精品解析：山东省临沂市2025年冬季普通高中学业水平测试合格考试数学模拟卷

山东省2025年冬季普通高中学业水平合格考试模拟 数学试题 2025.12 本试卷共4页.满分100分.考试用时90分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考籍号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分，每小题只有一个选项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知i为虚数单位，复数，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 5. 某中学开展劳动实习，学生学习编织球体工艺品．若这种球体的半径为10cm，则这种球体的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列式子恒成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 的内角、、的对边分别为、、.若，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 12. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 13. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 14. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知为上的奇函数，当时，，则（ ） A. 2 B. C. D. 16. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 9 9.5 9.5 0.25 1 0.65 0.25 根据表中数据，若从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则应该选（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 17. 某公司名员工参加岗位技能比赛，获奖情况如下： 等级 一等奖 二等奖 三等奖 人数（单位：人） 现从这名员工中任选名员工参加经验交流活动.若每位员工被选到的概率相等，则选到获三等奖员工的概率为（ ） A. B. C. D. 18. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 3 19. 在平行四边形ABCD中，（ ） A. B. C. D. 20. 如图，在空间四边形中，，分别为，的中点．若，，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 21. 已知向量，，若，则实数______. 22. 已知函数，则______. 23. 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ______． 24. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则______. 25. 从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是______. 三、解答题：本题共3小题，共25分. 26. 已知函数，. （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最小值和最大值. 27. 如图，在正方体中，求证： （1）平面； （2）. 28. 已知函数. （1）若在上单调递增，求实数的最大值； （2）若，求实数的取值范围； （3）当时，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省2025年冬季普通高中学业水平合格考试模拟 数学试题 2025.12 本试卷共4页.满分100分.考试用时90分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考籍号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 一、选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分，每小题只有一个选项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的并集运算即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零求解即可. 【详解】由，得，解得， 所以函数的定义域是. 故选：A. 3. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量数量积的坐标表示公式即可求解. 【详解】由平面向量数量积的坐标表示公式得. 故选：C. 4. 已知i为虚数单位，复数，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的模的计算公式求解即可. 【详解】复数，则. 故选：C. 5. 某中学开展劳动实习，学生学习编织球体工艺品．若这种球体的半径为10cm，则这种球体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】由题意，这种球体的表面积为. 故选：D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质，逐一判断即可. 【详解】对于A ：已知，设，，，则，故A错. 对于B ： 已知， 当时，；当时， ；当时，，故B错. 对于C：已知, 不等式两边同时加上一个数，不等号方向不变，可得，故C正确. 对于D ：已知 ， 设，，则，，则，故D错. 故选：C 7. 下列式子恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的和差公式、二倍角公式等对每个选项逐一分析即可. 【详解】对于选项A，，故A错误， 对于选项B，根据诱导公式可得，故B正确， 对于选项C，，故C错误， 对于选项D，， 故D错误. 故选：B. 8. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用指对数运算求解即可. 【详解】因为，所以， 故选：D 9. 的内角、、的对边分别为、、.若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理可求出的值. 【详解】在中，，，， 由正弦定理，可得. 故选：B. 10. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数与对数函数的性质寻找特殊值，再对进行比较. 【详解】由题可得：，， . 故选：C 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系求解即可. 【详解】因为，，故， 则. 故选：D 12. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数单调性的性质，结合函数零点存在原理进行判断即可. 【详解】因为函数是正实数集上的增函数， 所以函数是正实数集上的增函数， 因为， 所以， 因此函数在上必有一个零点， 又因为函数是正实数集上的增函数， 所以函数有唯一零点，且零点在区间内， 故选：B 13. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的平移即可得解. 【详解】因为， 所以只需把函数的图象上所有的点向右平移个单位， 即可得到函数的图象. 故选：A 14. 若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】借助基本不等式结合充分条件与必要条件定义判断即可得. 【详解】若，由，则， 当且仅当时等号成立， 故“”是“”的充分条件； 取，，此时，有， 故“”不是“”必要条件； 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 15. 已知为上的奇函数，当时，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数的性质即可求解. 【详解】当时，，则，由于为上的奇函数， 所以; 故选：B 16. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 9 9.5 9.5 0.25 1 0.65 0.25 根据表中数据，若从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则应该选（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】平均分越大越好，方差越小越好，结合图表即可得解. 【详解】由平均数，丙丁的平均分相等且最大；由方差，丙的方差大于丁的方差，方差越小越稳定，故应该选择丁参加比赛. 故选：D. 17. 某公司名员工参加岗位技能比赛，获奖情况如下： 等级 一等奖 二等奖 三等奖 人数（单位：人） 现从这名员工中任选名员工参加经验交流活动.若每位员工被选到的概率相等，则选到获三等奖员工的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式直接可得解. 【详解】由古典概型概率公式可得选到获三等奖员工的概率为， 故选：B. 18. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理可求解. 【详解】因为在中，，，， 所以由余弦定理可得：， 所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：三角形中知道两边及夹角的余弦值求第三边直接利用余弦定理求解. 19. 在平行四边形ABCD中，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量加法法则即可求出答案. 【详解】画出图形，如图所示： . 故选：D. 【点睛】用符号表示的向量的加减法： ①加法：首尾相连，方向为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点（符合三角形法则）； ②减法：起点相同，方向指向被减向量（符合三角形法则）. 20. 如图，在空间四边形中，，分别为，的中点．若，，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，，分析可知是与所成的角或其补角，结合题意运算求解即可. 【详解】取的中点，连接，， 可知，，且，， 则是与所成的角或其补角，即是与所成的角或其补角． 因为，在中，． 且，可得，则，所以． 故选：A. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 21. 已知向量，，若，则实数______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为：. 22. 已知函数，则______. 【答案】8 【解析】 【分析】直接代入计算即可. 【详解】，则. 故答案为：8. 23. 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，所以母线长为再根据圆锥的侧面积公式圆锥的侧面积公式可结合圆锥展开图为扇形，由相应扇形面积公式理解记忆. 考点：圆锥的侧面积. 24. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据任意角三角函数公式得到，再利用两角差的正切公式即可求出答案. 【详解】因为角的终边过点，所以， . 故答案为：. 25. 从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】将题目情况列出，根据古典概型求解即可. 【详解】从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任意取两个数，可能情况为 共种，而两个数都是奇数的可能情况为共3种， 根据古典概型计算可得两个数都是奇数的概率为， 故答案为：. 三、解答题：本题共3小题，共25分. 26. 已知函数，. （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最小值和最大值. 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简函数表达式，然后由周期公式求解； （2）根据正弦函数的图像性质求解. 【小问1详解】 ，最小正周期 【小问2详解】 当时，， 根据正弦函数的性质，， 故最小值为（当时）， 最大值为（当时）. 27. 如图，在正方体中，求证： （1）平面； （2）. 【答案】（1） 证明：易知四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2） 证明：连接，易知， 因为平面，平面，所以， 因为，， 平面，平面，， 所以平面， 又平面，所以. 【解析】 【分析】（1）由可证明线面平行； （2）利用线面垂直推出，从而证明平面，即可证明线线垂直. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 已知函数. （1）若在上单调递增，求实数的最大值； （2）若，求实数的取值范围； （3）当时，求的最小值. 【答案】（1）4； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由二次函数对称轴与区间关系列不等式求解； （2）求解相应的一元二次不等式可得； （3）讨论对称轴与区间关系，分别求各段的最小值得到. 【小问1详解】 因为函数对称轴为，则由在单调递增可得，解得，所以实数的最大值为4； 【小问2详解】 由可得，即，解得：， 即实数的取值范围是； 【小问3详解】 因为函数对称轴为 ①若，即，此时在上单调递增，则； ②若，即，则； ③若，即，此时在上单调递减， 则； 综上：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $