3.2.2函数的奇偶性 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性，通过回顾前两课时“图象升降（单调性）、最值”的知识，引出“左右对称”的新问题，构建连贯的知识支架，帮助学生衔接前后内容。 其亮点在于从图象观察到列表分析再到定义抽象，培养数学眼光，通过定义域对称辨析及反例（如f(x)=1/x不过原点）发展数学思维，四步判断法与规范书写强化数学语言表达。学生能深化概念理解，教师可借分层作业和清晰结构提升教学效果。

3.2　函数的基本性质 第三课时　函数的奇偶性 人教A版必修第一册　·　第三章　函数的概念与性质 1 本节导览 第一课时 函数的单调性 第二课时 函数的最大（小）值 第三课时 函数的奇偶性 第四课时 奇偶性与单调性的综合应用 2 导入 问 第一课时看那三张图象时，同学们说了三句话。前两句我们已经研究完了，第三句是什么？ 答　第一句：有的图象在上升，有的在下降　→　单调性（第一课时） 第二句：有的图象有最高点或最低点　　→　最值（第二课时） 第三句：有的图象左右两边对称　　　　→　今天要研究的奇偶性。 3 学习目标 1．由图象的对称特征写出 f(－x)＝f(x)，说出偶函数的定义。 2．类比写出奇函数的定义，说清“∀x∈D，都有 －x∈D”这一条的作用。 3．会按“求定义域 → 求 f(－x) → 比较 → 写结论”四步判断奇偶性。 4．知道奇（偶）函数的图象关于原点（y 轴）对称，会举出反例说明“一定过原点”“一定交 y 轴”是错的。 4 观察 问 画出 f(x)＝x2 和 g(x)＝2－｜x｜ 的图象。它们有什么共同特征？ 答　两个图象都关于 y 轴对称。 可这是“看”出来的。怎么用数说清楚？ 5 列表看一看 x －3 －2 －1 0 1 2 3 f(x)＝x2 9 4 1 0 1 4 9 g(x)＝2－｜x｜ －1 0 1 2 1 0 －1 发现　自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。 例如 f(－3)＝9＝f(3)，f(－2)＝4＝f(2)，g(－1)＝1＝g(1)。 一般地，∀x∈R，都有 f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)。 6 偶函数的定义 一般地，设函数 f(x) 的定义域为 D， 如果 ∀x∈D，都有 －x∈D，且 f(－x)＝f(x)， 那么函数 f(x) 就叫做偶函数。 例如 f(x)＝x2＋1 是偶函数，它的图象关于 y 轴对称。 7 辨一辨（一） 问 定义里为什么要写“都有 －x∈D”？去掉行不行？看 f(x)＝x2，x∈[－1，3]。 －3 －1 0 3 答　不行。f(3)＝9，可 －3 不在定义域内，f(－3) 根本没有意义。 这一条说的是：定义域必须关于原点对称。它是判断奇偶性的第一道关。 8 换两个函数看看 问 f(x)＝x 与 g(x)＝的图象有什么共同特征？自变量取一对相反数时，函数值有什么关系？ 答　两个图象都关于原点成中心对称图形。 自变量取一对相反数时，函数值也是一对相反数：f(－3)＝－3＝－f(3)，f(－2)＝－2＝－f(2)。 一般地，∀x∈R，都有 f(－x)＝－x＝－f(x)。 9 奇函数的定义 一般地，设函数 f(x) 的定义域为 D， 如果 ∀x∈D，都有 －x∈D，且 f(－x)＝－f(x)， 那么函数 f(x) 就叫做奇函数。 两个定义只差一个负号，但前面那句“－x∈D”完全一样。 10 一个提醒 奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质。 所以判断奇偶性要先明确定义域； 所以结论里不写区间——“f(x) 在 [0，＋∞) 上是偶函数”这句话是错的。 这一点与单调性正好相反：单调性必须带区间，奇偶性不能带区间。 11 判断奇偶性的四步 1 定义域 先求定义域，检查是否关于原点对称。不对称就直接判“既不是奇函数也不是偶函数”，到此为止。 2 求 f(－x) 把解析式里的 x 全部换成 －x，化简。注意奇次幂变号、偶次幂不变号。 3 比较 f(－x)＝f(x) 是偶函数；f(－x)＝－f(x) 是奇函数；都不成立就是非奇非偶。 4 写结论 照教材例 6 的四句写：定义域、－x∈D、f(－x) 的化简、结论。 12 例6（1）（2） 教材第 84 页 问 判断 f(x)＝x4 与 f(x)＝x5 的奇偶性。 解　（1）f(x)＝x4 的定义域为 R。因为 ∀x∈R，都有 －x∈R，且 f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)， 　　所以 f(x)＝x4 为偶函数。 （2）f(x)＝x5 的定义域为 R。因为 ∀x∈R，都有 －x∈R，且 f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)， 　　所以 f(x)＝x5 为奇函数。 四句缺一不可：定义域、－x∈D、f(－x) 的化简、结论。 13 例6（3）　定义域不是 R 的情形 判断 f(x)＝x ＋ 的奇偶性 。 