第七章 复数&第八章 立体几何初步-【创新教程】2027年山东省普通高中学业水平合格考数学热点专练

必修第二册 第七章复数 例1解析：1)：复数：=m2十m一6+（m2一2m)i为纯虚 n m≠0， 数， m2+m一6=0，解得m=-3. n m2-2m≠0 (2)若a=0,则之=bi, .2=(bi)2=一b2为实数， .a=0→22为实数； 若2为实数，(a十bi)2=(a2-b2)+2abi, 则有2ab=0,∴.a=0或b=0, .之2为实数Pa=0, .“a=0”是“之2为实数”的充分不必要条件. 答案：(1)B(2)A 例2解析：(1)由题知(1十3i)(3-i)=3一i+9i一3i2=6十8i, 所以该复数在复平面内对应的，点为(6,8)，位于第一象 限.故选A. (2)因为x十xi=1十yi,所以x=y=1, 所以x+yil=|1+i=√1+12=√2. 答案：(1)A(2)B 例3解析：(1)由(1十5i)i=一5十i,即知虚部为1，选C. (2)因为之1=2十i,之2=1一3i,所以之1十2=2+i+1-31 =(2+1)+(1-3)i=3-2i,则|1+2|=|3-2i =√32+(-2)2=√13. 答案：(1)C(2)C 例4解析：(1)(1-3i)2=12-2×1×3i+(3i)2=1-6i-9 =-8-6i （@)因为计-所以=所以-=- 故选A. 答案：(1)B(2)A 第八章立体几何初步 例1解析：(1)根据棱柱的结构特征知①，④正确；由棱台的 结构特征知②，③不正确， (2)可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折 成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不 能折成正四面体 答案：(1)A(2)C 例2解析：(1)因为∠DA'B'=45°，由斜二测画法规则知 ∠DAB=90°，又因四边形A'B'CD'为平行四边形，且 AB=BC,所以原四边形ABCD为正方形. (2)因为A'D'∥y轴，A'B′∥CD',D A'B'≠CD',所以原图形是一个直角 梯形，如图所示 又A'D'=4, A 所以原直角梯形的上、下底及高分别 是25,8，故共面积为S=合×(2+5) ×8=28. 答案：(1)正方形(2)28 例3解析：(1)圆柱的轴截面是面积为8的正方形，设圆柱的 底面半径为R,高为h,则(2R)2=8,.R=√2，h=2R= 2√2..孩圆柱的表面积为2·πR2+2πRh=2πX(W2)2+ 2πX√2X2√2=12π. （②)设圈维的高为，则号×xX12Xh=,解得= 3 (3)长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R= √12+22+32=√14， 所以球的表面积S=4πR2=14元. 答案：(1)B(2)B(3)14π 例4解：1)知图00=子×4巨 =2√2，所以棱锥的高为h= M Di-- √16-8=2√2. 棱锥的斜高h=√16一4=2√5， 所以其表面积为S表=16十4× 2×4×26=16+166 2)棱台的体积为V=号×16×2反-号×4XE-器巨 例5解析：(1)三角形的三个顶点不在同一条直线上，所以 三角形确定一个平面，正确. (2)对于A,若m∥n,则a∥B或a与B相交，故A错误； 对于B,若a⊥3，则m∥n或n与n相交或n,n是异面直 线，故B错误； 对于C,若a∥B,则m∥n或m,n是异面直线，故C错语； 对于D,根据平面与平面垂直的判定定理知，D正确， 答案：(1)A(2)D 例6证明：如图，连接A1B,CD1,显然B∈ D 平面A1BCD1,D1∈平面A1BCD1, .BD1C平面A1BCD1. 同理BD1C平面ABC1D1 .平面ABCD1∩平面ABCD1=BD1:. A1C∩平面ABC1D1=Q, .Q∈平面ABC1D1. 又A1CC平面A1BCD1,∴.Q∈平面A1BCD1. .点Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上， 即Q∈BD1, 故B,Q,D1三点共线 例7解析：(1)，B1D1∥BD,BDC平面BDC1,B1D1亡平面 BDC1∴.B1D1∥平面BDC1. (2)A中的两直线也可能相交、异面，A错；B中的该直线 也可能与平面内的直线异面，B错；C中的该直线也可能 在其中一个平面内，C错；只有D正确. 答案：(1)D(2)D 例8解：(1)连接DE,OF,设AF=tAC,则BF=BA十AF= (1-)BA+BC.AO--BA+2DC. BF⊥AO, 则BF·AO=[(1-t)BA十tBC]· （-BA+2BC)=-1BA+2BC =4(t-1)+4t=0, 解得1=7，则F为AC的中点，由D,E,O,F分别为PB, PA,BC,AC的中点， 于是DE∥AB,DE=2AB,OF∥AB, OF-ZAB,DE//OF,DE-OF. 则四边形ODEF为平行四边形， EF∥DO,又EF丈平面ADO,DOC平面ADO, 所以EF∥平面ADO. (2)过P作PM垂直FO的延长线交于点M, 因为PB=PC,O是BC中点，所以PO⊥BC, 在R△PB0中，PB=6,B0=2BC=√E, 所以PO=√PB2-OB2=√6-2=2， 因为AB⊥BC,OF∥AB,所以OF⊥BC, 又PO∩OF=O,PO,OFC平面POF, 所以BC⊥平面POF,又PMC平面POF, 所以BC⊥PM,又BC∩FM=O,BC,FMC平面ABC, 所以PM⊥平面ABC, 即三棱锥P-ABC的高为PM, 因为∠POF=120°，所以∠POM=60°， 所以PM=POn60=2Xg-原 —48 又S△ABC= 2AB:BC-2×2X2E=2E. 所以V,Aw=吉5aic·PM=}×2DX6-2g. 3 例9解析：m∥n,n⊥B,∴m⊥B. 又nCa,.a⊥3. 答案：C 例10解：(1)证明：.PA=PD,且E为AD中点， PE⊥AD, 平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD= AD,PEC平面PAD, ∴.PE⊥平面ABCD, ,'BCC平面ABCD, .PE⊥BC. (2)·四边形ABCD为矩形， ..CD⊥AD. 