3.2.1 单调性与最大（小）值课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性与最值，系统梳理定义、几何意义、证明步骤及最值概念，通过复习函数概念导入，以定义对比表、图象示例为支架，衔接函数性质的后续学习。 其亮点是分层训练（基础到拔高）、思维导图整合知识，结合“数学思维”（如单调性证明的逻辑推理）和“数学语言”（符号与图象结合），例如复合函数用“同增异减”培养推理意识，助力学生分层提升，教师可实现一体化教学。

高一数学●2024人教A版必修一 第三章 函数的概念与性质 3.2.1 单调性与最大（小）值 本节学习函数单调性的定义与几何意义，掌握单调性证明步骤，理解函数最大值、最小值概念，会借助图像分析函数性质，体会数形结合与代数推证的思想 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括143张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识丨知识详解 知识点1 函数的单调性 1 单调递增、单调递减 名称 定义 图形表示 几何意义 单调 递增 一般地，设函数的定义域为 ， 区间如果, ，当 时，都有 ，那 么就称函数在区间 上单调递增. 函数在区间 上的图 象从左到右是上升的. 教材帮 4 名称 定义 图形表示 几何意义 单调 递减 一般地，设函数的定义域为 ， 区间如果, ，当 时，都有 ，那 么就称函数在区间 上单调递减. 函数在区间 上的图 象从左到右是下降的. 续表 教材帮 5 概念深化 ， 的三个特征 （1）同区间性，即， . （2）任意性，即不可用区间上的两个特殊值代替, . （3）有序性，即需要区分大小，通常规定 . 自变量的大小与函数值的大小之间的关系 可以利用单调性的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的相互转化. （1）单调递增： ； （2）单调递减： ． 教材帮 6 2 函数的单调性及单调区间 （1）当函数 在它的定义域（注意是整个定义域，而非一段）上单调递增（减） 时，我们就称它是增（减）函数． （2）如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数 在这 一区间具有（严格的）单调性，区间叫做 的单调区间（单调区间一定是定 义域的子集）． 教材帮 7 特别提醒（1）并非所有函数都具有单调性,例如：函数 它的定 义域为 ，但不具有单调性． （2）在写单调区间时，若函数在某端点处没有定义，则在该端点处区间符号只能用 小括号（即单调区间不包含该点）；若函数在某端点处有定义且图象连续时，单调 区间可以包含该端点，也可以不包含该端点.如图3.2.1-1所示，函数的单调递增区间 可写为或，但不能写成或 . 图3.2.1-1 图3.2.1-2 教材帮 8 （3）函数在和上均单调递增，但是在 上不一定单调，如图3.2.1-2所示. （4）单调区间不能取并集，只能用“和”或“，”连接.（易错点） 例如:函数在和上均单调递减，若取并集，则 , ，且，可能小于（如, ）,这与 单调性定义矛盾. 教材帮 9 3 常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数 时，在 上单调递增；（函数是增函数） 时，在 上单调递减.（函数是减函数） 反比例函数 时,单调递减区间是和 ; 时,单调递增区间是和 . 二次函数 时,单调递减区间是,单调递增区间是 ; 时,单调递减区间是,单调递增区间是 . 教材帮 10 例1 ［多选题］下列命题中为真命题的是( ) CD A.定义在上的函数，如果有无穷多个，，当 时，有 ，那么在 上单调递增 B.如果函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减，那么 在区间 上就一定单调递减 C.,,且,当时，在 上单调递减 D.,,且,当时，在 上单调 递增 教材帮 11 【解析】A是假命题，“无穷多个”不能代表“所有”“任意”； 以 为例，知B是假命题； （在与 上单调递减,但是在整个区间上并不单调） 等价于 （常见的等价形式,需牢记）, 当时，都有 , 在 上单调递减，C是真命题; , 当时，都有 , 在 上单调递增，D是真命题. 教材帮 12 函数单调性的等价形式 ,, , 那么 在 上单调递增； 在 上单调递减. 教材帮 13 例2 下列四个函数中，在 上单调递增的是( ) C A. B. C. D. 【解析】根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可知： ，在 上均单调递减； 在（0,上单调递减，在,上单调递增；（对称轴为直线 ） 当时，，因此在 上单调递增. 