达标测试(五)(平面向量及其应用、复数)-【创新教程】2027年山东省普通高中学业水平合格考数学模拟检测

山东省普通高中学业水平合格考试达标测试（五） (平面向量及其应用、复数) 满分100分，考试限定用时90分钟 一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共 5.下列有关正弦定理的叙述： 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 ①正弦定理只适用于锐角三角形； 合题目要求的) ②正弦定理不适用于直角三角形： 1.下列五个命题： ③在某一确定的三角形中，各边与它所对角 吧 的正弦的比是定值； ①温度有零上和零下之分，所以温度是向量； ④在△ABC中，若内角A,B,C所对的边分别 ②向量a≠b,则a与b的方向必不相同； 为a,b,c,则A:BC=a:b:c. ③|a|>|bl,则a>b: 其中正确的个数是 ④向量a是单位向量，向量b也是单位向量， A.1 B.2 则向量a与向量b共线； C.3 D.4 ⑤方向为北偏西50°的向量与方向为东偏南 6.已知向量a=(-1,2),b=(1,1),则3a+b= 40°的向量一定是平行向量. 布 其中正确的是 A.(2,7) B.(-2,7) A.①⑤ B.③ C.(-2,-5) D.(2,-5) C.⑤ D.②④ 7.(2025·北京卷，2)已知复数之满足i·之+2= 妆 2i,则引|= () 2.已知复数 2+i2026 ，则之的虚部为( 1-i 阳 A.√2 B.2√2 1 A.2 C.4 D.8 8.已知平面向量a=(1,2),b=(-1,λ)，若a⊥b, c D多 则实数入= 3.已知向量a=(5,2),b(-4,-3).若c满足 A号 R一号 3a-2b+c=0,则c= ( C.-2 D.2 A.(-23,-12) B.(23,12) 9.已知平面向量a=(2,一1)，b=(1,1),c= C.(7,0) D.(-7,0) (一5,1).若(a+b)∥c,则实数k的值为() 4.在平行四边形ABCD中，AC-AD=( A.2 B司 A.AB B.BA C.CD D.DB c号 D.-4 5-1 10.若非零不共线a,b满足|a十b=|b1,则( 17.已知△ABC的边BC上有一点D满足BD A.|2a>|2a+b1 B.|2a|<|2a+b 3DC,则AD可表示为 ) C.12b1>a+2bl D.|2b|<|a+2bl A.AD=-2AB+3 AC 11.在△ABC中，如果(a+b+c)(b+c-a) BAD=A店+AC 3bc,那么A= A.30° B.60° C.AD-1AB+3AC C.120° D.150° D,AD号AB+号AC 12.(2026·全国1卷，2)已知平面向量a,b不 18.若复数x(i+2o26)=|1+i|(i为虚数单 共线，且2a十b=xa一3b,则 ( 位)，则之= A.x=2,y=-3 B.x=-2,y=3 A.-i B.i C.x=2,y=3 D.x=-2,y=-3 13.已知复数：-，则11 c鲁+ D.-2- ( 22 1-i A.1 B.√5 19.在△ABC中，osA=号AB=2,BC=3,则 C.2 D.3 △ABC的面积为 () 14.如图，D、E、F分别是 A.1 B.2 △ABC的边AB、BC、 C.22 D.3√2 CA的中点，则( 20.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a, A.AD+BE+CF=0 b,c,若(a2+c2-P)tanB=3ac,则bsinA a B.BD-CF+DF=0 的值为 C.AD+CE-CF=0 A.1 D.BD-BE-FC=0 15.已知平面向量a=(一1,1)，b=(2,0),则a c号 n要 在b上的投影向量为 ( 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） A.(-1,0) B.(1,0) 21.已知i是虚数单位，复数（√5+i)·(√5-2i) C.(-√2,0) D.(√2,0) 16.若复数之满足十i一3=3一i,则之=() 22.(2025·全国二卷，12)已知平面向量a= A.0 B.2i (x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a C.6 D.6-2i 5-2 23.(2026·天津卷，10)已知i是虚数单位，化简 27.(8分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别 (3+i)2= a,b,c,(26-c)cos A=acos C. (1)求A; 24.(2023·新课标Ⅱ卷，13)已知向量a,b满足 (2)若△ABC的面积为√3，BC边上的高为1， 1a-b|=√3，|a+b|=|2a-b|,则|b|= 求△ABC的周长. 25.在△ABC中，若A:B=1:2,且∠ACB的 平分线CD把△ABC分成面积比为5：3的 两部分，则cosA= 三、解答题（本大题共3小题，共25分，解答应 写出文字说明，证明过程或演算步骤) 26.(8分)已知之∈C且|z=1,求|x2-+1|的 最值 5-3 28.(9分)在△ABC中，设A、B、C的对边分别 (2)若b=4√2，且c=√2a,求△ABC的面积」 为a、b、c,向量m=(cosA,sinA),n=(√2- sinA,cosA),若|m十n|=2. (1)求角A的大小； 脚 些 烯 5-427.解：(1)f(x)=2√3sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2 =2 3sin2.r-(1-2sin .xcos x)=3(1-cos 2x)+ sin2x-1=sin2.x-√3·cos2.x+√3-1= 2sin(2x-吾）+5-1，由2x-受≤2x-号≤2km 十受∈0，得是x+晋∈， 所以：)的单羽运增区间是[k红一音x十引 ∈z(或(kx-是x+)∈)） (2由1)知f(x)=2sim(2x-号）十5-1，起y= f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变)，得到y=2sn(-吾）+5-1的图象. 再把得到的图象向左平移个单位，得到y=2sinx +√3-1的图象，即g(x)=2sinx十√3-1. 所以g(答）=2sin吾+5-1=5. 28.解：(1)，指数函数f(.x)=a2(a>0且a≠1)的图象 经过点（一3,27）， ∴.a3=27,a= .f(-1)= (合)】 =3. (2):函数f(x)= (合)广在R上单洞运减， “不等式等价于x-1<一x,解得x<2,即x的取 值范国为（∞，） 山东省普通高中学业水平合格考试达标测试（五） 1.C温度虽有大小却无方向，故不是向量，①错；a≠b, 但a与b的方向可以相同，②错；向量的长度可以比较 大小，但向量不能比较大小，③错；单位向量只要求长 度等于1个单位长度，但方向未确定，④错：作图易得 ⑤正确，故选C. 2A为@=P=-1,所以：= 而岁合十宁成部为宁 3.Aa=(5,2),b=(-4,-3),且c满足3a-2b十c =0, .c=2b-3a=2(-4,-3)-3(5,2)=(-8-15,-6 -6)=(-23,-12). 4.A AC-AD=DC=AB. 5.A因正弦定理适用于任意三角形，故①②不正确；在 △ABC中，由正弦定理，得 b sin A-sin B-sin C-2R. 因为三角形确定，所以其外接圆半径R为定值，故③ 正确；④显然不正确. 6.B由向量a=(一1,2)，b=(1,1),可得3a+b=3× (-1,2)+(1,1)=(一2,7).故选B. 7.B先求出复数之，再根据复数模的公式即可求出， 由i1·+2=2i可得，=二2+21=2+21， 1 所以z=√22+22=2√2，故选：B. 8.A平面向量a=(1,2),b=(-1,A),由a⊥b,得a·b =二1十2入=0，所以入=2 卷答 9.B由题意知，a十b=(2,-1)十k(1,1)=(k+2,k-1), 由(a十b)/c,得-5(k-1)=k十2，解得k=号，故选B. 10.Ca+2b|=|a+b+b|≤|a+b1+|b1=2b1. 由于a,b是非零不共线向量，故a十b与b不共线， 故等号不成立， 11.B由(a十b+c)(b+c-a)=3bc得[(b+c)+a][(b 十c)-a]=3bc,即(b十c)2-a2=3bc,整理得b2十c2 一a2=bc,报据余弦定理得cosA=2十c2-a2_1 2bc 2 因为A∈(0°，180°)，所以A=60°.故选B. 12.A因为a,b不共线，即a≠nb,且a,b不为0，所以 2a十3b=a-3b可化为(2-x)a=-(y十3)b,所以 {行+8：解得=2y=-3选A 13.A11=21-l2=-=1i-E-1. 1-i√2√2√2 14.A:D、E、F分别是AB,BC,CA的中点. ..AD=FE,BE=DF,CF=ED, ∴.AD+BE+CF=FE+DF+ED =FE+ED十DF =FD十DF=0. 15A0在6上的校影向量为6净6=子(2.0) =(-1,0). 16.D之=3-i-(i-3)=6-2i. 17.C如图所示，AD=AB十BD= AB+3BC-AB+3 (AC-AB) 4 = 1 18.D因为2026=i4×506+2=一1， 所以之(-1+i)=|1+i, 所以=号 2 221. 