平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD, CDC平面ABCD, ∴.CD⊥平面PAD, PAC平面PAD, .CD⊥PA. 'PA⊥PD,且CD,PDC平面PCD,CD∩PD=D, .PA⊥平面PCD PAC平面PAB ∴.平面PAB⊥平面PCD. 第九章统计 例1解析：选项B中总体量和样本量都不大，采用抽签法 答案：B 例2解析：(1)样本数据落在区间[10,40)内的频数为2十3 十4=9，样本容量为20，故样本数据落在区间「10,40)内 的频率为20-0.45，必修第二册 第七章 考点典例 考点1 复数的概念 例1（1)若复数文=m2+m-6+（m2-2m)i为纯 虚数，则实数m的值为 () A.m=2 B.m=-3 C.m=2或m=-3 D.m=1或m=-3 (2)设复数x=a十bi(a,b∈R),则“a=0”是“z2为 实数”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点2复数的几何意义 例2(1)在复平面内，(1+3i)(3一i)对应的点位于 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)设x十xi=1+yi,其中x,y是实数，则 lx+yil= A.1 B.√2 C.3 D.2 考点3复数的加减运算 例3(1)(2025·全国一卷，1)(1+5i)i的虚部为 ( A.-1 B.0 C.1 D.6 (2)(2026·北京卷，2)已知复数1=2+i,2=1 一3i,则|1十2|= A.5 B.√5 C.√13 D.13 考点4复数的乘除运算 例4(1)(2026·全国Ⅱ卷，1)(1一3i)2=() A.-8+6i B.-8-6i C.8+6i D.8-6i 1-i (2)(2023·新课标1卷，2)已知一2+2，则：- A.-i B.i C.0 D.1 复 数 名师点津 1.(1)基础题对于复数a十bi,当且仅当b一0时， 它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b ≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯 虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC. 复数之=a+bi可以分类如下： 实数(b=0), 复数之 虚数(b≠0)（当a=0时为纯虚数）. (2)中档题①应用复数相等的充要条件时应先 将复数化为z=a十bi(a,b∈R)的形式，即分离实 部和虚部.②只有当a=c且b=d的时候才有a+ bi=c十di,a=c和b=d有一个不成立时，就有 a+bi≠c+di;③由a+bi=0,a,b∈R,可得a=0 且b=0. 2.(1)基础题复数集与复平面内所有的点所组 成的集合之间存在着一一对应的关系.每一个复 数都对应唯一的一个有序实数对，只要在复平面 内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点 的位置判断复数实部、虚部的取值： (2)基础题向量OZ的模叫做复数之=a十bi的模 或绝对值，记作|x或|a+bi.即|之|=|a+bi= √a2+b2,其中a,b∈R. 3.(1)基础题本题主要考查复数的乘法运算及 虚部的概念 ①复数乘法的分配律.②正确处理2=一1.③区 分虚部的系数与整个复数表达式 (2)基础题两个复数相加，类似于两个多项式相 加：把复数的代数形式看成关于“”的多项式，则复 数的加法类似于多项式的加法，只需要“合并同类 项”，运算之后还可以对结果进行求模. 4.中档题解决复数的乘、除运算问题的思路 (1)复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，多项式 展开中的一些重要公式仍适用于复数，如(a+bi)2 a2+2abi+b2i2=a2-b2+2abi;(a+bi)3=a+3a2bi+ 3ab2i2+b3=a3-3ab2+(3a2b-b3)i. (2)复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一 般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方 法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母 成为实数，再计算. 第八章」 立体 考点典例 考点1空间几何体的结构 例1(1)下列说法中正确的是 () ①一个棱柱至少有五个面；②用一个平面去截棱锥，底 面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯 形；④棱柱的侧面是平行四边形 A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ (2)如图所示，不是正四面体（各棱长都相等的三棱锥） 的展开图的是 ③ A.①③ B.②④ C.③④ D.①② 考点2直观图 例2(1)如图所示为一个平面图形的直观图，则它的原 图形四边形ABCD的形状为 y C 1 √N2B文 (2)如图是四边形ABCD水平放置的直观图A'B'CD', 则原四边形ABCD的面积是 y D 4/ 2 A 5 B 70'E 考点3空间几何体的表面积与体积 例3(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过 直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的 正方形，则该圆柱的表面积为 () A.12√2π B.12π C.8√2π D.10π (2)已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的 高是 ( A.1 B.