教材帮 14 知识点2 函数的最大（小）值 1 函数的最大（小）值 名称 定义 几何意义 函数 的最 大值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数 满足： ，都有 ； ，使得（）.（ 为最大值点） 那么，我们称是函数 的最大值. 函数的最大 值对应图象 最高点的纵 坐标. 函数 的最 小值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数 满足： ，都有 ； ，使得（）..（ 为最小值点） 那么，我们称是函数 的最小值. 函数的最小 值对应图象 最低点的纵 坐标. 教材帮 15 2 利用函数单调性求最值的常用结论 （1）如果函数在区间上单调递增，那么函数， 的最 大值为,最小值为 . （2）如果函数在区间上单调递减，那么函数， 的最 大值为,最小值为 . 图3.2.1-3 （3）如果函数在区间 上单调递增， 在区间上单调递减，那么函数 ， 在处有最大值 ，如图3.2.1-3 （1）.（最小值为或 ，需比较） 教材帮 16 （4）如果函数在区间上单调递减，在区间 上单调递增，那么函数 ，在处有最小值，如图3.2.1-3（2）.（最大值为 或 ,需比较） 特别提醒 利用函数单调性求函数最值时，先确定函数的所有单调区间（需注意给出 的区间是开区间还是闭区间），然后通过数形结合确定函数在各单调区间内的最值， 最后比较各单调区间的最值，得出函数的最值. 教材帮 17 例3 ［教材改编P81例5］函数在区间 上的最大值为___，最小值为__. 3 【解析】函数（类比的性质）在区间 上单调递减，故函数 在区间的两个端点处分别取得最大值与最小值，最大值为 ， 最小值为 . 教材帮 18 例4 已知函数则函数 的最大值、最小值分别为_____ ___． 2， 已知函数是分段函数并且图象容易作出，故可结合图象求解. 图3.2.1-4 【解析】作出的图象如图3.2.1-4所示．由图象可知，当 时，取得最大值2；当时，取得最小值．故 的最大值为2，最小值为 ．（也可以分段求出最值，再通过比 较得出 的最大（小）值） 教材帮 19 知识点3 单调函数的运算性质 若函数,在区间上具有单调性，则在区间 上具有以下性质. （1）与（ 为常数）具有相同的单调性. （2）若为常数，则当时，与具有相同的单调性；当时， 与 具有相反的单调性. （3）若恒为正值或恒为负值,为常数，则当时，与 具有相反的单 调性；当时，与 具有相同的单调性.（在碰到此类问题时，记得对参数 的正负进行讨论） （4）若，则与 具有相同的单调性.#1.4 教材帮 20 （5）在, 的公共单调区间上，有如下结论：#1.5 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 （6）当，在区间 上都是单调递增（减）时，若两者都恒大于零，则 在区间上也是单调递增（减）的；若两者都恒小于零，则 在 区间 上单调递减（增）.#1.6 教材帮 21 例5 证明：当恒为正值或恒为负值时，与 具有相反的单调性. 【解析】若函数是增函数，取定义域内的两个数,，且 ,则 ， 易知 . 由于恒为正值或恒为负值，则 ， 从而，故函数 是减函数. （依据为函数单调性的等价形式） 同理可证，若函数是减函数，则函数 是增函数. 教材帮 22 知识点4 复合函数的单调性判定 对于复合函数，设在上单调，且在 或 上也单调，那么在 上的单调性如下表所示，简记为“同 增异减”.#1 增 增 增 减 减 减 增 减 增 减 教材帮 23 知识剖析 复合函数单调性的判断步骤 第一步：将复合函数分解为内层函数和外层函数； 第二步：确定复合函数的定义域； 第三步：分别判断内层函数和外层函数在对应区间上的单调性；（在判断外层函数 的单调性时，务必在内层函数相应区间上的函数值的范围内判断） 第四步：根据同增异减原则得出复合函数的单调性.#1.2.1.4 教材帮 例6 已知函数在定义域上单调递减，则 的单调递减区间是 ________. 【解析】由,得,解得.故函数的定义域为 . 由与 复合而成， 当时，单调递减，则 单调递增； 当时，单调递增，则 单调递减. 故的单调递减区间为 . 教材帮 25 方法帮丨解题突破 题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解 类型1 定义法判断函数的单调性 例7 证明函数在 上单调递增. 利用函数单调性的定义证明. 26 【解析】设,，且 ， （第一步：任取两数） 则 . （第二步：作差变形） 因为 ， 所以,, ， 所以，即 . （第三步：确定符号） 根据函数单调性的定义，知函数在 上单调递增. 27 利用函数单调性的定义判断函数在给定区间上的单调性的关键是作 差后的变形，这是第三步确定符号的依据. 28 解题通法 定义法判断函数单调性的一般步骤及变形技巧 1.利用定义判断函数在给定的区间 上的单调性的一般步骤：#1.2 29 利用定义判断函数的单调性还可以用作商法：①任取两数；②作商变形,将 向有利于判断商的值是否大于1的方向变形；③比较 与1的大小 （应先确定的符号）；④作出判断,根据与的大小关系及与 的大 小关系，结合单调性定义得出结论. 