培优专题01 一元二次方程解法题型归纳（专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 以“基础解法-扩展应用”为框架，系统构建一元二次方程解法体系，通过分层题型实现运算能力与推理意识的递进培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法（考点1）|各题型5题左右，含选择/填空/解答|系统覆盖直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，标注高频重点|从具体解法（概念应用）到方法选择，形成“解法掌握-技能熟练”基础链条| |扩展应用（考点2）|各题型4-5题，含材料阅读题|提炼整体换元法步骤、复杂整式化简策略、配方法求最值原理|从解法择优到跨场景应用，构建“技巧迁移-综合应用”提升路径|

培优专题01 一元二次方程解法 常考题型·精准突破 考点1 一元二次方程基础解法 题型1：直接开平方法 题型2：配方法（高频） 题型3：公式法 题型4：因式分解法（重） 考点2 解法择优与扩展应用 题型1：整体换元法解方程（难） 题型2：含括号、复杂整式的一元二次方程化简 题型3：利用配方法求代数式最值 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程基础解法 ◆题型1直接开平方法 1．方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 2．方程的解为___________． 3．利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 4．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 5．用直接开平方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． ◆题型2 配方法 1．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 3．用配方法解方程： (1)． (2)． 4．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 5．用配方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． ◆题型3 公式法 1．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 2．用公式法解关于x的方程，可求得解为_______． 3．用公式法解方程： (1)； (2)． 4．用公式法解下列方程： (1)． (2)． 5．用公式法解方程： （1）； （2）x2+3x﹣1＝0. ◆题型4 因式分解法 1．方程的根是（     ） A． B． C． D． 2．方程的解为_____． 3．用因式分解法解方程： (1)； (2)． 4．用因式分解法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 5．用因式分解解下列一元二次方程： (1)； (2) 考点二 解法择优与扩展应用 ◆题型1 整体换元法解方程 1．若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 2．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 3．为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，解得，． 当时，，则，∴； 当时，，则，∴； ∴原方程的根为：，，，， 根据以上材料解方程：． 4．阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，． 根据上述材料，解下列方程： (1)； (2)． 5．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． ◆题型2 含括号、复杂整式的一元二次方程化简 1．化简与解方程： (1)化简：； (2)解方程： 2．解方程、化简 (1)解方程：； (2)化简：． 3．计算与化简求值： (1)计算：； (2)先化简再求值：，其中满足． 4．化简及解方程： (1)化简：； (2)解方程：． ◆题型3利用配方法求代数式最值 1．已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．多项式有最________值为________． 3．配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些求最值的问题． 例如：，所以，即有最小值为1，此时． 再如：，所以，即有最大值为5，此时． (1)当_________时，代数式有最_________（填“大”或“小”）值，且为_________； (2)当_________时，代数式有最_________（填“大”或“小”）值，且为_________； (3)如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围的栅栏的总长是18m，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 4．阅读理解： 一位同学将代数式变形为，得到后分析发现，那么当时，此代数式有最小值是4． 请同学们思考以下问题： (1)已知代数式，此代数式有最 值（填“大 ”或“小 ”），且值为 ． (2)已知代数式，此代数式有最 值（填“大 ”或“小 ”），且值为 ． (3)通过阅读材料分析代数式的最值情况，写出详细过程及结论． 5．用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． (1)当 时，代数式有最 （填写大或小）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填写大或小）值为 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少?    