，AB<AC<BC,如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P,使PA+PB=BC,那么 符合要求的作图痕迹是() B B 4.如图，直线与线段AB交于点O,点P在直线上，且PA=PB,则下列结论中，正确的有() ①AO=BO; ②P0⊥AB; ③LAP0=∠BPO; ④点P在线段AB的垂直平分线上. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第1页，共6页 5.如图，有A,B,C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相 等，则超市应建在() ⊙ B--------------C A.∠A,∠B两内角的平分线的交点处 B.AC,AB两边高线的交点处 C.AC,AB两边中线的交点处 D.AC,AB两边垂直平分线的交点处 6.如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD,且CD=5,AD=13,直线EF是边AC的垂直平分线.若点M 在直线EF上运动，连接DM,CM,则△CDM周长的最小值为() M B A.8 B.16 C.18 D.20 二、填空题： 7.如图，CD是AB的垂直平分线，垂足为D. B (1)AD=,∠ADC=°，AC= (2)若AD=4,AC=5,则BC=,AB=一 8.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题为，该逆命题是命题（填“真”或“假”） 9.如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D,连接BD.若AC=8,CD=5,则BD=一， 第2页，共6页 10.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(5,5),B(1,1),C(7,1)若点P到点A,B,C的距 离相等，则点P的坐标为· 11.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DM分别交BC,AB于点D,M,边AC的垂直平分线EN分别交BC, AC于点E,N,已知△ADE的周长为8cm,则BC的长为一， D 12.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D,若△BCD的周长为5，BC=2,则边AB的长的取值范 围为 B 三、解答题： 13.如图，在△ABC中，边AB,BC的垂直平分线相交于点P. 求证PA=PB=PC. 第3页，共6页 14.如图，下列每组的两个图形成轴对称，请画出它们的对称轴. D B 15.如图，在四边形ABCD中，AB的垂直平分线与CD的垂直平分线交于点P,且PA=PD: 求证：点P一定在BC的垂直平分线上. 16.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,6),点B(4,6) y A ●B 0 x (1)只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P,使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出 作法)：①点P到A,B两点的距离相等；②点P到x轴和y轴的距离相等. (2)在(1)作出点P后，写出点P的坐标. 第4页，共6页 17.如图，AB=AC,MB=MC.求证：AM⊥BC. 18.如图，电信部门要在区域S内修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A,B的距离必须 相等，到两条高速公路m,n的距离也必须相等，则发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置.（要求： 尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) m S B· ·A 19.如图，已知AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC与BD交于点O,AC=BD,E是AB的中点，连接 OE. A E 求证： (1)BC=AD; (2)线段OE所在的直线是线段AB的垂直平分线. 第5页，共6页 20.如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E,EF⊥AB,交AB的延长线于点F, EG⊥AC于点G. B D F6 E (1)求证：BF=CG, (2)猜想线段AF,AB,AC的数量关系，并进行证明. 第6页，共6页答案和解析 1.【答案】A 2.【答案】D 3.【答案】D 4.【答案】A 5.【答案】D 6.【答案】C 【解析】【点拨】如图，连接AM, ,EF是AC的垂直平分线，M在EF上运动， ∴.AM=MC, .△CDM的周长=CD+CM+DM=CD+AM+DM=5+AM+DM, ∴.要想△CDM的周长最小，即AM+DM的值最小， 第1页，共1页 ∴.当A,M,D三点共线时，AM+DM的值最小，此时AM+DM=AD=13, .△CDM周长的最小值为13+5=18 7.【答案】【小题1】 BD 90 BC 【小题2】 5 8 8.【答案】面积相等的两个三角形全等 假 9.【答案】3 10.【答案】(4,2 解：，点P到点A、B、C的距离相等， ∴.点P是线段AB、BC垂直平分线的交点， 根据正方形网格的特征作AB、BC的垂直平分线，两线交于P点， 第2页，共1页 由图可知：点P的坐标为4,2， 故答案为：（4,2). 11.【答案】8cm 12.【答案】1<AB<5 【解析】【点拨】.△BCD的周长为5，BC=2, .BC+BD+CD=2+BD+CD=5' .'BD+CD=3' :AB的垂直平分线交AC于点D .∴AD=BD' ∴.AC=AD+CD=BD+CD=3 由三角形的三边关系得AC-BC<AB<AC+BC, .3-2<AB<3+2 即边AB的长的取值范围为1<AB<5, 13.【答案】证明：.点P在边AB的垂直平分线上，∴.PA=PB.同理，PB=PC.∴PA=PB=PC. 第3页，共1页 14.【答案】解：如图，直线l即为所求. 15.【答案】证明：如图，连结PB、PC. ,:点P是AB、CD的垂直平分线的交点， ∴.PA=PB,PC=PD, 又PA=PD, ∴PB=PC, ∴点P一定在BC的垂直平分线上. 16.【答案】【小题1】 第4页，共1页 【解】如图，点P即为所求作的点 A B 【小题2】 设AB的垂直平分线交AB于点E,交X轴于点F, 由作图可得，EF⊥AB,EF⊥X轴，且OF=2, :OP是坐标轴的角平分线， .P(2,2) 17.【答案】证明：.AB=AC,.点A在BC的垂直平分线上..∵MB=MC,∴.点M在BC的垂直平分 线上，∴.直线AM是线段BC的垂直平分线.·∴.AM⊥BC. 【解析】略 18.【答案】解：发射塔应该建在两条高速公路的夹角∠MON的平分线与线段AB的垂直平分线的交点处 如图，点P即为发射塔的位置， Mi N n 第5页，共1页 19.【答案】【小题1】 证明：.'AC⊥BC,BD⊥AD,∴.∠C=∠D=90°.在Rt△BCA与Rt△ADB中， BA=AB,.Rt△BCA≌Rt△ADB(HL)..BC=AD, AC=BD, 【小题2】 ∠AOD=∠BOC, 在△ADO与△BCO中， ∠D=∠C, .△ADO≌△BCO(AAS)..AO=B0.∴.点O在线段 AD=BC, AB的垂直平分线上..E是AB的中点，∴.AE=BE.∴点E在线段AB的垂直平分线上.∴.线段OE所在 的直线是线段AB的垂直平分线. 20.【答案】【小题1】 证明：连接BE,CE .DE是BC的垂直平分线，.BE=CE. .'AE平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC, ∴.∠BFE=∠EGC=90°，EF=EG, 在Rt△BFE和Rt△CGE中， BE=CE, EF=EG, .Rt△BFE≌Rt△CGE(HL, .'BF=CG 【小题2】 解：AB+AC=2AF 证明：.AE平分∠BAC, ∴.∠FAE=∠GAE 又.·∠AFE=∠AGE=90°，AE=AE, ∴.△AFE≌△AGE(AAS),∴.AF=AG 又'.BF=CG,∴.AB+AC=AF-BF+AG+CG=2AF 第6页，共1页