专题01 一元二次方程的求解（专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以“概念-解法-性质”为逻辑主线，系统整合一元二次方程求解方法与根的性质应用，通过分层题型实现从基础到综合的能力递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求解方法|5题型（含配方法、公式法等）|配方法步骤规范、换元法整体代换、十字相乘法因式分解|从基本概念出发，通过四种核心解法构建求解体系，体现转化与化归思想| |根的性质|3题型（含判别式、根与系数关系）|判别式符号判定、韦达定理应用、根的估算技巧|衔接求解方法，从根的存在性、数量关系到实际应用，形成知识闭环|

专题01 一元二次方程的求解 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程的求解 题型1 一元二次方程的基本概念 题型2 应用配方法解一元二次方程（重） 题型3 用公式法解一元二次方程（重） 题型4 用因式分解法解一元二次方程（重） 题型5 换元法解一元二次方程 考点二 一元二次方程根的性质 题型6 一元二次方程根的性质应用与估算 题型7 一元二次方程根的判别式的应用（高频） 题型8 一元二次方程根与系数关系的应用（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程的求解 ◆题型1 一元二次方程的基本概念 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2， 是一元二次方程，符合题意； B、是分式方程， 不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数， 不是一元二次方程，不符合题意； D、中的最高次数为1， 不是一元二次方程，不符合题意． 2．将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将方程移项，得：， ∴ ，，． 3．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值不可能是（        ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【详解】解：方程是一元二次方程， 二次项系数， 的值不可能是． 故选：C． ◆题型2 应用配方法解一元二次方程 4．用配方法将二次三项式变形，结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 5．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】解：对于乙的步骤：方程两边同时除以2，得； 故出现错误的是乙同学. 6．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： 解得：． 7．解方程： 解：两边同时加______，得 则方程可化为______ 两边直接开平方得______ 即______或______ 所以______，______． 【答案】 ；；；；；；；；； 【详解】 解：原方程为 一次项系数为， 一次项系数一半的平方为 ， 两边同时加，得 方程可化为 两边直接开平方得 即或 ，． 8．阅读材料，并解答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解：． ，……① ，……② ，……③ ……④ 或． ． 问题： (1)佳佳解方程的方法是______； A．直接开平方法        B．配方法 (2)上述解答过程中，从第____________步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是____________； (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)B (2)②；等号右边没有加9 (3)解：． 移项，得， 配方，得， 即， ， 或， ． 【详解】（1）解：佳佳解方程的方法是配方法； （2）解：上述解答过程中，从第②步开始出现了错误，发生错误的原因是等号右边没有加9． （3）略 ◆题型3 用公式法解一元二次方程 9．是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由，得． 两边平方得． 展开整理得． 化简得． 10．方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】D 【详解】解：∵原方程为， 展开左边得， 整理为标准形式得， 计算判别式得， 由求根公式得方程的解为，该解不等于或， ∴选项A，B，C都错误，故选D． 11．在一元二次方程中，其根的判别式的值是______． 【答案】64 【详解】解：将原方程移项，整理为一般形式， 可得，，， ． 12．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，那么______，______，______． 【答案】 1 3 【详解】解：一元二次方程的求根公式为， 题目给出的两根可写为， 将两式对应位置对比，可得 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，代入得， ∴． 13．用公式法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ∴, ∴， ∴， 解得：； （2）解： ， ∴， ∴， ∴， 解得：． 14．若m，n为正实数，，t是关于x的方程的一正实根． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)用含k的代数式表示． 【答案】(1) 证明：∵t是关于x的方程的一正实根， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不合题意，舍掉）； ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或（不合题意，舍掉）． 故：． ◆题型4 用因式分解法解一元二次方程 15．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．， 【答案】A 【详解】解：A选项中，∵，∴或，方法正确； B、C选项中，方程右边不为0，不能直接令因式分别等于右侧的数，方法均错误； D选项中，∵，∴或，选项遗漏的情况，方法错误； 故选：A． 16．解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ， （2）解： 或 ， 17．用因式分解法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：原方程可变形为， 提取公因式得， 即， 因此或， 解得，； （2）解：移项整理原方程得， 因式分解得， 因此或， 解得，． 18．用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即． 例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为．试用十字相乘法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： 或 解得； （2）解： 或 解得； （3）解： 或 解得； （4）解： 或 解得． ◆题型5 换元法解一元二次方程 19．若，则的值为___________． 【答案】5或 【详解】解：设，则原方程可化为， 展开整理得，即，因式分解得， 解得或， 因此的值为或． 20．已知，则方程的解集是_______； 【答案】 【详解】设，由得， 原方程可化为， 因为，方程两边均为正数，两边同时平方得：展开整理得：， 因为，方程两边同时除以得：整理得： ， 由，令，代入得：整理得一元二次方程， 解得或， 因为 ，所以，舍去，得即， 两边同乘得， 解得，由， 得检验：将代入原方程，左边，右边，左边等于右边， 是原方程的解． 21．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】，/， 【详解】解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 22．解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【分析】 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； （2）略 23．阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设 那么原方程可化为， 解得， 当时，，，； 当时，，，， 故原方程的解为． 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”． 解答问题：请用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：设， 原方程可化为， ， ，， 当时，， 经检验，是原方程的根； 当时，， 经检验，是原方程的根； 故原方程的解为． （2）解：设， 原方程可化为 ，， ， ， 舍去， 当时，，， 故原方程解为． 考点二 一元二次方程根的性质 ◆题型6 一元二次方程根的性质应用与估算 24．已知a是方程的一个根，则代数式的值是（     ） A．1 B．－1 C．0 D．2 【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， . 25．根据表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（     ） x 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴二次函数的图象与轴的一个交点在之间， ∴关于的方程的一个解的取值范围是 26．根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，的值会从负变为正，即存在使得， 方程的一个解的取值范围是． 故选：． 27．若a是方程的一个解，则的值是________． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴把代入方程得， 整理得， 两边同除以得， ∴． ◆题型7 一元二次方程根的判别式的应用 28．在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 【答案】B 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ． ∵方程是一元二次方程， ． ． ． ∴该方程有2个不相等的实数根． 29．关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围为____________． 【答案】 【详解】解：∵ 关于的一元二次方程无实数根， ∴ 根的判别式， ∴ ， 解得． 30．若直线和双曲线在同一坐标系内的图象没有交点，则关于的一元二次方程的根的情况： 嘉嘉说：m、n符号相反，方程有两个不相等的实数根； 琪琪说：一定不是方程的根． 他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，琪琪不正确 B．嘉嘉不正确，琪琪正确 C．他俩说的都正确 D．他俩说的都不正确 【答案】C 【详解】解：联立与，得， 整理得， ∵两函数图象无交点， ∴没有实数解， ∴，即，与符号相反． 判断嘉嘉的说法： 一元二次方程的判别式为， ∵， ∴， 又， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，嘉嘉说法正确； 判断琪琪的说法： 将代入，得， ∵， ∴一定不是方程的根，琪琪说法正确， 综上可得，他俩说的都正确． 31．已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【详解】解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 32．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴选项：，满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意． 33．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为____________． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式． 这里，，， 将系数代入得， 整理得． 解得． ◆题型8 一元二次方程根与系数关系的应用 34．若方程的两实根为，那么下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程的两实根为、， ∴，； 对选项A：，A正确； 对选项B：，B正确； 对选项C：，C正确； 对选项D：，D不正确. 35．若，且，，则=（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵时，，与题设矛盾， ∴， 将两边除以， 整理得， ∵，且， 即， ∴，是方程的两个不等实根， ∴，即． 36．已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，化简得， 解得， 根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴，代入得， 整理为， 解得或， ∵， ∴舍去，得． 37．关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，则的值是________． 