3.2.3 单调性奇偶性应用 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性与奇偶性的综合应用，通过回顾已学的单调性（变化趋势）和奇偶性（对称特征），以“如何应用两者解决问题”为导入，搭建从单一性质到综合应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于通过案例解析（如例2求奇函数解析式、例6证明函数性质）和问题探究（对称区间单调性规律），结合数学思维（推理能力）和数学语言（符号表达），培养学生抽象能力与逻辑推理。知识总结以填空和结论归纳形式系统梳理，助力学生深化理解，教师可借助丰富案例提升教学效率。

回顾与展望 我们已经分别掌握了函数的两个重要性质——单调性（描述变化趋势）和奇偶性（描述对称特征），如何应用它们解决函数相关问题？ 当这两个性质同时存在于一个函数中时，会碰撞出怎样的火花？它们能为我们研究函数、解决问题提供哪些更强大的工具？ 本节课，我们将探索单调性与奇偶性的综合应用，学习如何利用它们的“组合效应”，更高效、更深入地分析函数。 3.2.3 单调性奇偶性应用 典例精析 典例精析 典例精析 问题一：已知奇函数f(x)在[a，b]上单调递减，那么它在[―b，―a]上有怎样的单调性？ 已知偶函数f(x)在[a，b]上单调递减，那么它在[―b，―a]上有怎样的单调性？ 课本P101 9 在对称区间上 奇函数增减性相同 偶函数增减性相反 典例精析 [1，3] D 典例精析 {x|－3<x<0或x>3} 典例精析 归纳总结 1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上__________ ，即在对称区间上单调性______． 2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上_________ ，即在对称区间上单调性_______． 3．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为_____． 4．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为_____ ． 以上a，b符号相同． 单调递增 相同 单调递减 相反 －M N 5．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．这种对称推广，就是一般的中心对称或轴对称． 6．两个常用结论： (1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数． (2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论. 归纳总结 课后作业 课本P86 11 课本P87 12 课本P100 4 例1：(1)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝2， 试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小． (2)已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范围． 【解析】（1）由题意知函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝2，故f(1)＝f(3)，由题意知f(x)在 [2，＋ )上单调递增，所以f(2)<f(3)<f(4)，即f(2)<f(1)<f(4)． （2）由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤x－2≤1，,－1≤1－x≤1，))解得1≤x≤2. ① 因为f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)， 所以x－2<1－x，解得x<eq \f(3,2)，② 由①②得1≤x＜eq \f(3,2). 所以x的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))). 例2：若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3， 求f(x)的解析式． 解：设x<0，则－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)， 所以f(x)＝－x2－2x－3.即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3. 又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0. 故f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－2x＋3，x>0，,0，x＝0，,－x2－2x－3，x<0.)) 【解析】∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，∵f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1).① 用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝eq \f(1,－x－1)，∴f(x)－g(x)＝eq \f(1,－x－1)，② (①＋②)÷2，得f(x)＝eq \f(1,x2－1)； (①－②)÷2，得g(x)＝eq \f(x,x2－1). 例3：设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1)，求函数f(x)，g(x)的解析式． 例4.(1)若 是R上的偶函数，且在 内是减函数，则下列各式成立的是 （ ） A. B. C. D. (2)已知奇函数在区间[0，+()内单调递减，f(1)＝－2，则满足－2≤f(x－2)≤2的x的取值范围是__________ (3)设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增． 若f(－3)＝0，则 的解集为______________. 解：∵f(x)是定义在R上的偶函数， 且在区间(－∞，0)上单调递增， ∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．∴f(3)＝f(－3)＝0. 原不等式等价于 解得x>3或－3<x<0. 故所求解集为{x|－3<x<0或x>3}． 证明：(3)设 R且 ，则 由已知得 则 所以 即f (x)在R上是增函数. (2)因为 例6.已知定义在R上函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x<0时，f(x)<0. 求证： (1)f(x)是奇函数； (2)若f(－3)＝a，求f(12)； (3)f(x)是R上的增函数. 证明：(1)因为 令 得 令 得 所以 即 所以f(x)为奇函数. $