第3章 3.2 3.2.2 第2课时 函数奇偶性的应用-【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数奇偶性的应用，涵盖奇偶性与单调性关系、运算性质及对称轴与对称中心等核心知识点。通过图象补全情境引入，结合单调性对比问题，衔接奇偶性定义，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动，融合直观想象（如奇偶函数图象特征分析）与逻辑推理（如性质推导及综合应用），通过求解析式、解不等式等题型培养数学抽象素养。分层练习设计助力学生巩固，教师可借助结构化内容提升教学效率。

第2课时　函数奇偶性的应用 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第三章　函数的概念与性质 必修第一册 数学 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 　 　　　　　　　　　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 课时作业 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第三章　函数的概念与性质 课程标准 素养解读 1.掌握函数奇偶性的简单应用 2．了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件 1.通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思考方法，提升逻辑推理素养 2．通过函数图象的对称轴、对称中心条件，提升直观想象和数学抽象素养 [情境引入] [问题1]　图(1)和图(2)分别是偶函数和奇函数的一部分图象，你能结合奇偶函数图象的特征画出相应图象的另一部分吗？ 提示　偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称． [问题2]　就图(1)而言，函数在区间(－∞，－2]与[2，＋∞)上的单调性是否相同？就图(2)而言，函数在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，0))与eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))上的单调性是否相同？ 提示　(1)单调性相反，(2)单调性相同． [知识梳理] [知识点]　 1．函数的奇偶性与单调性的性质 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为　增函数　(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性　相同　. (2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为　减函数　(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性　相反　. 2．奇偶函数的运算性质 　在公共定义域内： (1)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； (2)两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数； (3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数． 3．函数的对称轴与对称中心 (1)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T为常数)，则x＝　T　是f(x)的对称轴． (2)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则　(a，b)　是f(x)的对称中心． 1.若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则f(x)，g(x)是偶函数吗？ 提示：不是偶函数，因为只有自身的图象关于y轴对称的函数才是偶函数． 2．函数y＝eq \f(x,x－1)的图象有对称中心吗？若有，指出对称中心． 提示：y＝eq \f(x,x－1)＝1＋eq \f(1,x－1)，对称中心为(1,1)． [预习自测] 1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　) A．y＝x＋1　　　　　 B．y＝－x2 C．y＝eq \f(1,x) D．y＝x|x| 答案：D 2．已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋eq \f(1,x)，则f(－1)＝(　　) A．2 B．1 C．0 D．－2 答案：D 3．已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－2)，f(1)，f(－3)从小到大的关系是　________　. 答案：f(1)＜f(－2)＜f(－3) 根据函数奇偶性求函数解析式 [例1] 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2＋3x－1，求f(x)的解析式． [思路点拨]　思路如图 [解]　∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)． ∵当x＜0时，－x＞0， ∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3(－x)－1] ＝－x2＋3x＋1. 又∵奇函数f(x)在原点有意义，∴f(0)＝0. ∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋3x－1，　x＞0，,0，　x＝0，,－x2＋3x＋1，x＜0.)) 根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． (2)转化代入已知区间的解析式． (3)利用函数f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x)． [变式训练] 1．若f(x)是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，求当x＜0时，f(x)的解析式． 解：当x＜0时，－x＞0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(－x)， 所以f(x)＝x2＋2x＋3， 即当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＋3. 函数单调性与奇偶性的关系 [例2] (1)已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围． (2)定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． [思路点拨]　奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反． [解]　(1)由f(1－a2)＋f(1－a)<0， 得f(1－a2)<－f(1－a)． ∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数， ∴－f(1－a)＝f(a－1)， ∴f(1－a2)<f(a－1)． 