第一章 集合与常用逻辑用语&第二章 一元二次函数、方程和不等式-【创新教程】2027年山东省普通高中学业水平合格考数学热点专练

必修第一册 第一章 集合与常 考点典例 考点1集合的含义与表示 例1集合M是由大于一2且小于1的实数构成时，则下 列表述正确的是 () A.√5∈M B.0M C.1∈M D.-5∈M 例2(2025·全国一卷，2)已知全集U={xx是小于9 的正整数}，集合A={1,3,5},则CuA中元素的个数为 () A.0 B.3 C.5 D.8 考点2集合间的基本关系 例3已知集合A={0,1},B={一1,0，a+2},若A二B, 则a的值为 () A.-2 B.-1 C.0 D.1 例4已知集合A二{0,1,2}，且集合A中至少含有一个 偶数，则这样的集合A的个数为 () A.6 B.5 C.4 D.3 考点3集合的基本运算 例5(2026·全国Ⅱ卷，2)已知集合A={0,1,3,6,9},B ={xW元=x},则A∩B= () A.{0,1}B.{3,6}C.{0,1,9}D.{0,3,9} 例6(2026·北京卷，1)已知集合M={x|-1<x<3}, N={xx≥2}，则MUN= () A.[2,3) B.(-1,+o∞) C.[-1,+∞) D.(2,3) 考点4充分条件与必要条件 例7下列各小题中，p是q的充要条件的是() ①p:m<-2或m>6,g:方程x2+mx+m+3=0有两 个不同的实数根； ②p:x-3=0,q:(x-2)(x-3)=0; ③p:两个三角形相似，9：两个三角形全等； ④p:A∩B=A,p:CuB三CUA. A.①②B.②③C.③④ D.①④ 例8(2026·天津卷，2)设x∈R,则“x>0”是“x2+3x> 0”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点5全称量词与存在量词 例9下列命题中全称量词命题的个数是 () ①至少有一个偶数是质数；②Hx∈R,2x>0;③实数的 平方是正数 A.0 B.1 C.2 D.3 例10设命题p:3n∈Z,n2≥0，则命题p的否定是（) A.3n∈Z,n2<0 B.3n∈Z,n2≤0 C.Hn∈Z,n2<0 D.Hn∈Z,n2≤0 -13 用逻辑用语 名师点津 1.基础题a∈A与aA取决于a是不是 集合A中的元素，根据集合中元素的确定性 可知，对于任何a与A,a∈A或a任A这两 种情况必有一种且只有一种成立. 2.基础题作为高中数学来说，本题考查补 集的概念及元素个数的计算.(1)确定全集 U;(2)确定集合A;(3)求出补集CA. 3.基础题若集合中的元素是一一列举的， 依据集合之间的关系，转化为解方程（组）求 解，此时要注意集合中元素的互异性。 4.基础题含n个元素的集合有2”个子 集，有2”一1个真子集. 5.基础题先化简集合B,然后利用Venn 图求出A∩B: B 6.中档题不等式表示的无限集运算，常借 助数轴求解，注意端点是实点还是空心点. 7.基础题判定p是q的什么条件，要同时 验证：“p→q”与“q→p”两种命题的真假.同 时，注意利用“成立的证明，不成立的举反例 否定”的数学方法技巧来作出判断.对于以 否定形式给出的命题要注意利用其肯定形 式的等价命题来推断. 8.基础题用集合知识判断充分，必要条件 9.基础题要判断一个命题是否是全称量 词命题，只需看是否含有全称量词即可. 10.基础题写含有量词的命题的否定的步骤 第一步：明确给出的命题是全称量词命题还 是存在量词命题. 第二步：根据相应命题否定的方法写出其否定 第三步：对照选项作出正确的选择. 第二章一元二次函数 心 考点典例 考点1不等式的性质 例1(1)若a,b,c为实数，则下列命题错误的是() A.若ac2>bc2,则a>b B.若a<b<0,则a2<b2 C若a>6>0,则日<君 D.若a<b<0,c>d>0,则ac<bd (2)若a>b,c<0,则 () A.a-c>b-c B.a+c<b+c C.ac>bc D.a CC 考点2比较大小 例2(1)已知-1<a<0,那么-a,-a3,a2的大小关 系是 ( A.a2>-a3>-a B.-a>a2>-a3 C.-a3>-a>a2 D.a2>-a>-a3 (2)已知a1,a2∈(0,1).记M=a1a2,N=a1十a2-1,则 M与N的大小关系是 A.M<N B.MN C.M=N D.不确定 考点3基本不等式的理解 例3(2025·北京卷，6)已知a>0,b>0,则 A.a2+62>2ab B.1+1> a bab C.a+b-/ab D.1+12 考点4利用基本不等式求最值 例4(1)若-4<x<1,则y=22x+2 2x-2 A.有最小值1 B.有最大值1 C.