【答案】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴、， 代入，得 ， 解得、， 又∵，解得， ∴不符合题意，舍去， 故． 38．在复习一元二次方程（）时，在有实数根的前提下，阳仔同学总结了根与系数的关系：若一元二次方程的两个实数根为，，则，． 根据以上知识点完成下列问题： (1)方程的两根为与，则 ， ． (2)已知：、是方程的两个实数根，求的值. 【答案】(1)5，3 (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵方程的两根为与， ∴，； （2）解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ . 综合攻坚·知能拔高 1．关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵关于的方程有一个小于的非负数解，且，即不是非负数， ∴ 解得． 2．关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【详解】解：① 将代入方程，得， 提取公因式得， 当时等式恒成立，不一定满足，故①错误； ② 将代入方程，得，由条件，可得， 因此是方程的根，故②正确； ③原方程的解为和，则原方程可写为， 展开得，即，， 代入新方程得：，， 整理得， 解得或，故③错误； ④ 由条件，，， 可得， 若，则， 可推出，与矛盾， 因此， 方程判别式， 因为，，所以， ，方程一定有实数根，故④正确. 综上，正确结论为②④． 3．已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∴的取值范围为， ∴ ∵， ∴原式随k的增大而减小，且， ∴当k取最大值时，原式取得最小值，即． 4．已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴或， 当时，则， 当时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根， ∴，，， 解得：， ∵方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上：， 故选：C 5．若，为正实数，设，是关于的方程的一个正实数根． （1）当时，则的值是________； （2）当时，则的值是________． 【答案】 / 【分析】 【详解】解：（1）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵，为正实数， ∴． （2）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵n、t均为正实数， ∴． 6．已知关于的一元二次方程有两个实数根，且均在区间内，的取值范围是_______； 【答案】 【详解】解：设一元二次方程的两个根为，满足， ， ， ， ， ， ， ，即的取值范围是． 7．已知实数，，满足，，则的值为________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，为方程的的两实根， ∴， ∴，，， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 8．已知，是关于x的方程的两个不等实数根，且满足，则k的值为_____ ． 【答案】或/或 【详解】解：，是关于的方程的两个不等实数根， 由根与系数的关系得：，， ∵方程有两个不等实数根， ∴判别式，解得， ， ∴将代入等式得：，分两种情况讨论： 当时，，原等式可化为：，解得，则，，解得，满足，符合题意； 当时，，原等式可化为：， 解得，则， ，解得，满足，符合题意． 综上，k的值为或． 9．已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由； (3)若的值为负整数，求实数的整数值． 【答案】(1)且 (2) 不存在，理由如下： ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 又∵且， ∴不符合题意，舍去， ∴不存在实数，使成立； (3)实数的整数值为或或或 【分析】 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：且， ∴的取值范围为且； （2）略 （3）解：， ∵的值为负整数，且为整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∴实数的整数值为或或或． 10．如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 【答案】(1)①④ (2)证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解， ∴ ，即． ∵ 有意义， ∴ ． ∴ ． 故对任意一个完美方程，总有 (3)正整数的值为1或3 【分析】 【详解】（1）解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故①是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故②不是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故③不是同族方程； 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故④是同族方程； 故是同族方程的是①④； （2）略 （3）由一元二次方程得：，， 解得：， ∵一元二次方程属于同族方程， ∴是整数， ∴正整数k的值为1或3． 11．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 【答案】(1)证明：， ∴无论取何实数，该方程总有两个实数根； (2)的周长为或 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：①当时，则，即， ， ． ，即， ∴三边为2，2，3，满足， 的周长； ②解：当或者时，得， 解得． ∴方程为，解得另一根为． ∴三边为2，3，3，满足， 的周长； 综上所述，的周长为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程的求解 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程的求解 ◆题型1 一元二次方程的基本概念 1．【答案】A 【详解】解：A、是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2， 是一元二次方程，符合题意； B、是分式方程， 不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数， 不是一元二次方程，不符合题意； D、中的最高次数为1， 不是一元二次方程，不符合题意． 