√3 C.2 D.3 (3)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一 个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积 为 28 何初步 名师点津 1.(1)基础题判断一个几何体是何种几何 体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征， 注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如 棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公 共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”等. (2)中档题绘制多面体的表面展开图要结 合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或 者是亲手制作多面体模型，在解题过程中， 常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体 的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可 得到其表面展开图. 2.(1)基础题由直观图还原平面图形关键 有两点： ①平行x'轴的线段长度不变，平行y'轴线段 扩大为原来的2倍； ②对于相邻两边不与x'、y'轴平行的顶点， 由x轴，y轴平行线变换确定其在xOy中 的位置. (2)基础题解答直观图计算问题时，一要 注意角度的变化；二要注意长度的变化 3.(1)基础题先画出几何体，再由表面积 公式计算， (2)基础题把握圆锥的体积公式V圆锥= 号2·么是计算圆锥体积的关键，设出需求 的量，代入公式求解即可. (3)中档题求组合体的表面积与体积的 方法 ①分析结构特征 弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何 体的关键量。 ②设计计算方法 根据组成形式，设计计算方法，特别要注意 “拼接面”面积的处理.利用“切割”、“补形” 的方法求体积. ③计算求值. 例4如图，已知四棱锥P-ABCD的底面边长 与侧棱的长度都是4，ABCD是正方形 (1)求该四棱锥高和表面积； (2)若M为棱锥的高PO的中点，过点M作 平行于棱锥底面的截面，求截得的棱台的 A 体积. 考点4空间点、直线、平面之间的位置关系 例5(1)在空间中，下列结论正确的是 A.三角形确定一个平面 B.四边形确定一个平面 C.一个点和一条直线确定一个平面 D.两条直线确定一个平面 (2)已知m,n是两条不同的直线，a,3是两个不同的平面，m二a, n3,则 A.若m∥n,则a∥3 B.若a⊥B,则m⊥n C.若a∥3，则m∥n D.若m⊥3，则a⊥3 29 4.中档题求几何体体积时需 注意的问题： 柱、锥、台的体积的计算，一般要 找出相应的底面和高，要充分利 用截面、轴截面，求出所需要的 量，最后代入公式计算 5.(1)基础题在处理点线共 面、三点共线及三线共点问题 时，初步体会三个基本事实的作 用，突出先部分再整体的思想. (2)中档题判断空间点、线、面的 位置关系应注意： ①注意判定定理与性质定理中 易忽视的条件，如线面平行的条 件中线在面外易忽视. ②结合题意构造或绘制图形，结 合图形作出判断. ③会举反例或用反证法推断命 题是否正确、 例6如图，在正方体ABCD一A1B1CD1中，设A1C与平面 ABC1D1交于点Q,求证：B,Q,D1三点共线. 考点5平行关系 例7(1)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列与平面 BDC1平行的直线是 () D B A.AA B.AC C.BC D.BD (2)下列结论正确的是 A.平行于同一个平面的两条直线平行 B.一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线 平行 C.与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面 D.平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这 个平面平行 —30 6.证明点共线的方法 证明三个或三个以上的点在同 一条直线上，常用以下两种 方法： (1)先找出两个平面，然后证明 这些点都是这两个平面的公共 点，确定这些点都在这两个平面 的交线上； (2)选择其中两点确定一条直 线，然后证明其他点也在这条直 线上. 7.(1)基础题考查线面平行的 判定定理 (2)如果已知条件中给出线面平 行或隐含线面平行，那么在解决 过程中，一定会用到线面平行的 性质定理.在应用性质定理时， 关键是过已知直线作辅助平面 与已知平面相交，所得交线与已 知直线平行. 例8如图，在三棱锥P一ABC中，AB⊥BC, AB=2,BC=2√2，PB=PC=√6，BP,AP, BC的中点分别为D,E,O,点F在AC上， BF⊥AO. (1)求证：EF∥平面ADO: (2)若∠POF=120°，求三棱锥P一ABC的 体积. 考点6垂直关系 例9对于直线m,n和平面a,β，能得出a⊥B的一个条件是() A.m⊥n,m∥a,n∥B B.m⊥n,a∩B=m,nCa C.m∥n,n⊥β，mCa D.m∥n,m⊥a,n⊥3 例10如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点. (1)求证：PE⊥BC; (2)求证：平面PAB⊥平面PCD. -31- 8.中档题应用判定定理证明 面面平行的关键在于： (1)准确探寻某一平面内的两条 相交直线，这有赖于问题的分 析、图形的观察； (2)将面面平行问题直接转化为 线线平行问题 9.基础题考查线线、线面 垂直的判定，注意垂直关系的相 互转化. 10.中档题当直线和平面垂直 时，该直线垂直于平面内的任意 一条直线，常用来证明线线 垂直.