解　定义域为 {x｜x≠0}，∀x∈{x｜x≠0}，都有 －x∈{x｜x≠0}，且 　f(－x)＝－x ＋ ＝ ＝ －f(x)， 所以 f(x) 为奇函数。 提负号时括号要打全，－x＋ 不能写成 －x＋ 。 14 例6（4） 判断 f(x)＝ 的奇偶性。 解　定义域为 {x｜x≠0}，∀x∈{x｜x≠0}，都有 －x∈{x｜x≠0}，且 　f(－x)＝＝ ＝ f(x)， 所以 f(x) 为偶函数。 把这道题和上一道对照：分母上多了一个平方，奇函数就变成了偶函数。 15 两个必须记住的反例 　　　奇函数，图象不过原点　　　　　　　　　偶函数，图象不与 y 轴相交 所以“奇函数的图象一定过原点”“偶函数的图象一定与 y 轴相交”都是错的。 正确说法：奇函数若在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0（在 f(－x)＝－f(x) 中令 x＝0）。 16 辨一辨（二） 问 对 y＝f(x)，若存在 x0 使 f(－x0)＝f(x0)，能说 f(x) 是偶函数吗？ 答　不能。定义要求的是对定义域内每一个 x 都成立。 反例：f(x)＝x3 在 x0＝0 处满足 f(－0)＝f(0)，但它是奇函数。 任何函数在 x0＝0 处都满足这个等式，所以一个特殊值说明不了任何问题。 17 图象特征 f(x) 是偶函数　⇔　图象关于 y 轴成轴对称图形； f(x) 是奇函数　⇔　图象关于原点成中心对称图形。 这两条是定义的几何意义，与定义等价。 知道了奇偶性，只要研究 y 轴一侧的图象，另一侧靠对称补出来——这是奇偶性最实用的地方。 18 教材思考 第 85 页 问 判断 f(x)＝x3＋x 的奇偶性；能否由 y 轴右边的图象画出左边的？ 答　定义域为 R，f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)，所以是奇函数。 能。取右边图象上的点 (a，b)，画出它关于原点的对称点 (－a，－b)，多取几个点连成曲线。 一句话：奇函数的图象绕原点旋转 180° 与自身重合。 19 ★拔高探究（优生班） 问 已知 f(x) 是奇函数，g(x) 是偶函数，且 f(x)＋g(x)＝，求 f(x) 与 g(x)。 解　一个方程两个未知函数，缺一个方程——以 －x 代替 x，得 　f(－x)＋g(－x)＝，即 －f(x)＋g(x)＝。 两式相加：2g(x)＝，所以 g(x)＝ ； 两式相减：2f(x)＝ ，所以 f(x)＝ 。 固定动作：以 －x 代 x 再联立。想留偶函数就相加，想留奇函数就相减。 20 当堂检测（一） 1．下列函数中为偶函数的是（　　） 　A．y＝　　B．y＝x　　C．y＝x2＋1　　D．y＝ 2．函数 y＝f(x)，x∈[－1，a] 是奇函数，则 a 等于（　　） 　A．0　　B．1　　C．2　　D．无法确定 答案　C。A 的定义域 [0，＋∞) 不关于原点对称，非奇非偶；B、D 都是奇函数。 答案　B。奇函数的定义域必须关于原点对称，所以 －1＋a＝0，a＝1。 21 当堂检测（二） 3．下列叙述正确的是（　　） 　A．偶函数的图象一定与 y 轴相交　　B．奇函数的图象一定通过原点 　C．若 f(x) 是奇函数，则恒有 f(0)＝0　　 D．若 f(x) 为偶函数，则有 f(x)＝f(－x)＝f(｜x｜) 4．判断 f(x)＝x2（x∈(－1，2]）的奇偶性并说明理由。 答案　D。A、B 分别被 与 否掉；C 少了“0 在定义域内”这个前提。 答案　定义域 (－1，2] 不关于原点对称（2 在其中而 －2 不在），所以既不是奇函数也不是偶函数。 22 本课小结 1．偶函数：∀x∈D，－x∈D，且 f(－x)＝f(x)，图象关于 y 轴对称。 2．奇函数：∀x∈D，－x∈D，且 f(－x)＝－f(x)，图象关于原点对称。 3．判断四步：求定义域 → 求 f(－x) → 与 f(x)、－f(x) 比较 → 写结论。 4．定义域不关于原点对称，直接判“既不是奇函数也不是偶函数”。 5．奇偶性是整体性质，结论里不写区间。 23 易错提醒 1．见到 x2 就答偶函数，不看定义域。 　f(x)＝x2，x∈[－1，3] 是非奇非偶函数。 2．认为奇函数的图象一定过原点。 　 是奇函数，图象不过原点。 3．(－x) 的奇偶次幂算错、提负号丢括号。 　(－x)5＝－x5，(－x)4＝x4。 4．把“非奇非偶”与“既奇又偶”混淆。 　既奇又偶的只有 f(x)＝0（定义域关于原点对称）这一类。 24 课时作业 A 组（全体必做）：8 题——判断奇偶性的选择 3 道、多选 2 道、判断题 1 道（4 小题）、图象特征填空 1 道、概念说理 1 道。 B 组★（优生班必做、普通班选做）：3 题——分离常数后判断平移函数的奇偶性、含参函数奇偶性与参数的关系、以 －x 代 x 联立求解析式。 书写要求：判断奇偶性一律先写定义域，缺这一句扣分。 预习：教材第 85 页练习与习题 3.2 第 11、12 题。想一想：若 f(x) 是偶函数且在 [0，＋∞) 上递增，那么它在 (－∞，0] 上是增还是减？ 25 下一课时　奇偶性与单调性的综合应用 把今天的对称性和前两课时的增减、最值合起来用：比较大小、解不等式、求解析式 26 $