2．【答案】C 【详解】解：将方程移项，得：， ∴ ，，． 3．【答案】C 【详解】解：方程是一元二次方程， 二次项系数， 的值不可能是． 故选：C． ◆题型2 应用配方法解一元二次方程 4．【答案】A 【详解】解：． 5．【答案】B 【详解】解：对于乙的步骤：方程两边同时除以2，得； 故出现错误的是乙同学. 6．【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： 解得：． 7．【答案】 ；；；；；；；；； 【详解】 解：原方程为 一次项系数为， 一次项系数一半的平方为 ， 两边同时加，得 方程可化为 两边直接开平方得 即或 ，． 8．【答案】(1)B (2)②；等号右边没有加9 (3)解：． 移项，得， 配方，得， 即， ， 或， ． 【详解】（1）解：佳佳解方程的方法是配方法； （2）解：上述解答过程中，从第②步开始出现了错误，发生错误的原因是等号右边没有加9． （3）略 ◆题型3 用公式法解一元二次方程 9．【答案】B 【详解】解：由，得． 两边平方得． 展开整理得． 化简得． 10．【答案】D 【详解】解：∵原方程为， 展开左边得， 整理为标准形式得， 计算判别式得， 由求根公式得方程的解为，该解不等于或， ∴选项A，B，C都错误，故选D． 11．【答案】64 【详解】解：将原方程移项，整理为一般形式， 可得，，， ． 12．【答案】 1 3 【详解】解：一元二次方程的求根公式为， 题目给出的两根可写为， 将两式对应位置对比，可得 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，代入得， ∴． 13．【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ∴, ∴， ∴， 解得：； （2）解： ， ∴， ∴， ∴， 解得：． 14．【答案】(1) 证明：∵t是关于x的方程的一正实根， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不合题意，舍掉）； ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或（不合题意，舍掉）． 故：． ◆题型4 用因式分解法解一元二次方程 15．【答案】A 【详解】解：A选项中，∵，∴或，方法正确； B、C选项中，方程右边不为0，不能直接令因式分别等于右侧的数，方法均错误； D选项中，∵，∴或，选项遗漏的情况，方法错误； 故选：A． 16．【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ， （2）解： 或 ， 17．【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：原方程可变形为， 提取公因式得， 即， 因此或， 解得，； （2）解：移项整理原方程得， 因式分解得， 因此或， 解得，． 18．【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： 或 解得； （2）解： 或 解得； （3）解： 或 解得； （4）解： 或 解得． ◆题型5 换元法解一元二次方程 19．【答案】5或 【详解】解：设，则原方程可化为， 展开整理得，即，因式分解得， 解得或， 因此的值为或． 20．【答案】 【详解】设，由得， 原方程可化为， 因为，方程两边均为正数，两边同时平方得：展开整理得：， 因为，方程两边同时除以得：整理得： ， 由，令，代入得：整理得一元二次方程， 解得或， 因为 ，所以，舍去，得即， 两边同乘得， 解得，由， 得检验：将代入原方程，左边，右边，左边等于右边， 是原方程的解． 21．【答案】，/， 【详解】解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 22．【答案】(1)， (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【分析】 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； （2）略 23．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：设， 原方程可化为， ， ，， 当时，， 经检验，是原方程的根； 当时，， 经检验，是原方程的根； 故原方程的解为． （2）解：设， 原方程可化为 ，， ， ， 舍去， 当时，，， 故原方程解为． 考点二 一元二次方程根的性质 ◆题型6 一元二次方程根的性质应用与估算 24．【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， . 25． 【答案】D 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴二次函数的图象与轴的一个交点在之间， ∴关于的方程的一个解的取值范围是 26． 【答案】B 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，的值会从负变为正，即存在使得， 方程的一个解的取值范围是． 故选：． 27．【答案】 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴把代入方程得， 整理得， 两边同除以得， ∴． ◆题型7 一元二次方程根的判别式的应用 28．【答案】B 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ． ∵方程是一元二次方程， ． ． ． ∴该方程有2个不相等的实数根． 29．【答案】 【详解】解：∵ 关于的一元二次方程无实数根， ∴ 根的判别式， ∴ ， 解得． 30．【答案】C 【详解】解：联立与，得， 整理得， ∵两函数图象无交点， ∴没有实数解， ∴，即，与符号相反． 判断嘉嘉的说法： 一元二次方程的判别式为， ∵， ∴， 又， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，嘉嘉说法正确； 判断琪琪的说法： 将代入，得， ∵， ∴一定不是方程的根，琪琪说法正确， 综上可得，他俩说的都正确． 31．【答案】D 【详解】解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 32．【答案】A 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴选项：，满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意． 33．【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式． 这里，，， 将系数代入得， 整理得． 解得． ◆题型8 一元二次方程根与系数关系的应用 34．【答案】D 【详解】解：∵方程的两实根为、， ∴，； 对选项A：，A正确； 对选项B：，B正确； 对选项C：，C正确； 对选项D：，D不正确. 35．