19.C由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB·AC ·c0sA,可得3AC2-4AC-15=0,解得AC=3. 国为casA=子所以sinA--or-2, 3 因先S△=号AB·AC·nA=2E,故选C 20.D由余弦定理a2+c2-b2=2 accos B,得2ac·sinB= ,得如B=号由三孩定理治B得 bsin A-sin B一5，故选D 21.解析：(W5+i)·(W5-2i)=5+√5⑤i-2√i+2=7-√5i. 答案：7-√5 22.解析：因为a-b=(x,1)-(x-1,2.x)=(1,1-2x), 又a⊥(a-b), 所以a·(a一b)=x十1-2x=1-x=0,解得x=1, 所以a=√12十1=√2. 答案：√2 23.解析：(3+i)2=9+i2+6i=8+6i. 答案：8+6i 24.解析：由a+b=|2a-b,得a2=2a·b; 由a-bl=5,得a2-2a·b十b2=3,即b2=3, |b|=√5. 答案：V3 -7 25.解析：A:B=1:2,即B=2A,.B>A,.AC>BC ∠ACB的平分线CD把三角形ABC的面积分成 5:3的两部分，.由角平分线定理得BC:AC=BD :AD=3:5,在△ABC中，由正弦定理得BC sin A 品需合号理好品会 sin A sin 2A 2sin A cos A 是则osA=合 5 答案：6 26.解：因为z=1,所以之·之=1， 所以之2一之十1=之2-之十之之=x(之十之-1)， 所以x2-之+1=|x(g+-1)=||·|x+-1 =x十之-1. 设之=x+yi(x,y∈R),那么|之十-1|=|2.x-1|, 又因为|之|=1，所以x2十y2=1. 所以-1≤x≤1，所以一3≤2.x-1≤1， 则0≤12x-1≤3. 所以：2-之十1的最小值为0，最大值为3. 27.解：(1)因为(2b-c)cosA=acos C, 由正弦定理，得(2sinB-sinC)cosA=sin Acos C, Ep2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A, 即2 sin Bcos A=sinB. 因为在△ABC中，sinB≠0，所以cosA=2又因为 0<A<元，所以A= (2)因为△ABC的面积为√3， 所以2aX1=5,得a=25. 由besinA=5,即2bc×9-5,所以c=4 2 由余弦定理，得a2=b2+c2-2 bccos A. 即12=b2+c2-bc,化简得(b+c)2=3bc+12, 所以(b+c)2=24,即b十c=26, 所以△ABC的周长为a+b十c=2√6+2√3. 28.解：(1)|m|2=1,|n2=(√2-sinA)2+cos2A =3-√2sinA, m·n=cosA(√2-sinA)+sin Acos A=√2cosA, .m+n2=m2+2m·n+|n2=4+2√2cosA 2√2sinA=4+2√2(cosA-sinA). .m+n=2,..4+22(cos A-sin A)=4, anA=1.:0<A<A=年 (2)由余弦定理， 。2=8+2-2osA,又由6=45，c=a,A=年 得a2=32+2a2-2×42X2a·, 2 即a2-8√2a十32=0，解得a=4√2，∴.c=8, ∴SaAe=2 esinA=-2X42×8×sin年=16. 山东省善通高中学业水平合格考试达标测试（六） 1.C结合图形可知选项C正确. a a a a B a 2.C结合柱、锥、台、球的定义可知③是棱锥，④是棱 柱，故选C. 卷答 3.B将直观图ABCD还原后为y D' 直角梯形A'BCD',其中A'B= 2AB=2,BC=1+2 ,A'D'= AD=1. 所以平面图彩的面积S=合× （+1+罗×2=2+9 B(O) 2 4.D结合长方体，易知a和c可以平行、相交或异面. 5.A设该圆锥的母线长为1，其侧面展开图是一个半圆 S=2m,所以2=2，则1=2，所以该丰圆的孤长为 2π.设该圆锥的底面半径为R,则2πR=2π，R=1. 6.D由a∥&知a内必有直线l与a平行.又a⊥B, .l⊥B,a⊥B. 7.CR=√12+1=√2，S=4πR2=8π. 8.C本题考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与 平面的位置关系.A中，m∥a,nCa,m与n可能平行 或异面，故A错误；B中，m⊥am⊥3，则a∥B,故B错 误；D:nC&,&⊥B,则n不一定垂直于3，故D错误. 9,B设正方体的棱长为a,则球的直径为2R=√3a,所 以R= a.