有最小值-1 D.有最大值-1 (2)(2026·上海卷，7)已知a2+4b2=1,则ab的最大值 为 考点5解一元二次不等式 例5(1)不等式x2一x一6<0的解集为 A〔吉》 a(-2) C.(-3,2) D.(-2,3) (2)设m十n>0,则关于x的不等式(m一x)(n十x)>0 的解集是 () A.{x|x<-n,或x>m} B.(x-n<x<m C.{xlx<-m,或x>n} D.x|-m<x<n) -14 、方程和不等式 名师点津 1.(1)中档题解决此类问题一定要在理解 的基础上记准、记熟不等式的八条性质（五 个定理、三个推论)： (2)基础题特值法是解不等式性质有关选 择题的常用方法 2.(1)基础题两个数（式）比较大小的方法 作差法：其基本步骤为作差，变形，判断符 号，得出结论.用作差法比较大小的关键是 判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子 (分母)有理化等变形方法。 (2)基础题作差比较大小只要判断其差的 正、负，不必追究差的多少，因此通常的方法 是分解因式或变成完全平方和的形式. 3.中档题利用基本不等式判断不等关系 及比较大小的思路 (1)基本不等式常用于有条件的不等关系的 判断、比较代数式的大小等.一般地，结合所 给代数式的特征，将所给条件进行转换（利 用基本不等式可将整式和根式相互转化)， 使其中的不等关系明晰即可解决问题. (2)基本不等式应用中的配凑意识：把题目 中的条件或要解决的问题进行“化归”，让其 符合应用基本不等式的条件.化归的方法是 把题目给的条件配凑变形，把待求的数（式） 拆配得当. 4.(1)中档题利用基本不等式解题一定要 注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等” 所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本 不等式求最值时，和或积为定值，“三相等” 是指满足等号成立的条件， (2)中档题在利用基本不等式求最值时， 要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和 为常数的形式，然后再利用基本不等式 5.(1)基础题根据一元二次不等式与一元 二次方程的关系，直接求解. (2)中档题含参数的不等式的解题步骤 第一步：将二次项系数转化为正数； 第二步：判断相应方程是否有实根（如果可 以直接分解因式，可省去此步)； 第三步：根据根的情况写出相应的解集（若 方程有相异实根，为了写出解集，还要分析 实根的大小). 注意：当二次项含有参数时，应先讨论二次 项系数是否为0，这决定不等式是否为二次 不等式.参芳 必修第一册 第一章集合与常用逻辑用语 例1解析：√5>1，故A错；一2<0<1，故B错；1不小于1， 故C错：-2<-受<1，故D正确， 答案：D 例2解析：8-3=5，选C. 答案：C 例3解析：A三B,.a十2=1，∴.a=一1.故选B. 答案：B 例4解析：集合{0,1,2}的子集为：⑦，{0}，{1}，{2}，{0,1}， {0,2},{1,2},{0,1,2},其中含有偶数的集合有6个 答案：A 例5解析：首先解方程√x=x(需满足x≥0)：x=x2→x(x一1) =0→x=0或x=1, 所以B={0,1},A∩B={0,1,3,6,9}∩{0,1}={0,1). 答案：A 例6解析：MUN={xx>-1)=(-1,十o∞). 答案：B 例7解析：由题目可获取以下主要信息：①给出两个基本语 句，②判定前者是后者的充要条件是否成立.解答本题时 既要判断→q是否成立，又要判断q→p是否成立， 对于①，g:方程x2十m.x十m十3=0有两个不同实数根台 q:△=m2-4(m+3)>0台q:m<-2或m>6台p. 对于②，p→q,但q户沙，故p是q的充分不必要条件」 对于③两个三角形相似户两个三角形全等，但两个三角 形全等→两个三角形相似，故力是q的必要不充分条件； 对于④，p:A∩B=A台p:A二Bq:CuA2CuB,故选D. 答案：D 例8解析：本题考查了充分条件、必要条件及一元二次不等 式的解法 由x2十3.x>0知：x<-3或x>0. .x>0→x2+3.x>0,充分性成立. x2十3.x>0有x>0或r<-3,必要性不成立. .x>0是x2十3x>0的充分不必要条件. 答案：A 答案 例9解析：①中含有存在量词“至少”，所以是存在量词命 题；②中含有全称量词符号“H”,所以是全称量词命题： ③中省略了全称量词“任意一个”，所以是全称量词命题. 答案：C 例10解析：命题p的否定为：Hn∈Z,n20. 