3.2.2 奇偶性 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性，从数学图形的轴对称、中心对称分类切入，过渡到函数的奇偶性，通过回顾图形对称知识搭建学习支架，引导学生从形到数探究函数性质。 其亮点在于以问题链驱动定义理解，结合典例解析深化判断方法，如通过具体函数实例分析定义域对称性的必要性，培养数学思维的推理能力。采用定义辨析与图象特征结合的教学方法，帮助学生形成严谨认知，教师可依托结构化内容提升教学效率。

回顾与展望 从数学图形的角度分类 轴对称图形 中心对称图形 回顾与展望 从数学图形的角度分类 轴对称图形 中心对称图形 对称轴：y 轴 对称中心：原点 偶函数 奇函数 如何用数（式）研究函数奇偶性？奇偶性有什么价值？ 3.2.2 奇偶性 自主研读 P82~P85，梳理知识，记录疑问 关注以下问题： 奇函数和偶函数的定义是什么？ 定义中的关键词有哪些？ 奇函数和偶函数的图象特征是什么？ 如何判断一个函数的奇偶性？ 问题一：偶函数定义中的关键词是什么？这些关键词能说明什么？  一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 偶函数： ∀x∈D 定义域内的所有自变量，即偶函数是函数“整体”性质 都有－x∈D “定义域关于原点对称”是“函数是偶函数”的必要条件 定义域不关于原点对称，函数一定不是偶函数 f(－x)＝f(x) 自变量相反数对应函数值相等，点关于 y 轴对称 偶函数图象关于 y 轴对称 问题二：奇函数定义中的关键词是什么？这些关键词能说明什么？  一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝ － f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 奇函数： ∀x∈D 定义域内的所有自变量，即奇函数是函数“整体”性质 都有－x∈D “定义域关于原点对称”是“函数是奇函数”的必要条件 定义域不关于原点对称，函数一定不是奇函数 f(－x)＝ － f(x) 自变量相反数对应函数值相反数，点关于 原点对称 奇函数图象关于 原点对称 问题三：为什么奇偶函数定义域必须关于原点对称？如果定义域不对称会怎样？  如果定义域不对称，某些 x 有定义而对应的 –x 无定义，无法验证f(－x) 与f(x)的关系 例： 定义域为 ，除x=0外–x 无定义，无奇偶性 f (x)=x2 (x∈(−1，2))，定义域关于原点不对称，无奇偶性 定义域关于原点对称是奇偶性的必要条件 只是有些值使得f(－x)＝ f(x)（或 f(－x)＝ － f(x)），不能判定奇偶性 问题四：若函数图象关于 y 轴对称，函数一定是偶函数吗？ 若函数图象关于原点对称，函数一定是奇函数吗？  图象对称意味着对于任意 x ， 点(x, f(x) )和点(－x, f(－x) )关于 y 轴对称，即f(－x)＝ f(x) 点(x, f(x) )和点(－x, － f(－x) )关于原点对称，即f(－x)＝ － f(x) 问题五：是否存在既奇又偶的函数？如果存在，这样的函数有什么特征？ 存在，例如 （定义域关于原点对称） 特征：满足  且  可得  所以既奇又偶的函数只能是零函数（但定义域必须对称） 典例精析 解：（1）定义域为R，关于原点对称 f(―x)＝ (―x)3+ (―x) ＝ ―x3―x＝― f(x) 所以函数为奇函数 （3）分析一半图象性质，另一半通过对称研究 典例精析 定义域{-1，1}，f(x)=0，既是奇函数也是偶函数 定义域{x | x ≠ -1}，非奇非偶函数 法二：数形结合 典例精析 0 0 0 任意实数 -1 1. 定义法 2. 定义变形：偶函数 f(－x) － f(x) ＝0 奇函数 f(－x) + f(x) ＝0 3. 特殊值法：奇函数若在x＝0处有定义，则必有f(0) ＝0 方法总结： 典例精析 解法一： 归纳总结 奇偶性 定义 图象特点 等价条件 前提 设f(x)的定义域为I 偶函数 ∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)=f (x) 则函数f(x)叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 ∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)= - f (x) 则函数f(x)叫做奇函数 关于原点对称 备注 f(x)－f(-x)=0 f(x)＋f(-x)=0 ①具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称 ②不能用特殊值判断奇偶性. 如: f(2)=f(-2),但f(x)不一定是偶函数 ③已知奇偶性可代特殊值求参数. ④若f(x)为奇函数且在x=0有定义，则必有f(0)=0. 归纳总结 一看定义域 二看关系式或图象 不关于原点对称 关于原点对称 非奇非偶函数 f(x)=f(﹣x) 图象关于y轴对称 ﹣f(x)=f(﹣x) 图象关于原点对称 偶函数 奇函数 既奇又偶函数 奇偶性的判断方法 随堂小测 课本P85 练习 1，2，3 课后作业 课本P86 5 大本 课本P101 12 (3)f(x)的定义域是 ，关于原点对称． 当x>0时，－x<0，f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x＋1＝f(x)． 综上可知， ，都有f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数． 例2：判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)； (2)f(x)＝eq \f(2x2＋2x,x＋1)； (3)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,－x＋1，x<0.)) 例3：(1)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________. （2）若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c为奇函数，则实数a＝______，b＝______，c＝______. （3）已知函数f(x)＝eq \f(（x＋1）（x＋a）,x)为奇函数，则a＝________． 【变式】已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，求f(2)． 解： 由已知条件，得 ① ② ①＋②得f(2)＋f(－2)＝－16.又f(－2)＝10，故f(2)＝－26. 解法二：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数， 从而g(－2)＝－g(2)，又f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10， ∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18，∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26. $