又∵f(x)在[－1,1]上单调递减， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1≤1－a2≤1，,－1≤1－a≤1，,1－a2>a－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0≤a2≤2，,0≤a≤2，,－2<a<1.)) ∴0≤a<1，∴实数a的取值范围是[0,1)． (2)∵函数f(x)是偶函数， ∴f(x)＝f(|x|)． ∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)． ∴原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2解得－1≤m<\f(1,2).,|1－m|>|m|，)) ∴实数m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))). 1．比较大小的求解策略 　看自变量是否在同一单调区间上． ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 2．解不等式的策略 解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响． [变式训练] 2．(1)若奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是6，那么f(x)在区间[－5，－2]上有(　　) A．最小值6　　　　　　 B．最小值－6 C．最大值－6 D．最大值6 (2)若f(x)＝x2＋|x|，则满足f(1－a)≤f(a)的实数a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) 解析：(1)C　[因为奇函数f(x)在[2,5]上有最小值6，所以可设a∈[2,5]，有f(a)＝6.由奇函数的性质，f(x)在[－5，－2]上必有最大值，且最大值为f(－a)＝－f(a)＝－6.] (2)C　[因为函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝x2＋|x|＝f(x)，故函数f(x)为定义域R上的偶函数． 又当x＞0时，f(x)＝x2＋x在(0，＋∞)上单调递增，所以由f(1－a)≤f(a)， 可得|1－a|≤|a|，即(1－a)2≤a2，解得a≥eq \f(1,2).] 奇偶性、单调性的综合应用 [例3] 已知函数f(x)＝eq \f(x＋b,ax2＋2)是定义在(－2,2)上的奇函数，且f(1)＝eq \f(2,5). (1)求a，b的值； (2)判断函数f(x)在区间(－2,2)上的单调性，并用定义法证明； (3)解关于m(m∈R)的不等式f(m2－1)＋f(－5m－5)＞0. [思路点拨]　若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0. [解]　(1)由函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，可知f(0)＝eq \f(b,2)＝0，即b＝0，则f(x)＝eq \f(x,ax2＋2). 由f(1)＝eq \f(1,a＋2)＝eq \f(2,5)，解得a＝eq \f(1,2)， 则f(x)＝eq \f(x,\f(1,2)x2＋2)＝eq \f(2x,x2＋4)，经检验f(x)为奇函数，满足题意，故a＝eq \f(1,2)，b＝0. (2)函数f(x)在区间(－2,2)上单调递增，证明如下： 由(1)可得f(x)＝eq \f(2x,x2＋4)，任取x1，x2∈(－2,2)， 且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝eq \f(2x1,x\o\al(2,1)＋4)－eq \f(2x2,x\o\al(2,2)＋4) ＝eq \f(2x1x\o\al(2,2)＋4－2x2x\o\al(2,1)＋4,x\o\al(2,1)＋4x\o\al(2,2)＋4) ＝eq \f(2x2－x1x1x2－4,x\o\al(2,1)＋4x\o\al(2,2)＋4). 因为－2＜x1＜x2＜2， 所以x2－x1＞0，x1x2－4＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 因此函数f(x)在区间(－2,2)上单调递增． (3)因为函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数， 所以由f(m2－1)＋f(－5m－5)＞0，得f(m2－1)＞－f(－5m－5)，即f(m2－1)＞f(5m＋5)， 由(2)知函数f(x)在区间(－2,2)上单调递增， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2＜m2－1＜2，,－2＜－5m－5＜2，,m2－1＞5m＋5，))解得－eq \f(7,5)＜m＜－1. 故所求不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,5)，－1)). 奇偶性、单调性的综合应用 利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合性题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧，化简求值．解题时，一定要特别注意函数的定义域． [变式训练] 3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有eq \f(fa＋fb,a＋b)＞0. (1)若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系； (2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围． 解：(1)∵a＞b，∴a－b＞0， 由题意得eq \f(fa＋f－b,a－b)＞0， ∵f(a)＋f(－b)＞0. 又f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－b)＝－f(b)， ∴f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b)． (2)由(1)知f(x)为R上的增函数，∵f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，∴f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)，∴1＋m≥2m－3，解得m≤4. ∴实数m的取值范围为(－∞，4]. 1．设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 答案：A 2．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上增函数，f(3)<f(2a＋1)，则a的取值范围是(　　) A．a>1　　　　　　　 B．a<－2 C．a>1或a<－2 D．－1<a<2 答案：C 3．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是(　　) A．f(－π)>f(3)>f(－2) B．f(－π)>f(－2)>f(3) C．f(3)>f(－2)>f(－π) D．f(3)>f(－π)>f(－2) 答案：A 4．函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的表达式为　________　. 答案：f(x)＝x＋1 5．若定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，求不等式f(x)≥0的解集． 解：若定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，则f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(－x)＝f(x)，因为f(1)＝0，所以f(－1)＝f(1)＝0，综上当x≤－1或x≥1时，f(x)≥0，即f(x)≥0的解集为{x|x≤－1，或x≥1}. $