答案：C 第二章一元二次函数、方程和不等式 例1解析：(1)对于A,若ac2>bc2,则a>b,故正确；对于B, 根据不等式的性质，若a<b<0,则a2>b2,故错误：对于 C,若>b>0,则0>，即右>，故正确：对于D,若u abab <b<0,c>d>0,则ac<bd,故正确.故选B. (2)因为a>b,c<0,所以，a-c>b-c,a十c>b十c,ac< <名 答案：(1)B(2)A 例2解析：(1).-1<a<0,.1十a>0,0<-a<1, .-a-a2=-a(1+a)>0,a2-(-a3)=a2(1+a)>0, .-a>a2>-a3.故选B. (2),M-N=a1a2-a1-a2+1=(1-a1)(1-a2)>0, .M>N,故选B. 答案：(1)B(2)B 例3解析：由基本不等式结合特例即可判断， 对于A,当a=b时，a2十b2=2ab,故A错误；对于B、D,取 1 81 ab 24 +=2+4=6> 2一=42=2，故B、D错 √ab W24 误：对于C,由基本不等式可得a十b≥2√Jab>ab,故C 正确 答案：C 例1解指：y=22=-十 又因为一4<x<1, 所以x-1<0,-(x-1)>0. 所以y=一 [--1+-D]-1. 当且仅当上一1=即=0时，等号成立. (2)由题意得，1=a2+4b2>4ab,即ab≤子 答案：(1)D(2)1 4 例5解析：(1)解方程x2-x一6=0，得x1=3,x2=-2, .不等式x2-x一6<0的解集为(-2,3).故选D. (2)方程(m-x)(n十x)=0的两根为m,一n.,m十n>0, m>一n.结合函数y=(m一x)(n十x)的图象，得原不 等式的解集是{x一n<x<m故选B. 答案：(1)D(2)B 第三章函数的概念与性质 例1解析：由4一x2≥0得一2≤x2,由1-x>0得x<1, 故A∩B={x-2≤x≤2}∩{xx<1}={x|-2≤x<1}, 选D. 答案：D 例2解析：由已知，1一x2≥0，解得一1x1. 答案：A 例3解析：f(2)=22=4. 答案：4 例4解：(1)f(x)是R上的奇函数， .f(一0)=一f(0),即f(0)=0. (2)x<0时，一x>0,∴.f(一x)=-x(1十x), f(x)为奇函数，f(-x)=一f(x), .-f(x)=-x(1十x),f(x)=x(1+x)(x<0). (3)由(1)(2)，得f(x)的表达式为 x(1-x),x>0, f(x)=0, x=0, x(1+x),x<0. 例5解：2=f(2)+f(2), 由f(5)-f)-f) 可以变形为fy)+f()-fx). 令y=2,工=2，即x=4,y=2, 则有f(2)+f(2)=f(4),∴.2=f(4). ∴.f(x)- f(3)2可以变形为 f[x(x-3)]≤f(4). 又f(x)是定义在(0，十∞)上的增函数， 「x(x-3)≤4， .3x>0, 解得3<x4. x-3>0, 原不等式的解集为{x3<x≤4)， 3 例6解析：(1)由图象知，y=xm在(0，十∞)上单调递增，所 以m>0, 由于y=xm的图象增大的越来越慢，所以m<1,y=x” 在(0，十∞)上单调递减，所以n<0, 又当x>1时，y=x”的图象在y=x1的下方， 所以n<-1. (2)因为a=2宁=4学，b=4,c=25声=5手，函数f(x)=x等 在(0，十∞)上单调递增，所以4<5，又4音<4，所以b <a<c. 答案：(1)B(2)A 例7解：因为m∈{n一2<m<2,m∈Z}, 所以m=一1,0,1. 因为对任意x∈R,都有f(一x)十f(x)=0, 即f(一x)=一f(x),所以f(x)是奇函数. 当m=-1时，f(x)=x2,只满足条件(1)而不满足条件(2)； 当m=1时，f(x)=x°，条件(1)、(2)都不满足. 当m=0时，f(x)=x3,条件(1)、(2)都满足，且在区间 [0,3]上是增函数，故f(x)=x3 所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]. 第四章指数函数与对数函数 例1解析：原式=3×（受）×12 =3X3X2言×(22)方X3 =3++古X2寺+片 =3×20=3,故选D. 答案：D 例2解析：lg√2+lg√5=lg√2×5=lg√10. =21g10=2 答案：B 例3解析：本题考查了指数函数的单调性， 由题意知，当a>1时，若a>a,则s>1, 当0<a<1时，若a'>a,则<1，D正确. 答案：D 例4解：(1)因为定义战为R的画数f(x)=3+是偶画 a 3x 数所以-)=版或立，即3+后品=+号 故（日-@）3*-3)=0恒成立.图为3-3不可能 恒为0，所以当上-a=0时，f(-x)=f(x)恒成立.又 a a>0,所以a=1.