综合攻坚·知能拔高 1．方程的根是（     ） A． B． C． D． 2．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 4．已知． （1）当x为__________值时，y的值为0； （2）当x为__________值时，y的值为5． 5．用适当的方法解下列方程． (1)． (2)． 6．解方程： (1)． (2)． 7．解方程． (1)（用直接开方法）； (2)（用配方法）； (3)（用公式法）； (4)（用适当的方法）． 8．解下列一元二次方程： (1) (2) 9．解下列方程： (1)； (2)． 10．解下列方程： (1)； (2)． 11．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 12．阅读与思考： “配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形成为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． (1)运用“配方法”将多项式进行因式分解：； (2)已知，，是的三边长，且满足，请判断三角形的形状，并说明理由． 13．根据多项式乘法可知，从而我们可得利用十字相乘法进行因式分解的公式，比如：．据此回答下列问题： (1)将二次三项式分解因式； (2)解一元二次方程； (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：，方程左边分解为，从而可以快速求出方程的解． 请你利用此方法尝试解方程． 14．如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 15．【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； (2)若 ，则______； (3)参照上面解题的思想方法解方程： ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题01 一元二次方程解法 常考题型·精准突破 考点1 一元二次方程基础解法 题型1：直接开平方法 题型2：配方法（高频） 题型3：公式法 题型4：因式分解法（重） 考点2 解法择优与扩展应用 题型1：整体换元法解方程（难） 题型2：含括号、复杂整式的一元二次方程化简 题型3：利用配方法求代数式最值 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程基础解法 ◆题型1直接开平方法 1．方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得，． 2．方程的解为___________． 【答案】， 【分析】运用直接开平方法即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 3．利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 直接开平方，得， ，； （2）解： 移项，得， 直接开平方，得， ，． 4．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先把二次项系数化为1，再直接开平方即可求解； （2）先把常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，再直接开平方即可求解． 【详解】（1）解：两边都除以2得：， 直接开平方得：， ∴，． （2）解：移项得：， 两边都除以得：， 直接开平方得：， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 5．用直接开平方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)． 【详解】解：（1）两边同除以9，得． 直接开平方，得，即，． （2）原方程可化为， 直接开平方，得，解得． ◆题型2 配方法 1．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配方为完全平方式，即可得到正确结果． 【详解】解： ． 2．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，对左边配方后即可求出的值． 【详解】解：原方程为，一次项系数为，其一半的平方为， 方程两边同时加，可得， 由完全平方公式整理左边，得， 要求方程化为的形式， ． 3．用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，； （2）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，． 4．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用配方法求解一元二次方程. 根据一元二次方程配方法的步骤解题：移项：先化把常数项移到右边；配方：左右两边加上一次项系数一半的平方，左边写成完全平方式；直接开方求解. 【详解】（1）解：移项，得. 配方，得即. 两边开平方，得． ，. （2）解：移项，得. 配方，得即. 两边开平方，得． ，. 5．用配方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（1）先将二次项系数化为1，再将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式，然后方程两边同时开方，进而得解； （2）先将二次项系数化为1，再将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式，然后方程两边同时开方，进而得解． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． ◆题型3 公式法 1．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 2．用公式法解关于x的方程，可求得解为_______． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 先计算判别式，再代入求根公式求解即可． 【详解】解：由方程可得，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， 则判别式， ， 当时，，则，； 当时，，则，； 综上，方程的解为，． 故答案为：，． 3．用公式法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可； （2）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可． 【详解】（1）解：，，，且， ∴，即，． （2）解：∵，，，且， ，即，． 4．用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解答本题的关键． 【小问1分析】 对一元二次方程进行移项、合并同类项等步骤将方程化为一般形式并分析出二次项系数、一次项系数以及常数项，然后利用求根公式对方程进行求解． 【小问2分析】 对一元二次方程进行去括号、移项等步骤将方程化为一般形式并分析出二次项系数、一次项系数以及常数项，然后利用求根公式对方程进行求解． 【详解】【小问1详解】 解： 移项、合并同类项得 观察可得 ；； 故答案为：. 【小问2详解】 解： 去括号得 移项得； 合并同类项得 ； ， 5．用公式法解方程： （1）； （2）x2+3x﹣1＝0. 【答案】（1），；（2）x1＝，x2＝﹣． 【分析】（１）（2）运用求根公式 即可求解； 【详解】解：∵a=1，b=−4，c=−9， ∴， ∴. ，. （2）∵a＝1，b＝3，c＝﹣1， b2﹣4ac＝13＞0， ∴x＝＝， x1＝，x2＝． 【点睛】本题考查了运用求根公式解一元二次方程，其关键在于：①正确找到a，b，c；②使用根的判别式检查根的存在性. ◆题型4 因式分解法 1．方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将方程移项得， 提取公因式得， 或，解得. 2．方程的解为_____． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ，， ，． 3．用因式分解法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ，； （2）解： 或 ，． 4．用因式分解法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2) (3)， (4)， 【分析】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，（1）题用提公因式法因式分解求出方程的根．（2）用完全平方公式因式分解求出方程的根．（3）题用提公因式法因式分解求出方程的根．（4）方程整理后用提公因式法因式分解求出方程的根． （1）用提公因式法因式分解求出方程的根． （2）把右边的项移到左边并化简，再用完全平方公式分解因式，即可求出方程的根． （3）用提公因式法因式分解求出方程的根． （4）方程整理后用提公因式法因式分解求出方程的根． 【详解】（1）解：， 原方程可变形为：， 或． ，． （2）解： 原方程可变形为：， ． ． （3）解：， 原方程可变形为：， 或 ，． （4）解： 原方程可变形为：， ， 即． 或． ，． 5．用因式分解解下列一元二次方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟知一元二次方程的解法是正确解答此题的关键． （1）用因式分解法将方程变形为，解方程即可． （2）用移项，因式分解法将方程变形为，解方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， ∴， 解得 ； （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 化简，得 ， ∴， 解得 ． 考点二 解法择优与扩展应用 ◆题型1 整体换元法解方程 1．若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，设为x，利用平方差公式展开得，合并常数项整理得，直接开平方求出即可． 【详解】解：设， 则原方程为， ． 2．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】，/， 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 3．为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，解得，． 当时，，则，∴； 当时，，则，∴； ∴原方程的根为：，，，， 根据以上材料解方程：． 【答案】，． 【分析】设，则原方程可化为，然后求出的值，再代入解方程即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， ∴，解得或， ∵， ∴舍去， ∴， ∴， ∴，． 4．阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，． 根据上述材料，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程，即可求解； （2）设，则原方程可化为，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 原方程的解为，． （2）解：设，则原方程可化为， 解得．             ， 即或， 解得，． 5．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． ◆题型2 含括号、复杂整式的一元二次方程化简 1．化简与解方程： (1)化简：； (2)解方程： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用单项式乘多项式法则和平方差公式展开原式，再合并同类项即可得到结果； （2）利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： （2）解： 因式分解得 即或 解得 2．