2.常用的变形技巧有：①因式分解，当原函数是多项式函数时，通常作差后进行因 式分解；②通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行 因式分解；③配方，当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号； ④分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化.#1.3 30 练变式1 (2026·湖南省郴州市质量监测)已知函数，且 ． （1）求 ; 【答案】由题意知函数，且，故，则 . 31 （2）用定义证明函数在 上单调递增； 【答案】由（1）知 ， 任取，（所取的值要在给定区间内），且 ， 则 ， （分解成两个式子相乘的形式，便于判断正负） 因为，，且 ， 所以，，，则 ， 所以，即 ， 所以函数在 上单调递增． 32 （3）求函数在区间 上的最大值和最小值． 【答案】由（2）知函数在 上单调递增， 所以， . 33 类型2 图象法判断函数的单调性 例8 求下列函数的单调区间： （1） ； 【解析】令 . 作出的图象，保留其在 轴上及其上方部分，将位于轴下方的部分翻折到 轴上方， 34 图3.2.1-5 得到 的图象（也可以先去绝对值,转化成分段函 数作图），如图3.2.1-5所示. 由图象可得函数的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 和 .（函数的单调区间可以包含端点值，也可不包含端点值） 35 （2） . 【解析】 即 图3.2.1-6 函数的图象如图3.2.1-6所示，单调递增区间为和 ,单 调递减区间为和 . （还可以由 的图象翻折变换作图） 36 解题通法 当函数图象便于作出时，可通过数形结合确定函数的单调区间.作函数图象的方法有： （1）描点法，适用于一次函数、二次函数、反比例函数等常见函数；（2）图象变 换法，适用于解析式能变形为常见函数形式的函数，通过平移、翻折等变换作图， 如可转化为 的形式（详见章末专题1【类 型2】）；（3）分段作图，先虚后实，适用于分段函数. 37 练变式2 (2026·江西省南昌中学期中)已知函数 . （1）画出该函数的图象. 图D 3.2.1-1 【答案】 画出其大致图象如图D 3.2.1-1所示. （2）写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）. 【答案】由图象可知的单调递增区间是， ，单调递减区间为 ，值域为 . 38 类型3 性质法判断函数的单调性 例9 判断函数 的单调性. 【解析】 （分解成两个简单函数），且函数的定义域为 ， 因为函数和在区间上均单调递增，所以 在区间 上单调递增. 同理可得在区间 上也单调递增. 所以函数在区间和 上单调递增. 39 解题通法 利用单调函数的运算性质判断函数单调性的思路 当函数解析式通过变形、转化之后，是由几个基本函数的解析式构成的，则可分析 这几个基本函数的单调性，看是否符合单调函数运算性质的规律，若符合，可直接 得出结论，否则，不能用这种方法判断函数的单调性. 40 类型4 判断复合函数的单调性 例10 已知函数,试判断在区间 上的单调性. 求复合函数在给定区间上的单调性的关键是确定内层函数和外层函 数的单调性. 【解析】内层函数为，外层函数为 ， 在上单调递增，且 . 又在 上单调递增， 所以函数在 上单调递增. 41 练变式3 函数 的单调递增区间为( ) C A. B. C.，4）和 D. 42 【解析】由，得且 ， 所以函数的定义域为且 . 设， , 由二次函数的性质可知,的单调递增区间为 ，单调递减区间 为,且 , . 又函数在上单调递减，在（0, 上单调递减， 所以由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为和 （注意复合函数定义域中 ）. 类型5 抽象函数的单调性 例11 设是定义在上的函数，,，,且当 时， . （1）求证 ; 【解析】根据题意，令，（ 既然让求,那就先凑出来 ）,可得 , . 44 （2）求证时，恒有 ; 【解析】由题意知时， , 当时， . 当时，, . （转化到已知区间上，便于判断范围） , （【会赋值】根据式子结构合理赋值,建立与 的关系） ， . 故时，恒有 . 45 （3）求证 是减函数. 【解析】的定义域为.任取,,且,则 , （这样变形后就可利用 进一步变形） . 由（2）知,又，, ,故 是减函数. 46 （1）通过赋值求;（2）通过 证明；（3）利用定义证明函数 的单调性. （1）中，若令，则有或 ，这时需排除 的情况.若，则对于任意，有 ， 这与条件“当时，”矛盾，所以，故有 中， ，假设存在使得，则存在 ，使得 ，则，这与矛盾，所以 ， 故中，为什么将转化为，而不是把 转化为 呢？