第五章 三角函数-【创新教程】2027年山东省普通高中学业水平合格考数学热点专练

第五章 考点典例 考点1任意角和弧度制 例1(1)喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟， 则10分钟时间钟表的分针走过的角度是() A.30° B.-30° C.60° D.-60° (2)若e是第三象限的角，则x一0是 () A.第一或第二象限角 B.第一或第三象限角 C.第二或第三象限角 D.第二或第四象限角 (3)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的 始边，如果角α，B的终边分别与单位圆交于点 (侣)和（子·）那么n产 () A器 及是 c诗 D.8 ·65 考点2任意角的三角函数 例2(1)已知cos0·tan0<0,那么角0是 () A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 (2)比较sin1,sin1.2,sin1.5的大小关系是() A.sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B.sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C.sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D.sin 1.2>sin 1>sin 1.5 考点3同角三角函数的基本关系 例3化简下列各式： (1)y1-2sin10°cos10 sin10°-√J1-sin210° (2) 1-sin a 1+sin a 十sima,其中sina·tana<0. 1-sin a -20 角函数 名师点津 1.(1)基础题要确定一个角的大小，不仅要看 它的始边与终边的位置，而且要看它是如何旋 转而成的.显然正角大于零角，零角大于负角. (2)基础题解决此类问题，明确α的取值范围 之后，进一步确定出ma或&的取值范围，再根 m 据k与m的关系进行讨论 (3)基础题利用定义求出α的三角函数值，其 关键是求出终边上的点P到原点的距离r.由三 角函数定义得sma=之，osa=兰，ana一兰 x 2.(1)基础题由三角函数符号确定角α的终边 所在象限时，应首先依据题目中所有三角函数 值的符号，分别确定角α的终边所在的象限，则 它们的公共部分即为所求. (2)基础题利用三角函数图象比较三角函数 值的大小时，一般分三步： ①角的位置要“对号入座”；②确定三角函数在所 给区间上的单调性；③确定三角函数值的大小. 3.中档题化简三角函数式的常见方法有： (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数. 从而减少函数名称，达到化简的目的. (2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方 式，然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于 因式分解，或构造sin2a十cos2a=1,以降低函 数次数，达到化简的目的. 考点4诱导公式 例4(1)已知A、B、C为△ABC的三内角，若cos(B+C) =7则A= sin(a-8π)+sin (2)已知tana=2,则2sin(π+a)+cos(- 、之的值 为 考点5三角函数的图象和性质 例5(1)为得到函数y=3sinx- π 12 的图象，只需将 函数y=3sinx的图象上所有的点 ( ) A.向左平移元个单位 B.向右平移不个单位 C向左平移登个单位 D.向右平移咒个单位 (2)函数f代.x)=sin2x,x∈R的最小正周期是（) A.π B.2π C.4π 0.2 (3)函数f()=sin(后-2z小水x∈[0，x]D的单调递 增区间是 A.[经 B. c[] D. 考点6两角和与差的正弦、余弦和正切公式 例6ID若sin acos8+cos asin公二号，则a可以是 A.-9 11π 0 B.20 C.-19x 21元 20 D.20 (2)sin75°= (3)函数y=2sinx一cosx的最大值为 21 4.(1)基础题解决给值求值问题，要先分析 “已知角”（给出三角函数值的角）和“被求角” (需求三角函数值的角)之间的关系，设法用“已 知角”表示“被求角”，然后再选择公式化简 求值. (2)中档题本题基本思路： ①利用诱导公式化简. ②运用同角函数关系向已知条件转化. ③代入求值. 5.(1)基础题由y=sinx的图象，通过变换 可得到函数y=Asin(wx十p)(A>0,w>0)的 图象，其变化途径有两条： ①y=sin.x 相位变换 周期变换 y=sin(.x+o) y 振幅变换 =sin(w.x十p) y=Asin(wx+p). 