解方程、化简 (1)解方程：； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得，； （2）解： ． 3．计算与化简求值： (1)计算：； (2)先化简再求值：，其中满足． 【答案】(1) (2) 当时，值为；当时，值为 【分析】（1）根据指数幂的法则可得：，根据负整数指数幂的法则可得：，根据立方根的定义可知，根据算术平方根的定义可知，再根据运算法则进行计算； （2）根据分式的运算法则把分式化简，解方程，可得：，，把和分别代入化简后的分式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 有意义， 、、， 、， 解方程， 可得：，， 当时， 可得：原式； 当时， 可得：原式． 4．化简及解方程： (1)化简：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先处理括号内的整式部分，将其通分变为与括号内分式同分母的形式，合并括号内的运算；因为除法运算可转化为乘以除数的倒数，所以将除法改为乘法后，对分子分母的多项式进行因式分解，再约分得到最简结果． （2）先观察方程的形式，如果满足因式分解的特征，可优先用因式分解法求解；如果无法直接因式分解，可使用求根公式代入对应系数计算，或者使用配方法求解． 【详解】（1） ； （2）， ， 或， 或． ◆题型3利用配方法求代数式最值 1．已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由已知求出，再代入，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴s的值最大为3． 2．多项式有最________值为________． 【答案】 大 2 【分析】本题考查了配方法求最值，解题的关键是配方成完全平方公式． 对代数式进行两次配方得到，即可求解． 【详解】解： ∵，， ∴ 当时，取得最大值2． 3．配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些求最值的问题． 例如：，所以，即有最小值为1，此时． 再如：，所以，即有最大值为5，此时． (1)当_________时，代数式有最_________（填“大”或“小”）值，且为_________； (2)当_________时，代数式有最_________（填“大”或“小”）值，且为_________； (3)如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围的栅栏的总长是18m，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)1，小，3 (2)，大，1 (3)矩形中垂直于墙的边的边长为时，矩形的面积最大为 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）根据完全平方的非负性，进行求解即可； （2）利用配方法进行求解即可； （3）设矩形垂直于墙的边的边长为，根据矩形的性质，列出代数式，配方法求出最大值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当，即时，，值最小； 故答案为：1，小，3； （2）∵， ∵， ∴， ∴当，即时，有最大值为1； （3）设矩形垂直于墙的边的边长为，则另一边的边长为， ∴矩形的面积， ∴当时，矩形的面积最大为， ∴当矩形中垂直于墙的边的边长为时，矩形的面积最大为． 4．阅读理解： 一位同学将代数式变形为，得到后分析发现，那么当时，此代数式有最小值是4． 请同学们思考以下问题： (1)已知代数式，此代数式有最 值（填“大 ”或“小 ”），且值为 ． (2)已知代数式，此代数式有最 值（填“大 ”或“小 ”），且值为 ． (3)通过阅读材料分析代数式的最值情况，写出详细过程及结论． 【答案】(1)小， (2)大，13 (3)当时，此代数式有最小值 【分析】本题考查了配方法的应用，平方的非负性，解题的关键是掌握完全平方公式． （1）先将该式化为，再根据完全平方公式进行配方即可解答； （2）先将该式化为，再根据完全平方公式进行配方即可解答； （3）先将该式化为，再根据完全平方公式进行配方即可解答． 【详解】（1）解∶ ， ∵， ∴当时，此代数式有最小值， 故答案为：小，； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，此代数式有最大值13， 故答案为：大，13； （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，此代数式有最小值． 5．用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． (1)当 时，代数式有最 （填写大或小）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填写大或小）值为 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少?    【答案】(1)1；大；3 (2)1；大；5 (3)当花园与墙相邻的边长为时，花园的面积最大为 【分析】（1）利用利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解． （2）先利用配方法将二次三项式变形，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解． （3）设花园与墙相邻的边长为，则另一边为，由题意得：，利用配方法变形二次三项式，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，即时，代数式有最大值为3， 故答案为：1；大；3． （2） ， ， ， ， 当时，即时，代数式有最大值为5， 故答案为：1；大；5． （3）设花园与墙相邻的边长为，则另一边为，由题意得： ， 当时，有最大值为：32， 当花园与墙相邻的边长为时，花园的面积最大为． 【点睛】本题考查了配方法的应用及不等式的基本性质，熟练掌握配方法变形二次三项式及不等式的基本性质是解题的关键． 