这是因为，不能直接利用“当 时， ”这一条件判断 与1的大小. 47 解题通法 抽象函数单调性的判断方法 对于抽象函数的单调性的判断，虽然不知其解析式，但仍可利用函数单调性定义来 判断，关键是如何变形. 若给出的是“和型” 抽象函数，判定符号时的变形为 , ； 若给出的是“积型” 抽象函数，判定符号时的变形为 , . 总之，无论是何种类型，作差后的变形都是为确定差的符号服务的. 48 练变式4 (2026·山东省枣庄市第三中学测试)已知定义在上的函数 满足 ，且对任意的实数,均有，当 时， ． （1）求 的值； 【答案】令，则 ， 又，所以 . 49 （2）判断在 上的单调性，并证明. 【答案】在 上单调递增，证明如下. 任取,，且 ，则 ， 因为，所以， . 又当时，，所以 ， 所以，所以 ， 故在 上单调递增． 50 题型2 求函数的最值 类型1 利用单调性求最值 例12 求函数在 上的最大值. 51 【解析】设,，且 ，则 . 由 ， 知,, ， 所以，即 . 所以函数在上单调递增，故函数在 上的最大值为 . 52 例13 函数 的最小值为_ _______. 【解析】（换元法） , 令，，则函数可转化为， . （【想一想】为什么不能直接利用基本不等式求解） 令 , 则在 上单调递增， 故函数在, 上单调递增， 所以函数的最小值为 . 故函数的最小值为 . 53 在处理此题时，易犯如下错误：由 ，结 合基本不等式得.事实上，上述等号成立的条件为 ， 即 ，这是不可能成立的，即等号无法取到，所以函数的最小值不是3.若函 数解析式变形后，结构上符合基本不等式的形式，但是取等号的条件不具备时，则 无法利用基本不等式求最值，这时可利用函数的单调性求最值. 54 教材深挖 对勾函数的单调性 教材第79页【例3】证明了函数在区间 上的单调性，我们称形如 的函数为对勾函数. （1）函数的定义域为 . （2）函数在和,上单调递减；在 ,和, 上单调递增. （由,解得 ，即单调区间的端点） 55 （3）函数 的图象如图3.2.1-7所示. 图3.2.1-7 练变式5 已知,，函数 ． （1）若，求 ； 【答案】由题意知所以解得 所以 ． 57 （2）若，当时，求 的最小值． 【答案】 ， 设，因为，所以 ， 令， ， （注意不能直接利用基本不等式求最值） 根据对勾函数的性质可知在，上单调递减，在 上单调递增， （到此处不能单纯以为的最小值为 ,应以区间端点为基准进行分类讨论） 当时，在上单调递增，所以 , 58 当时，在，上单调递减，在， 上单调递增，所以 ， 当时，在上单调递减，所以 ， 所以 类型2 利用图象求最值 例14 (2026·四川省广元市期末)已知函数，， ，用 表示，中的较小者，记为，，则函数 的最 大值为____. 【解析】令，解得或 ， 即函数与图象的交点坐标为， ， 60 图3.2.1-8 先用虚线画出, 两函数的图象，再将在下面的图象变为 实线，如图3.2.1-8所示， 所以， （谁的函数值小用谁的表达式，即谁的图象在下面用谁的表达 式，写 的表达式时，注意分段区间） 由图可知， ． 61 解题通法 求函数最值的方法 求函数的最值，首先要确定函数的定义域.求函数最值的常用方法有： （1）配方法，主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意最值点是 否在定义域内； （2）换元法，用换元法时一定要注意新元的取值范围； （3）数形结合法，适用于图象较容易画出的函数； （4）利用函数的单调性，要注意有多个单调区间时，闭区间上端点处的函数值是不 是函数的最值. 62 练变式6 已知,,表示,,中的最大值，例如，2， ，若函数 ，，，则 的最小值为( ) B A.2.5 B.3 C.4 D.5 图D 3.2.1-2 【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数 ， ，的图象，因为 ， ，，所以 的图象如图D 3.2.1-2中实线所示： 由图可知，与图象交点为 图象最低 点，由，可得所以 的最小值为 3． 63 类型3 由函数最值求参 例15 已知函数在上的最大值为3，则实数 的值为___. 3 【解析】，显然 . 当时，函数在上单调递减，则 ，解得 ； 当时，函数在上单调递增，则 ，解得 （舍去）. 综上， ． 64 例16 ［多选题］(2026·河北省石家庄市期末)已知函数 若 的最小值为，则实数 的值可以是( ) AB A. B.0 C.1 D.2 【解析】当时，，则在 上单 调递减，所以 . 当时，，则在上单调递增，所以当 时， . 所以，得.（因为的最小值为,所以只需 即可） 65 解题通法 利用函数的最值求参数的方法 由函数的最值求参数的本质还是求函数的最值，然后利用条件构建关于参数的方程 或不等式（组），解得参数的取值或取值范围. 66 练变式7 (2026·北京师范大学附属中学期中)设函数若 存在最小值，则的一个取值为_________________; 的最大值为___. 