【答案】A 【详解】解：∵时，，与题设矛盾， ∴， 将两边除以， 整理得， ∵，且， 即， ∴，是方程的两个不等实根， ∴，即． 36．【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，化简得， 解得， 根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴，代入得， 整理为， 解得或， ∵， ∴舍去，得． 37．【答案】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴、， 代入，得 ， 解得、， 又∵，解得， ∴不符合题意，舍去， 故． 38．【答案】(1)5，3 (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵方程的两根为与， ∴，； （2）解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ . 综合攻坚·知能拔高 1．【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵关于的方程有一个小于的非负数解，且，即不是非负数， ∴ 解得． 2．【答案】D 【详解】解：① 将代入方程，得， 提取公因式得， 当时等式恒成立，不一定满足，故①错误； ② 将代入方程，得，由条件，可得， 因此是方程的根，故②正确； ③原方程的解为和，则原方程可写为， 展开得，即，， 代入新方程得：，， 整理得， 解得或，故③错误； ④ 由条件，，， 可得， 若，则， 可推出，与矛盾， 因此， 方程判别式， 因为，，所以， ，方程一定有实数根，故④正确. 综上，正确结论为②④． 3．【答案】C 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∴的取值范围为， ∴ ∵， ∴原式随k的增大而减小，且， ∴当k取最大值时，原式取得最小值，即． 4．【答案】C 【详解】解：∵， ∴或， 当时，则， 当时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根， ∴，，， 解得：， ∵方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上：， 故选：C 5．【答案】 / 【分析】 【详解】解：（1）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵，为正实数， ∴． （2）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵n、t均为正实数， ∴． 6．【答案】 【详解】解：设一元二次方程的两个根为，满足， ， ， ， ， ， ， ，即的取值范围是． 7．【答案】 【详解】解：∵，， ∴，为方程的的两实根， ∴， ∴，，， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 8．【答案】或/或 【详解】解：，是关于的方程的两个不等实数根， 由根与系数的关系得：，， ∵方程有两个不等实数根， ∴判别式，解得， ， ∴将代入等式得：，分两种情况讨论： 当时，，原等式可化为：，解得，则，，解得，满足，符合题意； 当时，，原等式可化为：， 解得，则， ，解得，满足，符合题意． 综上，k的值为或． 9．【答案】(1)且 (2) 不存在，理由如下： ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 又∵且， ∴不符合题意，舍去， ∴不存在实数，使成立； (3)实数的整数值为或或或 【分析】 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：且， ∴的取值范围为且； （2）略 （3）解：， ∵的值为负整数，且为整数， ∴或或或， 解得：或或或， ∴实数的整数值为或或或． 10．【答案】(1)①④ (2)证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解， ∴ ，即． ∵ 有意义， ∴ ． ∴ ． 故对任意一个完美方程，总有 (3)正整数的值为1或3 【分析】 【详解】（1）解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故①是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故②不是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故③不是同族方程； 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故④是同族方程； 故是同族方程的是①④； （2）略 （3）由一元二次方程得：，， 解得：， ∵一元二次方程属于同族方程， ∴是整数， ∴正整数k的值为1或3． 11．【答案】(1)证明：， ∴无论取何实数，该方程总有两个实数根； (2)的周长为或 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：①当时，则，即， ， ． ，即， ∴三边为2，2，3，满足， 的周长； ②解：当或者时，得， 解得． ∴方程为，解得另一根为． ∴三边为2，3，3，满足， 的周长； 综上所述，的周长为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程的求解 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程的求解 题型1 一元二次方程的基本概念 题型2 应用配方法解一元二次方程（重） 题型3 用公式法解一元二次方程（重） 题型4 用因式分解法解一元二次方程（重） 题型5 换元法解一元二次方程 考点二 一元二次方程根的性质 题型6 一元二次方程根的性质应用与估算 题型7 一元二次方程根的判别式的应用（高频） 题型8 一元二次方程根与系数关系的应用（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程的求解 ◆题型1 一元二次方程的基本概念 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 3．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值不可能是（        ） A．1 B． C．0 D．2 ◆题型2 应用配方法解一元二次方程 4．用配方法将二次三项式变形，结果是（     ） A． B． C． D． 5．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．解方程： (1) (2) 7．解方程： 解：两边同时加______，得 则方程可化为______ 两边直接开平方得______ 即______或______ 所以______，______． 