综合攻坚·知能拔高 1．方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后提取公因式，用因式分解法求解． 【详解】解：移项，得， 提取公因式，得， 或， 解得． 2．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原一元二次方程变形因式分解，得到方程的两个根，再结合题目给出的根的大小关系和倍数关系列方程，求解得到的值． 【详解】解：∵ 原方程可变形为， 由平方差公式因式分解得 ， ∴ 方程的两个根为和， ∵ ，， ∴ ，，代入关系式得 ， 展开整理得 ， 因此的值为． 3．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 【答案】4 【分析】通过配方法将原方程化为的形式，得到和的值，再代入计算即可. 【详解】解：移项，得， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， ∴，， ∴. 4．已知． （1）当x为__________值时，y的值为0； （2）当x为__________值时，y的值为5． 【答案】 或 【详解】解：（1）当时， 或， 解得：或； （2）当时，整理，得， ， ∴， ∴. 5．用适当的方法解下列方程． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ． （2）解：， ， ， ， ， ∴， ． 6．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ，即， ． ，． （2）解：原方程可化为， ，，． 方程有两个不相等的实数根， ． ，． 7．解方程． (1)（用直接开方法）； (2)（用配方法）； (3)（用公式法）； (4)（用适当的方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：直接开平方，得， 或， ，； （2）解：移项，得， 配方，得， 直接开平方，得， ，； （3）解：移项，得． ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ，． 8．解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据公式法直接求解即可. （2）把原方程等号左边部分进行因式分解，右边的项移到左边，再进一步分解因式求解即可. 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴，. （2）解： 或 ， 9．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 或， 解得，． 10．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得，； （2）解：去分母得， 整理得， 解得， 经检验，是原方程的解． 11．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 【答案】无论取何实数，二次三项式有最大值23 【分析】将配方成，然后结合平方的非负性求解即可． 【详解】解： ， 无论取何实数，总有， ， ． ∴无论取何实数，二次三项式有最大值23． 12．阅读与思考： “配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形成为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． (1)运用“配方法”将多项式进行因式分解：； (2)已知，，是的三边长，且满足，请判断三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形；理由如下： ∴， ∴， ∵ 故是等腰三角形． 【分析】（1）运用题目所给“配方法”解决问题即可； （2）可将原式变形为，然后配方为，由平方的非负性即可求解的值，验证其满足三角形三边关系定理即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：略． 13．根据多项式乘法可知，从而我们可得利用十字相乘法进行因式分解的公式，比如：．据此回答下列问题： (1)将二次三项式分解因式； (2)解一元二次方程； (3)某数学兴趣小组发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：，方程左边分解为，从而可以快速求出方程的解． 请你利用此方法尝试解方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用十字相乘法进行分解即可； （2）把方程左边利用十字相乘法进行因式分解，将原方程化为两个一次方程即可求解； （3）把方程左边利用十字相乘法进行因式分解，将原方程化为两个一次方程即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， 或 ，； （3）解：， ， 或， ，． 14．如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 【答案】(1)①④ (2)证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解， ∴ ，即． ∵ 有意义， ∴ ． ∴ ． 故对任意一个完美方程，总有 (3)正整数的值为1或3 【分析】（1）分别解四个方程即可得解； （2）由题意可知根的判别式，从而求出； （3）求解这个一元二次方程，再根据同族方程定义即可得解． 【详解】（1）解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故①是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故②不是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故③不是同族方程； 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故④是同族方程； 故是同族方程的是①④； （2）略 （3）由一元二次方程得：，， 解得：， ∵一元二次方程属于同族方程， ∴是整数， ∴正整数k的值为1或3． 