0（答案不唯一） 67 【解析】当时， （0是最为明显的区分点，找到一个符合的即可） 存在最小值0，所以 的一个取值可以为0. 当时，若，，此时函数 不可能存在最小值； 当时，若，则，此时，若 ， 则，若函数存在最小值，则 ，得 ； 当时，若，则，此时，若 ， 则，若函数 存在最小值，则 ，此时不等式无解. 综上,，所以 的最大值为1. 68 题型3 二次函数的最值问题 类型1 轴定区间定 例17 ［教材改编P86 T7］已知函数，当自变量 在下列范围 内取值时，求函数的最大值和最小值： （1） ; 【解析】当时， 恒成立. 故函数的最小值为 ，无最大值. 69 （2） ; 图3.2.1-9 【解析】函数 的图象如图3.2.1-9所示，由图 可知，函数在上单调递减，在 上单调递增，所以 在处取得最小值，最小值为 . 又,,所以函数在 处取得最大值，最大 值为5. （3） . 【解析】由图3.2.1-9可知，函数在上单调递减,在 处取得最大值， 最大值为；在处取得最小值，最小值为 . 70 【解析】 . 本题为求函数的最大值、最小值问题，由于是二次函数，所以可以 采用配方法和图象法求解. 二次函数在闭区间上必存在最大值与最小值. 71 类型2 轴动区间定 例18 已知函数，，求函数 的最小值. 【解析】， .（【会分析】区间固 定，对称轴不确定，结合区间端点分类讨论） 当时，函数的图象如图3.2.1-10（1）中实线所示,函数在区间 上 单调递减，最小值为 ； 当时，函数的图象如图3.2.1-10（2）中实线所示,函数 在区间 上单调递减，在区间上单调递增，最小值为 ； 72 图3.2.1-10 当时，函数 的图象如图3.2.1-10（3）中 实线所示,函数在区间 上单调递增，最小 值为 . 综上所述， 73 类型3 轴定区间动 例19 已知函数在上的最小值为 . （1）求 的函数表达式. 【解析】，, ,函数图象的对称轴 为直线 .（【会分析】对称轴确定，区间变化，以对称轴是否在给定区间内分类 讨论） 当，即时，函数在 上的图象如图3.2.1-11（1）中 实线所示，函数在区间 上单调递减，所以最小值 ； 当，即时，函数在 上的图象如图3.2.1-11 （2）中实线所示，函数在区间上单调递减，在 上单调递增，所以 最小值 ； 74 图3.2.1-11 当时，函数在 上的图象 如图3.2.1-11（3）中实线所示，函数 在区间 上单调递增，所以最小值 . 综上可得， 75 （2）画出的简图，并写出 的最小值. 【解析】由（1）作出的图象，如图3.2.1-12所示，由图可知， . 图3.2.1-12 76 本题中给出的区间是变化的，从运动的观点来看，让区间从左向右 沿 轴正方向移动，分析移动到不同位置时对最值有什么影响.借助图形，可以更直 观、清晰地把握问题的本质. 77 类型4 轴动区间动 例20 设是正数，且函数在,上的最大值为 ，求 的表达式. 78 【解析】， , ,函数图象对称轴为直线 . 将区间看作是不动的，对称轴变化，进行如下讨论. （其本质还是根据对称轴与区间端点的位置进行的讨论） ①当，即 时， 解得或 . 此时 . ②当，即 时， 79 解得 . 此时 . ③当，即时， . 综上所述， 无论是轴动还是区间动，都是讨论轴与给定区间的位置，从而判断 最值点的位置，求出函数的最值. 解题通法 求二次函数最值的常见类型及解法 求二次函数的最大（小）值有两种类型： 一是函数定义域为实数集 ，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出 最大（小）值； 二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大（小）值由它的单调性确定，而 它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置来决定，当开口方向或对称轴位 置不确定时，还需要进行分类讨论. 81 求二次函数在区间 上的最值一般分为以下几种情 况: （1）若在区间内，则最小值为，最大值为, 中较大 者; （2）若，则在区间上单调递增，最大值为 ，最小值为 ； （3）若，则在区间上单调递减，最大值为 ,最小值为 . 总之，二次函数在闭区间上的最值点要么在区间端点处，要么在对称轴处.#4 练变式8 (2026·广东省江门市期中)若函数在区间 上的最大值 是，最小值是,则 的值( ) B A.与有关，且与有关 B.与有关，但与 无关 C.与无关，且与无关 D.与无关，但与 有关 83 84 【解析】 . ①当时，， , ,，故,，与有关，与 无关； ②当时，在上单调递增，故，与 有 关，与 无关； ③当时，在上单调递减，故，与 有 关，与 无关. 综上所述，的值与有关，但与 无关. 85 题型4 函数单调性的应用 类型1 利用函数的单调性求参数的取值范围 例21 (2026·山东省济南市期中)若函数在 上是增函数， 则实 数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 86 87 【解析】因为函数在上是增函数，所以在 上单调递增，故 ，即 . 