周期变换 相位变换 ②y=sinx ◆y=s1nwx y sin[u(x十号)]=sin(or十g)振厢交换 ω y=Asin(wx+). 注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量 也有所不同：一是先相位变换后周期变换，平移 |©个单位；二是先周期变换后相位变换，平移 个单位；这是很易出错的地方，应特别 注意 (2)基础题本题考查函数的周期，一般地y= Asin(wr+g)的周期T= 2π (3)中档题本题主要考查三角函数的单调性， 对于y=sinx,其单调增区间为 [2元一号，2x+引∈Z),其单调减区间为 [2kx十受，2kx+]∈.对于y=c0sx在 [一π+2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π 十2kπ](k∈Z)上单调递减， 6.(1)基础题该题属于给值求值题，解答此类 题的关键在于先用S士B公式分析一下待求的 问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知的 向已知进行转化.解题过程中须多加注意角的 范围，必要时进行拆分角. (2)基础题本题考查的给角求值问题，其解题 的关键是把非特殊角化为特殊角，再利用和差 公式或倍角公式求解， (3)基础题把形如y=asin x十bcos x化为y= √a2+bsin(x十o),可进一步研究函数的周期、 单调性、最值与对称性 考点7二倍角的正弦、余弦、正切公式 例7(1)化简0s25°-sin25 sin40°cos40° A.1 B.2 C.-2 D.-1 (2)c0s275°+c0s215°+c0s75°c0s15°= A B c D.1+3 4 (3)(2026·上海卷，3已知sm。-片，则cas2a= 考点8已知函数值求值（或角） 例8已知sina=0<a<受)求cosa-至)的值. 例9若o(e一用-号m2a-并且avg均为锐角且a a十B的值为 考点9函数的综合应用 例10已知函数f)=号n+osx+子 (1)求函数f(x)的图象的对称轴方程； (2)求函数f(x)在区间[一π，0]上的值域. 22 7.(1)基础题解决此类题目的关键 是根据所给式子的特征，利用三角公 式化简 (2)基础题根据三角函数式的特征， 经过适当变形，进而利用公式，获得三 角函数式的值，在变形中一定要整体 考虑式子的特征 (3)中档题对含有三角函数的平方的 式子进行处理时，一般要用降幂公式： cosa-1cos 2a,sina-1cos 2a 2 2 8.中档题本题是条件求值问题，条 件求值问题的“三看”原则： 一看角，注意已知角与所求角之间的 关系，恰当地运用拆角、拼角技巧； 二看名，恰当利用同角三角函数关系 进行转换，尽量减少函数名称； 三看式子的结构与特征，恰当选择 公式. 9.中档题此类问题： (1)结合条件求出所求角的一种三角 函数值 (2)利用已知条件确定所求角的范围， (3)运用三角函数的值断定所求角的值 10.中档题①分析运算条件，确定合 理的运算方向，解决三角函数式的基 本运算，求解时应注意三角函数的符 号 ②对于这种形式的运算，要做到应用 公式准确、计算方法简洁、运算速 度快例9解析：(1)令f(.x)=32-(3-x), .f(0)=30-(3-0)=-2<0, f(1)=31-(3-1)=1>0,.f(0)·f(1)<0, .方程3=3一x的根所在区间为(0,1). (2)由题意知，函数零点在区间(1.5562,1.5625)内，又 零点近似值保留三位有效数字，故零，点近似值为1.56. (③》区间[1,4]的中点a-生多 2 fa=f(2)-(2)-(侵)-6=-是 答案：1B(2)1.56(3)-号 例10解：(1)最初的质量为500g, 经过1年，w=500(1一10%)=500×0.91， 经过2年，w=500×0.92, ……, 由此推出，t年后，w=500×0.9 (2)解方程500×0.9=250. 0.9=0.5,lg0.9=1g0.5, =是880号6 所以，这种放射性元素的半衰期约为6.6年， 第五章三角函数 例1解析：(1)利用定义得分针是顺时针走的，形成的角是 负角，又周角为360°，所以36×2=60°.即分针走过的 度是一60°.