15．【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； (2)若 ，则______； (3)参照上面解题的思想方法解方程： ． 【答案】(1) ，， (2) (3) 【分析】（）直接代入得关于的方程，即可得到结果； （）设，则原方程可转化为，的方程得出，即可求解； （）设，则原方程可转化为，求出，即可得出关于的方程，然后解关于的分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：设，代入原方程直接替换，得转化后的方程：， 因式分解得， 解得； 时，，即， 因式分解得， 解得或， 时，， 判别式，无实根， ∴原方程的根为； （2）解：设，由平方非负性得， 原方程可化为， 展开得， ， 结合得，即； （3）解：设， 原方程转化为：， ， 解得， ∴， 两边乘得， 解得， 检验：时分母， ∴是原方程的解． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 培优专题01一元二次方程解法 常考题型精准突破 ●考点一一元二次方程基础解法●— ◆题型1直接开平方法 1.C 2.x=1,x2=-3 3. 【详解】(1)解：x2=6 直接开平方，得x=±√6， x=6,为=-6： (2)解：x2-900=0 移项，得x2=900, 直接开平方，得x=+30, .x=30,x2=-30 4. 【详解】(1)解：两边都除以2得：x2=16, 直接开平方得：x=±4， x=4,x2=-4 2y= (2)解：移项得：3 99 两边都除以了得：2=。 2 6, 直接开平方得：y=士6 ÷ys6 6 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题的关键. 1/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：（④）两边同除以9，得= 9· 直接开平方，得=号即5了，名= 5 3 (2)原方程可化为(x-2)}2=0, 直接开平方，得x-2=0,解得七=为3=2 ◆题型2配方法 1.c 2.14 3. 【详解】(1)解：x2-4x-3=0 移项，得x2-4x=3」 配方，得x2-4x+22=3+22, (x-2)2=7 由此可得x-2=±√7， x=2+V7,为=2-V7: (2)解：x2-2x-5=0 移项，得x2-2x=5. 配方，得x2-2x+1=5+1, (x-I)2=6 由此可得x-1=±√6， x=V6+1,x2=-V6+1. 4. 【详解】(1)解：移项，得x2-x=1. t5 1 两边开平方，得x一2±2 2/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴书=1+ _1-V5 2,=2 (2)解：移项，得x2-6x=7」 配方，得x2-6x+9=7+9即(x-3)2=16 两边开平方，得x-3=±4。 .x=7,x2=-1 5. 【详解】(1)解：2x2+4x-3=0 x2+2x- 3 =0 2 +2a x+2x+1=3 +1 (+- *+1=t10 2 2,5=-10 14 2: (2)解：3x2-8x-3=0 x-1=0 x28 x=1 3 91 4 x 3-3 1 x=3,为=3 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键. 3/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3公式法 1.c 2.x=3a,x3=-a 3. 【详解】(1)解：a=3,b=-4,c=-8,且b2-4ac=(-4)2-4×3x(-8)=112>0, x=-4)ti22t2 2×3 号，m245.52 3 (2)解：a=1,b=2,c=-4,且B2-4ac=22-4×1x(4)=20>0, x=2±20 2×1 -1t5,即5=-1+53=-15 4. 【详解】【小问1详解】 解：x2-2x=4x-5 移项、合并同类项得x2-6x+5=0 观察可得a=1,b=6,c=5 ∴.△=b2-4ac=(-6)2-4×1×5=16>0 :x=-b±VB2-4ac 2a x=60+6-55=0i61: 2×1 2×1 故答案为：x=5,x2=1 【小问2详解】 解：x(x+3)=12+8x 去括号得x2+3x=12+8x 移项得x2+3x-8x-12=0: 合并同类项得x2-5x-12=0 .△=(-5)-4×1×(-12)=73>0： x=-b±vB2-4ac 2a 4/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴x=-5+735+厉 2×1 2 5. 【详解】解：，1，b=-4,c=-9, :b2-4ac=(-4)}-4×1×(-9)=16+36=52>0, x=bt你-4c4牡5_4±2-2t13 2a 2 2 ∴x=2+V3,为3=2-V13 (2).a=1,b=3,c=-1, -4c=13>0, x=-b±B-4ae_-3t厅 2a 2 黄=3+v3 .3+13 X2= 2 2 【点睛】本题考查了运用求根公式解一元二次方程，其关键在于：①正确找到a,b,c;②使用根的判别 式检查根的存在性 ◆题型4因式分解法 1.D 1 2.X=2,x2=-2 3. 【详解】(1)解：x2-2x-8=0 (x-4)(x+2)=0 x-4=0或x+2=0 x=4,2=-2: (2)解：(x+4)}2=5(x+4) (x+4)2-5(x+4)=0 (x+4)(x+4-5)=0 5/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x+4)(x-1)=0 x+4=0或x-1=0 =4,x2=1 4. 【详解】(1)解：x2+16x=0, 原方程可变形为：x(x+16)=0, x=0或x+16=0 .x=0,x2=-16 (2)解：5x2-10x=-5 原方程可变形为：x2-2x+1=0, (x-12=0 =x2=1 (3)解：x(x-3)+x-3=0 原方程可变形为：x-3)x+)=0, x-3=0或x+1=0 x=3,x2=-1」 (4)解：2(x-3)}2=9-x2 原方程可变形为：2(x-3+x2-9=0 (x-3)(2x-6+x+3)=0. 