当时，单调递增，所以；当时， 单 调递增，所以 . 又函数在上是增函数,所以,解得.又,所以 . 故实数的取值范围是 . 88 解决此类分段函数的单调性问题时，一般从两个方面思考：一方面, 每个分段区间上函数具有相同的单调性，由此列出相关式子；另一方面,要考虑区间 端点处的衔接情况，由此列出另一相关式子，求解即可. 89 例22 (2026·广东省佛山市禅城实验高级中学段考)若函数 在区间上单调递减，则实数 的取值范围是__________. 【解析】函数的图象的对称轴为直线,若函数在区间 上单调 递减，则,解得.故的取值范围是 . 90 变式 若函数的单调递减区间是，则实数 的取值 范围是______. 【解析】若函数的单调递减区间为，则，解得 . 单调区间是一个整体概念,比如说函数的单调递减区间是 ,指的是函 数单调递减的最大范围为区间 .而函数在某一区间上单调递减（增）,则指此区间是 相应单调递减（增）区间的子区间.因此我们在解决函数的单调性问题时,不能混淆 “单调区间”和“在区间上单调”（区别为“全集”和“子集”）这两个概念. 91 例23 (2026· 河南省禹州市第三高级中学月考)已知是定义在 上的函 数，若对于任意，都有，则实数 的取值范围是 ( ) C A. B. C.[-， D.[- ，0） 92 给什么得什么 由 联想到单调性的变形，但不等号右边是2，非0，我 们要怎么处理呢？去分母，移项，转变为 ，由此可得函数 在 上单调递减. 求什么想什么 求实数的取值范围，由于为二次项系数，分和 分类讨 论. 差什么找什么 易得当时符合；当 时，知道二次函数的单调性，考虑动 轴与定区间 的关系，分类讨论即得. 93 【解析】因为对于任意，都有 ，所以 ， 即 ， 令，则在 上单调递减. 当时， 符合题意， 当时，函数的图象的对称轴方程为 ， 当时，，解得，即 ， 当时，，解得 . 综上， ． 94 解题通法 利用函数单调性求参数取值范围的两种思路 1.已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数,依据函数的图象或 单调性的定义,确定函数的单调区间,然后与已知单调区间比较,构建关于参数的方程 或不等式（组）求解. 2.借助常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数等）的单调性求解. 需注意，若一个函数在区间 上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单 调的. 95 练变式9 (2026·湖南省长沙市期中)已知函数在区间 上具有 单调性，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】根据题意，函数 为二次函数，其图象开口向上，对称轴 方程为，若函数在区间上具有单调性，则 或 ，解得或，所以实数的取值范围是 ． 96 练变式10 [多选题]若函数在 上为增函数，则实数 的取值可以为( ) BC A. B.1 C.2 D.4 【解析】要使此分段函数为上的增函数，必须使函数 在 上单调递增，函数在 上单调递增，且满足 ，根据一次函数和二次函数的单调性可得，解得 ， 即实数的取值范围是.故选 . 97 类型2 利用函数的单调性比较大小 例24 ［多选题］已知为区间上的减函数，且 ，则 ( ) ACD A. B. C. D. 已知单调性，要判断函数值的大小，只需比较自变量的大小即可. 98 【解析】因为，所以,又为区间 上的减函数，所以 ，故A正确； 因为与0的大小关系不定，所以无法比较与 的大小，故B 错误； 因为（利用作差法可比较大小），所以 ,又 为区间上的减函数，所以 ，故C正确； 因为，所以,又为区间 上的减函数，所 以 ，故D正确． 99 解题通法 利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要 注意将对应的自变量的值转化到同一个单调区间上. 若函数在区间上单调递增，且,，则 ； 若函数在区间上单调递减，且,，则 . 练变式11 函数是上的增函数，且 ，则( ) C A. B. C. D., 【解析】若,，则, ，此时满足 ，故 错误； 当时，，， 函数是 上的增函数， ，， .故C正确. 100 类型3 利用函数的单调性解不等式 例25 已知是定义在区间上的增函数，且，则 的取值 范围为_ _____. , 101 【解析】由题意，得 解得 ①.（大前提不能忘） 因为是定义在区间上的增函数，且 ，所以 ，解得 . 由①②得 . 所以的取值范围为, . 102 练变式12 已知函数则关于实数 的不等式 的解集为______． 【解析】当时，单调递增，当时, 单调递增，且函数 的图象在处连续（此处不能少，否则不能判断函数在 上的单调性）， 故函数在上单调递增.由得，解得 ． 103 题型5 恒成立与能成立问题 例26 已知二次函数在区间 上有最大值4，最 小值0． （1）求函数 的解析式； 【解析】， 函数 图象 的对称轴方程为 . 又，且， 依题意得 （, 离对称轴越远，其所对应的函数值越大） 即解得 故函数的解析式为 . 104 （2）设,若在上恒成立，求 的取值范围． 【解析】 . 在上恒成立，即在 上恒成立， （分离参数）在 上恒成立， 只需， . 令，由，得 . 设， . 的图象的对称轴方程为 ， 105 当时，函数取得最大值,为 ， . 故的取值范围是 . 变式 第（2）问变为“设，若在上有解，求 的 取值范围”. 107 【解析】由（1）知，，所以在 上有解，所 以 ， 令，则 ， 设，，其图象为开口向下，对称轴为直线 的抛 物线， 所以在,上单调递减，所以，所以 的取值范围为 . 108 解题通法 函数的恒成立与能成立问题，一般利用分离参数法将参数单独分离出来,将其转化为 求函数的最值问题. 不等式 恒成立 能成立（有解） 109 练变式13 二次函数满足，且不等式的解集为 . （1）求 的解析式； 【答案】由设 . 可化为 . 由题知，方程的两实根分别为 和3， 所以解得故 . 110 （2）在区间上，函数的图象总在一次函数 图象的上方，试确 定实数 的取值范围. 【答案】由题意，得，即 （分离参数），对 恒成立. 令，，则问题可转化为 . 因为在 上单调递减， 所以，故 . 所以实数的取值范围是 . 111 练习帮丨分层巩固 A 基础练丨知识测评 建议时间：35分钟 1.(2026·北京市第二中学段考)函数 的单调递增区间是( ) C A. B. C.和 D. 练习帮 112 【解析】 方法1：当时，,所以在 上单调递减，在 上单调递增; 当时，,所以在 上单调递增. 综上，函数的单调递增区间是和 ． 练习帮 113 图D 3.2.1-1 方法2：画出函数图象如图D 3.2.1-1所示， 由图可知函数的单调递增区间为和 . 练习帮 114 2.(2026·江西省南昌市期中)已知是定义域为的减函数，则 是 ( ) B A.定义域为的增函数 B.定义域为 的增函数 C.定义域为的减函数 D.定义域为 的减函数 【解析】因为的定义域为 , 所以的定义域为，令, , 是一次函数，且在定义域 上是减函数. 已知是定义域为)的减函数，所以在 )上是减函数， 根据复合函数“同增异减”的单调性原则，为减函数， 为减函数，两者 单调性相同，因此在定义域( 上是增函数. 练习帮 115 3.(2026·四川省泸县第五中学期末)已知函数 若 对任意的, , 且, 都有, 则实数 的取值范 围是( ) B A.( B. C. D.(, ) 【解析】因为对任意的,,且,都有 ,所以函 数在 上单调递增， 所以解得,故 ． 练习帮 116 4.已知函数若是的最小值，则 的取值范围为 ( ) B A. B. C. D. 【解析】当时， ， 当且仅当，即 时，等号成立. 当时，，要使是 的最小值，只需 在(上单调递减，且 ，即 解得 . 练习帮 117 5.［多选题］已知函数, 下列关于函数 的单调性说 法正确的是( ) BD A.函数在 上不具有单调性 B.当时，在 上单调递减 C.若的单调递减区间是, 则的值为 D.若在区间上单调递减，则的取值范围是, 练习帮 118 【解析】对于A，当时，在 上单调递减，故A错误； 对于B，当时，，函数图象的对称轴方程为 ，单调递 减区间为 ，故B正确； 对于C，若的单调递减区间是(，则，且 ，无解，故C 错误； 对于D，当时，满足在区间上单调递减,当时，若 在区间 上单调递减，则且，解得，所以 的取值范围是 ，故D正确．故选 ．（分析B，C，D选项时，要准确辨别单调区间是什么和 在区间上单调这两个概念，前者可理解为“全集”，后者可理解为“子集”） 练习帮 119 6.［多选题］(2026·山东省滕州市第一中学周测)已知 ， ,则 ( ) AD A.无最小值 B.最小值为 C.无最大值 D.最大值为 练习帮 120 【解析】 的图象如图D 3.2.1-2中实线所示： 图D 3.2.1-2 由图象可得 有最大值，无最小值， 当时，由,解得（舍去）或，此时 的最大值为．故选 ． 练习帮 121 7.(2026·吉林省永吉实验高级中学月考)二次函数在 上有最 大值3，最小值1，则实数 的取值范围是______. 【解析】方法1：因为在 上单调递减， 在上单调递增, 则当时， 此时无解； 当时，在处有最小值1，在或 处有最大值3，此时条件成立； 当时，最大值必大于 ，此时条件不成立. 综上可知，实数的取值范围是 . 练习帮 122 图D 3.2.1-3 方法2： 的图象如图D 3.2.1-3所示，图象关 于直线对称，且， ， 要使函数在 上有最大值3，最小值1， 只需 . 故实数的取值范围为 . 练习帮 123 8.