正方体的表面和为6a2.球的表面积为 4πR2=4x· 3)2 (2a/ =3πa2,所以它们的表面积之比 为6a2:3πa2=2:元 10.B结合图形（图略）可知AA1∥平面BC1,AA1∥平 面DC1,AA1∥平面BB1D1D. 11.C如图①为直观图，图②为实际图形，取BC'所在 直线为x'轴，过B'C中点O'与O'x'成45°的直线为 y轴，过点A'作A'N'∥Ox',交y√轴于点N',过点 A'作AM'∥Oy',交x轴交于点M', N MB/O C ① MB0C ② 则在R△AOM中，因为0A-a,∠AM0 45°，所以M'o=A'O'=AN=2a,故AM'-6 2a. 在平面直角坐标系中，于x轴上方y轴左侧取到距x 轴6，距y物。的点A,则△ABC为所求三角形. 1 显然S△Ac三2a·V6a三2a2. -8山东省普通高中学业水平合格考试达标测试（六》 (数学)答题卡 姓 名 准考证号 条形码区 缺考标记（学生禁止填涂)口 1.答题前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的姓名、 填 正确填涂 注 准考证号。 涂 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写， 错误填涂 涂写要工整、清晰。 样 ☑XO 事 3.按照题号在对应的答题区域内作答，超出答题区域的答题无效，在草稿纸、试 例 】0三 项 题卷上作答无效。 4.答题卡不得折叠、污染、穿孔、撕破等。 选择题（共20小题，每小题3分，共60分） 正确填涂 在 1ABCD 6ABCD 11ABCD 16ABCD 2ABCD 7ABCD 12ABCD 17ABCD 的 3ABCD 8 ABCD 13ABCD 18 ABCD 区 4ABCD 9ABCD 14 ABCD 19 ABCD 内 5ABCD 10ABCD 15 ABCD 20ABCD 答 超 框 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 案 21. 22. 23. 24. 25. 效 三、解答题（本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 26.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡达标测试（六）第1页（共？页) 山东省普通高中学业水平合格考试达标测试（五）》 (数学)答题卡 姓 名 准考证号 条形码区 缺考标记（学生禁止填涂）口 1.答题前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核对条形码上的姓名、 填 正确填涂 准考证号。 涂 意 2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写， 错误填涂 涂写要工整、清晰。 样 ☑XO 事 3.按照题号在对应的答题区域内作答，超出答题区域的答题无效，在草稿纸、试 例 】0三 项 题卷上作答无效 4.答题卡不得折叠、污染、穿孔、撕破等。 、选择题（共20小题，每小题3分，共60分〉 正确填涂 在 1ABCD 6ABCD 11ABCD 16ABCD 2ABCD 7ABCD 12ABCD 17ABCD 的 3ABCD 8ABCD 13ABCD 18 ABCD 区 4ABCD 9ABCD 14 ABCD 19 ABCD 内 5ABCD 10ABCD 15 ABCD 20ABCD 答 超 框 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 案 21. 22. 23. 24. 25. 效 三、解答题（本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 26.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡达标测试（五）第1页（共？页) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 27.(8分) 28.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡达标测试（五）第2页（共2页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 27.(8分) C 28.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 数学答题卡达标测试（六）第2页（共2页）