即(x-3)(3x-3)=0. x-3=0或3x-3=0」 x=3,2=1 5. 【详解】(1)解：x2+2x-3=0, 因式分解，得(x+3)(x-1)=0, .x+3=0,x-1=0. 解得=-3为=1： 6/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：2(x+3)2=x(x+3), 移项，得2(x+3-x(x+3)=0, 因式分解，得(x+3)[2(x+3)-x]=0, 化简，得(x+3)(x+6)=0, .x+3=0,x+6=0, 解得=-3，为2=6 一●考点二解法择优与扩展应用●一 ◆题型1整体换元法解方程 1.D 2.=-1,2=3/x=3,x2=-1 3. 【详解】解：设x2=a≥0，则原方程可化为a2-a-6=0, :.(a-3)(a+2)=0,解得a=3或a=-2, .a≥0， ∴.a=-2舍去， a=3, .x2=3, x=V5,x=-3」 4. 【详解】(1)解：设x+5=m,则原方程可化为m2-4m=0, 解得m=4,m2=0 当m=4时，x+5=4,解得x=-1; 当m=0时，x+5=0,解得x=-5 ∴原方程的解为x=-1,x2=-5 (2)解：设(2y-3}=n,则原方程可化为n-18n+81=0, 解得%=n2=9 7/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2y-3}2=9, 即2y-3=3或2y-3=-3, 解得=3,2=0 5. 【详解】解：设(x-1)=y,则原方程可化为：y-5y-6=0, 解得：=6，y2=-1, (1)当y=6时，(x-1)=6,解得x=1+6,为2=1-6， (2)当y=1时，(x-)=-1,此方程无实数根， 综合(1)(2)，可得原方程的解是：x=1+V6,为2=1-√6 ◆题型2含括号、复杂整式的一元二次方程化简 【详解】(1)解：2m-m(m-2)+(m+3)(m-3) =2m-m2+2m+m2-9 =4m-9 (2)解：x2-6x+5=0 因式分解得(x-1)(x-5)=0 即x-1=0或x-5=0 解得=1，x2=5 2. 【详解】(1)解：x2+2x=8, x2+2x+1=8+1, (x+1)2=9, x+1=+3, 解得x=2,x2=-4: (2)解：(a+3}2-a(a-3) =a2+6a+9-a2+3a 8/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =9a+9 3. 【详解】4)解：（红-314- +27-8 =1- +3-2√2 =1-4+3-2V2 =-22: x+1x2+x+1 x(x+1)3x+x+1 x+1x+1 x-2 x(x+1)-3xx2+x+1 x+1 x-2 =+-3xxx2+x+1 x+1x-2 x2-2x×+x+l x+1x-2 _x(x-2),x+x+l x+1x-2 x(x2+x+1) x+1 2有意义 x-2 .x+1≠0、x-2≠0、x2+x+1≠0， ∴x≠-1、x≠2， 解方程x2+x-2=0, 可得：=1，x2=-2, 当x=1时， 可得：原式 x(2+x+）1xP+1+_3 x+1 1+1 当x=-2时， 9/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 可得：原式= xx2+x+1）-2×(-2}-2+1] x+1 -2+1 4. a2-4a+4 a+3 (a+3+a-3 a+3 a2-4a+4 =5+a2-9 a+3 a+3a2-4a+4 =(a+2)(a-2)a+3 a+3(a-22 -0+2 a-2: (2)2x2+3x-2=0, (2x-1)(x+2)=0, 2x-1=0或x+2=0, x=0.5或x=-2 ◆题型3利用配方法求代数式最值 1.C 2.大2 3. 【详解】(1)解：：2(x-1)}≥0， .2(x-1)+3≥3. ·当x-1=0,即x=1时，2(x-)+3=3,值最小； 故答案为：1，小，3： (2)-x2-2x=-(x2+2x+1)+1=-(x+12+1, ,-(x+12≤0 .-x2-2x=-(x+1+1≤1. ∴当x+1=0,即x=-1时，-x2-2x有最大值为1； 10/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)设矩形垂直于墙的边的边长为xm,则另一边的边长为(18-2x)m, 流形的面积=08-2=-2+1=-2-+》-2+. 9 81 ∴.当x= 时，矩形的面积最大为2m, 9 ·当矩形中垂直于墙的边的边长为2m时，矩形的面积最大为2 4. 【详解】(1)解：x+2x-1=x2+2x+1-2=(x+1-2, (x+1)2≥0， ∴当x=-1时，此代数式有最小值-2， 故答案为：小，-2； (2)解：-x2+4x+9=-(x2-4x)+9=-(x2-4x+4+13=-(x-2)}+13, (x-22≥0， ·-(x-2)}≤0， .当x=2时，此代数式有最大值13， 故答案为：大，13： (3)解：2x2+6x-1 =2(x2+3x)-1 =2+x*+1号 + 11 ÷当x=一2时，此代数式有最小值一2： 11/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：(x-1)2≥0， ∴.-2x-1)2≤0， .-2(x-1)2+3≤3， “当(x-)2=0时，即x=1时，代数式-2(x-)2+3有最大值为3， 故答案为：1；大：3. (2)-2x2+4x+3=-2(x2-2x)+3 =-2(x2-2x+12-12)+3 =-2(x-1)2+5, (x-1)2≥0， .-2(x-1)2≤0， .-2x-1)2+5≤5， :当(x-)2=0时，即x=1时，代数式-2x2+4x+3有最大值为5， 故答案为：1；大；5. (3)设花园与墙相邻的边长为m,则另一边为6-2x)m,由题意得： x(16-2xF-2x2+16x =-2(x2-8x+42-42) =-2(x-4)2+32, 当x=4时，-2(x-4)2+32有最大值为：32， ,.当花园与墙相邻的边长为4m时，花园的面积最大为32m. 【点睛】本题考查了配方法的应用及不等式的基本性质，熟练掌握配方法变形二次三项式及不等式的基本 性质是解题的关键。 综合攻坚知能拔高 1.C 2.C 3.4 4. 3±√69 5或2 2 12/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5. 【详解】(1)解：(2x+)°=-(2x+), (2x+1)2+(2x+1)=0, (2x+1)(2x+1+1)=0, (2x+1)(2x+2)=0. .2x+1=0或2x+2=0, x=26=-1 (2)解：2x2-4x-9=0, 2x2-4x=9, -2-3 9 x2-2x+1=2+1, 2 -=2 x-1=tV22 , 251②2 14 2 6. 【详解】(1)解：x2-6x=-5, x2-6x+32=-5+32,即(x-3)2=4, “.x-3=+2 .x=5,x2=1. (2)解：原方程可化为2x2-6x-3=0, ∴a=2,b=6,c=-3 ∴.b2-4ac=36-4×2×(-3)=60>0 方程有两个不相等的实数根， :x=6±v60_3±V5 4 2 13/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3+V15 3-√15 . 2 ，X2= 2 7. 【详解】(1)解：直接开平方，得x-3=±5， …x-3=5或x-3=-5, x=8,x2=-2: (2)解：移项，得x2+3x=1, 方：+-只 直接开平方，得x+。 2 V13-3 .. -V13-3 2，2- 2 (3)解：移项，得5x2-9x-18=0. a=5,b=-9,c=-18. ∴△=b2-4ac=(9)2-4×5×(-18)=441, :x=-b±B-4ac_9±49±21 2a 2×5 10 6 x=3,=5 (4)解：a=3,b=-9,c=1, ∴△=b2-4ac=(9)}2-4×3×1=69, :x=-b±vB-4ae_9±699±69 2a 2×3 6 9+V69 9-V69 .= 6 6· 8. 【详解】(1)解：x2-4x-3=0 :△=(4)2-4×1×(-3)=16+12=28>0 x=4)±公 2 14/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4±V28 2 4±2W万 2 =2±V7 x=2-V7,32=2+V万 (2)解：x-4=3(x+2) (x+2)(x-2)-3(x+2)=0 (x+2)(x-2-3)=0 (（x+2)(x-5)=0 x+2=0或x-5=0 x=-2,x2=5 9. 【详解】(1)解：x2-2x+1=0 (x-12=0 x-1=0 解得x=x2=1: (2)解：x(x-2)=x-2 x(x-2)-（x-2)=0 (x-2)(x-1)=0 ∴x-2=0或x-1=0 解得x=2,x2=1 10. 【详解】(1)解：2x2+7x-4=0, 因式分解得(2x-1)(x+4)=0. .2x-1=0或x+4=0, 1 解得=2，名=4： (2)解：去分母得(y+3)=(y-3)(y+3)-2(y-3), 整理得8y=-12, 15/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 解得y=- 2, 3 经检验，y=一 是原方程的解。 11. 【详解】解：-3x2+12x+11 =-3x2-4x)+11 =-3x2-4x+4-4)）+11 =-3(x-2)2+23, :无论x取何实数，总有(x-2)}2≥0， -3(x-22≤0， -3(x-2)2+23≤23 :无论x取何实数，二次三项式-3x2+12x+11有最大值23 12. 【详解】(1)解：x2-8x-9 =x2-8x+42-42-9 =(x-4)2-25 =(x-4)}2-5 =(x-4+5)(x-4-5) =（x+1)(x-9) (2)解：略。 13. 【详解】(1)解：x+2x-3=(x+3)(x-1): (2)解：x2-4x+3=0, (x-1)(x-3)=0 .x-1=0或x-3=0 x=1,x2=3: (3)解：5x2+7x-6=0. 16/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (5x-3)(x+2)=0. ∴.5x-3=0或x+2=0 3 =5’为=-2 14. 【详解】(1)解方程x2-5x+6=0得：x=2,3=3,满足两个实数解都为整数解， 故①x2-5x+6=0是同族方程： 解方程-3x+1=0得：与=3+5与3-5】 2,3 2二，不满足两个实数解都为整数解。 故②x2-3x+1=0不是同族方程： 解方程2x2-3x-2=0得：x=2,5=-2, 不满足两个实数解都为整数解， 故③2x2-3x-2=0不是同族方程： 解方程x2-4x+4=0得：x=戈=2，满足两个实数解都为整数解， 故④x2-4x+4=0是同族方程： 故是同族方程的是①④： (2)略 (3)由-一元二次方程ax2-(k-3)x-3=0得：(x-1(c+3)=0,k≠0， 解肉：=1比= :一元二次方程2-(k-3)x-3=0属于同族方程， 3 ·(是整数， ∴.正整数k的值为1或3 15. 【详解】(1)解：设y=x+x,代入原方程直接替换，得转化后的方程：y2-4y-12=0, 因式分解得y-6y+2)=0。 解得乃=6，乃=-2： y=6时，x2+x=6,即x2+x-6=0, 因式分解得(x+3x-2)=0. 解得x=-3或x=2, 17/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-2时，x2+x+2=0, 判别式△=1-8=-7<0，无实根 原方程的根为x=-3,七2=2； (2)解：设t=m2+n2,由平方非负性得≥0， 原方程可化为(t-3)t+3)=8 展开得2-9=8， 2=17, 结合1≥0得1=7，即m2+n2=V7: 3解：设y=x2+2), 原方程转化为：y2-6y+9=0, y-3)2=0, 解得y=3, x 23 两边乘x-2得x=3(x-2). 解得x=3, 检验：x=3时分母x-2=1≠0， ∴.x=3是原方程的解. 18/18