(2026·安徽省颍上第一中学开学考试)已知函数， ． （1）当时，函数不单调，求 的取值范围； 【答案】由函数 ， 可得该函数图象开口向上，对称轴为直线 ， 要使函数在上不单调，可得 ， 解得 ， 所以实数的取值范围为 . 练习帮 124 （2）当时，函数的最小值是关于的函数，求 的表达式． 【答案】由（1）知，该函数图象开口向上，对称轴为直线 ， 当，即时，在 上单调递增， 所以 ； 当，即时，在,)上单调递减，在( 上单调递增， 所以 ； 当，即时，在 上单调递减， 所以 . 综上， 练习帮 125 B 综合练丨高考模拟 建议时间：40分钟 9.［新定义· 函数］ (2026·四川省绵阳东辰学校月考)若函数在定义域 上 的值域为，则称为“ 函数”．已知函数 是“ 函数”，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 练习帮 126 【解析】因为函数的定义域为,且 , 所以由题意可知，函数的值域为 , 函数在 上单调递增, 当时， , 函数在 上单调递增, 当时， , 由题意可得 , 则有解得 . 故实数的取值范围是 . 练习帮 127 10.(2026·云南大学附属中学期中)定义在区间上的函数 的值域为( ) C A. B. C. D. 【解析】令,，则,, .令 ,，由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在 上 单调递增， 故在处取得最小值 ， 又,, ， 所以在上的值域为 ， 练习帮 128 故,的值域为 ， 即函数在区间上的值域为 ，故选C. 练习帮 11.［多选题］已知函数的定义域为，当 时， 恒成立，且 ,则( ) ABC A.在上单调递减 B.在 上单调递减 C. D. 【解析】由已知得 （通过变形发现能转化为判断单调性的 等价形式），故函数在 上单调递减，故A正确； ，所以 在 上单调递减，故B正确； 结合A选项可知， ，故C正确； 由B选项可知,,故D错误．故选 ． 练习帮 130 12.［多选题］ (2026·四川省南充市嘉陵第一中学月考)已知函数 则下列结论正确的是( ) AD A.若，则 B.若在上单调递增，则的值可以为 C.存在，使得在 上单调递减 D.若的值域为，则的取值范围为 练习帮 131 【解析】对于A，由题意得，故 ，解得 ，故A正确. 对于B，若在上单调递增，则 解得，所以 不符合题意，故B错误. 对于C，若在 上单调递减， 则 不等式组无解，故C错误. 练习帮 132 对于D，若的值域为，则 ， 所以在 上单调递增， 当时，在 上单调递增， 则，得，即 ； 当时，在上单调递减，在 上单调递增， 则，得恒成立，故 符合题意． 综上，的取值范围为，故D正确.故选 . 练习帮 13.(2026·湖北省黄冈市期中)已知, ，若 ，使得成立，则实数 的取值范围为__________. ( ,) 【解析】若对，，使得 成立，则 , 当时， . 令,,由对勾函数的单调性可知，函数 在 上单调递增， 所以当时， , 练习帮 134 故当时，，即对任意的 恒成立， 即对任意的 恒成立. 令，，则 , 由对勾函数的单调性可知，函数在 上单调递增，所以 ，故 . 所以实数的取值范围为 . 练习帮 14.定义在上的函数,满足,且当 时, . （1）求证： 是增函数； 【答案】,即 . 任取，，且，则 , 故，即 , 故 是增函数． 练习帮 136 （2）若,解不等式 ; 【答案】由于， , 由，可知 , ． 又在 上单调递增， 解得 ． 故不等式的解集为 }． 练习帮 137 （3）比较与 的大小. 【答案】由题知， , ]= , 且 , （当且仅当 时取等号）. 是增函数， . . 练习帮 138 C 培优练丨能力提升 15.［新考法·新定义题］已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数 ， 都有，就称函数满足性质 . 练习帮 139 （1）判断函数：①；②是否满足性质 . （直接写出判断结果，不用证明） 【答案】①不满足性质;②满足性质 .理由如 下： ①中，可取零，而中，不能取零，因此不满足性质 ;（要说明不 满足性质 时，只需举一个反例即可） ②由得 ，且对其定义 域内任意给定的实数 都成立， 因此满足性质 . 练习帮 140 （2）若满足性质,在定义域上单调，且对 都成立，解关于的不等式 . 【答案】因为满足性质，且定义域为 , 所以当时，，得到 . 因为在上单调，且在时恒有 , 所以在 上单调递减. 由得到 , 即，因为在 上单调递减， 所以，即 , 即 , 练习帮 141 ①当时，不等式为，不等式解集为 ; ②当时，不等式解集为 ; ③当，即时，不等式为，不等式解集为 ; ④当时，，不等式解集为（1, ）; ⑤当时，，不等式解集为（ ,1）. 练习帮 142 （3）在（2）的条件下，已知,,，若 ，证 明： . 【答案】已知,，, , 因为，所以 , 因为在上是单调函数，所以，即 , 因为，所以 . 练习帮 143 $