8．阅读材料，并解答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解：． ，……① ，……② ，……③ ……④ 或． ． 问题： (1)佳佳解方程的方法是______； A．直接开平方法        B．配方法 (2)上述解答过程中，从第____________步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是____________； (3)请写出正确的解答过程． ◆题型3 用公式法解一元二次方程 9．是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 10．方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 11．在一元二次方程中，其根的判别式的值是______． 12．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，那么______，______，______． 13．用公式法解下列方程． (1)； (2)． 14．若m，n为正实数，，t是关于x的方程的一正实根． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)用含k的代数式表示． ◆题型4 用因式分解法解一元二次方程 15．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．， 16．解一元二次方程： (1)； (2)． 17．用因式分解法解下列方程： (1) (2) 18．用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即． 例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为．试用十字相乘法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． ◆题型5 换元法解一元二次方程 19．若，则的值为___________． 20．已知，则方程的解集是_______； 21．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 22．解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 23．阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设 那么原方程可化为， 解得， 当时，，，； 当时，，，， 故原方程的解为． 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”． 解答问题：请用换元法解下列方程： (1)； (2)． 考点二 一元二次方程根的性质 ◆题型6 一元二次方程根的性质应用与估算 24．已知a是方程的一个根，则代数式的值是（     ） A．1 B．－1 C．0 D．2 25．根据表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（     ） x 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 26．根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．若a是方程的一个解，则的值是________． ◆题型7 一元二次方程根的判别式的应用 28．在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 29．关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围为____________． 30．若直线和双曲线在同一坐标系内的图象没有交点，则关于的一元二次方程的根的情况： 嘉嘉说：m、n符号相反，方程有两个不相等的实数根； 琪琪说：一定不是方程的根． 他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，琪琪不正确 B．嘉嘉不正确，琪琪正确 C．他俩说的都正确 D．他俩说的都不正确 31．已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 32．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 33．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为____________． ◆题型8 一元二次方程根与系数关系的应用 34．若方程的两实根为，那么下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 35．若，且，，则=（     ） A． B． C． D． 36．已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 37．关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，则的值是________． 38．在复习一元二次方程（）时，在有实数根的前提下，阳仔同学总结了根与系数的关系：若一元二次方程的两个实数根为，，则，． 根据以上知识点完成下列问题： (1)方程的两根为与，则 ， ． (2)已知：、是方程的两个实数根，求的值. 综合攻坚·知能拔高 1．关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程，有下列四个结论：①若是该方程的一个根，则一定有成立；②若，则方程有一根为；③若该方程的解为和，则方程的解是或；④当，，时，方程一定有实数根．其中，正确的有（     ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 3．已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．若，为正实数，设，是关于的方程的一个正实数根． （1）当时，则的值是________； （2）当时，则的值是________． 6．已知关于的一元二次方程有两个实数根，且均在区间内，的取值范围是_______； 7．已知实数，，满足，，则的值为________． 8．已知，是关于x的方程的两个不等实数根，且满足，则k的值为_____ ． 9．已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由； (3)若的值为负整数，求实数的整数值． 10．如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 11．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $