9月学情自测卷（测试范围：第1～2章）2026-2027学年九年级数学上学期北师大版

**基本信息** 九年级数学9月学情自测卷聚焦一元二次方程与四边形，以“哭哭马”销售、庭院石板路等真实情境设计问题，梯度覆盖基础运算、推理证明及动点综合，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|一元二次方程概念、四边形判定|第5题互赠贺卡问题考查模型意识| |填空题|6/18|菱形性质、方程应用|第13题服装降价销售体现应用意识| |解答题|8/72|方程解法、折叠证明、动点面积|第19题月平均增长率渗透数据观念，第22题双动点问题发展空间观念|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （测试范围：第1～2章） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列判断中正确的是（     ） A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：Ａ、四边相等的四边形是菱形，∴A错误； B、对角线相等的平行四边形是矩形，∴B错误； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴C错误； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D正确． 2．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．3 B． C．3或 D．0 【答案】A 【分析】一元二次方程，二次项系数不为0，未知数的最高次数是2． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 由得， 即或， 由得， ∴． 3．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，添加一个条件使得矩形是正方形，下列添加的条件中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、四边形是矩形，恒成立，无法判定四边形是正方形，故本选项符合题意； B、由于四边形是矩形，当时，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； C、由于四边形是矩形，当时，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； D、∵四边形是矩形， ∴， 若， 则， ∴， 根据有一组邻边相等的矩形是正方形，可判定四边形是正方形，故本选项不符合题意． 4．如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．某班2026年元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠贺卡，共赠贺卡30张，该合唱小组人数为（     ） A．5 B．6 C．29 D．30 【答案】B 【分析】根据互赠贺卡的总张数与人数的等量关系列方程求解． 【详解】解：设该合唱小组人数为人，根据题意，得 ． 整理得， 解得或（舍去）， ∴该合唱小组人数为6． 6．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】计算根的判别式，判定，解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 7．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】先由矩形的性质证明，结合三角形中位线定理得到，，再利用勾股定理，得，求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是矩形的对角线的中点，， 是边的中点，是矩形的对角线的中点， ，， ， ， ， ． 8．已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 【答案】A 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，是方程的两根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 9．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点是的中点，可得出点的坐标，当，由等腰三角形的性质即可得出点的坐标． 【详解】解：过点作于点， ∵矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点， ∴点，点的纵坐标为， ∵，， ∴， 即点， ∴点． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是________． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，首先将分式方程中的分母因式分解，然后找到公分母合并分式，接着利用等式的性质去分母，得到整式方程，最后整理成一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ， 去分母得： 移项、合并得：， 故答案为：． 12．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为___________． 【答案】4 【分析】由菱形的面积求出对角线的长，再利用直角三角形斜边中线的性质求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，在菱形中， ∴． 13．某种服装平均每天可售出件，每件利润为元．为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件降价元，则每天多售出件．如果每天销售这种服装的总利润达到元，那么每件应降价________元． 【答案】 【分析】设每件降价元，根据总利润等于每件利润乘以销售量列方程，结合尽快减少库存的要求选择符合题意的解． 【详解】解：设每件服装应降价元，根据题意，降价后每件利润为元， 降价元后每天的销售量为 件， 总利润达到元， 列方程为 ， ， ， 解得：，． 要尽快减少库存，降价越多，每天销售量越大，减少库存越快， 取，即每件应降价元． 14．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据表格数据解答即可求解，看懂表格数据是解题的关键． 【详解】解：由表可知，时，；当时，， ∴当时，必有一个解， ∴的取值范围是， 故答案为：． 15．如图，在菱形中，过点作于点，连结．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】连接交于，先利用菱形的性质和勾股定理，求得，接着利用菱形的面积，即可算得答案． 【详解】解：连接交于，如图所示： 四边形是菱形，，， ，，，， ， ， ∵， ∴菱形的面积， 即， 解得：． 16．如图，在菱形中，M，N分别是边，上的动点，连接，，P，Q分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ____ ． 【答案】 【分析】由三角形中位线定理可得，则当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别为，的中点， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值， 四边形是菱形， ，， 当时，， 的最小值， 的最小值为． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的多种解法（因式分解法、公式法），解题的关键是观察方程结构，优先选用简便的因式分解法，无法因式分解时利用求根公式求解． （1）移项后利用平方差公式因式分解求解； （2）十字相乘法因式分解求解； （3）化为标准式后套用求根公式求解； （4）先展开、移项、合并同类项整理成一元二次方程标准形式，再因式分解求解． 【详解】（1）解： 或 解得 （2）解： 或 解得 （3）∵， 方程有两个不相等的实数根， 即 （4）解： 或 解得 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：对于任意非零实数，该方程总有两个实数根； (2)若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数的值． 【答案】(1)证明： ． 方程总有两个实数根 (2)整数的值为． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式证明即可； （2）用分解因式法求出一元二次方程的两个根分别为：，，根据方程的两个根均为整数可得，再根据方程有两个不相等的实数根确定的值． 【详解】（1）略 （2）解：方程可化为， 解得：，， 方程两根均为整数， 为整数，即为整数， 整数， 当时，可得：， ， 当时，， ，故舍去， 整数的值为． 19．年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． (1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 【答案】(1) (2)当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 【分析】（1）增长率模型：初始量最终量； （2）根据“单件利润销售量总利润”，表示出降价后每件的利润与当月销量，列出一元二次方程，求出符合实际意义的售价． 