故选D. (2)因为a是第三象限的角，则2kx十<a<2k十受，k∈Z, 所以-x+于<x-之<-kx十受k∈乙，故x一a是 第一或第三象限角 (3)由题意及三角函数的定义，可得sina=8,cosB=一弓， 3 所以snaasX(）一是故选B 答案：(1)D(2)B(3)B 例2解析：(1)由cos Otan0<0, (cos >0 (cos <0 ,或 ,0在第三、四象限. ltan <0 tan 00 (2)1,山，2,1,5均在(0，）内，正孩画数y=sinx在 (0,受)内是增函数.dsin1.5>sin1.2>sin1. 答案：(1)C(2)C 3 例3解：(1)-2sin10cos10 sin10°-√1-sin210° W/(cos10°-sin10)z_|cos10°-sin10° sin10°-√/cos210 sin10°-cos109 cos10°-sin10° sin10-cos10=-1. (2)由于sina·tana<0,则sina,tana异号，a是第二、 三象限角，cosa<0, /1-sin a 1+sin a /(1-sina)2 /(1+sin a)2 V1+sin a V1-sin a N 1-sin a N 1-sin a 11-sin al 1+sin al 1-sin a+1+sin a 2 cos a cos al -cos a C0s&. 例4解析：1)：△ABC中，os(B+C)=2 =一C0sA, 即c0sA=-号 A=2 1 (2)原式= sin a-cos a -2sin a+cos a tana-1_2-1__1 -2tanai-4=-3 答案：1号2)- 例5解析：1)要得到y=3sin（x-)的圈象，只需将y 3sinx的圈象上所有点向右平移歪个单位。 (2)函数f(r的最小正周期T=2红=4元 (3)因为fx)=im(看-2x所以fx)= sm(2x-晋)因为x∈[0，x],所以2x-晋∈ 6 【晋◆受≤2一吾<受解≤<所以 6 函数f(x)=sim(石-2x(x∈[0，])的单调递增区间是 [学]故选C 答案：(1)D(2)C(3)C 例6解析，1 in acos号十os asin哥 +）9 .a十 及=不+2kx,或a十=3π+2km,k∈Z, 54 4 即+2成。+2乙 令k=0,则a=20 11π (2)sin75°=sin(30°+45)=sin30cos45°+cos30°sin45° 4 (3)y=2sin .r-cos r=5sin(r+). :x十p=受十2kxk∈Z)时，sinx十p）=1, 原函数的最大值为√5 答案：(1)B(2)2+6 4 (3)W5 例7解析：1)0s25in25=os10-os10-2. sin40cos40°= 2sin80°1 cos10° 故选B (2)原式=sin215+c0s215+sin15cos15-1+7in30 =1+片 (3)由题意，cos2a=1一2sin2a= 2 25 答案：1B(2)C8)号 例8解：0<<至， cos(a-圣）=于十sina sin圣 2+3×2_72 4× 5 25 210 例解析：na-0=-25(-受<a-长0 sin 2a=3 v10 10 ..cos(a+B)=cos[2a-(a-B)] =cos 2acos(a-B)+sin 2asin(a-B) a+0,x)a+=至 雀聚晋 例o解.-mr+m+号-(+看）+号 =kx十受k∈)，整理得x=x十吾(k∈Z),所 令x十6 以函数f(x)的图象的对称轴方程为x=kx十于(k∈Z). (2)由)得x)=ine+吾)十2。 由于x∈[-x0],所以-≤r十晋<吾 6 则-1≤sim(+君)）2，所以-<fx)≤1， 画数x)的值线为[合小 第六章平面向量 例1解析：对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方 向一定不相同，故①正确； 对于②，因为向量不能比较大小，故②错误； 对于③，由a=b,只能说明a,b的长度相等，确定不了 它们的方向，故③错误： 对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误. 对于⑤，当b=0时不正确. 答案：A 例2解析：(1)若3入<0，使m=入n,即两向量反向，夹角是 180°，那么m·n=m|ncos180°=-mn<0,若m· n<0,那么两向量的夹角为(90°，180]，并不一定反向，即 不一定存在负数入，使得m=,所以是充分不必要条件， 故选A. (2)AB=2AD, C市=AD-AC=号AB-AC 答案：(1)A(2)A 例3解：(1)延长AD到G,使AD= 2AG,连接BG,CG,得到平行四边 形ABGC, 所以AG=a+b, A市=2AG=合(a+b, A正=号AD=号(a+b), AF-2AC-2b. B眩=A范-A-子a+b)-a=子(h-2a. 萨-A证-A花=b-a= 1(b-2a) 2证明由)可物成-号成。 又因为BE,BF有公共，点B, 所以B、E、F三点共线.