【详解】（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 20．如图，在矩形中，将沿着折叠，使点A与点E重合，过点E作交线段于点F，连接和． (1)求证：； (2)求证：四边形为菱形； (3)连接交于点M，若，，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折的性质可得， ∴， ∴， ∴． (2)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． (3) 【分析】（1）由题意易得，则有，由翻折的性质可得，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）结合菱形的判定进行求证即可； （3）连接交于M，由题意易得，，然后可得，则有，进而根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接交于M， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ， ， ， ∴根据勾股定理得． 21．如图，在菱形中，对角线相交于点，点均在对角线上，且，连接． (1)求证：四边形是正方形． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ，，． ， ，即． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． 又∵， ∴四边形是正方形； (2)． 【分析】（1）利用菱形的性质得出，，，再利用，得出，得出四边形是平行四边形，再由，，即可得证； （2）根据正方形的性质得到，，，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∵， ∴． 22．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 23．如图，在中，对角线、相交于点O，且，点、分别为、的中点，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明：四边形为平行四边形， ，，， ， 又， ， ， ， 四边形为矩形． (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，，推出，结合题意得到，推出，得到，即可得证； （2）根据三角形的中位线定理求出，进而得到，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：点、分别为、的中点， 为的中位线， ， ， ， 四边形为矩形， ， 在中，由勾股定理得， ． 24．如图，在四边形中，，，，，，动点从点开始沿边向点以的速度运动；点从点开始沿边向点以的速度运动．点，分别从点，同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动． (1)设运动时间为，用含的代数式表示线段的长：________，________； (2)求运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ (3)当运动时间为多少秒时，四边形为矩形？ (4)若点运动的速度为，直接写出：当为多少时，四边形为正方形？当为多少时，四边形为菱形？ 【答案】(1)， (2)运动时间为时，四边形为平行四边形 (3)运动时间为时，四边形为矩形 (4)当为时，四边形为正方形，当为时，四边形为菱形 【分析】此题考查了正方形，菱形，平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质． （1）根据题意速度乘以时间即可得出，，进而即可求得； （2）由在四边形中，，可得当时，四边形是平行四边形，即可得方程：，解此方程即可求得答案； （3）由在四边形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案． （4）根据四边形为正方形，可得，进而求得，再根据，建立方程，求得；当四边形为菱形，过点作于点，根据勾股定理求得的长，进而求得，从而求得，根据，建立方程求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，，则， 故答案为：， （2）由题意可得：，， ， ， 设当运动时间为秒时，此时四边形为平行四边形． 由得，， 解得：， 当运动时间为秒时，四边形为平行四边形． （3）， ， 设当运动时间为秒时，四边形为平行四边形． 由得：， 解得：， 又 平行四边形为矩形． 当运动时间为秒时，四边形为矩形． （4）解：点运动的速度为，则 ∵四边形为正方形 ∴ ∴，则 解得： ∴当为时，四边形为正方形， 如图，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∴当四边形为菱形时， ∴ ∴ 解得： ∴当为时，四边形为菱形； 综上所述，当为时，四边形为正方形，当为时，四边形为菱形 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （测试范围：第1～2章） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列判断中正确的是（     ） A．四边相等的四边形是正方形 B．对角线相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 2．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．3 B． C．3或 D．0 3．如图，在矩形中，对角线、相交于点O，添加一个条件使得矩形是正方形，下列添加的条件中错误的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．某班2026年元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠贺卡，共赠贺卡30张，该合唱小组人数为（     ） A．5 B．6 C．29 D．30 6．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 7．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．已知实数a、b是方程的两个根，则的值是（     ） A．14 B． C． D．10 9．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是________． 12．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为___________． 13．某种服装平均每天可售出件，每件利润为元．为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件降价元，则每天多售出件．如果每天销售这种服装的总利润达到元，那么每件应降价________元． 14．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是______． 15．如图，在菱形中，过点作于点，连结．若，，则的长为________． 16．如图，在菱形中，M，N分别是边，上的动点，连接，，P，Q分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ____ ． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：对于任意非零实数，该方程总有两个实数根； (2)若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数的值． 19．年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． (1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 20．如图，在矩形中，将沿着折叠，使点A与点E重合，过点E作交线段于点F，连接和． (1)求证：； (2)求证：四边形为菱形； (3)连接交于点M，若，，求线段的长． 21．如图，在菱形中，对角线相交于点，点均在对角线上，且，连接． (1)求证：四边形是正方形． (2)若，求的长． 22．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 23．如图，在中，对角线、相交于点O，且，点、分别为、的中点，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求矩形的面积． 24．如图，在四边形中，，，，，，动点从点开始沿边向点以的速度运动；点从点开始沿边向点以的速度运动．点，分别从点，同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动． (1)设运动时间为，用含的代数式表示线段的长：________，________； (2)求运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ (3)当运动时间为多少秒时，四边形为矩形？ (4)若点运动的速度为，直接写出：当为多少时，四边形为正方形？当为多少时，四边形为菱形？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $